第12章 压杆稳定
第12章压杆稳定
一、选择题
1、一理想均匀直杆等轴向压力P=P Q；时处于直线平衡状态。与其受到一微小横向干扰力后发生微小
弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（）。
A、弯曲变形消失，恢复直线形状；
B、弯曲变形减少，不能恢复直线形状；
C、微弯充到状态不变；
D、弯曲变形继续增大。
2、一细长压杆当轴向力P=P Q，时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P，则压杆的微弯
变形（）
A、完全消失
B、有所缓和
C、保持不变
D、继续增大
3、两根细长压杆a,b的长度，横截面面积，约束状态及材料均相同，若a,b杆的横截面形状分别为正
方形和圆形，则二压杆的临界压力P a e和P b e;的关系为（）
A、P a e〈P b e
B、P a e＝P b e
C、P a e〉P b e
D、不可确定
4、细长杆承受轴向压力P的作用，其临界压力与（）无关。
A、杆的材质
B、杆的长度
C、杆承受压力的大小
D、杆的横截面形状和尺寸
5、压杆的柔度集中地反映了压杆的（）对临界应力的影响。
A、长度，约束条件，截面尺寸和形状；
B、材料，长度和约束条件；
A、A、
B、材料，约束条件，截面尺寸和形状；D、材料，长度，截面尺寸和形状；
6、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（）来到断的。
A、长度
B、横截面尺寸
C、临界应力
D、柔度
7、细长压杆的（），则其临界应力σ越大。
A、弹性模量E越大或柔度λ越小；
B、弹性模量E越大或柔度λ越大；
B、B、
C、弹性模量E越小或柔度λ越大；
D、弹性模量E越小或柔度λ越小；
8、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（）。
A、λ≤π√E/σp
B、λ≤π√E/σs
C、λ≥π√E/σp
D、λ≥π√E/σs
9、在材料相同的条件下，随着柔度的增大（）
A、细长杆的临界应力是减小的，中长杆不是；
B、中长杆的临界应力是减小的，细长杆不是；
C、细雨长杆和中长杆的临界应力均是减小的；
D、细长杆种中长杆的临界应力均不是减小的；
10、两根材料和柔度都相同的压杆（）
A.界应力一定相等，临界压力不不一定相等；
B.临界应力不一定相等，临界压力一定相等；
C.临临界应力和临界压力一定相等；
D.临界应力和临界压力不一定相等；
11、在下列有关压杆临界应力σe的结论中，（）是正确的。
A、细长杆的σe值与杆的材料无关；
B、中长杆的σe值与杆的柔度无关；
C、中长杆的σe值与杆的材料无关；
D、粗短杆的σe值与杆的柔度无关；
12、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（）所示截面形状，其稳定性最好。
二、计算题
1、1、1、有一根30×50mm2的矩形截面压杆，两端为已求形铰支，试问压杆为多长时即可开始应
用欧拉公式计算临界载荷P，并计算P之值。已知材料的弹性模量E=200Gpa，比例极限Q=200Mpa。
2、有一根20×30mm3的矩形截面压杆，如图，试求压杆的长度为何值时即可开始应用欧拉公式计算
临界载荷P之值，已知E=200Gpa，σp=200Mpa。
3、图示压杆L=1000mm，材料为A3钢，直径求d＝３５mm，E=２００GPa,a=３１０MPa,b=１.１４Mpa，
λp＝１００，σS＝２４０Mpa，求临界压力；
4、4、图示压杆，已知L=３７５mm，d=４０mm，P=６０kN,稳定安全系数n St=4,材料为A3钢，E=200Gpa,
λp=100,λS=60,a=310mpa,b=1.14mpa,试校核该杆的稳定性。
5、图示空心圆杆，P=50KN，L1700mm ,D=50mm ,d =40mm , 材料为A3钢，E =200Gpa ,a =310Mpa,b =1.14Mpa ,λp =100,λS =,规定的稳定安全系数n St =2,试问空心圆杆是否稳定。
6、图示压杆，L =200mm ,，材料为A3钢，E =200Gpa ,λp =100,λS =60,a =310Mpa ,b =1.14Mpa ,试计算该杆的临界载荷P lj .
材料力学习题册答案-第9章-压杆稳定
第 九 章 压 杆 稳 定 一、选择题 1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q 时处于直线平衡状态。在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。 A 、弯曲变形消失，恢复直线形状； B 、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； C 、微弯状态不变； D 、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P ，则压杆的微弯变形（ C ） A 、完全消失 B 、有所缓和 C 、保持不变 D 、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。 A 、长度 B 、横截面尺寸 C 、临界应力 D 、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ A ）对临界应力的影响。 A 、长度，约束条件，截面尺寸和形状； B 、材料，长度和约束条件； C 、材料，约束条件，截面尺寸和形状； D 、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 试判断哪一根最容易失稳。答案：（ a ） 6、两端铰支的圆截面压杆，长1m ，直径50mm 。其柔度为 ( C ) A.60； B.66.7； C .80； D.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ D ）所示截面形状，其稳定性最好。 8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。 A 、弹性模量E 越大或柔度λ越小； B 、弹性模量E 越大或柔度λ越大； C 、弹性模量E 越小或柔度λ越大； D 、弹性模量 E 越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（ C ） A 、λ≤ P E πσ B 、λ≤s E πσ C 、λ≥ P E π σ D 、λ≥s E π σ
工程力学 第十二章 压杆的稳定性 课后习题答案
第十二章 压杆的稳定性 12-1 图示细长压杆，两端为球形铰支，弹性模量200E GPa =，对下面三种截面用欧拉公式计算其临界压力。（1）圆截面，25, 1.0d mm l m ==；（2）矩形截面，240h b mm ==， 1.0;l m =（3）16号工字钢， 2.0l m =。 解：结构为两端铰支，则有22 1,0,lj EI P l πμ== (1)圆截面杆，4 34 932(0.025),2001037.61037.664 (1.0)64 lj d I P kN ππ?== ??=?=? (2)矩形截面杆， 323123493 2 2020401040,20010531053121212(1.0) lj bh I mm P N kN π-???==?=??=?=? (3)16号工字查型钢表知 284 932 113010200 1130,1046110461(2.0) lj I cm P N kN π-???== ?=?= 题12-1图 题12-2图 12-2 图示为下端固定，上端自由并在自由端受轴向力作用的等直压杆。杆长为l ，在临界力lj p 作用下杆失稳时有可能在xy 平面内维持微弯曲状态下的平衡。杆横截面积对z 轴的惯性矩为I ，试推导其临界压力lj p 的欧拉公式，并求出压杆的挠曲线方程。
解：()()M x v ρδ=-，结合 ()EIv M x ''=设2 k EI ρ = ，则有微分方程： 2 2 V k v k δ''+= 通解为sin cos v A kx B kx δ=++ 边界条件：0,0,x v ==则0B δ+=，解出B δ=- 0,0x v '==（转角为零），0A k ?=，解出0A = 解得挠曲线方程为：(1cos )v kx δ=- 因为v 在x l =处为δ，则cos 0kl δ?=，由于0δ≠，可得：cos 0,2 kl kl π == （最小值） 而2 k EI ρ = ，得22 (2)lj EI P l π= 注：由cos 0kl =，本有02 kl n π π=+ >，计算可见0n =（2 kl π = 时），对应的P 值 是最小的，这一点与临界力的力学背景是相符的。 12-3 某钢材，230,274p s MPa MPa σσ==，200E GPa =，338 1.22lj σλ=-，试计算p λ和s λ值，并绘制临界应力总图（0150λ≤≤）。 解：92.6,52.5,s P s a b σλλ-=== =式中338, 1.22a b == s σσs p 50 题12-3图 12-4图示压杆的横截面为矩形，80,40,h mm b mm ==杆长2l m =，材料为优质碳钢， 210E GPa =。两端约束示意图为：在正视图（a ）的平面内相当于铰支；在俯视图（b ） 的平面内为弹性固定，并采用0.6μ=。试求此杆的临界应力lj P 。
09工程力学答案-第11章---压杆稳定
11-1 两端为铰支座的细长压杆，如图所示，弹性模量E=200GPa，试计算其临界荷载。（1）圆形截面，25,1 d l == mm m；（2）矩形截面2400,1 h b l === m m；（3）16号工字钢，2 l=m l 解：三根压杆均为两端铰支的细长压杆，故采用欧拉公式计算其临界力： （1）圆形截面，25,1 d l == mm m： 2 29 2 22 0.025 20010 6437.8 1 cr EI P l π π π ? ??? === N kN （2）矩形截面2400,1 h b l === m m 当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1 μ=时，矩形截面总是绕垂直短边的轴先失稳 2 0.040.02 min(,) 12 y z y I I I I ? ===，故： 2 29 2 22 0.040.02 20010 1252.7 1 cr EI P l π π ? ??? === N kN （3）16号工字钢，2 l=m 查表知：44 93.1,1130 y z I I == cm cm，当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1 μ=时 4 min(,)93.1 y z y I I I I ===cm，故： 2298 22 2001093.110 459.4 2 cr EI P l ππ- ???? === N kN 11-3 有一根30mm×50mm的矩形截面压杆，一端固定，另一端铰支，试问压杆多长时可以用欧拉公式计算临界荷载？已知材料的弹性模量E=200GPa，比例极限σP=200MPa。 解：（1）计算压杆能采用欧拉公式所对应的 P λ 2 2 99.35 P P P E π σλ λ =→=== （2）矩形截面压杆总是绕垂直于短边的轴先失稳，当其柔度大于 P λ可采用欧拉公式计算临界力。故 0.7 80.83 1.229 0.03 99.35 x P y z l l l l i μ λλ ? ===>> =→mm，
第十一章压杆稳定
第十一章 压杆稳定 是非判断题 1 压杆失稳的主要原因是由于外界干扰力的影响。（ ） 2 同种材料制成的压杆，其柔度愈大愈容易失稳。（ ） 3 细长压杆受轴向压力作用，当轴向压力大于临界压力时，细长压杆不可能保持平衡。（ ） 4 若压杆的实际应力小于欧拉公式计算的临界应力，则压杆不失稳（ ） 5 压杆的临界应力值与材料的弹性模量成正比。（ ） 6 两根材料、长度、截面面积和约束条件都相同的压杆，则其临界力也必定相同。（ ） 7 若细长杆的横截面面积减小，则临界压力的值必然随之增大。（ ） 8 压杆的临界应力必然随柔度系数值的增大而减小。（ ） 9 对于轴向受压杆来说，由于横截面上的正应力均匀分布，因此不必考虑横截面的合理形状问题。 （ ） 填空题 10 在一般情况下，稳定安全系数比强度安全系数要大，这是因为实际压杆总是不可避免地存在 以及 等不利因素的影响。 11 按临界应力总图，1λλ≥的压杆称为 ，其临界应力计算公式为 ；1 2λλλ≤≤的压杆称为 ，其临界应力计算公式为 ；2λλ≤的压杆称为 ，其临界应力计算公式为 。 12 理想压杆的条件是① ；② ；③ 。 13 压杆有局部削弱时，因局部削弱对杆件整体变形的影响 ；所以在计算临界压力时，都采 用 的横截面面积A 和惯性矩I 。 14 图示两端铰支压杆的截面为矩形，当其失稳时临界压力F cr = ，挠曲线位于 平 面内。 z C 题15图 15 图示桁架，AB 和BC 为两根细长杆，若EI 1＞EI 2，则结构的临界载荷F cr = 。 16 对于不同柔度的塑性材料压杆，其最大临界应力将不超过材料的 。 17 提高压杆稳定性的措施有 ， ，以及 和 。 18 细长杆的临界力与材料的 有关，为提高低碳钢压杆的稳定性，改用高强度钢不经济， 原因时 。 19 b 为细长杆，结构承载能力将 。 B P
第十四章 轴向压杆的稳定计算
第十四章轴向压杆的稳定计算 【教学要求】 了解压杆稳定与失稳的概念； 理解压杆的临界力和临界应力的概念； 能采用合适的公式计算各类压杆的临界力和临界应力； 熟悉压杆的稳定条件及其应用； 了解提高压杆稳定性的措施。 【重点】 1、计算临界力。 2、掌握折减系数法对压杆进行稳定设计与计算的基本方法【难点】 折减系数法对压杆进行稳定设计与计算的基本方法。 【授课方式】课堂讲解 【教学时数】共计4学时 【教学过程】 ?14.1 压杆稳定的基本概念0.5学时?14.2 压杆的临界力和临界应力 1.5学时★14.3 压杆的稳定条件及其应用 1.5学时?14.4 提高压杆稳定性的措施0.5学时【小结】 【课后作业】 ?14.1 压杆稳定的基本概念 ?
? 有实例提出问题，总结引申新的课题。 1、概念 压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态的能力。 压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，简称为压杆失稳。 研究压杆稳定性的意义： 压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大的破坏性。 在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等设计中都必须考虑其稳定性要求。 2、平衡状态的稳定性 当P ＜cr P ，时，是稳定平衡状态 当P ＝cr P 时，是随遇平衡状态，这种状态称为临界平衡状态 当P ＞cr P 时，是不稳定平衡状态 当P ＝cr P 时，压杆的平衡状态是介于稳定和不稳定之间的临界平衡状态，因此定值cr P 。 3、压杆临界力F cr 14.2 压杆的临界力和临界应力 临界力的影响因素 临界力F cr 的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响直杆弯曲变形的因素有关： 杆的长度l 、抗弯刚度EI 、杆端支承。 14.2.1临界力的欧拉公式 22()cr EI P l πμ= 适用条件：弹性范围内。 式中，EI 称为压杆的抗弯刚度， I 是截面对形心轴最小的惯性矩。
材料力学_陈振中_习题第十四章压杆稳定
第十四章 压 杆 稳 定 14.1某型柴油机的挺杆长度l =25.7cm,圆形横截面的直径d =8mm,钢材的E=210Gpa,MPa p 240=σ。挺杆所受最大压力kN P 76.1=。规定的稳定安全系数 5~2=st n 。试校核挺杆的稳定性。 解：计算柔度，挺杆两端可认为较支，μ=1, 1294 /008.0257.01== =?i l μλ 而 9.926 9 22102401021014.31== = ???p E σπλ 1λλ 用欧拉公式计算临界压力，校核稳定性。 kN P L EI lj 30.62 644 )5108(14.3922 2 ) 257.01(1021014.3)(== = ?? ??-??μπ 58 .376.130 .6=== P P lj n 在2~5之间，安全。 14.4图中所示为某型飞机起落架中承受压力的斜撑杆。杆为空心圆管，外径D=52mm ，内径d =44mm,l =950mm.材料为30CrMnS i N i 2A, 试求斜撑杆的临界压力lj P 和临界应力 lj σ。（原图见教材P173.）(GPa E MPa MPa p b 210,1200,1600===σσ) 解：斜撑两端按铰支座处理， 5 .419 .55017.0044.0052.06 921012001021014.31017.095.01224 1224 1 == = ====+= += ????p E i l m d D i σπμλλ 1λλ ，可用拉欧公式计算 2 )044.0052.0(1040164 ) 044.0052.0(14.3) 95.01(1021014.3)(/665401224 3 4 49 222m MN kN P A P lj l EI lj lj == = =?= = -?-???π σμπ 14.5三根圆截面压杆，直径均为d=160mm,材料为A3钢，E=200Gpa,MPa s 240=σ.两端均为铰支，长度分别为l 1l 2和l 3，且m l l l 532321===。试求各杆的临界压力lj P 。 解：对于A3钢 1.57,10012 .1240 3042===≈--b a s σλλ 分别计算三杆的柔度 3 .31)3(5.62)2(125)1(4 /16.025.114/16.05.214/16.05 13 32 21 1== = ======???i l i l i l μμμλλλ
第十章 压杆稳定
第十章 压杆稳定 学时分配：共6学时 主要内容：两端铰支细长压杆的临界压力，杆端约束的影响，压杆的长度系数μ，临界应力欧拉公式的适用范围；临界应力总图、直线型经验公式λσb a cr -=，使用安全系数 法进行压杆稳定校核。 $10.1压杆稳定的概念 1．压杆稳定 若处于平衡的构件，当受到一微小的干扰力后，构件偏离原平衡位置，而干扰力解除以后，又能恢复到原平衡状态时，这种平衡称为稳定平衡。 2．临界压力 当轴向压力大于一定数值时，杆件有一微小弯曲，一侧加一微小干扰且有一变形。任一微小挠力去除后，杆件不能恢复到原直线平衡位置，则称原平衡位置是不稳定的，此压力的极限值为临界压力。 由稳定平衡过渡到不稳定平衡的压力 的临界值称为临界压力（或临界力），用 τ c P 表示。 3．曲屈 受压杆在某一平衡位置受任意微小挠动，转变到其它平衡位置的过程叫屈曲或失稳。 $10.2细长压杆临界压力的欧拉公式 1．两端铰支压杆的临界力 选取如图所示坐标系xOy 。距原点为x 的任意截面的挠度为v 。于是有 Pv M -= 2．挠曲线近似微分方程： 将其代入弹性挠曲线近似微分方程，则得 ()Pv x M EIv -=='' 令 EI P k = 2 则有 0'2''=+v k v 该微分方程的通解为 kx B kx A v cos sin += c r c r
式中A 、B ——积分常数，可由边界条件确定 压杆为球铰支座提供的边界条件为 0=x 和l x =时，0=v 将其代入通解式，可解得 0=B ，0sin =kl A 上式中，若A=0，则0=v ；即压杆各处挠度均为零，杆仍然保持直线状态，这与压杆处于微小弯曲的前提相矛盾。因此，只有 0sin =kl 满足条件的kl 值为 πn kl =),2,1,0(Λ=n 则有 l n k π= 于是，压力P 为 2222 l EI n EI k P π= = 1=n 得到杆件保持微小弯曲压力-临界压力τc P 于是可得临界压力为 2 2l EI P c πτ= 此式是由瑞士科学家欧拉（L. Euler ）于1744年提出的，故也称为两端铰支细长压杆的 欧拉公式。 此公式的应用条件：理想压杆；线弹性范围内；两端为球铰支座。 $10.3其他条件下压杆的临界压力 欧拉公式的普遍形式为 22)(l EI P cr μπ= 式中μ称为长度系数，它表示杆端约束对临界压力影响，随杆端约束而异。l μ表示把压杆折算成相当于两端铰支压杆时的长度，称为相当长度。 两端铰支，1=μ；一端固定另一端自由2=μ；两端固定，2 1=μ；一端固定令一 端铰支，7.0=μ。
建筑力学第11章压杆稳定
第11章压杆稳定 [内容提要]稳定问题是结构设计中的重要问题之一。本章介绍了压杆稳定的概念、压杆的临界力-欧拉公式，重点讨论了压杆临界应力计算和压杆稳定的实用计算，并介绍了提高压杆稳定性的措施。 11.1 压杆稳定的概念 工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆。前面各章中我们从强度的观点出发，认为轴向受压杆，只要其横截面上的正应力不超过材料的极限应力，就不会因其强度不足而失去承载能力。但实践告诉我们，对于细长的杆件，在轴向压力的作用下，杆内应力并没有达到材料的极限应力，甚至还远低于材料的比例极限σP时，就会引起侧向屈曲而破坏。杆的破坏，并非抗压强度不足，而是杆件的突然弯曲，改变了它原来的变形性质，即由压缩变形转化为压弯变形（图11-1所示），杆件此时的荷载远小于按抗压强度所确定的荷载。我们将细长压杆所发生的这种情形称为“丧失稳定”，简称“失稳”，而把这一类性质的问题称为“稳定问题”。所谓压杆的稳定，就是指受压杆件其平衡状态的稳定性。 为了说明平衡状态的稳定性，我们取细长的受压杆来进行研究。图11-2(a)为一细长的理想轴心受压杆件，两端铰支且作用压力P，并使杆在微小横向干扰力作用下弯曲。当P较小时，撤去横向干扰力以后，杆件便来回摆动最后仍恢复到原来的直线位置上保持平衡（图11-2(b)）。因此，我们可以说杆件在轴向压力P的作用下处于稳定平衡状态。 P，杆件受到干扰后，总能回复到它原来的直线增大压力P，只要P小于某个临界值 cr P时，杆件虽位置上保持平衡。但如果继续增加荷载，当轴向压力等于某个临界值，即P= cr 然暂时还能在原来的位置上维持直线平衡状态，但只要给一轻微干扰，就会立即发生弯曲并停留在某一新的位置上，变成曲线形状的平衡（图11-2(c)）。因此，我们可以认为杆件在P的作用下处在临界平衡状态，这时的压杆实质上是处于不稳定平衡状态。 P= cr
第10章 压杆稳定
第10章压杆稳定 10.1 压杆稳定的概念 在前面讨论压杆的强度问题时，认为只要满足直杆受压时的强度条件，就能保证压杆的正常工作。这个结论只适用于短粗压杆。而细长压杆在轴向压力作用下，其破坏的形式与强度问题截然不同。例如，一根长300mm的钢制直杆(锯条)，其横截面的宽度11mm和厚度0.6mm，材料的抗压许用应力等于170MPa，如果按照其抗压强度计算，其抗压承载力应为1122N。但是实际上，约承受4N 的轴向压力时，直杆就发生了明显的弯曲变形，丧失了其在直线形状下保持平衡的能力从而导致破坏。它明确反映了压杆失稳与强度失效不同。 1907年8月9日，在加拿大离魁北克城14.4Km横跨圣劳伦斯河的大铁桥在施工中倒塌。灾变发生在当日收工前15分钟，桥上74人坠河遇难。原因是在施工中悬臂桁架西侧的下弦杆有二节失稳所致。 杭州某研发生产中心的厂房屋顶为园弧形大面积结构，屋面采用预应力密肋网架结构，密肋大梁横截面(600mm×1400mm)，屋面采用现浇板，板厚120mm 。2003年2月18日晚19时，当施工到26～28轴时，支模架失稳坍塌，造成重大伤亡事故。 为了说明问题，取如图10.1a所示的等直细长杆，在其两端施加轴向压力F，使杆在直线形状下处于平衡，此时，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆发生微小的弯曲，然后撤去干扰力，则当杆承受的轴向压力数值不同时，其结果也截然不同。当杆承受的轴向压力数值F小于某一数值F cr时，在撤去干扰力以后，杆能自动恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，如图10.1a、b所示，这种能保持原有的直线平衡状态的平衡称为稳定的平衡；当杆承受的轴向压力数值F逐渐增大到（甚至超过）某一数值F cr时，即使撤去干扰力，杆仍然处于微弯形状，不能自动恢复到原有的直线平衡状态，如图10.1c、d所示，则不能保持原有的直线平衡状态的平衡称为不稳定的平衡。如果力F继续增大，则杆继续弯曲，产生显著的变形，发生突然破坏。 图10.1 上述现象表明，在轴向压力F由小逐渐增大的过程中，压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性或者压杆失稳。显然压杆是否失稳取决于轴向压力的数值，压杆由直线形状的稳定的平衡过渡到不稳定的平衡
第十三章-压杆稳定
第十三章 压杆稳定 1 基本概念及知识要点 1.1 基本概念 理想受压直杆、理想受压直杆稳定性 、屈曲、 临界压力。 1.2 临界压力 细长压杆（大柔度杆）用欧拉公式计算临界压力（或应力）；中柔度杆用经验公式计算临界压力（或应力）；小柔度杆发生强度破坏。 1.3 稳定计算 为了保证受压构件不发生稳定失效，需要建立如下稳定条件，进行稳定计算： st cr n F F n ≥= －稳定条件 2 重点与难点及解析方法 2.1临界压力 临界压力与压杆的材料、截面尺寸、约束、长度有关，即和压杆的柔度有关。因此，计算临界压力之前应首先确定构件的柔度，由柔度值确定是用欧拉公式、经验公式还是强度公式计算临界压力。 2.2稳定计算 压杆的稳定计算是材料力学中的重要内容，是本课程学习的重点。 利用稳定条件可进行稳定校核，设计压杆截面尺寸，确定许用外载荷。 稳定计算要求掌握安全系数法。 解析方法：稳定计算一般涉及两方面计算，即压杆临界压力计算和工作压力计算。临界压力根据 柔度由相应的公式计算，工作压力根据压杆受力分析，应用平衡方程获得。 3典型问题解析 3.1 临界压力
mm .h A I i min 55113 2===mm .a A I i 31632===例题13.1材料、受力和约束相同，截面形式不同的四压杆如图图13－1所示，面积均为3.2×103mm 2，截面尺寸分别为(1)、b=40mm 、(2)、a=56.5mm 、(3)、d=63.8mm 、(4)、D=89.3mm,d=62.5mm 。若已知材料的E =200GPa ，σs =235MPa ，σcr =304－1.12λ，λp =100，λs =61.4，试计算各杆的临界荷载。 [解] 压杆的临界压力，取决于压杆的柔度。应根据各压杆的柔度，由相应的公式计算压杆的临界压力。 (1)、两端固定的矩形截面压杆，当b=40mm 时 λ＞ λP 此压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力 (2)、两端固定的正方形截面压杆，当a=56.5mm 时 所以 9.12910 55.113 5.031=??==-i l μλkN 37521 21=?=?=A E A F cr cr λπ σ 0.7d 图13－1
第十二章 压杆稳定(习题解答)
12-4 图示边长为a 的正方形铰接结构，各杆的E 、I 、A 均相同，且为细长杆。试求达到临界状态时相应的力P 等于多少？若力改为相反方向，其值又应为多少？ N B B C N B A B C C D 解：（1）各杆的临界力 2 2 2 ..2 2 2cr BD cr EI EI P P a a ππ= = = 外 （2）求各杆的轴力与P 的关系。 由对称性可知，外围的四个杆轴力相同，AB BC CD DA N N N N ===。研究C 、B 结点，设各杆都是受拉的二力杆，则与结点相联系的杆施与背离结点指向杆内的拉力，C 、B 结点受力如图所示。 第一种情况： C:)02450CB CB X P N cos N =→ --=→=- ∑ 压杆 B:()02450BD BC BD BC Y N N cos N P = →--=→==∑ 拉杆 令2 ,.2 = C B cr C B cr EI N P P P a a π=- == ?外第二种情况： )C B P N = 拉杆 ()-BD BC N P ==压杆 2 2 .2 2 -== 22BD BC cr BD EI EI N P P P a a ππ=== ? 12-6 图示矩形截面松木柱，其两端约束情况为：在纸平面内失稳时，可视为两端固定；在出平面内失稳时，可视为上端自由下端固定。试求该木柱的临界力.
解：（1）计算柔度： ①当压杆在在平面内xoz 内失稳，y 为中性轴。 0.57101.04xz xz y l i μλ??= = = ②当压杆在出平面内xoy 内失稳，z 为中性轴。 27242.490.200xy xy z l i μλ??= = = ③λ越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。 m ax(.)242.49xz xy λλλ== （2）松木75242.49P λ=<，故采用欧拉公式计算P cr 2 2 2 11 2(0.110) (0.1200.200)40.28242.49 cr cr E P A A πσλ π=?= ???= ??=N kN 12-7铰接结构ABC 由具有相同截面和材料的细长杆组成。若由于杆件在ABC 平面内失稳而引起破坏。试确定荷载P 为最大时的θ角。（2 0π θ< <） 解：（1）研究B 结点求两杆轴力与P 的关系：
13-第十三章压杆稳定讲解
第十三章 压杆稳定 §13.1 压杆稳定的概念 构件受外力作用而处于平衡状态时，它的平衡可能是稳定的，也可能是不稳定的。 一、压杆稳定 直杆在压力作用下，保持原直线状态的性质。 二、失稳（屈曲） 压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线平衡。 三、临界压力 压杆保持其直线状态的最小压力，cr F 。 §13.2 两端铰支细长压杆的临界压力 在压杆稳定性问题中，若杆内的应力不超过材料的比例极限，称为线弹性稳定问题。 图示坐标系中，距原点为x 的任一截面的挠度为y ， 则该截面得弯矩为：y F M(x)cr = 代入挠曲线近似微分方程，即EI M(x) -y d 2 2=dx 得： EI F k k dx cr y ,0y y d 2 22 2==+ 方程通解为：0cos Asin y =+=kx B kx 由杆端的边界条件：0y 0===时，和l x x 求得 ： 0A s i n ,0==kx B 解得： ),2,1,0(????==n l n k π2 22F l EI n cr π= 除n=0外，无论n 取何值，都有对应的cr F ，1n =压杆失稳时的最小荷载是临界载荷 2 2F l EI cr π= 上式称为两端铰支细长压杆的临界荷载的欧拉公式。杆越细长，其临界载荷越小，即杆越容易失稳。对两端铰支细长压杆，欧拉公式中的惯性矩I 应是横截面最小的惯性矩，即形心主惯性矩中的做小值min I
§13.3其他支座条件下细长压杆的临界压力 几种常见约束方式的细长压杆的长度因数与临界载荷 例题：两端铰支压杆如图11-8所示，杆的直径20mm d =，长度800mm l =，材料为Q235钢，200GPa E =，200MPa p σ=。求压杆的临界载荷cr F 。 解：根据欧拉公式 239412 22 20010201024.2kN ()64(10.8)cr EI F l ππμ-????===?? 此时横截面上的正应力 3 cr P 26 424.21077MPa 2010 F A σσπ-??===≤?? 图 11-8
09工程力学答案 第11章 压杆稳定讲课教案
09工程力学答案第11章压杆稳定
11-1 两端为铰支座的细长压杆，如图所示，弹性模量E=200GPa，试计算其临界荷载。（1）圆形截面，25,1 d l == mm m；（2）矩形截面2400,1 h b l === m m；（3）16号工字钢，2 l=m l 解：三根压杆均为两端铰支的细长压杆，故采用欧拉公式计算其临界力： （1）圆形截面，25,1 d l == mm m： 2 29 2 22 0.025 20010 6437.8 1 cr EI P l π π π ? ??? === N kN （2）矩形截面2400,1 h b l === m m 当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1 μ=时，矩形截面总是绕垂直短边的轴先失稳 2 0.040.02 min(,) 12 y z y I I I I ? ===，故： 2 29 2 22 0.040.02 20010 1252.7 1 cr EI P l π π ? ??? === N kN （3）16号工字钢，2 l=m 查表知：44 93.1,1130 y z I I == cm cm，当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1 μ=时4 min(,)93.1 y z y I I I I ===cm，故： 2298 22 2001093.110 459.4 2 cr EI P l ππ- ???? === N kN 11-3 有一根30mm×50mm的矩形截面压杆，一端固定，另一端铰支，试问压杆多长时可以用欧拉公式计算临界荷载？已知材料的弹性模量E=200GPa，比例极限σP=200MPa。 解：（1）计算压杆能采用欧拉公式所对应的 P λ 2 2 99.35 P P P E π σλ λ =→=== （2）矩形截面压杆总是绕垂直于短边的轴先失稳，当其柔度大于 P λ可采用欧拉公式计算临界力。故
第12章-压杆稳定
第12章压杆稳定 一、选择题 1、一理想均匀直杆等轴向压力P=P Q；时处于直线平衡状态。与其受到一微小横向干扰力后发生微小 弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（）。 A、弯曲变形消失，恢复直线形状； B、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； C、微弯充到状态不变； D、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力P=P Q，时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P，则压杆的微弯 变形（） A、完全消失 B、有所缓和 C、保持不变 D、继续增大 3、两根细长压杆a,b的长度，横截面面积，约束状态及材料均相同，若a,b杆的横截面形状分别为正 方形和圆形，则二压杆的临界压力P a e和P b e;的关系为（） A、P a e〈P b e B、P a e＝P b e C、P a e〉P b e D、不可确定 4、细长杆承受轴向压力P的作用，其临界压力与（）无关。 A、杆的材质 B、杆的长度 C、杆承受压力的大小 D、杆的横截面形状和尺寸 5、压杆的柔度集中地反映了压杆的（）对临界应力的影响。 A、长度，约束条件，截面尺寸和形状； B、材料，长度和约束条件； A、A、 B、材料，约束条件，截面尺寸和形状；D、材料，长度，截面尺寸和形状； 6、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（）来到断的。 A、长度 B、横截面尺寸 C、临界应力 D、柔度 7、细长压杆的（），则其临界应力σ越大。
A、弹性模量E越大或柔度λ越小； B、弹性模量E越大或柔度λ越大； B、B、 C、弹性模量E越小或柔度λ越大； D、弹性模量E越小或柔度λ越小； 8、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（）。 A、λ≤π√E/σp B、λ≤π√E/σs C、λ≥π√E/σp D、λ≥π√E/σs 9、在材料相同的条件下，随着柔度的增大（） A、细长杆的临界应力是减小的，中长杆不是； B、中长杆的临界应力是减小的，细长杆不是； C、细雨长杆和中长杆的临界应力均是减小的； D、细长杆种中长杆的临界应力均不是减小的； 10、两根材料和柔度都相同的压杆（） A.界应力一定相等，临界压力不不一定相等； B.临界应力不一定相等，临界压力一定相等； C.临临界应力和临界压力一定相等； D.临界应力和临界压力不一定相等； 11、在下列有关压杆临界应力σe的结论中，（）是正确的。 A、细长杆的σe值与杆的材料无关； B、中长杆的σe值与杆的柔度无关； C、中长杆的σe值与杆的材料无关； D、粗短杆的σe值与杆的柔度无关；
第十四章 压杆稳定
一、是非题 14.1 由于失稳或由于强度不足而使构件不能正常工作，两者之间的本质区别在于：前者构件的平衡是不稳定的，而后者构件的平衡是稳定的。（） 14.2 压杆失稳的主要原因是临界压力或临界应力，而不是外界干扰力。（） 14.3 压杆的临界压力（或临界应力）与作用载荷大小有关。（） 14.4 两根材料、长度、截面面积和约束条件都相同的压杆，其临界压力也一定相同。（） 14.5 压杆的临界应力值与材料的弹性模量成正比。（） 二、选择题 14.6 在杆件长度、材料、约束条件和横截面面积等条件均相同的情况下，压杆采用图（）所示的截面形状，其稳定性最好；而采用图（）所示的截面形状，其稳定性最差。 14.7一方形横截面的压杆，若在其上钻一横向小孔（如图所示），则该杆与原来相比（）。 A. 稳定性降低，强度不变 B. 稳定性不变，强度降低 C. 稳定性和强度都降低 D. 稳定性和强度都不变 14.8 若在强度计算和稳定性计算中取相同的安全系数，则在下列说法中，（）是正确的。
A. 满足强度条件的压杆一定满足稳定性条件 B. 满足稳定性条件的压杆一定满足强度条件 C. 满足稳定性条件的压杆不一定满足强度条件 D. 不满足稳定性条件的压杆不一定满足强度条件 三计算题 14.9无缝钢管厂的穿孔顶针如图所示。杆端承受压力。杆长l =4.5m ，横截面直径d =15cm ，材料为低合金钢，E =210 Gpa 。两端可简化为铰支座，规定的稳定安全系数为=3.3 。试求顶杆的许可载荷。 14.10某厂自制的简易起重机如图所示，其压杆BD 为20号槽钢，材料为A3 钢。起重机的最大起重量是P = 40 kN 。若规定的稳定安全系数为=5 ，试校核BD 杆的稳定性。 14.11 10 号工字梁的C 端固定，A 端铰支于空心钢管AB 上。钢管的内径和外径分别为30mm 和40mm ，B 端亦为铰支。梁及钢管同为A3 钢。当重为300N 的重物落于梁的 A 端时，试校核A B 杆的稳定性。规定稳定安全系数=2.5 。
第10章 压杆稳定
第10章压杆稳定 学习目标： 1．了解失稳的概念、压杆稳定条件及其实用计算； 2．理解压杆的临界应力总图； 3．掌握用欧拉公司计算压杆的临界荷载与临界应力。 对承受轴向压力的细长杆，杆内的应力在没有达到材料的许用应力时，就可能在任意外界的扰动下发生突然弯曲甚至导致破坏，致使杆件或由之组成的结构丧失正常功能，此时杆件的破坏不是由于强度不够引起的，这类问题就是压杆稳定问题。本章主要从压杆稳定的基本概念、不同支撑条件下的临界力、欧拉公式的适用条件以及提高压杆稳定性的措施方面加以介绍。 第一节压杆稳定的概念 在研究受压直杆时，往往认为破坏原因是由于强度不够造成的，即当横截面上的正应力达到材料的极限应力时，杆才会发生破坏。实验表明对于粗而短的压杆是正确的；但对于细长的压杆，情况并非如此。细长压杆的破坏并不是由于强度不够，而是由于杆件丧失了保持直线平衡状态的稳定性造成的。这类破坏称为压杆丧失稳定性破坏，简称失稳。 一、问题的提出 工程结构中的压杆如果失稳，往往会引起严重的事故。例如1907年加拿大魁北克圣劳伦斯河上长达548m的大铁桥，在施工时由于两根压杆失稳而引起倒塌，造成数十人死亡。1909年，汉堡一个大型储气罐由于其支架中的一根压杆失稳而引起的倒塌。 这种细长压杆突然破坏，就其性质而言，与强度问题完全不同，杆件招致丧失稳定破坏的压力比招致强度不足破坏的压力要少得多，同时其失稳破坏是突然性，必须防范在先。因而，对细长压杆必须进行稳定性的计算。 二、平衡状态的稳定性
压杆受压后，杆件仍保持平衡的情况称为平衡状态。压杆受压失稳后，其变形仍保持在弹性范围内的称为弹性稳定问题。 如图1 10-所示，两端铰支的细长压杆，当受到轴向压力时，如果是所用材料、几何形状等无缺陷的理想直杆，则杆受力后仍将保持直线形状。当轴向压力较小时，如果给杆一个侧向干扰使其稍微弯曲，则当干扰去掉后，杆仍会恢复原来的直线形状，说明压杆处于稳定的平衡状态(如图) -所示)。当轴向压力达到某一值时，加干扰力杆件变弯， 10a (1 而撤除干扰力后，杆件在微弯状态下平衡，不再恢复到原来的直线状态(如图) -所 10b (1示)，说明压杆处于不稳定的平衡状态，或称失稳。当轴向压力继续增加并超过一定值时，压杆会产生显著的弯曲变形甚至破坏。称这个使杆在微弯状态下平衡的轴向荷载为临界荷载，简称为临界力，并用 F表示。它是压杆保持直线平衡时能承受的最大压力。对于一 cr 个具体的压杆(材料、尺寸、约束等情况均已确定)来说，临界力 F是一个确定的数值。 cr 压杆的临界状态是一种随遇平衡状态，因此，根据杆件所受的实际压力是小于、大于该压杆的临界力，就能判定该压杆所处的平衡状态是稳定的还是不稳定的。 10- 图1 工程实际中许多受压构件都要考虑其稳定性，例如千斤顶的丝杆，自卸载重车的液压活塞杆、连杆以及桁架结构中的受压杆等。 同一压杆的平衡是否稳定，取决于压力F的大小。压杆保持稳定平衡所能承受的最大
09工程力学答案第11章压杆稳定讲课教案
09 工程力学答案第11 章压杆稳定
11-1两端为铰支座的细长压杆，如图所示，弹性模量 E=200GPa 试计算其临界荷载。 (1) 圆形截面，d 25mml 1m ； ( 2)矩形截面h 2b 400ml 1m ；( 3) 16号工字钢，I 2m 故采用欧拉公式计算其临界力: (2) 矩形截面 h 2b 400ml 1m 界力。故 (1)圆形截面，d 25mml 1m : F C r 2 EI 2 2 9 0.025 200 10 64 ——N 37.8kN 12 当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为 1时，矩形截面总是绕垂直短边的轴先 失稳 I min(l y , l z ) I y 2 0.04 0.02 故： 12 P cr 卡 2 200 109 °.。4 °.°2 2 12 N 52.7kN 12 (3) 16号工字钢，I 2m 查表知：l y 93.1cm 4 4 ,l z 1130cm ， 当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为 min(l y ,l z ) I y 93.1cm ，故:P 軍 2 200 10 ： 93. 1 10 8 N 459.4kN I 2 22 11-3有一根30mn￥50mm 的矩形截面压杆，一端固定, 另一端铰支，试问压杆多长时可以用 欧拉公式计算临界荷载？已知材料的弹性模量 E=200GPa 比例极限oP=200MPa 。 解: (1)计算压杆能采用欧拉公式所对应的 P 2 9 200 10 ----------- 6 99.35 200 106 (2) 矩形截面压杆总是绕垂直于短边的轴先失稳，当其柔度大于 P 可米用欧拉公式计算临 解：三根压杆均为两端铰支的细长压杆, P 2 E 2 E T P P
新材料力学习题册答案-第9章 压杆稳定
第 九 章 压 杆 稳 定 一、选择题 1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q 时处于直线平衡状态。在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。 A 、弯曲变形消失，恢复直线形状； B 、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； C 、微弯状态不变； D 、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P ，则压杆的微弯变形（ C ） A 、完全消失 B 、有所缓和 C 、保持不变 D 、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。 A 、长度 B 、横截面尺寸 C 、临界应力 D 、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ A ）对临界应力的影响。 A 、长度，约束条件，截面尺寸和形状； B 、材料，长度和约束条件； C 、材料，约束条件，截面尺寸和形状； D 、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 试判断哪一根最容易失稳。答案：（ a ） 6、两端铰支的圆截面压杆，长1m ，直径50mm 。其柔度为 ( C ) A.60； B.66.7； C .80； D.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ D ）所示截面形状，其稳定性最好。 8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。 A 、弹性模量E 越大或柔度λ越小； B 、弹性模量E 越大或柔度λ越大； C 、弹性模量E 越小或柔度λ越大； D 、弹性模量 E 越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（ C ） A 、λ≤ P E πσ B 、λ≤s E πσ C 、λ≥ P E πσ D 、λ≥s E π σ
第11章 压杆稳定
第十一章 压杆稳定 11-1 图示压杆在主视图a 所在平面内，两端为铰支，在俯视图b 所在平面内，两端为固定，材料的为Q235钢，弹性模量GPa 210=E 。试求此压杆的临界力。 (a ) (b ) 解： 在主视图所在平面内，如图(a)所示，压杆的柔度为 6.1386240 323212 13=?==?= =h l bh bh l i l a a a μλ 在俯视图所在平面内，如图(b)所示，压杆的柔度为 9.1034240 3312 5.03=?=== =b l bh hb l i l b b b μλ ∵ 100p ≈>>λλλb a ，∴为大柔度压杆，且失稳时在主视图平面内 失稳 故压杆的临界力为 kN 9.258N 40606.1381021023 222cr =????= =πλπA E F a 11-2 两端固定的矩形截面细长压杆，其横截面尺寸为 m m 60=h ，m m 30=b ，材料的比例极限MPa 200p =σ，弹性模量GP a 210=E 。试求此压杆的临界力适用于欧拉公式时的最小长度。 解： 由于杆端的约束在各个方向相同，因此，压杆将在惯性矩最小的平面内失稳，即压杆的横截面将绕其惯性矩为最小的形心主惯性轴转动。 3 2123 min min b bh hb A I i === 欧拉公式适用于max λp λ≥，即 m i n m a x i l μλ=p σπ E ≥ 由此得到 =≥P E i l σμπm i n m 76.1m 10 200102105 .0321030326 9 3p =?????= -π σμπE b 故此压杆适用于欧拉公式时的最小长度为1.76m 。
《材料力学》第9章压杆稳定习题解
第九章 压杆稳定 习题解 [习题9-1]在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a 所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式2 2l EI P cr π= 。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形 状时，压杆在cr F 作用下的挠曲线微分方程是否与图a 情况下的相同，由此所得cr F 公式又是否相同。 解：挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。 因为（b ）图与（a ）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是 )("x M EIw -=。（c ）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：)("x M EIw =，显然，这微分方程与（a ）的微分方程不同。 临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：2 2l EI P cr π= 。 [习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f 所示杆在中间支承处不能转动）？ 解：压杆能承受的临界压力为：2 2) .(l EI P cr μπ=。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆，它们能承受的压力与原压相的相当长度l μ的平方成反比，其中，μ为与约束情况有关的长 度系数。 （a ）m l 551=?=μ （b ）m l 9.477.0=?=μ （c ）m l 5.495.0=?=μ （d ）m l 422=?=μ （e ）m l 881=?=μ （f ）m l 5.357.0=?=μ（下段）；m l 5.255.0=?=μ（上段） 故图e 所示杆cr F 最小，图f 所示杆cr F 最大。