线面角及二面角的求法
第9节线面角及二面角的求法
【基础知识】
求线面角、二面角的常用方法:
(1)线面角的求法,找出斜线在平面上的射影,关键就是作垂线,找垂足,要把线面角转化到一个三角形中求解.
(2)二面角的大小求法,二面角的大小用它的平面角来度量.
【规律技巧】
平面角的作法常见的有①定义法;②垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.
【典例讲解】
【例1】如图,在四棱锥P-ABCD中,P A⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC＝60°,P A ＝AB＝BC,E就是PC的中点.
(1)求PB与平面P AD所成的角的大小;
(2)证明:AE⊥平面PCD;
(3)求二面角A－PD－C的正弦值.
(1)解在四棱锥P－ABCD中,
因P A⊥底面ABCD,AB?平面ABCD,
故P A⊥AB、又AB⊥AD,P A∩AD＝A,
从而AB⊥平面P AD,
故PB在平面P AD内的射影为P A,
从而∠APB为PB与平面P AD所成的角.
在Rt△P AB中,AB＝P A,故∠APB＝45°、
所以PB与平面P AD所成的角的大小为45°、
(2)证明在四棱锥P－ABCD中,
因P A⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,
故CD⊥P A、由条件CD⊥AC,P A∩AC＝A,
∴CD⊥平面P AC、
又AE?平面P AC,∴AE⊥CD、
由P A＝AB＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝P A、
∵E就是PC的中点,∴AE⊥PC、
又PC∩CD＝C,综上得AE⊥平面PCD、
【变式探究】如图所示,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD就是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD＝DC、E就是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F、
(1)证明P A∥平面EDB;
(2)证明PB⊥平面EFD;
(3)求二面角C－PB－D的大小.
(1)证明如图所示,连接AC,AC交BD于O,连接EO、
∵底面ABCD就是正方形,
∴点O就是AC的中点.
在△P AC中,EO就是中位线,
∴P A∥EO、
而EO?平面EDB且P A?平面EDB,
∴P A∥平面EDB、
【针对训练】
1.如图,四棱锥P－ABCD中,底面ABCD为菱形,P A⊥底面ABCD,AC＝22,P A＝2,E就是PC上的一点,PE＝2EC、
(1)证明:PC ⊥平面BED ;
(2)设二面角A －PB －C 为90°,求PD 与平面PBC 所成角的大小.
(2)解 在平面P AB 内过点A 作AG ⊥PB ,G 为垂足.
因为二面角A －PB －C 为90°,
所以平面P AB ⊥平面PBC 、
又平面P AB ∩平面PBC ＝PB ,
故AG ⊥平面PBC ,AG ⊥BC 、
因为BC 与平面P AB 内两条相交直线P A ,AG 都垂直,
故BC ⊥平面P AB ,于就是BC ⊥AB ,
所以底面ABCD 为正方形,AD ＝2,
PD ＝P A 2＋AD 2＝22、
设D 到平面PBC 的距离为d 、
因为AD ∥BC ,且AD ?平面PBC ,BC ?平面PBC ,
故AD ∥平面PBC ,A ,D 两点到平面PBC 的距离相等,
即d ＝AG ＝2、
设PD 与平面PBC 所成的角为α,则sin α＝d PD ＝12
、 所以PD 与平面PBC 所成的角为30°、
【练习巩固】
1、如图所示,在多面体111A B D DCBA ,四边形11AA B B ,11,ADD A ABCD 均为正方形,E 为11B D 的中点,过1,,A D E 的平面交1CD 于F 、
(Ⅰ)证明:1//EF B C ;
(Ⅱ)求二面角11E A D B --余弦值、
【答案】(Ⅰ)1//EF B C ;(Ⅱ6 3.(2014·湖北卷)如图1-4,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,M ,N 分别就是棱AB ,AD ,A 1B 1,A 1D 1的中点,点P ,Q 分别在棱DD 1,BB 1上移动,且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2).
(1)当λ＝1时,证明:直线BC 1∥平面EFPQ 、
(2)就是否存在λ,使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
图1-4
4.(2014·新课标全国卷Ⅱ)如图1-3,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为矩形,P A ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点.
(1)证明:PB ∥平面AEC ;
(2)设二面角D -AE -C 为60°,AP ＝1,AD ＝3,求三棱锥E -ACD 的体积.
图1-
3
设B (m ,0,0)(m >0),则C (m ,3,0),AC →＝(m ,3,0).
设n 1＝(x ,y ,z )为平面ACE 的法向量,
则?????n 1·AC →＝0n 1·
AE →＝0即???mx ＋3y ＝032y ＋12z ＝0 可取n 1
＝? ?????3m －13、 又n 2＝(1,0,0)为平面DAE 的法向量,
由题设易知|cos 〈n 1,n 2〉|＝12
,即 33＋4m 2＝12
,解得m ＝32、 因为E 为PD 的中点,所以三棱锥E -ACD 的高为12、三棱锥E -ACD 的体积V ＝13×12×3×32
×12＝38、