第二章-年金计算题1

（一）有关年金的相关概念

1.年金的含义

年金，是指一定时期内每次等额收付的系列款项。具有两个特点：一是金额相等；二是时间间隔相等。

2.年金的种类

年金包括：普通年金（后付年金）、即付年金（先付年金）、递延年金、永续年金等形式。

在年金中，系列等额收付的间隔期间只需要满足“相等”的条件即可，间隔期间可以不是一年，例如每季末等额支付的债券利息也是年金。

【例题·判断题】年金是指每隔一年，金额相等的一系列现金流入或流出量。（）

『正确答案』×

『答案解析』在年金中，系列收付款项的时间间隔只要满足“相等”的条件即可。注意如果本题改为“每隔一年，金额相等的一系列现金流入或流出量，是年金”则是正确的。即间隔期为一年，只是年金的一种情况。

【总结】

（1）这里的年金收付间隔的时间不一定是1年，可以是半年、一个季度或者一个月等。

（2）这里年金收付的起止时间可以是从任何时点开始，如一年的间隔期，不一定是从1月1日至12月31

日，可以是从当年7月1日至次年6月30日。

【总结】

在年金的四种类型中，最基本的是普通年金，其他类型的年金都可以看成是普通年金的转化形式。普通年金和即付年金是年金的基本形式，都是从第一期开始发生等额收付，两者的区别是普通年金发生在期末，而即付年金发生在期初。递延年金和永续年金是派生出来的年金。递延年金是从第二期或第二期以后才发生，而永续年金的收付期趋向于无穷大。

【小常识】诺贝尔奖是以瑞典著名化学家、硝化甘油炸药发明人阿尔弗雷德·贝恩哈德·诺贝尔的部分遗产作为基金创立的。诺贝尔奖包括金质奖章、证书和奖金支票。在遗嘱中他提出，将部分遗产（920万美元）作为基金，以其利息分设物理、化学、生理或医学、文学及和平（后添加了经济奖）5个奖项，授予世界各国在这些领域对人类作出重大贡献的学者。

【例题·单选题】（2010年考题）2007年1月1日，甲公司租用一层写字楼作为办公场所，租赁期限为3

年，每年12月31日支付租金10万元，共支付3年。该租金有年金的特点，属于（）。

A.普通年金

B.即付年金

C.递延年金

D.永续年金

『正确答案』 A 『答案解析』本题考核普通年金的特点。年末等额支付，属于普通年金。

（2）即付年金现值的计算

【定义方法】即付年金现值，就是各期的年金分别求现值，然后累加起来。

方法一：

从上图可以看出，n期即付（先付）年金与n期普通（后付）年金的付款次数相同，但是由于付款时间的不同，在计算现值时，n期即付（先付）年金比n期普通（后付）年金少贴现一期。所以，可先求出n期普通（后付）年金的现值，然后再乘以（1＋i）便可以求出n期即付（先付）年金现值。

方法二：可根据n期即付（先付）年金现值与n－1期普通（后付）年金现值的关系推导出另外一个公式。n期即付（先付）年金现值与n－1期普通（后付）年金现值贴现期数相同，但比n－1期普通（后付）年金多一期不用贴现的付款A，因此，只要将n－1期普通（后付）年金的现值加上一期不用贴现的付款A，经过整理便可以求出n 期即付年金现值。即付年金现值系数与普通年金现值系数相比，期数减1，系数加1。

【例题·计算题】A公司租赁一设备，在10年中每年年初支付租金5 000元，年利率为8%，求这些租金的现值？

『正确答案』

【方法一】

P（现值）＝A×年金现值系数×（1＋i）

P＝A×（P/A，i，n）×（1＋i）

P＝5 000×（P/A，8%，10）×（1＋8%）＝36 234（元）

【方法二】

P（现值）＝A×年金现值系数，期数减1，系数加1

P＝A[（P/A，i，n－1）＋1]

＝5 000×[（P/A，6%，9）＋1]

＝5 000×（6.247＋1）＝36 234（元）

【例题·计算题】张先生采用分期付款方式购入商品房一套，每年年初付款15 000元，分10年付清。若银行利率为6%，该项分期付款相当于一次现金支付的购买价是多少?

『正确答案』

【方法一】

P（现值）＝A×年金现值系数×（1＋i）

P＝A×（P/A，i，n）×（1＋i）

P＝15 000×（P/A，6%，10）×（1＋6%）＝117 025.5（元）

【方法二】

P（现值）＝A×年金现值系数，期数减1，系数加1

P＝A[（P/A，i，n－1）＋1]

P＝A·[（P/A，i，n－1）＋1]

＝15 000×[（P/A，6%，9）＋1]

＝15 000×（6.8017＋1）＝117 025.5（元）

【例题·计算题】李博士是国内某领域的知名专家，某日接到一家上市公司的邀请函，邀请他作为公司的技术顾问，指导开发新产品。邀请函的具体条件如下：

（1）每个月来公司指导工作一天；

（2）每年聘金10万元；

（3）提供公司所在地A市住房一套，价值80万元；

（4）在公司至少工作5年。

李博士对以上工作待遇很感兴趣，对公司开发的新产品也很有研究，决定应聘。但他不想接受住房，因为每月工作一天，只需要住公司招待所就可以了，这样住房没有专人照顾，因此他向公司提出，能否将住房改为住房补

贴。公司研究了李博士的请求，决定可以在今后5年里每年年初给李博士支付20万元房贴。

收到公司的通知后，李博士又犹豫起来，因为如果向公司要住房，可以将其出售，扣除售价5%的契税和手续费，他可以获得76万元，而若接受房贴，则每年年初可获得20万元。假设每年存款利率2%，则李博士应该如何选择?

『正确答案』

要解决上述问题，主要是要比较李博士每年收到20万元的现值与售房76万元的大小问题。由于房贴每年年初发放，因此对李博士来说是一个即付年金。其现值计算如下：

P（现值）＝A×年金现值系数，期数减1，系数加1

P＝A[（P/A，i，n－1）＋1]

P＝20×[（P/A，2%，4）＋1]

＝20×[3.8077＋1]

＝20×4.8077

＝96.154（万元）

从这一点来说，李博士应该接受房贴。

如果李博士本身是一个企业的业主，其资金的投资回报率为32%，则他应如何选择呢？

在投资回报率为32%的条件下，每年20万的住房补贴现值为：

P＝20×[（P/A，32%，4）＋1]

＝20×[2.0957＋1]

＝20×3.0957

＝61.914（万元）

在这种情况下，应接受住房。

【提示】

即付年金终值系数等于普通年金终值系数乘以（1＋i）F（终值）＝A（F/A，i，n）（1＋i）

即付年金终值系数与普通年金终值系数的关系：期数＋1，系数－1F（终值）＝A[（F/A，i，n＋1）－1]

即付年金现值系数等于普通年金现值系数乘以（1＋i）P（现值）＝A×（P/A，i，n）×（1＋i）

即付年金现值系数与普通年金现值系数的关系：期数－1，系数＋1P（现值）＝A[（P/A，i，n－1）＋1]

3.递延年金计算

递延年金，是指第一次等额收付发生在第二期或第二期以后的年金。包括递延年金终值和递延年金现值计算

（1）递延年金终值计算

计算递延年金终值和计算普通年金终值基本一样，只是注意扣除递延期即可。

F（终值）＝A（F/A，i，n）

式中，“n”表示A的个数，与递延期没有关系

【例题·计算题】某投资者拟购买一处房产，开发商提出了三个付款方案：

方案一：现在起15年内每年末支付10万元；（分析：普通年金）

方案二：现在起15年内每年初支付9.5万元；（分析：即付年金）

方案三：前5年不支付，第六年起到15年每年末支付18万元。（分析：递延年金）

假设按银行贷款利率10%复利计息，若采用终值方式比较，问哪一种付款方式对购买者有利？

『正确答案』终值点确定为15年末

方案一：普通年金

F（终值）＝A（F/A，i，n）（注：年金终值系数）

F＝1O×（F／A，10%，15）

＝10×31.772＝317.72（万元）

方案二：即付年金

F（终值）＝A[（F/A，i，n＋1）－1]（注：年金终值系数，期数＋1，系数－1）

F＝9.5×[（F／A，10%，16）－1]

＝9.5×（35.950－1）

＝332.03（万元）

方案三：递延年金

F＝18×（F／A，10%，10）

＝18×15.937

＝286.87（万元）

从上述计算可得出，采用第三种付款方案对购买者有利。

（2）递延年金现值的计算

【方法一】

两次折现，把递延期以后的年金套用普通年金公式求现值，这是求出来的现值是第一个等额收付前一期期末的数值，距离递延年金的现值点还有m期，再向前按照复利现值公式折现m期即可。

【例题·计算题】某企业向银行借入一笔款项，银行贷款的年利率为10%，每年复利一次。银行规定前6年不用还本付息，但从第7年至第10年每年年末偿还本息50万元。用该方法计算这笔款项的现值。

『正确答案』

关注：每年年末收付的递延期数m＝7－1＝6

P（现值）＝A（P/A，i，n）×（P/F，i，m）

＝A×n期的年金现值系数×m期的复利现值系数

P＝A×（P／A，10%，4）×（P／F，10%，6）

＝50×3.170×0.564

＝89.394（万元）

【方法二】把递延期每期期末都当作有等额的收付A，把递延期和以后各期看成是一个普通年金，计算出这个普通年金的现值，再把递延期多算的年金现值减掉即可。

【例题·计算题】某企业向银行借入一笔款项，银行贷款的年利率为10%，每年复利一次。银行规定前6年不用还本付息，但从第7年至第10年每年年末偿还本息50万元。

用该方法计算这笔款项的现值。

『正确答案』

P＝A×[（P/A,i,m＋n）－（P/A,i,m）]

＝A×[m＋n期年金现值系数－m期年金现值系数]

P＝A×（P／A，10%，10）－A×（P／A，10%，6）

＝50×[（P／A，10%，10）－（P／A，10%，6）]

＝50×（6.145－4.355）

＝89.5（万元）

【方法三】先求递延年金终值，再折现为现值。

【例题·计算题】某企业向银行借入一笔款项，银行贷款的年利率为10%，每年复利一次。银行规定前6年不用还本付息，但从第7年至第10年每年年末偿还本息50万元。

用该方法计算这笔款项的现值。

『正确答案』

P＝A×[n期年金终值系数×m＋n期复利现值系数]

P＝A×（F/A，i，n）×（P/F，i，m＋n）

P＝50×（F/A，10%，4）×（P/F，10%，10）

＝50×4.641×0.386

＝89.5713

【例题·计算题】某企业向银行借入一笔款项，银行贷款的年利率为10%，每年年末复利一次。银行规定前10年不用还本付息，但从第11年至第20年每年年末偿还本息5 000元。

【要求】用3种方法计算这笔款项的现值。

『正确答案』

方法一：

P＝A×年金现值系数×复利现值系数

P＝A×（P／A，10%，10）×（P／F，10%，10）

＝5 000×6.145×0.386

＝11 860（元）

方法二：

P＝A×[m＋n期年金现值系数－m期年金现值系数]

P＝A×[（P／A，10%，20）－（P／A，10%，10）]

＝5 000×（8.514－6.145）

＝11 845（元）

两种计算方法相差15元，是因小数点的尾数造成的。

方法三：

A×[n期年金终值系数×m＋n期复利现值系数]

P＝A×[（F／A，10%，10）×（P／F，10%，20）]

＝5 000×15.937×0.1486

＝11 841

【思考问题】

某人从第七年年初支付款项，则递延期数＝？递延期数＝7－2＝5

某人从第七年年末支付款项，则递延期数＝？递延期数＝7－1＝6

【例题·计算题】A公司拟购置一房地产，付款条件为：从第七年开始，每年年初支付10万元，连续支付10年，合计100万元该公司资金成本率为10%，则相当于该公司现在一次付款的金额为？万元

『正确答案』

递延期数＝7－2＝5

方法一：

P＝A×年金现值系数×复利现值系数

P＝A×（P／A，10%，10）×（P／F，10%，5）

＝10×6.1446×0.6209

＝38.152（万元）

方法二：

P＝A×[m＋n期年金现值系数－m期年金现值系数]

P＝A×[（P／A，10%，15）－（P／A，10%，5）]

＝10×（7.6061－3.7908）

＝38.153（万元）

两种计算方法相差10元，是因小数点的尾数造成的。

方法三：

A×[n期年金终值系数×m＋n期复利现值系数]

P＝A×[（F／A，10%，10）×（P／F，10%，15）]

＝10×15.9374×0.2394

＝38.154（万元）

【例题·计算题】某公司拟购置一处房产，房主提出三种付款方案：

（1）从现在起，每年年初支付20万，连续支付10次，共200万元；

（2）从第5年开始，每年末支付25万元，连续支付10次，共250万元；

（3）从第5年开始，每年初支付24万元，连续支付10次，共240万元。

假设该公司的资金成本率（即最低报酬率）为10%，你认为该公司应选择哪个方案？

『正确答案』首先确定时间点，折算到一个时点，

方案（1）从现在起，每年年初支付20万，连续支付10次，共200万元；属于即付年金。即付年金现值的计算。

P（现值）＝A×年金现值系数×（1＋i）

P（现值）＝A×（P/A，i，n）×（1＋i）

P＝20×（P/A，10%，10）×（1＋10%）＝135.18（万元）

方案（2）从第5年开始，每年末支付25万元，连续支付10次，共250万元；递延年金，注意递延期＝5－1＝4年，

P＝A×年金现值系数×复利现值系数

P＝25×（P/A，10%，10）×（P/F，10%，4）＝104.93（万元）

方案（3）从第5年开始，每年初支付24万元，连续支付10次，共240万元。递延年金，注意递延期＝5－2＝3年

P＝A×年金现值系数×复利现值系数

P＝24×（P/A，10%，10）×（P/F，10%，3）＝110.78

该公司应该选择第二方案。

4.永续年金

永续年金，是指无限期等额收付的年金。

永续年金因为没有终止期，所以只有现值没有终值。

永续年金的现值，可以通过普通年金的计算公式导出。在普通年金的现值公式中，令n趋于无穷大，即可得出永续年金现值：P＝A/i

已知：P（现值）＝A×[1－（1＋i）－n]/i

当n趋向无穷大时，由于A和i都有界量，（1＋i）－n趋向无穷小。因此当n趋向无穷大时，P＝A/i

【例题·单选题】下列各项年金中，只有现值没有终值的年金是（）。

A.普通年金

B.即付年金

C.永续年金

D.先付年金

『正确答案』C

【例题·计算题】归国华侨吴先生想支持家乡建设，特地在祖籍所在县设立奖学金。奖学金每年发放一次，奖励每年高考的文理科状元各10 000元。奖学金的基金保存在中国银行该县支行。银行一年的定期存款利率为2%。问吴先生要投资多少钱作为奖励基金？

『正确答案』由于每年都要拿出20 000元，因此奖学金的性质是一项永续年金，其现值应为

20 000／2%＝ 1 000 000（元）

也就是说，吴先生要存入1 000 000元作为基金，才能保证这一奖学金的成功运行。