离散数学习题三
11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
前提:p s r r q q ,,,p →∨?∨?
结论:s
证明:① p 前提引入
②q ∨?p 前提引入
③ q (①②析取三段论)
④r q ∨? 前提引入
⑤ r (③④析取三段论)
⑥s r → 前提引入
⑦ s (⑤⑥假言推理)
12、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
前提:s)(r q r),(q p →→→→
结论:s q)(p →∧
证明:①q)(p ∧ (附加前提)
② p (①化简规则)
③ q (①化简规则)
④r)(q p →→ 前提引入
⑤r q → (②④假言推理)
⑥ r (③⑤假言推理)
⑦s)(r q →→ 前提引入
⑧s)(r → (③⑦假言推理)
⑨ s (⑥⑧假言推理)
13、前提:s r ,q p q,q)p (→∨∧→?
结论1:r
结论2:s
结论3:s ∨r
(1)证明从此前提出发,推出结论1,结论2,结论3的推理都是正确的。
(2)证明从此前提出发,推任何结论的推理都是正确的。
证明:(1)①r s))r (q)(p q)q)p (((→→∨∨∨∧→?
1r s))r (q)p (q)q)p ((?∨?∧∨?∧?∨?∨∨??
②s
∨
→
∨
→
?
((→
∨
∧
s))
p(
q)
r(
q)
q)
(p
∧
?
?
∨
∨
∧
?
?
?
∨
∨
?
q)
r(
q)
∨
s
1
p
s))
p
(
q)
((?
③s)
∨
∨
→
∨
?r
→
→
∧
(p
q)
s))
((∨
(
r(
q)
q)
p(
?
∧
∨
∧
?
?
?
?r
∨
∨
?
∨
∨
r(
q)
∨
s
1
p
s))
((?
p
q)
(
q)
即结论1,结论2,结论3的推理都是正确的。
(2)s)
∨
∧
∧
∧
→
(→
?
r(
p(
(p
q)
q)
q)
∧
?
∨
?
∧
?
∨
∧
∧
∧
?
?
?
∨
?
∨
∧
∧
(∨
(p
q)
p(
q)
(
s)
r
s)
q
r
p
(
q)
q)
(
q)
(p
∨
?
∧
0?
?
∨
∧
s)
(p
r
(
q)
即推任何结论的推理都是正确的。
14、在自然推理系统P中构造下面推理的证明:
(1)前提:q
→
p,
→
(q
r)
p,
r→
结论:s
证明:①r)
→前提引入
p→
(q
②p 前提引入
③r)
(q→①②假言推理
④q 前提引入
⑤r③④假言推理
r→⑤附加律
⑥s
15、在自然推理系统P中用附加前提法证明下面的推理:
前提:q
→
,
→s
p→
(q
p,
r)
s→
结论:r
证明:
①s 附加前提引入
②p
s前提引入
→
③p①②假言推理
④r)
→前提引入
p→
(q
⑤r
q→③④假言推理
⑥q 前提引入
⑦r ⑤⑥假言推理
即根据附加前提证明法,推理正确。
16、在自然推理系统P中用归谬法证明下面的推理:
前提:s
→
p→
∨,
q
q
q
r,
r∨
结论:s
证明:
①s)
?结论否定引入
(r∨
②q
p前提引入
∨
③r
q→前提引入
④s
q→前提引入
r∨②③④构造性二难
⑤s
⑥s)
∨
∧
?①⑤合取
(r
s)
(r∨
因为⑥为矛盾式即推理正确
17、在自然推理系统P中构造下面推理的证明:
只要A曾到过受害者房间并且11点以前没离开,A就是谋杀嫌犯。A曾到过受害者房间,如果A在11点以前离开,看门人会看见他。看门人没有看见他。所以,A是谋杀嫌犯。
答:令p: A到过受害者房间q: A在11点以前离开
r: A是谋杀嫌犯s: 看门人看见过A
前提:s
→
→
∧q
(p?
?
r,
s,
)
q
p,
结论:r
证明:①s
q→前提引入
?前提引入
②s
③q
?①②拒取式
④p 前提引入
⑤q
∧
p③④合取
?
⑥r
∧q前提引入
?
)
(p→
⑦r ⑤⑥假言推理
1114490009
张梦婷
仅供个人用于学习、研究;不得用于商业用途。
For personal use only in study and research; not for commercial use.
Nur für den pers?nlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.
Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins c ommerciales.
толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.
以下无正文
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《离散数学》题库答案 一、选择或填空 (数理逻辑部分) 1、下列哪些公式为永真蕴含式?( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(1),(4) 2、下列公式中哪些就是永真式?( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答:(2),(3),(4) 3、设有下列公式,请问哪几个就是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(2),(3),(4),(5),(6) 4、公式?x((A(x)→B(y,x))∧ ?z C(y,z))→D(x)中,自由变元就是( ),约束变元就是( )。 答:x,y, x,z 5、判断下列语句就是不就是命题。若就是,给出命题的真值。( ) (1) 北京就是中华人民共与国的首都。 (2) 陕西师大就是一座工厂。 (3) 您喜欢唱歌不? (4) 若7+8>18,则三角形有4条边。 (5) 前进! (6) 给我一杯水吧! 答:(1) 就是,T (2) 就是,F (3) 不就是 (4) 就是,T (5) 不就是 (6) 不就是 6、命题“存在一些人就是大学生”的否定就是( ),而命题“所有的人都就是要死的”的否定就是( )。 答:所有人都不就是大学生,有些人不会死 7、设P:我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时,我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校 答:(1) P Q →? (2) Q P ?→ (3) Q P ?? (4)Q P →? 8、设个体域为整数集,则下列公式的意义就是( )。 (1) ?x ?y(x+y=0) (2) ?y ?x(x+y=0) 答:(1)对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0(2)存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 就是正整数集合,确定下列命题的真值: (1) ?x ?y (xy=y) ( ) (2) ?x ?y(x+y=y) ( ) (3) ?x ?y(x+y=x) ( ) (4) ?x ?y(y=2x) ( ) 答:(1) F (2) F (3)F (4)T 10、设谓词P(x):x 就是奇数,Q(x):x 就是偶数,谓词公式 ?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答:(1) 11、命题“2就是偶数或-3就是负数”的否定就是( )。 答:2不就是偶数且-3不就是负数。 12、永真式的否定就是( ) (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能
第四章部分课后习题参考答案 3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有错误!未找到引用源。2=(x+错误!未找到引用源。)(x 错误!未找到引用源。). (2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解: F(x): 错误!未找到引用源。2=(x+错误!未找到引用源。)(x 错误!未找到引用源。). G(x): x+5=9. (1)在两个个体域中都解释为)(x xF ?,在(a )中为假命题,在(b)中为真命题。 (2)在两个个体域中都解释为)(x xG ?,在(a )(b)中均为真命题。 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x 能表示成分数 H(x): x 是有理数 命题符号化为: ))()((x H x F x ∧??? (2)F(x): x 是北京卖菜的人 H(x): x 是外地人 命题符号化为: ))()((x H x F x →?? 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解: (1)F(x): x 是火车; G(x): x 是轮船; H(x,y): x 比y 快
命题符号化为: )) F x G x→ ∧ ? ? y y ( )) ( ) , x ((y ( H (2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 命题符号化为: ))) x x F y y→ ?? ∧ ? G (y H ( , ( ) ( ( x ) 9.给定解释I如下: (a) 个体域D为实数集合R. (b) D中特定元素错误!未找到引用源。=0. (c) 特定函数错误!未找到引用源。(x,y)=x错误!未找到引用源。y,x,y D ∈错误!未找到引用源。. (d) 特定谓词错误!未找到引用源。(x,y):x=y,错误!未找到引用源。(x,y):x 《离散数学》考试题库及答案 一、 填空 10% (每小题 2分) 1、 若P ,Q 为二命题,Q P ?真值为1,当且仅当 。 2、 对公式),()),(),((y x xR z x zQ y x yP ?∨?∧?中自由变元进行代入的 公 式 为 。 3、 )) (()(x xG x xF ??∧?的 前 束 范 式为 。 4、 设x 是谓词合式公式A 的一个客体变元,A 的论域为D ,A (x )关于y 的自由的, 则 被称为全称量词消去规则,记为US 。 5、 与非门的逻辑网络为 。 二、 选择 30% (每小题 3分) 1、 下列各符号串,不是合式公式的有( )。 A 、R Q P ?∧∧)(; B 、)()((S R Q P ∧→→; C 、R Q P ∧∨∨; D 、S R Q P ∨∧∨?))((。 2、 下列语句是命题的有( )。 A 、2是素数; B 、x+5 > 6; C 、地球外的星球上也有人; D 、这朵花多好看呀!。 3、 下列公式是重言式的有( )。 A 、)(Q P ??; B 、Q Q P →∧)(; C 、P P Q ∧→?)(; D 、P Q P ?→)( 4、 下列问题成立的有( )。 A 、 若C B C A ∨?∨,则B A ?; B 、若C B C A ∧?∧,则B A ?; C 、若B A ???,则B A ?; D 、若B A ?,则B A ???。 5、 命题逻辑演绎的CP 规则为( )。 A 、 在推演过程中可随便使用前提; B 、在推演过程中可随便使用前面演绎出的某些公式的逻辑结果; C 、如果要演绎出的公式为C B →形式,那么将B 作为前提,设法演绎出C ; 《离散数学》题库与答案 一、选择或填空 (数理逻辑部分) 1、下列哪些公式为永真蕴含式?( A ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答:在第三章里面有公式(1)是附加律,(4)可以由第二章的蕴含等值式求出(注意与吸收律区别) 2、下列公式中哪些是永真式?( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答:(2),(3),(4)可用蕴含等值式证明 3、设有下列公式,请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答:(2)是第三章的化简律,(3)类似附加律,(4)是假言推理,(3),(5),(6)都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式 4、公式x((A(x)B(y,x))z C(y,z))D(x)中,自由变元是( ),约束变元是( )。 答:x,y, x,z(考察定义在公式x A和x A中,称x为指导变元,A为量词的辖域。在x A和x A的辖域中,x的所有出现都称为约束出现,即称x为约束变元,A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y,x)和z C(y,z)中y为自由变元,x和z为约束变元,在D(x)中x为自由变元) 5、判断下列语句是不是命题。若是,给出命题的真值。( ) (1)北京是中华人民共和国的首都。(2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗?(4) 若7+8>18,则三角形有4条边。 (5) 前进!(6) 给我一杯水吧! 答:(1)是,T (2)是,F (3)不是(4)是,T (5)不是(6)不是(命题必须满足是陈述句,不能是疑问句或者祈使句。) 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( ),而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答:所有人都不是大学生,有些人不会死(命题的否定就是把命题前提中的量词“换成存在,换成”,然后将命题的结论否定,“且变或或变且”) 7、设P:我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时,我才不去学校(2) 若我生病,则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校答:(1)P ?(注意“只有……才……”和“除非……就……”两者都是一个 Q→ 形式的)(2)Q P→ ? P? ?(4)Q P? →(3)Q 8、设个体域为整数集,则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答:(1)对任一整数x存在整数y满足x+y=0 (2)存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合,确定下列命题的真值: (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答:(1)F (反证法:假若存在,则(x- 1)*y=0 对所有的x都成立,显然这个与前提条件相矛盾) (2)F (同理)(3)F (同理)(4)T(对任一整数x存在整数y满足条件y=2x 很明显是正确的) 离散数学答案屈婉玲版 第二版高等教育出版社课后答案 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0;r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。 (1)p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 (2)(p?r)∧(﹁q∨s) ?(0?1)∧(1∨1) ?0∧1?0. (3)(?p∧?q∧r)?(p∧q∧﹁r) ?(1∧1∧1)? (0∧0∧0)?0 (4)(?r∧s)→(p∧?q) ?(0∧1)→(1∧0) ?0→0?1 17.判断下面一段论述是否为真:“π是无理数。并且,如果3是无理数,则2也是无理数。另外6能被2整除,6才能被4整除。” 答:p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为:p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1,所以这一段的论述为真。19.用真值表判断下列公式的类型: (4)(p→q) →(?q→?p) (5)(p∧r) ?(?p∧?q) (6)((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答:(4) p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 (5)公式类型为可满足式(方法如上例) (6)公式类型为永真式(方法如上例) 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答:(2)(p→(p∨q))∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r (p∨q)→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式: (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明(2)(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 离散数学试题及答案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 一、填空题 1设集合A,B,其中A={1,2,3},B={1,2},则A-B=____________________; (A)-(B)=__________________________. 2.设有限集合A,|A|=n,则|(A×A)|=__________________________. 3.设集合A={a,b},B={1,2},则从A到B的所有映射是 _______________________________________,其中双射的是 __________________________. 4.已知命题公式G=(PQ)∧R,则G的主析取范式是 _______________________________ __________________________________________________________. 6设A、B为两个集合,A={1,2,4},B={3,4},则从AB= _________________________;AB=_________________________;A-B=_____________________. 7.设R是集合A上的等价关系,则R所具有的关系的三个特性是 ______________________,________________________,__________________ _____________. 8.设命题公式G=(P(QR)),则使公式G为真的解释有 __________________________, _____________________________,__________________________. 9.设集合A={1,2,3,4},A上的关系 R 1={(1,4),(2,3),(3,2)},R 2 ={(2,1),(3,2),(4,3)},则 第一章习题 1.1判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还是复合命题。(1)2是无理数。 (2)5能被2整除。 (3)现在开会吗? (4)x+5>0 (5)这朵花真是好看! (6)2是素数当且仅当三角形有三条边。 (7)雪是黑色的当且仅当太阳是从东方升起。 (8)2000年10月1日天气晴好。 (9)太阳系以外的星球上有生物。 (10)小李在宿舍里。 (11)全体起立。 (12)4是2的倍数或是3的倍数。 (13)4是偶数且是奇数。 (14)李明和王华是同学。 (15)蓝色和黄色可以调配成绿色。 1..2 将上题中的命题符号化,并讨论他们的真值。 1.3判断下列各命题的真值。 (1)若2+2=4,则3+3=6; (2)若2+2=4,则3+3≠6; (3)若2+2≠=4,则3+3=6; (4)若2+2≠=4,则3+3≠=6; (5)2+2=4,当且仅当3+3=6; (6)2+2=4,当且仅当3+3≠6; (7)2+2≠4,当且仅当3+3=6; (8)2+2≠4,当且仅当3+3≠6; 1.4将下列命题符号化,并讨论其真值。 (1)如果今天是1号,则明天是2号; (2)如果今天是1号,则明天是3号; 1.5将下列命题符号化。 (1)2是偶数不是素数; (2)小王不但聪明而且用功; (3)虽然天气冷。老王还是来了; (4)他一边吃饭,一边看电视; (5)如果天下大雨,他就乘公交汽车来; (6)只有天下大雨,他才乘公交汽车来; (7)除非天下大雨,否则他不乘公交汽车来; (8)不经一事,不长一智; 1.5设p,q的真值为0 ,r,s的真值为1,求下列命题公式的真值。(1)p∨(q∧r); 本科高等数学离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B,其中A={1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B=____________________; ρ(A) - ρ(B)=__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G=?(P→Q)∧R,则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树,G有7个点,其中4个叶点,则G的总度数为__________,分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B=_________________________; A?B=_________________________;A-B=_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系,则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G=?(P→(Q∧R)),则使公式G为真的解释有__________________________,_____________________________, __________________________. 9. 设集合A={1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B,|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合,其中R是实数集,A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A={2, 3, 4, 5, 6},R是A上的整除,则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x),则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树,则G中增加_________条边才能把G变成完全图。 常熟理工学院20 ~20 学年第学期 《离散数学》考试试卷(试卷库01卷) 试题总分: 100 分考试时限:120 分钟 题号一二三四五总分阅卷人得分 一、单项选择题(每题2分,共20分) 1.下列表达式正确的有( ) (A)(B)(C)(D) 2.设P:2×2=5,Q:雪是黑的,R:2×4=8,S:太阳从东方升起,下列( )命题的真值为 真。 (A)(B)(C)(D) 3.集合A={1,2,…,10}上的关系R={ 1.n个命题变元组成的命题公式共有种不同的等价公式。 2.设〈L,≤〉为有界格,a为L中任意元素,如果存在元素b∈L,使,则称b是a 的补元。 3.设*,Δ是定义在集合A上的两个可交换二元运算,如果对于任意的x,y∈A,都有 ,则称运算*和运算Δ满足吸收律。 4.设T是一棵树,则T是一个连通且的图。 5.一个公式的等价式称作该公式的主合取范式是指它仅由组成。 6.量词否定等价式? ("x)P(x) ?,? ($x)P(x) ?。 7.二叉树有5个度为2的结点,则它的叶子结点数为。 8.设 第一章 定律证明: (1) A?B=B?A (交换律) 证?x x∈A?B ? x∈A 或x∈B, 自然有x∈B 或x∈A ? x∈B?A 得证A?B?B?A. 同理可证B?A?A?B. (2) A?(B?C)=(A?B)?(A?C) (分配律) 证?x x∈A?(B?C) ? x∈A或(x∈B且x∈C ) ?(x∈A或x∈B)且(x∈A或x∈C) ?x∈(A?B)?(A?C) 得证A?(B?C)?(A?B)?(A?C). 类似可证(A?B)?(A?C)?A?(B?C). (3) A?E=E (零律) 证根据并的定义, 有E?A?E. 根据全集的定义, 又有A? E?E. (4) A?E=A (同一律) 证根据交的定义, 有A?E?A. 又, ?x x∈A, 根据全集E的定义, x∈E, 从而x∈A且x∈E, ?x∈A?E 得证A?A?E. 例4 证明A?(A?B)=A(吸收律) 证利用例3证明的4条等式证明 A?(A?B) = (A?E)?(A?B) (同一律) = A?(E?B) (分配律) = A?(B?E) (交换律) = A?E (零律) = A (同一律) 例5 证明(A-B)-C=(A-C)-(B-C) 证(A-C)-(B-C) = (A ?~C) ? ~(B ? ~C) (补交转换律) = (A ?~C) ? (~B ? ~~C) (德摩根律) = (A ?~C) ? (~B ? C) (双重否定律) = (A ?~C? ~B)?(A ?~C? C) (分配律) = (A ?~C? ~B)?(A ??) (矛盾律) = A ?~C? ~B (零律,同一律) = (A ?~B) ? ~C (交换律,结合律) 《离散数学》期末复习题 一、填空题(每空2分,共20分) 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c},B={a,b,c,d,e},则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4},B={1,3,5,7,9},则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3},A上的二元运算定义为:a* b = a和b两者的最大值,则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法,是加法的幂等元, 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群 19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设 数理逻辑部分 选择、填空及判断 ?下列语句不就是命题的( A )。 (A) 您打算考硕士研究生不? (B) 太阳系以外的星球上有生物。 (C) 离散数学就是计算机系的一门必修课。 (D) 雪就是黑色的。 ?命题公式P→(P∨?P)的类型就是( A ) (A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式 ?A就是重言式,那么A的否定式就是( A ) A、矛盾式 B、重言式 C、可满足式 D、不能确定 ?以下命题公式中,为永假式的就是( C ) A、p→(p∨q∨r) B、(p→┐p)→┐p C、┐(q→q)∧p D、┐(q∨┐p)→(p∧┐p) ?命题公式P→Q的成假赋值就是( D ) A、 00,11 B、 00,01,11 C、10,11 D、 10 ?谓词公式) x xP∧ ?中,变元x就是 ( B ) R , ( x ) (y A、自由变元 B、既就是自由变元也就是约束变元 C、约束变元 D、既不就是自由变元也不就是约束变元 ?命题公式P→(Q∨?Q)的类型就是( A )。 (A) 永真式 (B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式 (D) 析取范式 ?设B不含变元x,) x x→ ?等值于( A ) A ) ( (B A、B (D、B x xA→ x ?) ( ( ?C、B x∧ A ?) (B、) ?) xA→ x ) ( A x (B x∨ ?下列语句中就是真命题的就是( D )。 A.您就是杰克不? B.凡石头都可练成金。 C.如果2+2=4,那么雪就是黑的。 D.如果1+2=4,那么雪就是黑的。 ?从集合分类的角度瞧,命题公式可分为( B ) A、永真式、矛盾式 B、永真式、可满足式、矛盾式 C、可满足式、矛盾式 D、永真式、可满足式 ?命题公式﹁p∨﹁q等价于( D )。 A、﹁p∨q B、﹁(p∨q) C、﹁p∧q D、 p→﹁q ?一个公式在等价意义下,下面写法唯一的就是( D )。 (A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式 ?下列含有命题p,q,r的公式中,就是主析取范式的就是( D )。 离散数学试题一(A 卷答案) 一、(10分)证明(A ∨B )(P ∨Q ),P ,(B A )∨P A 。 二、(10分)甲、乙、丙、丁4个人有且仅有2个人参加围棋优胜比赛。关于谁参加竞赛,下列4 种判断都是正确的: (1)甲和乙只有一人参加; (2)丙参加,丁必参加; (3)乙或丁至多参加一人; (4)丁不参加,甲也不会参加。 请推出哪两个人参加了围棋比赛。 三、(10分)指出下列推理中,在哪些步骤上有错误为什么给出正确的推理形式。 (1)x (P (x ) Q (x )) P (2)P (y )Q (y ) T (1),US (3)xP (x ) P (4)P (y ) T (3),ES (5)Q (y ) T (2)(4),I (6)xQ (x ) T (5),EG 四、(10分)设A ={a ,b ,c},试给出A 上的一个二元关系R ,使其同时不满足自反性、反自反性、 五、(15分)设函数g :A →B ,f :B →C , (1)若f o g 是满射,则f 是满射。 (2)若f o g 是单射,则g 是单射。 六、(15分)设R 是集合A 上的一个具有传递和自反性质的关系,T 是A 上的关系,使得T R 且R ,证明T 是一个等价关系。 七、(15分)若 《离散数学》题库答案 一、选择或填空 (数理逻辑部分) 1、下列哪些公式为永真蕴含式?( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(1),(4) 2、下列公式中哪些是永真式?( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答:(2),(3),(4) 3、设有下列公式,请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(2),(3),(4),(5),(6) 4、公式 x((A(x) B(y ,x)) z C(y ,z))D(x)中,自由变元是( ),约束变元是( )。 答:x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是,给出命题的真值。( ) (1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗? (4) 若7+8>18,则三角形有4条边。 (5) 前进! (6) 给我一杯水吧! 答:(1) 是,T (2) 是,F (3) 不是 (4) 是,T (5) 不是 (6) 不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( ),而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答:所有人都不是大学生,有些人不会死 7、设P :我生病,Q :我去学校,则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时,我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校 答:(1) P Q →? (2) Q P ?→ (3) Q P ?? (4)Q P →? 8、设个体域为整数集,则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答:(1)对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0(2)存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 是正整数集合,确定下列命题的真值: (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答:(1) F (2) F (3)F (4)T 10、设谓词P(x):x 是奇数,Q(x):x 是偶数,谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答:(1) 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是( )。 答:2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是( ) (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 答:(2) 13、公式(?P ∧Q)∨(?P ∧?Q)化简为( ),公式 Q →(P ∨(P ∧Q))可化简为( )。 答:?P ,Q →P 试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P :你努力,Q :你失败。 2、 “除非你努力,否则你将失败”符号化为 ; “虽然你努力了,但还是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不是对称的又不是反对称的关系 R= ;A 上既是对称的又是反对称的关系R= 。 5、设代数系统,其中A={a ,b ,c}, 则幺元是 ;是否有幂等 性 ;是否有对称性 。 6、4阶群必是 群或 群。 7、下面偏序格是分配格的是 。 8、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ,欧拉图的充要条件是 。 二、选择 1、在下述公式中是重言式为( ) A .)()(Q P Q P ∨→∧; B .))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C .Q Q P ∧→?)(; D .)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为( )。 A .0; B .1; C .2; D .3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A .3; B .6; C .7; D .8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈>∈<><><<=则由 R 产 生 的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A .4; B .5; C .6; D .9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A .自反性、对称性、传递性; B .反自反性、反对称性; C .反自反性、反对称性、传递性; D .自反性 。 离散数学课后习题答案(左孝凌版) 1-1,1-2解: a)是命题,真值为T。 b)不是命题。 c)是命题,真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题,真值为T。 f)是命题,真值为T。 g)是命题,真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。 (2)解: 原子命题:我爱北京天安门。 复合命题:如果不是练健美操,我就出外旅游拉。 (3)解: a)(┓P ∧R)→Q b)Q→R c)┓P d)P→┓Q (4)解: a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。 (Q→R)∧(R→Q):一个数是奇数,则它不能被2整除并且一个数不能被2整除,则它是奇数。 (5) 解: a)设P:王强身体很好。Q:王强成绩很好。P∧Q b)设P:小李看书。Q:小李听音乐。P∧Q c)设P:气候很好。Q:气候很热。P∨Q d)设P: a和b是偶数。Q:a+b是偶数。P→Q e)设P:四边形ABCD是平行四边形。Q :四边形ABCD的对边平行。P Q f)设P:语法错误。Q:程序错误。R:停机。(P∨ Q)→ R (6) 解: a)P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q b)P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R c)R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N f)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓M g)P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3 (1)解: 离散数学 1.在自然推理系统P 中构造下面推理的证明: 前提:,,p q r q r s ?∨∨?→ 结论:p s →. 3设一阶逻辑公式 ((,)(()()))G x yP x y zQ z R x =???→?→ 试将G 化成与其等价的前束范式。 4.判断下面推理是否正确,并证明你的结论。 如果小王今天家里有事,则他不会来开会。 如果小张今天看到小王,则小王今天来开会了。 小张今天看到小王。所以小王今天家里没事。 5、构造下面推理的证明 前提: ))()(()),()()((x R x F x x H x G x F x ∧?∧→? 结论: ))()()((x G x R x F x ∧∧? 6用等值演算法和真值表法判断公式)())()((Q P P Q Q P A ??→∧→=的类型。 7分别用真值表法和公式法求(P →(Q ∨R ))∧(?P ∨(Q ?R ))的主析取范式 ,并写出其相应的成真赋值和成假赋值。 8用逻辑推理证明: 所有的舞蹈者都很有风度,王华是个学生且是个舞蹈者。因此有些学生很有风度。 9、设A ={?,1,{1}},B ={0,{0}},求P (A )、P (B )-{0}、P (B )⊕B 。 10、设X ={1,2,3,4},R 是X 上的二元关系,R ={<1,1>,<3,1>,<1,3>,<3,3>,<3,2>,<4,3>,<4,1>,<4,2>,<1,2>} (1)画出R 的关系图。 (2)写出R 的关系矩阵。 (3)说明R 是否是自反、反自反、对称、传递的。 11、集合X={<1,2>, <3,4>, <5,6>,… },R={<《离散数学》考试题库及答案(三)
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中的幺元是,α的逆元是。 10.设A={<1,2>,<2,4>,<3,3>},B={<1,3>,<2,4>,<4,2>} = 。 = 。 三、判断题(每题1分,共10分) 1.命题公式是一个矛盾式。() 2.,若,则必有。() 3.设S为集合X上的二元关系,则S是传递的当且仅当(S S)S。() 4.任何一棵二叉树的结点可对应一个前缀码。() 5.代数系统中一个元素的左逆元一定等于该元素的右逆元。() 6.一个有限平面图,面的次数之和等于该图的边数。() 7.A′B = B′A () 8.设*定义在集合A上的一个二元运算,如果A中有关于运算*的左零元θl和右零θr,则A中 有零元。() 9.一个循环群的生成元不是唯一的。() 10.任何一个前缀码都对应一棵二叉树。() 四、解答题(5小题,共30分) 1.(5分)什么是欧拉路?如何用欧拉路判定一个图G是否可一笔画出? 2.(8分)求公式 (P∨Q)R 的主析取范式和主合取范式。离散数学例题整理
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