用Mathcad解决物理问题2

用Mathcad 解决物理问题

一：受迫振动

实验原理：用一个周期性的外力作用于一个阻尼振动系统，以补充阻尼振动过程中能量的损失。这种周期性的外力称为策动力，在策动力作用的振动称为受迫振动。 设周期性的策动力为 F=F0*cos （p ?t ）

则 受迫振动的动力学微分方程：d 2x dt 2+2?βdx dt +ω02=h ?cos ?(p ?t)

求解该微分方程可得：X=A0*e ?β?t ?cos ω02?β2+φ0 +A ?cos ?(p ?t +φ1)

由该解可知，第一项是减幅振动，随着时间的推移，该振动的振幅逐渐逼近于零；第二项是稳定振动，其振幅不随时间的推移而变化，稳定振动的频率由策动力的频率决定，与振动系统的固有的频率无关。最终的稳定振动方程为：X=A*cos(p*t+φ1) 使用mathcad 绘出图形如下：

二：同方向，不同频率的简谐振动的合成

实验原理：设两个分振动的频率分别为ω1和ω2，振幅均为A0，由于频率相同，总有某时刻两个分振动的旋转矢量重合，即二者相位相同，为简化问题同时不失一般性，我们把

此刻记为时间零点，这样，两个分振动可以分别设为

X1=A0*cos(ω1?t+φ)

X2=A0*cos(ω2?t+φ)

故合振动的振动方程为

X=X1+X2=A0*cos(ω1?t+φ)+A0*cos(ω2?t+φ)

=2*A0*cos(ω2?ω1?t/2)*cos((ω2+ω1)*t/2+φ) 该式表明，不同频率的简谐振动，其合振动不再是一个简谐振动。

如果两个振动的频率都较大而其差较小，振幅部分比起相位部分变化缓慢得多，这样产生振动的振幅时而加强，时而减弱的现象称为拍。

使用mathcad绘出图形如下：

三：光栅衍射的光强分布

实验原理：一束平行光照射到光栅上，透过光栅在透镜的焦平面处的屏上就得到一组光栅衍射图形。显然，通过光栅不同的缝的光要发生干涉，而每条缝发出的光本身会产生衍

射。因此，光栅衍射图形是单缝衍射和缝间多光束干涉的综合效果。

公式推导：由N 个频率相同，振幅相同，相位差依次为δ的振动的合成得 屏上任一处P 的合振幅为

A=Ai sin ?(N ?δ/2)sin ?(δ/2) 已知 δ=2?πλ?d ?sin ?(φ) 令β=δ2

P 点光强 I=Ii (sin ?(N ?β)sin β

)2 考虑每个缝的衍射效应,每个缝发到P 点光强为Ii=I0*(sinu u

)2,其中u=π?a λ*sin(φ) 所以可得光栅的光强分布公式 I=I0*(sinu u )2*(sin ?(N ?β)sin β

)2

使用mathcad 绘出图形如下：

四：抛体运动的轨迹

实验原理:做斜上抛运动的物体，在理想状态下，即不考虑任何阻力的影响，会达到最远的水平射程。当考虑到阻力的影响时，一般情况下，阻力的大小与速度大小的n 次方成正

比。由此得到抛体运动的动力学微分方程

求解该微分方程就可得到抛体的轨迹方程y0(t)

用mathcad 编程为

2t y0t ()d d 2

9.8-k t y0t ()d d ????n ?

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