导学案不等式与不等关系
不等式与不等关系
考纲要求
1.了解现实世界和日常生活中的不等关系．
2.了解不等式(组)的实际背景. 考情分析
1.从高考内容上来看，不等关系、不等式的性质及应用 是命题的热点．
2.着重突出考查对不等式性质的灵活运用，有时与充要性的判断交汇命题，体现了化归转化思想，难度中、 低档．
3.考查题型多为选择、填空题. 教学过程
基础梳理
一、实数大小顺序与运算性质之间的关系
a －
b ＞0? ；a －b ＝0? ； a －b ＜0? . 二、不等式的基本性质
1.对称性a >b ?
2.传递性a >b ，b >c ?
3.可加性a >b ?
4.可乘性 a >b c >0? ，
?
??
a >
b
c <0?
5.同向可加性
?
??
a >
b
c >
d ?
6.同向同正可乘性
?
??
a >
b >0
c >
d >0?
7.可乘方性a >b >0? (n ∈N ，n ≥2)
8.可开方性a >b >0? (n ∈N ，n ≥2)
两条常用性质
① a ＞b ，ab ＞0?1a ＜1
b
② 若a ＞b ＞0，m ＞0，则b a ＜b ＋m
a ＋m
；
双基自测
1．若x ＋y >0，a <0，ay >0，x －y 的值为 ( ) A ．大于0 B ．等于0 C ．小于0 D ．不确定
2．(教材习题改编)已知a ，b ，c 满足c ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2
3．已知a ，b ，c ，d 均为实数，且c >d ，则“a >b ”是“a －c >b －d ”的
( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．(教材习题改编)3＋7与25的大小关系是________．
5．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：
①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a >b ，则a ·2c >b ·2c
以上命题中正确的是____________(请把正确命题的序号都填上)．
1．不等式性质使用时注意的问题：
在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中的“c 的符号”等都需要注意．
2．作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不
等式的基本方法．要注意强化化归意识，同时注意函数性质在大小比较中的作用．
典例分析
考点一、比较大小
[例1] (2012·珠海模拟)已知b >a >0，x >y >0，求证：x x ＋a >y
y ＋b .
[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！) 1．(2012·杭州模拟)已知a >b ≥2.现有下列不等式： ①b 2>3b －a ；②ab >a ＋b .其中正确的是 ( ) A ．① B ．② C ．①② D ．都不正确
2．(2012·吉林联考)已知实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a 、
b 、
c 的大小关系是( )
[冲关锦囊] 比较大小的方法 1．作差法：
其一般步骤是：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差． 2．作商法：
其一般步骤是：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论． 3．特例法：
若是选择题还可以用特殊值法比较大小，若是解答题，也可以用特殊值法探路.
考点二、不等式的性质
[例2] (2011·全国卷)下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是 ( )
A ．a >b ＋1
B ．a >b －1
C ．a 2>b 2
D ．a 3>b 3
[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
3．(2012·义乌模拟)设a ，b ∈R ，若b －|a |>0，则下列不等式中正确的是
( )
A ．a －b >0
B ．a ＋b >0
C ．a 2－b 2>0
D ．a 3＋b 3<0
4．(2012·天津调研)已知三个不等式：①ab >0；②c a >d
b ；③b
c >a
d .以其中两个作条件，余下一
个作结论，则可组成________个正确命题．
[冲关锦囊]
(1)判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的 性质．
(2)特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立， 则该命题为假命题.
考点三、不等式性质的应用
[例3](2011·浙江高考)若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜1
a”的
()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)
5．(2012·金华质检)已知a∈R，则“a>2”是“a2>2a”成立的
( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
一、选择题
1．(2011·长沙一模)若a，b∈R，则下列命题正确的是()
A．若a>b，则a2>b2B．若|a|>b，则a2>b2
C．若a>|b|，则a2>b2D．若a≠|b|，则a2≠b2
2．(2011·泉州质检)已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()
A．M
C．M＝N D．不确定
3．设a ，b 是非零实数，若a
a 2b
D.b a 4．设0 log b <12 log a <0 C ．2b <2a <2 D ．a 2 5．(2012·厦门模拟)设命题p ：若a >b ，则1a <1b ，q ：若1 ab <0，则ab <0.给出以下3个复合 命题，①p ∧q ；②p ∨q ；③綈p ∧綈q .其中真命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 二、填空题 6．若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是________． 7．若x ＞y ，a ＞b ，则在①a －x ＞b －y ，②a ＋x ＞b ＋y ，③ax ＞by ，④x －b ＞y －a ，⑤ a y ＞b x 这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________． 三、解答题 8．已知a >0，b >0，试比较M ＝a ＋b 与N ＝a ＋b 的大小． 9．已知奇函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上是单调递减函数，α，β，γ∈R 且α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0.试说明f (α)＋f (β)＋f (γ)的值的与0的关系． 10．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先到教室？ 解：设从寝室到教室的路程为s ，甲、乙两人的步行速度为v 1，跑步速度为v 2，且v 1 乙所用的时间t 乙＝2s v 1＋v 2 ， ∴t 甲t 乙 ＝s (v 1＋v 2)2v 1v 2×v 1＋v 22s ＝(v 1＋v 2)24v 1v 2 ＝v 21＋v 2 2＋2v 1v 24v 1v 2 >4v 1v 24v 1v 2 ＝1. ∵t 甲>0，t 乙>0，∴t 甲>t 乙，即乙先到教室． 不等关系与基本不等式同步练习题（一） （时间：120分钟 满分：150分） A.基础卷 一、选择题（5×8=40分） 1．函数)2(2 1 >-+ =x x x y 的最小值为( ) A. 2 B ． 3 C ． 4 D ．23 2．不等式0)31(>-x x 的解集是（ ） A ．)31,(-∞ B ． )31,0()0,( -∞ C ． ),31(+∞ D ．)3 1,0( 3．已知,R b a ∈、且0>ab ，则下列不等式不正确的是( ) A ．b a b a ->+ B ．b a b a +<+ C ．b a ab +≤2 D ． 2≥+b a a b 4．已知无穷数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，则有（ ） Ａ． 8 6 64a a a a ≤ Ｂ． 8664a a a a < Ｃ．8664a a a a > Ｄ．8664a a a a ≥ ５．已知01,0<<-> Ｂ．a ab ab >>2 Ｃ．2 ab a ab >> Ｄ．a ab ab >>2 ６.已知,1117,32-≤<-<≤-y x 则1 2 -y x 的取值范围是（ ） Ａ．??? ??-- 92,43 Ｂ．??? ??-0,43 Ｃ．??? ??-0,21 Ｄ．??? ??-0,43 ７．若 ,11 <++b a a b 则b a 与中必（ ） Ａ．一个大于１，一个小于１ Ｂ．两个都大于１ Ｃ．两个都小于１ Ｄ．两个的积小于１ 8．已知,,d c b a >>则（ ） Ａ． d b c a ->- Ｂ． c b d a > Ｃ．a d b c ->- Ｄ．bd ac > 基本不等式(导学案) ab，3.4 ab,2 1、学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等 号“?”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等 a，b2、理解利用基本不等式ab 证明不等式的方法 ,2 ab，3、进一步掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决ab,2 一些简单的实际问题 ab，应用数形结合的思想理解不等式并从不同角度探索不等式的证明过程；ab,2 理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵 1、回顾：二元一次不等式（组）与简单的线形规划问题。 2、如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案 中找出一些相等关系或不等关系吗？ 1、重要不等式： 22如果a,b,R,那么a，b,2ab(当且仅当a,b时取","号) 1 a，b2、基本不等式：如果a,b是正数，那么 ,ab(当且仅当a,b时取","号).2 a，b3、我们称ab为a,b的算术平均数，称的几何平均数为a,b2 a，b224、a，b,2ab和,ab成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，2 而后者要求a,b都是正数。 1、已知x、y都是正数，求证： 223333yx(1)?2； (2)（＋）（＋）（＋）?８. xyxyxyxy，xy 92、求(x>5)的最小值. fxx()4,，x,5 283、若x>0,y>0,且,求xy的最小值. ，,1xy 11，4、设a、b?R且a＋b＝1,求＋的最小值 1,a1,b 1、两正数a、b的算术平均数与几何平均数成立的条件。?理解“当且仅当a=b 时取等 号”的数学内涵。 2、当两个正数之积为定值时，其和有最小值 当两个正数之和为定值时，其积有最大值 3、利用基本不等式求最值时必须满足三个条件:一正二定三相等. 4、用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 2 八年级数学下册2.3 不等式的解集导学案（新 版）北师大版 【学习目标】 【学习过程】 一、温故知新： 1、设a＞b,用“＜”或“＞”号填空。（1）a+1 b+1；（2）a－3 b－3；（3）3a3b；（4）；（5）－－；（6）－ a －b。 二、新知探究： 【探究一】 1、研读课本 p47页的探究。 2、根据题意可得引火线的长度x应满足的关系式为： 。 3、利用不等式的基本性质，得x的取值范围是。 【探究二】 4、认真研读课本p47页的“ 想一想”。 （1）x=2，5，7， 8、3能使不等式x>5成立吗？（2）你还能找出一些使不等式x＞5成立的x的值吗？ 【探究三】 (1)方程2x=4的解有个； (2) 不等式2x<4的解有个； (3)不等式5x≥-10的解集是。 三、交流研讨 【研讨一】 5、认真研读课本p47页的有关概念。(1)能使不等式成立的，叫做不等式的解。例如:在4，5，-7,10, 13、9这些数中，是不等式x<7的解，而不是不等式x<7的解。(2)一个含有未知数的，组成这个不等式的解集。(3)求不等式的过程叫做解不等式。(4)不等式的解集在数轴上的表示方法:在数轴上表示不等式≥－2的解集，正确的是（） A B C D 【研讨二】 尝试判断 1、-2是不等式 x<4的一个解； ( ) 2、x=7是不等式 x＞3的解集； ( ) 3、x=3是不等式8-x<0的一个解； ( ) 4、不等式3x-12<0的解集是x＞4。 ( ) 四、课堂内化：(你学到了什么?) 五、课后作业 1、如图所示，在数轴上表示x＞-2的解集，正确的是（） 2、在数轴上表示下列不等式的解集：（1）x≥3；（2）x≤－4；（3） x＜0；（4）x＞－2 。 第三章 不等式 §3.1 不等关系与不等式 材拓展 1．不等式的基本性质 对于任意的实数a ，b ，有以下事实： a>b ?a －b>0； a ＝ b ?a －b ＝0； ab>0，m>0，要比较a ＋m b ＋m 与a b 的大小，就可以采用以下方法： a ＋m b ＋m －a b ＝bm －am b (b ＋m )＝m (b －a )b (b ＋m ) . ∵m>0，a>b>0，∴b －a<0， ∴m (b －a )b (b ＋m )<0，∴a ＋m b ＋m b ，b>c ?a>c. (2)a>b ，c>d ?a ＋c>b ＋d. (3)a>b ，c>0?ac>bc. (4)a>b ，c<0?ac 不等关系与不等式 【学习目标】 1．了解不等式(组)的实际背景． 2．掌握比较两个实数大小的方法． 3．掌握不等式的八条性质． 【学法指导】 1．不等关系广泛存在于现实生活中，应用不等式(组)表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言” 转化成“数学语言”，是用不等式知识解决实际问题的第一步．只需根据题意建立相应模型，把模型中的量具体化即可． 2．作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一，可简单概括为“三步一结论”，其中关键步骤“变形”要彻底，当不能“定号”时注意分类讨论． 3．不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据，应用时每步都要做到等价变形． 一、知识温故 a－b＞0?； a－b＝0?； a－b＜0?. 3．常用的不等式的基本性质 (1)a>b?b a(对称性)； (2)a>b，b>c?a c(传递性)； (3)a>b?a＋c b＋c(可加性)； (4)a>b，c>0?ac bc；a>b，c<0?ac bc； (5)a>b，c>d?a＋c b＋d； (6)a>b>0，c>d>0?ac bd； (7)a>b>0，n∈N，n≥2?a n b n； (8)a>b>0，n∈N，n≥2?n b. 二、经典范例 问题探究一实数比较大小 问题1(实数比较大小的依据) 在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左 边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示可以看出a，b之间具有以下性质： 如果a－b是正数，那么； 如果a－b是负数，那么； 如果a－b等于零，那么. 以上结论反过来也成立，即a－b＞0?a＞b；a－b＜0?a＜b；a－b＝0?a＝b. 问题2(作差法比较实数的大小) 向一杯a克糖水中加入m克糖，糖水变得更甜了．你能把这一现象用一个不等式表示出来吗？并证明你的结论． 问题探究二不等式的基本性质 问题3在实数大小比较的基础上，可以给出不等式八条基本性质的严格证明．证明时，可以利用前面的性质推证后续的性质． 请同学们借助前面的性质证明性质6： 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd. 七年级数学）第九章不等式与不等式组（一）—不等式的性质 学习目标： 明确什么是不等式，不等式的解及解集，能列出简单的不等式； 理解不等式的性质，能用不等式的性质解简单的不等式。 学习过程： 环节（一）复习引入： 1、比较下列各数的大小，用“＜”或“＞”填空： ① 3______－6 ②－1______0 ③______ 2、用式子表示： ① x的3倍大于5：② y与2的差小于－1： ③ x不大于1：④a不等于0； 小结：像上面这样，用不等号（<、>、≤、≥、≠等）表示不相等关系的式子，叫做不等式。 3、不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 例如：下列数值中： -4，，0， 4.5，不等式的解有哪些？ 解：当-4时，=，所以-4是不等式的解； 当0时，= ，所以0是不等式的解； 当 4.5时，= ，所以4是不等式的解； 所以，不等式的解有。 环节（二）探索不等式的性质： 1、试一试：（通过计算比较结果，在横线上用“<”、“>”填空） 第一部分 3 -2 4 7 两边同时加上一个数 3+1 -2+1 4+（-1） 7+（-1） 3+（-3） -2+（-3） 4+3 7+3 两边同时减去一个数 3-2 -2-2 4-（-2） 7-（-2） 3-（-4） -2-（-4） 4-3 7-3 观察以上各式，我们发现： 不等式两边都，不等号方向； 第二部分 9 6 -4 8 两边同时乘一个正数 两边同时除以一个正数 9÷3 6÷3 ÷÷ 9÷2 6÷2 ÷4 ÷4 观察以上各式，我们发现： 不等式两边都，不等号方向； 第三部分 9 6 -4 8 两边同时乘一个负数 两边同时除以一个负数 9÷（-3） 6÷（-3）÷（-）÷（-） 9÷（-2） 6÷（-2）÷（-4）÷（-4） 观察以上各式，我们发现： 不等式两边都，不等号方向；2、想一想：你能用式子表示不等式的三条性质吗？ 不等式的性质1：如果，那么 不等式的性质2：如果，，那么（或） 不等式的性质3：如果，，那么（或） 3、思考： ①如果不等式两边同时乘以0，不等式会有什么变化？ ②不等式两边能同时除以0吗，为什么？ 环节（三）运用不等式的基本性质解不等式 例题：利用不等式的性质解下列不等式 ① 解：根据不等式的性质，不等式两边都，不等号方向 得： ② 解：根据不等式的性质，不等式两边都，不等号方向 得： 总结：解不等式就是将不等式化成或等形式。 9.1.1 不等式及其解集 学习目标 1.了解不等式概念，会列不等式； 2.理解不等式的解与解集，能正确表示不等式的解集。培养数感，渗透数形结 合的思想. 重点：不等式的解集的表示 活动1 自学教材P114-115思考并完成下列问题（先独立思考后小组交流完善）问题：一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50千米，要在12：00正好到达A地，车速应满足什么条件？ 1.变式： 一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50千米，要在12：00之前驶过 ．．．．A地，车速应满足什么条件？ 2.不等式的概念 3.不等式的解和解集 ⑴什么叫做不等式的解？ ⑵什么叫做不等式的解集？怎样表示不等式的解集？ 4.解不等式的含义 总结： ⑴不等式分两大类：①表示大小关系的不等式，其符号类型有：“＞”、“＜”、 “≤”、“≥”.“≤”读作“小于或等于”也可以说是“不大于”；“≥”读作“大于或等于”也可以说“不小于”.②表示不等关系的不等式，其符号为“≠”，读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不明确谁大，谁小. 有些不等式不含未知数，有些不等式含未知数. ⑵不等式的解集的表示方法：①用最简的不等式表示：如26 x-<的解集为8 x<.②用数轴表示：如x a >在表示a的点上用空心圆圈表示不包括这一点，x a ≥在表示a的点上用实心点表示包括这一点. 活动2练习巩固 1.判断下列数中哪些是不等式2 50 3 x>的解：76，73，79，80，74.9，75.1，90， 60.你还能找出这个不等式的其他解吗？这个不等式有多少个解？ 2.下列各数:-5,-4,-3,- 2,-1,0,1,2,3,4,5中,同时适合x+5<7和2x+2>0的有哪几个数? 3.用不等式表示 (1)a是正数；(2)a是负数；(3)a与5的和小于7；(4)a与2的差大于-1；（5）a的4倍大于8；（6）a的一半小于3. 4.直接想出不等式的解集，并用数轴表示： （1）x+3>6；（2）2x<8；（3）x-2≥0. 活动3课堂作业 1.用不等式表示： ⑴a与5的和是正数 ⑵b与15的差小于27 ⑶c的4倍大于或等于8 ⑷d与5的积不小于0 ⑸x的2倍与1的和是非正数 不等关系与不等式（第一课时） 一、教学任务分析 1、感受不等关系的普遍存在 通过一系列的具体情境，使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系。 2、利用不等式（组）表示实际问题中的不等关系 通过具体问题情境，让学生学习如何利用不等式（组）研究及表示不等关系，进一步理解不等式（组）刻画不等关系的意义和价值。 3、初步掌握运用作差比较法比较实数和代数式的大小。 二、教学重点和难点 重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）刻画不等关系的意义和价值。 难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。 三、教学基本流程 四、教学情景设计 1、引入：章头图及古诗《题西林壁》引入，介绍不等量关系也是自然界中存在的基本数量关系，它们在现实世界和日常生活中大量存在，在数学研究和数学应用中也起着重要的作用，也正是实际问题的需要我们要研究不等量关系。介绍本章将要研究表示不等量关系的不等式的基本知识。 设计意图：使学生体会不等关系的普遍存在，了解学习不等式的意义。 2、创设情境，让学生感受生活中的不等关系。 师：多媒体出示情景：（1）交通标志(限速、限高、限宽)；（2）商家打折海报（一折起、低至几折）；（3）产品含量指标。问：表示什么含义？怎么表示其中的不等关系？ 生：分析各种不等关系，口答并尝试用不等式（组）表示。 师：引导学生准确表述，给出不等式定义，板书学生口答的各问题中不等式（组）。 设计意图：进一步让学生感受生活中的不等关系，知道用不等式（组）表示这种不等关系。 3、知识探究一：具体情境中如何用不等式研究及表示不等关系。 师：多媒体出示问题1（销售收入问题）、2（实际安排生产问题）。 学生：独立思考后，与本组同学交流讨论结果。完成后交流展示，小组代表板书结果，并说明式子的含义。 师：点评学生结果，找有不同结果的小组讲解不同方法或补充，引导学生分析比较。 设计意图：问题方式给出，强化学生的问题意识，使学生在具体问题情境中经历如何利用不等式研究及表示不等关系。小组合作探究，使学生交流对于问题的认识。展示不同结果，使学生认识思考问题严谨性和不同角度。师最后介绍两问题中反映的生产要求如何解决，是本章后续章节会解决的问题。激发学生学习欲望，体会数学知识与生活的密切相关。 4、知识探究二：比较实数和代数式大小的方法——作差法。 生：结合学案上知识探究二中所填结果，与同组学生交流结论。 师：提问引导学生表述：要比较两数或代数式大小，可以让两数或两式相减，比较结果和0的大小。若结果大于0，则前者大于后者；若……。 设计意图：让学生分析作差法具体做法，明确这种比较大小的方法如何运用。 5、课堂练习：作差法比较代数式的大小。 生：可独立完成，也可与同组同学交流，在规定时间完成。 师：巡视，指导学生疑难处，找完成好的两生板演结果，并让板演学生讲解。点评学生思路，进一步总结作差法中变形结果的形式： 湘教版八年级数学科导学案 设计：周浩雄时间：2014年10月内容§4.1不等式 学习目标【知识技能】 1. 根据具体问题中的不等关系了解不等式的意义.2．从实际问题中抽象出不等式. 【数学思考】 由具体实例建立不等式，体会不等式也是刻画现实世界的有效数学模型. 【解决问题】 分析具体问题中数量之间的大小关系,得到不等式数学模型. 【情感态度】 在运用不等式知识解决困难的过程中获得成功体验，树立学好数学自信心. 重点不等式的概念，能够从实际问题中抽象出不等式 难点从实际问题中抽象出不等式. 学习过程 学生活动学习笔记 一、引 小明的爸爸开车带着小明前往观看开幕式, 在18：00时距离开幕式 场地120km,预计20：00到达开幕式场地, 设平均车速是xkm/h, 则可列 方程或 . 若想在 20：00之前到达开幕式场地，则平均车速xkm/h，应满足什么条件？ 解: 或 . 二、探 １、阅读教材，掌握下列知识 不等号： (1) “＜”读作：“ .” (2) “＞”读作：“ .” (3) “≤”读作：“.”，也可读作： “ .” (4) “≥”读作：“.”，也可读作： “ .” (5) “≠”读作：“ .” 不等式 定义：用连接而成的式子,叫做不等式. 2、典例精析 例1、用不等式表示下列数量关系： （1）x的5倍不大于－7； . (2)a与b的和的一半大于－1； . （3）x为非负数. . 例２、9月26日下午,在仁川亚运会女子十米移动靶的个人决赛上，中国选手李雪艳继广州亚运会之后,蝉联该项目冠军.已知十米移动靶每一枪满分为10.9环,李雪艳在前十枪中最低为9.2环,求李雪艳前十枪总环数x 的范围. 解: . 例3、小欢用81根火柴棍依下面的规律摆正方形，请用不等式表示小欢可摆出正方形的个数n与火柴根数81之间的关系. 解: . 三、结：写出这节课你的收获和体会. 四、用： １、判断下列式子哪些是不等式？ (1) 3＞ 2 (2) x＜ 2x+1 (3) 3x2+2x (4) x=2x-5 (5) a+b≠c (6)5≤ 2x+1 ２、用不等式表示下列数量关系: (1)a是正数； （2）a的2倍与b的差大于或等于4； (3)长、宽分别为x cm, y cm的长方形的面积小于边长为a cm的正方形的 面积. 2.2.4 均值不等式及其应用 素养目标·定方向 课程标准 学法解读 1．了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义． 2．会运用均值不等式解决最值、范围、不等式证明等相关问题． 3．掌握运用均值不等式a ＋b 2≥ab (a ，b >0) 求最值的常用方法及需注意的问题. 1．注意从数与形的角度来审视均值不等式，体会数形结合思想的应用． 2．通过“积定”与“和定”来把握均值不等式并研究最值，加深对“一正、二定、三相等”的理解． 3．注重均值不等式的变形，体会其特征，强化记忆. 必备知识·探新知 基础知识 1．均值不等式(基本不等式) (1)算术平均值与几何平均值. 前提 给定两个正数a ，b 结论 数 a ＋b 2 称为a ，b 的__算术平均值__ 数ab 称为a ，b 的几何平均值 (2)前提 __a ，b __都是正数 结论 a ＋b 2 ≥ab 等号成立的条件 当且仅当a ＝b 时，等号成立 几何意义 所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大 提示：(1)在a 2＋b 2≥2ab 中，a ，b ∈R ；在a ＋b ≥2ab 中，a ，b >0. (2)两者都带有等号，等号成立的等件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)． (3)证明的方法都是作差比较法． (4)都可以用来求最值． 2．均值不等式与最值 两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值． 思考2：应用上述两个结论时，要注意哪些事项？ 提示：应用上述性质时注意三点：(1)各项或各因式均为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．即“一正二定三相等”． 基础自测 1．下列不等式中正确的是( D ) A ．a ＋4 a ≥4 B ．a 2＋b 2≥4ab C ．ab ≥a ＋b 2 D ．x 2＋3 x 2≥2 3 解析：a <0，则a ＋4 a ≥4不成立，故A 错；a ＝1， b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错；a ＝4， b ＝16，则ab 2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号 C ．x ≤2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号 D ．x <2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号 解析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x －2y >0，即x >2y ，且等号成立时(x －2y )2＝1，即x －2y ＝1，故选B ． 3．如果a >0，那么a ＋1 a ＋2的最小值是__4__. 解析：因为a >0，所以a ＋1 a ＋2≥2 a ·1a ＋2＝2＋2＝4，当且仅当a ＝1 a ，即a ＝1(－1舍)时取等号． 4．已知0 不等式的解集 学习目标： ①能够根据具体情境中的大小关系了解不等式的意义 ②能够在数轴上表示不等式 学习过程 第一环节：复习旧知识 1.什么叫不等式?什么叫方程?什么叫方程的解? 2.用不等式表示： (1)x的3倍大于1； (2)y与5的差大于零； (3)x与3的和小于6； (4)x的小于2. 3.当x取下列数值时，不等式x+3＜6是否成立? -4，，，3，0，. 第二环节：创设情境，导入新课 在某次数学竞赛中,教师对优秀学生给予奖励,花了30元买了3个笔记本和若干支笔,已知笔记本每本4元,笔每支2元,问最多能买多少支笔? 第三环节：师生互动，课堂探究 （一）提出问题,引发讨论探索交流: 1、若某人要完成一件工作，要求他完成这项任务的时间不得少于4小时，你知道他允许用的时间有多长吗？ 2、燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10米以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度为s，人离开的速度为4 m/s，那么导火线的长度应为多少cm？ （二）想一想： （1）x=4、5、6、能使不等式成立吗？ （2）你还能找出一些使不等式x＞5成立的x的值吗？ （三）导入知识，解释疑难： 通过以上问题情境的引入可知：所列出的不等式中都含有未知数，而符合条件的未知数的值很多，只要将其中任一个未知数的值代入原不等式中，均能使不等式成立，把“能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。”不等式的解有时有无数个，有时有有限个，有时 无解。 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。 既然不等式的解集在通常情形下有很多个符合条件的解，那么我们能否用一种直观的方法把不等式的解集表示出来呢？请同学们相互交流，发表自己的见解。 （四）议一议： 请同学们用自己的方式将不等式X ＞5的解集和不等式X-5≤-1的解集分别表示在数轴上，并与同伴进行交流 注意：将不等式的解集表示在数轴上时，要注意： 1)指示线的方向,“>”向右,“<”向左. 2)有“=”用实心点,没有“=”用空心圈. 三、应用举例，变式练习 例1 在数轴上表示下列不等式的解集： (1)x≤-5； (2)x≥0； (3)x ＞-1;(4)1≤X≤4; (5)-2＜X≤3； (6)-2≤x＜3. 例2 用不等式表示下列数量关系，再用数轴表示出来： (1)x 小于-1； (2)x 不小于-1；(3)a 是正数； (4)b 是非负数. 练习：用简明语言叙述下列不等式表示什么数： ①x＞0;②x＜0;③x＞-1;④x≤-1. 四、师生共同小结 针对本节课所学内容，请学生回答以下问题： 1.如何区别不等式的解，不等式的解集及解不等式这几个概念? 2.找出一元一次方程与不等式在“解”，“求解”等概念上的异同点. 3.记号“≥”、“≤”各表示什么含义? 4.在数轴上表示不等式解集时应注意什么 当堂检测： 1．不等式中，解集不包括25 的是 （ ） 学案29：不等关系与不等式 知识梳理： 一．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a － b ＞0?a >b ；a －b ＝0?a ＝b ；a －b ＜0?a b ?ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ?ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)． [试一试]1．(2013·北京高考)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1b C ．a 2>b 2 D. a 3>b 3 2. 12－1 ________3＋1(填“>”或“<”)． 四.方法：1．不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0?1a <1b ；(2)a <0b >0,0 (1)真分数的性质：b a b －m a －m (b －m >0)； (2)假分数的性质：a b >a ＋m b ＋m ；a b 0)． [练一练]若00，则 b ＋ c a ＋c 与a ＋c b ＋c 的大小关系为________． 1.已知a 1，a 21212 ) A ．M a 6 Ｂ． Ｃ． Ｄ． ６.已知 - 2 ≤ x < 3,-17 < y ≤ -11, 则 的取值范围是（ ） Ａ． -? 3 2 ? ? 3 ? ? 1 ? ?3,- ? Ｂ． - ,0 Ｃ． - ,0 Ｄ． - ,0 ? ??Ａ． a - c > b - d Ｂ． a 不等关系与基本不等式同步练习题（一） （时间：120 分钟 满分：150 分） A.基础卷 一、选择题（5×8=40 分） 1．函数 y = x + 1 ( x > 2) 的最小值为( x - 2 ) A. 2 B ． 3 C ． 4 D ． 3 2 2．不等式 x (1 - 3x) > 0 的解集是（ ） 1 1 1 1 A ． (-∞, ) B ． (-∞,0) (0, ) C ． ( ,+∞) D ． (0, ) 3 3 3 3 3．已知 a 、b ∈ R, 且 ab > 0 ，则下列不等式不正确的是( ) A ． a + b > a - b B ． a + b < a + b C ． 2 ab ≤ a + b D ． b a + ≥ 2 a b 4．已知无穷数列 { n }是各项均为正数的等差数列，则有（ ） Ａ． a 4 ≤ a 6 a a ５．已知 a < 0,-1 < b < 0 ，则 a, ab, ab 2 的大小关系是（ ） Ａ． a > ab > ab 2 Ｂ． ab 2 > ab > a Ｃ． ab > a > ab 2 Ｄ． ab > ab 2 > a x 2 y - 1 ? ? 4 9 ? ? 4 ? ? 2 ? ? 4 ? ７．若 ab + 1 a + b < 1, 则 a 与 b 中必（ ） Ａ．一个大于１，一个小于１ Ｂ．两个都大于１ Ｃ．两个都小于１ Ｄ．两个的积小于１ 8．已知 a > b , c > d , 则（ ） b > Ｃ． c - b > d - a Ｄ． ac > bd d c 初一升二数学不等式学案 第一课时不等式及其解集 [教学目标] 1.了解不等式概念，理解不等式的解集，能正确表示不等式的解集 2.培养学生的数感，渗透数形结合的思想. [教学重点与难点] 重点:不等式的解集的表示. 难点:不等式解集的确定. [教学设计] 一.【自主预习】 某班同学去植树，原计划每位同学植树4棵，但由于某组的10名同学另有任务，未能参加植树，其余同学每位植树6棵，结果仍未能完成计划任务，若以该班同学的人数为x,此时的x应满足怎样的关系式？ 依题意得4x>6(x-10) 1.不等式：用“>”或“<”号表示大小关系的式子,叫不等式. 解析:(1)用≠表示不等关系的式子也叫不等式 (2)不等式中含有未知数,也可以不含有未知数; (3)注意不大于和不小于的说法 2.含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式. 例1 用不等式表示 (1)a与1的和是正数; (2)y的2倍与1的和大于3; (3)x的一半与x的2倍的和是非正数; (4)c与4的和的30%不大于-2; (5)x除以2的商加上2,至多为5; (6)a与b两数的和的平方不可能大于3. 二.【合作解疑】 1、不等式的解:能使不等式成立的未知数的值,叫不等式的解. 解析:不等式的解可能不止一个. 例2 下列各数中,哪些是不等式x+1<3的解?哪些不是? -3,-1,0,1,1.5,2.5,3,3.5 解:略. 练习:1.判断数:-3,-2,-1,0,1,2,3,是不是不等式2x+3<5 的解?再找出另外的小于0的解两个. 2.下列各数:-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5中,同时适合x+5<7和2x+2>0的有哪几个数? 2、不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集. 例3 下列说法中正确的是( ) A.x=3是不是不等式2x>1的解 B.x=3是不是不等式2x>1的唯一解; 平均值不等式导学案2 ☆学习目标： 1.理解并掌握重要的基本不等式; 2.理解从两个正数的基本不等式到三个正数基本不等式的推广; 3.初步掌握不等式证明和应用 一、课前准备（请在上课之前自主完成） 1．定理1 如果,a b R ∈, 那么22 2a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立. 2. 定理2(基本不等式) 如果+∈R b a ,, 那么 . 当且仅当 时, 等号成立. 利用基本不等式求最值的三个条件 推论10. 两个正数的算术平均数 , 几何平均数 , 平方平均数 ,调和平均数 ， 从小到大的排列是: ☆课前热身： (1) 某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利 润y （单位：10万元）与营运年数x 的函数关系为),(11)6(2* ∈+--=N x x y 则每辆客车 营运多少年，其运 营的年平均利润最大（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 (2) 在算式“4130??+?O =”中的△，〇中，分别填入两个正整数，使它们的倒数和最步， 则这两个数构成的数对（△，〇）应为 . (3) 设+∈R x 且12 22 =+y x ，求21y x +的最大值. 二、新课导学 请你类比两个数的基本不等式得出三个数的基本不等式： 如果+ ∈R b a ,, 那么2a b +≥.当且仅当a b =时, 等号成立. 如果,,a b c R +∈,那么 .当且仅当 时, 等号成立. ?建构新知： 问题：已知,,a b c R +∈, 求证：3333.a b c abc ++≥当且仅当a b c ==时, 等号成立. 证明: ∵3333a b c abc ++-= 定理3 如果,,a b c R +∈, 那么3 a b c ++≥当且仅当a b c ==时, 等号成立. 语言表述：3个数的 平均数不小于它们的 平均数 推论 对于n 个正数12,,,n a a a L , 它们的 七年级下册《不等式及其解集》导学案 一、内容和内容解析 内容 概念：不等式、不等式的解、不等式的解集、解不等式以及能在数轴上表示简单不等式的解集． 内容解析 现实生活中存在大量的相等关系，也存在大量的不等关系．本节课从生活实际出发导入常见行程问题的不等关系，使学生充分认识到学习不等式的重要性和必然性，激发他们的求知欲望．再通过对实例的进一步深入分析与探索，引出不等式、不等式的解、不等式的解集以及解不等式几个概念．前面学过方程、方程的解、解方程的概念．通过类比教学、不等式、不等式的解、解不等式几个概念不难理解．但是对于初学者而言，不等式的解集的理解就有一定的难度．因此教材又进行数形结合，用数轴来表示不等式的解集，这样直观形象的表示不等式的解集，对理解不等式的解集有很大的帮助． 基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是：正确理解不等式、不等式的解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示在数轴上． 二、目标和目标解析 教学目标 ．理解不等式的概念 ．理解不等式的解与解集的意义，理解它们的区别与联系．了解解不等式的概念 ．用数轴来表示简单不等式的解集 目标解析 ．达成目标1的标志是：能正确区别不等式、等式以及代数式． ．达成目标2的标志是：能理解不等式的解是解集中的某一个元素，而解集是所有解组成的一个集合． ．达成目标3的标志是：理解解不等式是求不等式解集的一个过程． 达成目标4的标志是：用数轴表示不等式的解集是数形结合的又一个重要体现，也是学习不等式的一种重要工具．操作时，要掌握好“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可，边界点含于解集中用实心圆点，或者用空心圆点；二是定方向，小于向左，大于向右． 三、教学问题诊断分析 本节课实质是一节概念课，对于不等式、不等式的解以及解不等式可通过类比方程、方程的解、解方程类比教学，学生不难理解，但是对不等式的解集的理解就有一定的难 不等关系与不等式导学案 【学习目标】能用不等式（组）正确表示出不等关系, 掌握不等式的基本性质； 【重点难点】作差法比较两实数大小. 【学习过程】 1、用不等式表示不等关系 例1某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示. 变式训练1： （1）b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水更甜了，试根据这个事实写出一个不等式 . （2）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高 0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不 等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 例2 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？变式训练2： 某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式． 2、不等式的基本性质 （1）, a b b c a c >>?>（2）a b a c b c >?+>+ （3）,0 a b c ac bc >>?>（4）,0 a b c ac bc >>?+>+；（6）0,0 a b c d ac bd >>>>?>； （7）0,,1n n n n a b n N n a b a b >>∈>?>> 3、两代数式比较大小 a b a b ->?>0 a b a b -=?=0 a b a b - 第一课时：不等式关系与不等式 知识点一 不等关系 思考 限速40km /h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km /h ，用不等式如何表示？ 答案 v ≤40. 梳理 试用不等式表示下列关系： (1)a 大于b a ＞b (2)a 小于ba b ?a －b >0；a ＝b ?a －b ＝0； a b ?b b ，b >c ?a >c (传递性)； 第三节.不等关系与基本不等式 基本不等式 (3)a >b ?a ＋c >b ＋c (可加性)； (4)a >b ，c >0?ac >bc ；a >b ，c <0?ac 不等关系与不等式 导学案 命制学校：沙市五中命制教师：王旭俐 学习目标： 1了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用； 2掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小． 学习重点：比较两实数大小． 学习难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号 学法指导： 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系 知识： 在日常生活中，我们经常看到下列标志： 问题1：你知道各图中的标志有何作用？其含义是什么吗？ 提示：①最低限速：限制行驶时速v不得低于50公里； ②限制质量：装载总质量G不得超过10 t； ③限制高度：装载高度h不得超过3.5米； ④限制宽度：装载宽度a不得超过3米； ⑤时间围：t∈． 问题2：你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？ 提示：①v≥50；②G≤10；③h≤3.5；④a≤3；⑤7.5≤t≤10. 自主学习： 不等式的概念 我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式． 1．不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等 式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的。 2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换 文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于等于，至少， 不低于 小于等于，至多， 不多于，不超过 符号语言＞＜≥≤ 实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大． 问题1：怎样判断两个实数a、b的大小？ 提示：若a－b是正数，则a＞b；若a－b是负数，则a不等关系与基本不等式同步练习题
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