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复变函数综合练习

综合练习一

1、

设|

|1,|| 1.a z <<证明：

（i ）|

|1;

1z a

-<-

（ii ）

(1||)(1||)

1||;1|1|

z a a z az

az ----=

（iii ）||||

|||||

1||||

1z a z a z a a z a z az

--+≤≤

<-+-

2、设12

12,,,,,,n n z z z ωωω 是任意2n 个复数，证明复数形式

的Lagrange 恒等式： 2

1||(||)(||)||

j j j j j k k j j j j j k n

z z z z ωωωω===≤<≤=-

-∑∑∑∑

并由此推出Cauchy 不等式：

||(||)(||).

j j j j j j j z z ωω===≤∑∑∑

不等式中等号成立的条件是什么？

3、设12,,,n z z z 是任意n 个复数，证明必有{1,2,,}n 的子集E 使得

||||.

j j

j E

j z z ∈=≥

∑∑

4、设无穷三角阵

11212231

a a a a a a

满足

（i ）对任意固定的k ，lim nk k

n a a →∞

=存在；

（ii ）

lim n

n k a →∞

=∑存在；

（iii ）

||,.

nk k a M n =≤<∞?∈∑

证明：若复数列{}n z 收敛，则1lim n

nk k

n k a z →∞=∑存在。

5、证明：若E ? 即是开集又是闭集，则E =?或.E =

6、设E 是非空点集，0ε>。若对于E 中的任意两个点,a b ，

存在E 中的有限个点

01,,,,n a z z z b == 使得

1||k k z z ε--<成立(1)k n ≤≤，则称E 为ε-连通的。证明：紧集连通的充要条件是，对任意0ε>它都是ε-连通的。举例说

明将紧集改为闭集后结论不再成立。

7、设D 是中的域，()f H D ∈，f 在D 中不取零值。证明：对任意0,p >有

222

22|()||()||()|.p p f z p f z f z x y -????'+= ?????

8、设D 是中的域，1

()f u iv C D =+∈。证明：

|||

u u x y f f v

v z z

??????=-??????

特别地，当()f H D ∈时，有

||.

u u x y f v v x y

????'=????

9、设f 在(0,1){1}B 上全纯，并且

((0,1))(0,1),(1)1,f B B f ?=

证明(1)0.f '≥

10、设((0,1)),f H B ∈如果存在0(0,1)\{0}z B ∈，使得

0000||||

()0,()0,|()|max |()|,

z z f z f z f z f z ≤'≠≠=且那么000()

()

z f z f z '>

11、证明(0,1)B 是

()1z f z z

-的单叶性域，并求出

((0,1))f B 。

12、求一单叶全纯映射，把

11(,)22B -

和11

(,)22B 的外部除去线

段[2,0]i -所成的域映为上半平面。

13、设0,(0,)r R f B r <<在中全纯。证明：

（i ）

1(0)();

2i f f re d πθ

θπ=?

（ii ）2

||1

(0)().

z r

f f z dxdy r

π<=

14、设

u 是

(0,)B R 中的调和函数，

0.r R <<证明：

1(0)().

2i u u r e d

θπ

、

（

Schwarz

积

分

公

式

）

设

((0,)

)

((

f H B R C B R f ∈=+ 证明： 20

1Re ()(Re )(0).

2Re i i i z f z u d iv z

πθ

θπ

+-?

16、设

是域

上的连续函数，如果对于任意边界和内部都位

于D 中的弓形域G ，总有()0

G f z dz ?=?

，那么f

是D 上

的全纯函数。如果把弓形域换成圆盘，结论是否仍然成立？

17、证明：幂级数

()

n a

z z ∞

=-∑在域D 上一致收敛，当且仅

当它在D 上一致收敛。

18、设幂级数

()n

n f z a

∞

∑的收敛半径为1，0(0,1).

z B ∈?证明：若lim 0,

n n na →∞=并且

lim ()

r f rz →存在，则

n a

z ∞

=∑收敛

于

lim ()

r f rz →。

19、设

()n

n n f z a z

∞

∑

的收敛半径

||0,0,()max Re ().

z r

R r R A r f z =><<=证明：

（i ）

[R e ()],,

i in n a r f re e

d n πθθ

θπ

?∈?

（ii ）||2()2R e (0),.n n a r A r f n ≤-?∈

20、设

()1n

n n f z a z

∞

==+

∑

在(0,1)B 上全纯，并且

Re ()0,(0,1).f z z B ≥?∈证明：

（i ）

||2,;n a n ≤?∈

（ii ）1||

1||Re ()|()|,(0,1);

1||

z z f z f z z B z z -+≤≤≤

?∈+-

（iii ）2

21213||2,|2| 2.a a a a a a -≤--≤

21、设((0,1)),

f H B ∈并且0((0,1)).f B '??证明：当n 充分

大时，

1()[()()]

n F z n f z f z n

-与()f z '在(0,1)B 中的

零点个数相等。

综合练习二

1、分别利用Liouville 定理、辐角原理、Rouche 定理、最大模原理证明代数学基本定理。

2、设((0,))f H B R ∈，

((0,)),((0,))(0,),(0)0.f H B R f B R B M f ∈?=证明:

（i ）

|()|||,|(0)|,(0,)\{0};

R R f z z f z B R M

'≤

≤

?∈

（ii ）等号成立当且仅当()().

i R f z e z M

θ=

∈

3、设((0,1))f H B ∈，

(0)0f =，并且存在0A >使得R e (),(0,1)f z A z B ≤?∈证明：

2||

,1)

A z f z z

B z

≤?∈- 4、（Caretheodory 不等式）设

||||((0,))((0,)),()m ax |()|,()m ax

R e

z r

f H B R C B R M r f z A r f ==∈== 证明：

2()()|(0)|,[0,).

R r

M r A R f r R R r R r

+≤

?∈--

5、设((0,1))f H B ∈，(0)1,f =并且

Re ()0,(0,1).f z z B ≥?∈利用Schwarz 引理证明：

（i ）1||

1||Re ()|()|,(0,1);

1||

z z f z f z z B z z -+≤≤≤

?∈+-

（ii ）等号在0z ≠时成立当且仅当

1()().

1i i e z f z e z

θ+=

∈-

6、设((0,1)).f H B ∈证明：存在0(0,1)z B ∈?和收敛于0z 的点列{}n z ，使得lim ()

n n f z →∞

存在。

7、求出所有满足|()|1,(0,1)f z z B =?∈?的整函数。

8、设((0,1)),f H B ∈((0,1))(0,1)f B B ?。证明：若

12,,,n z z z 是f 在(0,1)B 中的所有彼此不同的零点，其阶数

分别为12,,,n k k k ，则

1|()||

|,(0,1).

1j n

j j j z z f z z B z z

=-≤

?∈-∏

特别地，有

|(0)|||.

k j

j f z =≤∏

9、设((0,1)),f H B ∈((0,1))(0,1)f B B ?。证明：

|(0)||||(0)|||

|()|.

1|(0)|||

1|(0)|||f z f z f z f z f z -+≤≤

10、设((0,1)),f H B ∈((0,1))(0,1),(0)0f B B f ?=

，证

明：

|(0)||

||(0)|||||

|()|||.

1|(0)|||1|(0)|||

f z f z z f z z f z f z ''-+≤≤''-+ 11、设D 是以圆点O 为中心、以

1234,,,z z z z 为顶点的正方形域，

()()

f H D C D ∈ ，

12[,]

max |()|,max |()|

z z z z D

M f z m f z ∈∈==

线段。证明：

（i ）13

|(0)|;f m M ≤

（ii ）在闭三角型12O z z ?上也有1

44|()|.f z m M ≤

12、将下列初等函数在指定的域D 上展开为Laurent 级数：

（i ）2

,(1,1)\{1};

(1)

D B z z =-

（ii ）

),(0,2)\(0,1);

z L og D B B z -=-

（iii ）1

,,(,5);

(5)

n D B z ∈=∞-

（iv (0,2)\(0,1);

D B B =

（v ）1

1,(,1).z

D B -=∞

13、设0,(0,)\(0,).r R D B R B r <<<∞=证明：若

()n

n n f z a z

∞

=-∞

∑

双全纯地将D 映为域G ，则G 的面积为

222||().

n n n a R

∞

=-∞

-∑

14、（面积原理）证明：若1

1()n

n f z a

∞

∑是(0,1)\{0}B 上

的双全纯映射，则

2||2,a ≤并且2||2a =当且仅当

(),.

(1)

i z f z e θ

θ=

∈-

15、下列初等全纯函数有哪些奇点？指出其类别：

（i ）1

1;1z

e --（ii ）

1sin(

cos z

16、是否存在(0,1)\{0}B 上的无界全纯函数f 使得

lim ()0?

z zf z →=

17、证明：若f 是域D 上的亚纯函数，但不全纯，则存在0R >使得(,)().B R f D ∞?

18、设()n

P z 是n 次多项式，n ∈ 。证明：()z

n e P z -有无数

个零点。

19、证明：留数定理与 Cauchy 积分公式等价。

20、求下列初等函数在指定点的留数：

（i ）3sin R e ,0(0);

sin z s z z ααββ??≠ ???（ii ）1

R e ,(,,).()()n m

s a a b m n z a z b ??≠∈ ?--??

21、利用留数定理和Cauchy 积分定理计算下列积分：（i ）

0sin (,0);

x ax dx a b x b

∞>+?

（ii ）

(11);

1p x

dx p x

∞-<<+?

（iii ）

log ;

x dx x x ∞++? （iv ）

cos (0).

bx dx a ∞

->?

22、（推广的Liouville 定理）设D 是异于的单连通域。证明：若f 是整函数，并且(),f D ? 则f 是常值函数。

23、设D 是异于的单连通域，a D ∈，f 将D 双全纯地映为

(0,1)B ，并且()0,()0.f a f a '=>证明：若g 将D 双全纯地

映为(0,1)B ，1

(0)p g -=，则

()()()

().

|()|1()()g a f z f p g z g a f p f z '-=

24、证明：将(0,1)B 映为n 角形内部的双全纯映射?具有形状

011

()()

k n

z k z k z C a d C α?ζ

ζ-==-+∏?

其中，

12,,,(0,1)n a a a B ∈? 是与该n 角形顶点对应的点；

12,,,n απαπαπ 是该n 角形的内角；0(0,1)z B ∈?。

综合习题三

一、是非题。

1．设复数111iy x z +=及222iy x z +=，若21x x =或21y y =，则称1z 与2z 是相等的复数。

（）

2．函数z z f Re )(=在复平面上处处可微。（） 3．1

cos

sin 2

=+z z 且

|cos |,1|sin |≤≤z z 。

（）

4．设函数)(z f 是有界区域D 内的非常数的解析函数，且在闭域

D D D ?+=上连续，则存在0>M ，使得对任意的D z ∈，

有M z f <|)(|。（）

5．若函数)(z f 是非常数的整函数，则)(z f 必是有界函数。（）

6. 当复数0=z 时，其模为零，辐角也为零。（）

7．若0z 是多项式0

1)(a z a z a z P n n n

n +???++=--（0≠n a ）的根，则0z 也是)(z P 的根。

（）

8．如果函数)(z f 为整函数，且存在实数M

，使得M

z f <)(Re ，则

)

(z f 为一常数

。

（）

9．设函数)(1z f 与)(2z f 在区域D 内解析，且在D 内的一小段

弧上相等，则对任意的D z ∈，有)(1z f ≡)(2z f 。

（）

10．若∞=z 是函数)(z f 的可去奇点，则0

)(Re =∞

=z f s z 。

（）

二、填空题。 1． ____5

=???i i i i 。

2．设0

≠+=iy x z ，且

π≤<-z a r g ，

arctan 2

<-x y ，

当

,0<

，

c t a n a

r g +=x

z 。

3．若已知

)

1()1

1()(2

x iy y

x x z f +-

+++

=，则其关于变量

z 的表达式为__________。

4．

z 以____________

=z 为支点。

5．若

z 2

ln π=

，则______________

__________

=z 。

6．

__________

||=?=z z

dz 。

7．级数???++++6

1z z z

的收敛半径为

________________________。

8．nz cos 在n z <||（n 为正整数）内零点的个数为________________________ 9．若a z =为函数)(z f 的一个本质奇点，且在点a 的充分小的

邻

域内不

为

零

，则a

z =是

)

z f 的

___________________

奇点。

10．设a

为函数

)(z f 的

n 阶极点，则

_________

__________

)

()(Re ='=z f z f s

z 。

11． ____6

=????i

i i

。

12．设0≠+=iy x z ，且π

π≤<-z a r g

，

arctan 2

<-x

y ，

当

0,0>

，

___

c t a n a

r g +=x

z 。

13．函数

z w 1

将z 平面上的曲线1)1(2

=+-y

x 变成w 平

面上的曲线__________。

14．方程)0(04

4>=+a a

z 的不同的根为

________________________。

．

______________

__________

)1(i

i +。

．级数

n n

∑∞

=-+0

])

1(2[的收

敛半径为

______________

__________。

17．nz cos 在n z <||（n 为正整数）内零点的个数为________________________。 18．函数)6(sin 6)(6

-+=z z z z f 的零点0=z 的阶数为

______。

19．设a 为函数

)()

()(z z z f ψ?=

的一阶极点，且

0)(,0)(,0)(≠'=≠a a a ψψ?，则

_________

__________

)(Re ==z f s a

z 。

20．设

a 为函数

)(z f 的m

阶极点，则

_________

__________

)

()(Re ='=z f z f s

三、计算题。

1、计算下列各题。

(1) )43(i Ln +-; (2) 6

e π+

-; (3) i

i +-1)

2、设区域D 是沿正实轴割开的z 平面，求函数5

z w =

在D

内满足条件

115

-=-的单值连续解析分支在i z -=1处

之值。

3、设y x u )1(2-=，验证u 是调和函数，并求解析函数

iv u z f +=)(，使之i f -=)2(。

4、试求2

)(z z f +=

以i z =为中心的洛朗级数。

5、

1)(2

z Lnz

z f 的各解析分支在

1=z 各有怎样的孤立

奇点，并求这些点的留数。

6、求积分

++-i

ix y x 10

])[(。积分路径为(1)自原点到

i +1的直线段；(2) 自原点沿虚轴到i

，再由i 沿水平方

向向右到

i +1。

7、求下列积分。

（1）

z z z

z ?

=++4

||3

)

2()1(，（2）

∞

+∞

-+2

)

(a x dx x （0>a ）。

8、叙述儒歇定理并讨论方程0252

=-+-z z

z 在1

9、求下列幂级数的收敛半径。

（1）

n n

i ∑∞

=+0

)

1( （2）

n n

n ∑

∞

)!(

10、设)()(2

lxy x i y nx my z f +++=为复平面上的解

析函数，试确定n m l ,,的值。

四、综合题。

1、设函数)(z f 在区域D 内解析，)(z f 在区域D 内也解析，

证明)(z f 必为常数。

2、证明0=++b z a z a 的轨迹是一直线，其中a 为复常数，

b 为实常数。

3、讨论函数z

z f =)(在复平面上的解析性。

4、证明：

)

(

!21n z

d n

e z i n

z n =?

πξ。

此处C 是围绕原点的一条简单曲线。

综合习题四

一、填空题

1、设)sin (cos θθi r z +=，则1

____________

z =。

2、设函数

),(),()(y x iv y x u z f +=，00iv u A +=，

000iy x z +=，则A z f z z =→)(lim 0

的充要条件是

00(,)(,)

lim (,)____

x y x y u x y →=，

00(,)(,)

lim (,)_____

x y x y v x y →=。

3、设函数)(z f 在单连通区域D 内解析，则)(z f 在D 内沿任

意一条简单闭曲线C 的积分()_______

f z dz =?。 4、设a z =为)(z f 的极点，则lim ()______

z a

f z →=。

5、设z z z f sin )(=，则0=z 是)(z f 的

____阶零点。

6、设

)(z z f +=

，则)(z f 在0=z 的邻域内的泰勒展式

为_______。

7、设b a z a z =++-||||，其中b a ,为正常数，则点z 的轨

迹曲线是_______。

8、设

cos

sin

i z --=，则z

的三角表示式为

___________________。

9、 40

cos __________

z zdz π

。

10、设2

)(z e

z f z -=

，则)(z f 在0=z 处的留数为________。

11、设)sin (cos θθi r z +=，则_________n

z =。 12、设a z =为)(z f 的可去奇点，则)(lim z f a z →为______

。

13、设)1()(2

-=z

z z f ，则0=z 是)(z f 的______阶

零点。

14、设

)(z z f -=

，则)(z f 在0=z 的邻域内的泰勒展式

为_______。

15、设α

αcos sin i z +=，则z 的三角表示式为

)

sin(

cos(

απ

-+-=i z 。

16、11

_______________

ze dz +=?

。

17、设

z z z f 1

sin

)(2

=，则)(z f 在0=z 处的留数为

________。

二、计算题。

18、计算下列各题。

(1) i cos ; (2) )32ln(i +-; (3) i

-33

19、求解方程083

=+z 。

20、设xy y x

u +-=2

，验证u 是调和函数，并求解析函数

iv u z f +=)(，使之i i f +-=1)(。

21、计算积分。

(1)

iy x )(2

，其中C 是沿2

x y =由原点到点

i z +=1的曲线。

(2)

++-i

ix y x 10

])[(。积分路径为自原点沿虚轴到i ，

再由i 沿水平方向向右到i +1。

试将函数)2)(1(1

)(--=

z z z f 分别在圆环域

1||0<

22、计算下列积分。

(1)

dz z z z z ?

=--2

||2

)

1(25; (2)

z z z

z ?

=-4

||2

)

1(sin

23、计算积分dx x x

?∞

+∞-+42

1。

25、求下列幂级数的收敛半径。

（1）

-∞

=∑

n n z

n （2）

n n

n ∑

∞

=-1

)1(

26、讨论2

||)(z z f =的可导性和解析性。

27、计算下列各题。

(1) )43(i Ln +-; (2) 6

e π+

-; (3) i

i +-1)

28、求解方程023

=+z 。

29、设y x u )1(2-=，验证u 是调和函数，并求解析函数iv u z f +=)(，使之i f -=)2(。

30、计算积分

++-i

ix y x 10

])[(。积分路径为(1)自原点到

i +1的直线段；(2) 自原点沿虚轴到i ，再由i 沿水平方向向右到i +1。

31、试求

)(z z f +=

以i z =为中心的洛朗级数。

32、计算下列积分。

(1)

dz z z z ?

||2

)

(sin π

; (2)

z z z z ?

=--4

||2

)

3(2.

33、计算积分?

+π

θθ

20cos 35d 。

34、求下列幂级数的收敛半径。(6分)

（1） n

n n

i ∑∞

=+0)

1( （2）n

n n

n ∑

∞

)!(

三、证明题。

1、设函数)(z f 在区域D 内解析，|)(|z f 为常数，证明)

(z f 必为常数。

2、试证明0=++b z a z a 的轨迹是一直线，其中a 为复常数，

b 为实常数。

设函数)(z f 在区域D 内解析，)(z f 在区域D 内也解析，证明

)(z f 必为常数。

北航 971 机械考研真题

机械工程及自动化专业Mechanical Engineering & Automation 卓越工程师培养计划

机械工程及自动化专业卓越工程师培养计划 Mechanical Engineering & Automation 1．培养目标结合我校人才培养的总体目标，培养面向未来发展,富有创新潜质，具备团队精神，善于学习实践的高层次高素质人才。同时，通过各类专业课程的学习，提高学生的综合素质，使其成为能在机械工程及自动化及相关领域从事应用研究、科技开发、设计、制造、运行管理等方面工作的高级人才。在机械工程及自动化专业中，借助企业实训，提高工程实践的比重，结合本研一体的培养方式，打造具有工程实践能力、创新能力和国际竞争力的卓越工程师。 2．培养要求学生应具有坚定正确的政治方向，热爱祖国，拥护中国共产党领导，愿为祖国现代化建设服务，为人民服务，有为国家富强、民族昌盛而奋斗的志向和责任感；确立正确的世界观、人生观和价值观，具有敬业爱岗、艰苦奋斗、遵纪守法、勇于创新、团结合作的品质；具有良好的思想品德、社会公德和职业道德。要系统而牢固地掌握本专业必需的数学、物理等自然科学基础知识，系统而牢固地掌握工程力学、机械设计、机械制造、电工电子、计算机应用基础等现代工程技术基础知识，了解人文社会科学和社会科学的基础知识，具有较宽的专业知识和相关的工程技术知识，具有初步的科学研究及组织管理能力；具有较强的自学能力、工程实践能力和创新意识；掌握设计与绘图技能，掌握实验测试和计算机应用技能，有较好的表达能力和组织工作能力，熟练掌握一门外语；具有本专业某个方向所必要的专业知识，了解学科的发展前沿，能利用已经掌握的知识，融会贯通，通过机械工程、航空宇航制造、材料加工工程的知识交叉，培养创新意识，对学习有主动性和自觉性。学生应具有良好的身体素质和心理素质，掌握科学锻炼身体的基本技能，达到国家规定的大学生体育和军事训练合格标准，能履行建设祖国和保卫祖国的神圣义务。 3．学制与学位学制4年，达到专业培养计划和学位条例要求者授予工学学士学位。 4．专业特色本专业的特点可归结为以机为主，机电结合，机械技术与自动化技术、电子技术、信息技术、管理技术紧密结合，注重工程实践能力的培养，结合航空航天特点，突出新技术、新工艺、新材料的理论及应用，突出计算机在机械工程中的应用。 5．培养计划总体结构本专业指导性培养计划的总体结构如下：

复变函数试题及答案

1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数

4、根式31-的值之一是（） A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1w 的分式线性变换是（） A )1(1>--=a z a a z e w i β B )1(1<--=a z a a z e w i β C )1(>--=a a z a z e w i β D )1(<--=a a z a z e w i β 三、判断题（每小题2分）

复变函数试题与答案

第一章复数与复变函数一、选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（）（A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3

７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（）（A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续

北航2014-2015复变函数期末考试模拟题

《复变函数与积分变换》复习模拟题考试课程复变函数与积分变换A 班级学号姓名成绩年月日

（试题共5页）一、选择题(每题3分，共27分) 1．当i i z -+= 11时，50 75100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．0 0) Re()Re(lim z z z z z z --→（）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 3．设C 为椭圆1942 2 =+y x 正向，则积分 ?C z z d 1 = （）（A ）i π2 （B ）π （C ）0 （D ）i π2- 4. 设c 为正向圆周21 = z ，则=--?z z z z c d ) 1(2 1 cos 3 （）（A ）1 2-ie π （B ）0 （C ）ie π2 （D ）ie π2- 5．设0=z 为函数 z z z z sin sin -的m 级极点，那么=m （）（A ）4 （B ）3 (C)2 （D ）1 6．设c 为正向圆周1=z ，则 ? C z dz =（）（A ）2i π （B ）2π （C ）-2i π （D ）-2π 7．若幂级数 ∑∞ =0 n n n z c 在i z 21+=处收敛，该级数在i z +=2处的敛散性为（）（A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）不能确定 8.在下列函数中，0]0),([Re =z f s 的是（）（A ） 2 1)(z e z f z -= （B ）z z z z f 1 sin )(-= （C ）z z z z f cos sin )(+= (D) z e z f z 1 11)(--= 9. 设,)(2it e t f -= 则)(t f 的傅立叶变换为

复变函数经典习题及答案

练习题一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ），主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（绝对收敛）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点；二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13

《复变函数论》试卷一

《复变函数论》试卷一一、填空（30分） 1. 将复数()πααα≤≤+-=0sin cos 1i z 化为三角表示式，则=z 把它化为指数表示式，则=z 2.=+i e π3 ，()i i +1的辐角的主值为 3. =z 0是()44sin z z z f =的阶零点. 4.0z 是()z f 的()1>m m 阶零点，则0z 是 () z f '1 的阶极点. 5.已知()()2323cxy x i y bx ay z f +++=为解析函数，则___________________===c b a 6.方程0273=+z 的根为，，二、简要回答下列各题（15分） 1. 用复数i 去乘复数i +1的几何意义是什么？ 2. 函数()z f 在0z 解析有哪几个等价条件？ 3. 设函数()z f 在单连通区域D 内处处解析，且不为零，C 是D 内的任一简单闭曲线，问积分()() dz z f z f c ? '是否等于零，为什么？三、计算下列积分（16分） 1. c zdz ?，c 是从点1i -到点1i +的有向直线段 2. 20 2cos d πθ θ +? 四、（12分）求函数() 1 1z z +在圆环112z <-<内的洛朗级数展开式.

五、（12分）证明方程24290z z ++=在单位圆1z =内及其上无解. 六、（15分）求映射，把带形区域0Re 2z <<共形映射成单位圆1w <，且把1z =映射成0w =，把2z =映射成1w =. 《复变函数》试卷二一、填空题（20分） 1. －2是的一个平方根 2. 设2 1i z --= ，则，=z Argz ＝ =z Im 3. 若2 2z z =，则θi re z =满足条件 4. =z e e ，() =z e e Re 5. 设1≠=θi re z ，则()=-1ln Re z 6. 设变换βαβα,,+=z w 为复常数，则称此变换为变换，它是由等三个变换复合而成. 7. 幂级数∑∞ =1 2n n n z n 的收敛半径=R 8.函数 b az +1 在0=z 处的幂级数展开式为，其收敛半径为 9.变换z e W =将区域π<

复变函数试题与答案

复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-

５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i -- 4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（）

第二学期复变函数论期末试卷A

黄冈师范学院 2009—2010学年度第二学期期末试卷考试课程：复变函数论考核类型：考试A 卷考试形式：闭卷出卷教师：考试专业：数信学院数教考试班级：数教200701-02班一、选择题（每小题4分，共20分） 1、复数i z 45-=，则=2Re z （） A 、40 B 、9 C 、-40 D 、-9 2、关于复数z ，下列不正确的是（） A 、||2z z z = B 、)Im()Re(iz z = C 、z Argz arg = D 、z z sin )sin(-=- 3、已知xy i y x z f 2)(22+-=，则)(z f ''是（） A 、2 B 、y x 22- C 、2z D 、0 4、下列等式中不正确的是（） A 、?==0cos 111z dz z B 、02111=?=dz e z z z C 、??=dz z f k dz z kf )()( D 、? =z z e dz e 5、下列级数收敛的是（） A 、∑∞ =+1)21(n n i n B 、∑∞=??????+-12)1(n n n i n C 、∑∞=02cos n n in D 、∑∞=+o n n i )251( A 卷【第 1 页共 2 页】

二、填空题（每小题4分，共20分） 1、=-)22(i Arg ____________； 2、函数z e z f =)(是以 _______为基本周期； 3、幂级数∑∞ =12n n n z 的收敛半径R=____________； 4、函数()z z f cos =在0=z 处的泰勒级数是_________ ； 5、计算积分?==1||1 2 z z dz e 二、判断题（每小题2分，共10分） 1、在几何上，θi re z =与)2(πθk i re z +=表示同一个复角.（） 2、当复数z=0时，则有0=z 和0arg =z .（） 3、可导函数一定处处连续，连续函数不一定处处可导.（） 4、若)(z f 在区域D 内解析，则)(z f 在D 内存在无穷阶导数.（） 5、收敛级数的各项必是有界的.（）三、计算及证明题（8+8+10+12+12，共50分） 1、若0321=z z z ，则复数321,,z z z 中至少有一个为零（8分） 2、已知解析函数iv u z f +=)(的虚部为222121y x v +- =，且0)0(=f ，求)(z f （8分） 3、已知c 为从z =0到z =2+i 的直线段，求?dz z c 2（10分） 4、将z e z -1在0=z 处展成幂级数（12分） 5、将函数2 )(+=z z z f 按1-z 的幂展开，并指出它的收敛范围.（12分） A 卷【第 2 页共 2 页】

【北航保研辅导班】北航软件学院推免保研条件保研材料保研流程保研夏令营

【北航保研辅导班】北航软件学院推免保研条件保研材料保研流程保研夏令营 2018年保研夏令营已陆续拉开帷幕，为了方便考生及时全面的了解985/211等名校保研信息，启道保研小编为大家整理了2018年名校各院系保研汇总信息，以供考生参考。一、北航软件学院保研资格条件（启道北航保研辅导班） 1．热爱祖国，拥护中国共产党的领导，具有高尚的爱国主义情操和集体主义精神，社会主义信念坚定，社会责任感强。 2．具有推荐免试资格的高校优秀应届本科毕业生，本科前三学年综合成绩在学院年级排名前25%。 3．有学术论文发表、获得专利、学科竞赛、科技活动等获奖者综合成绩排名可以适当放宽。 4．研究兴趣浓厚，有较强的专业基础、创新意识和创新能力。 5．诚实守信，品行端正，无任何考试作弊、学术不端以及其他违法违纪处分记录。 6．身体健康状况符合《北京航空航天大学招收学历研究生体检工作标准》的体检要求。二、北航软件学院保研政策（启道北航保研辅导班）一、招收项目：本年度推荐免试研究生接受以下项目的申请： 1、085212专业硕士 2、083500学术型二、申请材料： 1．《北京航空航天大学接收推荐免试攻读2018年研究生申请表》原件一份（须本人签字）。 2．有效居民身份证的复印件一份（正反面需复印在A4纸张的同一页面上）。 3．政审表纸质版一份，具体填写要求见其说明。 4．“思想政治与道德品格”情况的书面小结一份。 5．对申请有参考价值的本人自述（限500字以内）一份。 6．加盖所在学校教务处公章的本人本科阶段成绩单原件一份。 7．提交加盖所在学院（或者学校）公章的本人排名证明原件一份。

8．若本人发表过学术论文或出版物，提交复印件一份。 9．若本人在学期间，有学科竞赛、科技活动等各种获奖证明，提交复印件一份。 10．近一个月内由二级甲等以上（含二级甲等）医疗机构或北航校医院出具的体格检查表一份，体格检查表上的体检内容不得少于附件样表所列项目，并且注意须随体格检查表附各种检查的化验单。。三、申请材料审核及复试资格确认每一位申请推免的学生须提供完整有效的申请材料，材料不完整者取消推免资格。申请者请到北航研究生招生信息网https://www.wendangku.net/doc/0a1091363.html,/查阅相关说明及要求，下载申请表，按照软件学院要求的截止日期将全部申请材料（统一用A4纸）寄（或送）达软件学院的研究生教务办公室。软件学院接收材料的截止时间为2017年9月22日（以收到日期为准，如需快递，建议采用顺风快递）。申请者需及时登录教育部的“推免服务系统”（https://www.wendangku.net/doc/0a1091363.html,/tm)，完成注册、填写个人基本信息、上传照片、网上支付、填写志愿等步骤，网报志愿须与纸质材料填写志愿一致。四、复试形式复试共分为四个环节，采取差额面试，考生的面试总时间不少于20分钟。各个环节的面试内容如下：第一环节：思想政治与道德品格（100分）个人陈述思想政治与道德品格的情况并接受面试提问和答题。第二环节：英语（100分）面试采用口语交流形式，考查英语能力。第三环节：专业基础（150分）主要考查软件工程、操作系统、编译原理、计算机网络、数据库基本概念的掌握程度。第四环节：专业实践与综合能力（150分）主要考查软件工程的专业实践能力和专业综合能力（考生可介绍课程大作业、专业实习与实践、科技创新创意创业实践、毕业设计等）。第一、二、三、四环节为并行环节，考生总体上按照复试时间及名单的顺序，根据各个环节的面试情况，在助管老师的协调下，进入各个环节的面试；整个面试过程全程录音、录像。

复变函数测试题及答案

第一章复数与复变函数一、选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（）

（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z

（C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z

《复变函数》-期末试卷及答案(A卷)

《复变函数》试卷第1页（共4页）《复变函数》试卷第2页（共4页） XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试复变函数试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。） 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0= z 处可导 D.处处连续，仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin π=?dz z z C n ，则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ，则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<-

第一章复变函数习题及解答

第一章复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-；（2） ππ2(cos isin )33-；（3）1cos isin αα-+；（4）1i e +；（5）i sin R e θ ；（6）i + 答案（1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π 2π,0,1,2,3k k +=±±；主辐角为4π 3；原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ．（2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 1.2 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-；答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 1.3计算下列复数（1 （2 答案（1）（2）(/62/3) i n e ππ+ 1.4 已知x 的实部和虚部．

【解】令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 22 1,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+ 即实部为 ,x ± 虚部为说明已考虑根式函数是两个值，即为±值． 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 1() ()1||||| |||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++ 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -一定也是该方程的根．证因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =，故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 ()( ) 00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根．注此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 1.7 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值.

复变函数及积分变换试题及答案

第一套第一套一、选择题（每小题3分，共21分） 1. 若（），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。 A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。 2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（）。 A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C + 3. 2|2|1(2)z dz z -==-?（）。 A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（）。 A. 1 01 ()2()n n f d c i z ξξ πξ+= -? B. 0()!n n f z c n = C. 2 01()2n k f d c i z ξξπξ= -? D. 210! ()2()n n k n f d c i z ξξ πξ+= -? 5. z=0是函数z z sin 2 的（）。 A.本性奇点 B.极点 C. 连续点 D.可去奇点 6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（）。 A.1 z z w -= B. z 1z w -= C. z z 1w -= D. z 11 w -= 7. sin kt =（）L （），（()Re 0s >）。 A. 22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. k s 1 . 二、填空题（每小题3分，共18分） 1. 23 (1)i += [1] ； ---------------------------------------- 装 --------------------------------------订 ------------------------------------- 线 ----------------------------------------------------

复变函数试题及答案

一、填空题（每小题2分） 1、复数i 212-- 的指数形式是 2、函数w =z 1将Z S 上的曲线()1122=+-y x 变成W S (iv u w +=)上的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 2222= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11- -的奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续

B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（） A i 232 1- B 2 23i - C 223i +- D i 2 3 21+ - 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（） A z 1sin 1 B z 1 cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =- 1 2 3 z z dz B ?=- 1 2 1 z z dz C ?=++12 42z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（） A ()∑∞ =+-0 2121n n n n z （z <1） B () ∑∞ =+-0 1 221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-0 1 2121n n n n z （z <1） D () ∑∞ =-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1

复变函数与积分变换试题及答案(2)

复变函数与积分变换试题与答案 1.（5）复数z与点(,) x y对应,请依次写出z的代数、几何、三角、指数表达式和z的3次方根。 2.（6）请指出指数函数z e w=、对数函数z w ln =、正切函数=的解析域，并说明它们的解析域是哪类点集。 z w tan 3.（9）讨论函数2 2i =的可导性，并求出函数)(z z f+ ) (y x f在可导点的导数。另外，函数) f在可导点解析吗？是或否请说明 (z

理由。 4.（7）已知解析函数v u z f i )(+=的实部y x y u 233-=，求函数 v u z f i )(+=的表达式，并使0)0(=f 。 5.（6×2）计算积分：（1）?+-C n z z z 1 0) (d ,

其中C 为以0z 为圆心,r 为半径的正向圆周, n 为正整数；（2）?=+-3||2d ) 2()1(e z z z z z 。 6.（5×2）分别在圆环（1）1||0<

7.（12）求下列各函数在其孤立奇点的留数。 (1) 3 sin )(z z z z f -=; (2) z z z f sin 1)(2=; (3) 11 e )(-=z z z f . 8.（7）分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是什么。

9.（6分）求将上半平面 0)Im( z 保形映照成单位圆 1|| w 的分式线性函数。 10.（5×2）（1）己知 F )()]([ωF t f =，求函数)52(-t f 的傅里叶变换；（2）求函数) i 5)(i 3(2 )(ωωω++= F 的傅里叶逆变换。

北航考博英语题型侧重点分析及复习建议

北航考博英语题型侧重点分析及复习建议北航考博英语题型为：（1）听力（20分）：10个短对话（10分）+2—3篇短文（10分）复习建议：现场考试时听力为外放，效果不是很好，请考生提前做好心理准备。听力总体不是很难，难度高于四级，接近或者略低于六级和考研水平。从朗读银色判断，个人感觉其素材可能摘自六级模拟试题。因此，复习时可以选用六级或者硕研真题进行训练。考前一个月最好保证每天1-2个小时的听力训练时间。另外，在英语考试前15分钟，最好能够听一段英文对话，进行考前热身，这样能够迅速进入听力考试状态。（2）阅读理解（30分）：4篇短文，5题/篇(1.5分/题) 复习建议：北航考博英语阅读理解仍在六级或硕研水平，复习材料首先推荐的是历年考博真题和《考博英语阅读理解220篇》，然后可以选取相应的六级或者硕研真题进行训练。（一般不建议拿六级或硕研模拟题进行训练，市场上的模拟试题质量参差不齐，而且其中很多的出题思路与真题相差甚远，所以还是建议用专业的《考博英语阅读理解220篇》和考博历年真题作为复习材料）。阅读理解是长期积累的过程，建议复习期间保证每天的阅读量。另外，在做模拟题或真题时，核对答案之后，要对答案进行认真分析，这点很重要。具体的分析方法和思路可以参考六级或者硕研辅导书后的思路。不要光对答案，时间允许的话，最好分析题目中各个选项对在哪里，错在哪里，并做好总结笔记，这样对提高阅读理解能力会有一定的帮助。（3）词汇（10分）：20题(0.5分/题) 复习建议:考察的重点多为词汇词组的辨析，题型接近六级真题。单词量至少达到六级或硕研水平。复习时应注意近义词汇（包括形近，意近等）的含义辨析，并掌握熟词的多种释义及多种用法，扩大词汇量，加深对基本重点词汇的含义及用法的掌握。复习时首先选取一本适合自己的单词书进行背诵，推荐使用《考博英语词汇10000详解》，同时并认真研究历年考博真题，另外，如果想进行模拟训练，可以拿各高校的考博词汇题进行练习（北理工（10年以前），人大中科院等院校的词汇题题型类似，可以作为参考复习资料）。（4）完形填空（10分）：20题(0.5分/题) 北航的完形填空是传统的有选项的填充题型。考察重点为词汇的辨析使用，连接词的运用，常见语法以及文章结构的分析等知识点。难度适中。复习建议：完形填空考察的能力有词汇辨析能力，阅读理解能力，语法运用能力等综合能力。因此复习要从提高综合能力入手。一般建议先将文章通读一遍，掌握文章的总体结构和基本内容，然后再填空，填空完毕后，再进行最后一次通读，以检查错误并核对连贯性，可用资料为《考博英语完形填空专项训练》。复习时首先要研究历年考博真题，不会的单词和语法知识点可以查阅参考书或请教老师同学。另外，如果时间充足，可以选一本考博辅导书的完形填空部分进行练习，当然，六级和硕研真题的完形部分也是不错的模拟素材。

《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案[1]

一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 31i -的幅角是（ 2,1,0,23 ±±=+- k k ππ ）； 2.)1(i Ln +-的主值是（ i 4 32ln 21π + ）； 3. 2 11)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ）， 4．0=z 是 4 sin z z z -的（一级）极点； 5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题4分，共24分） 1．解析函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ）；（A ） y x iu u z f +=')(；（B ）y x iu u z f -=')(；（C ） y x iv u z f +=')(；（D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周 3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=?C z z f ．（A ） 23-z ；（B ）2 ) 1(3--z z ；（C ） 2)2()1(3--z z ；（D ） 2 )2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛，则级数在（C ）（A ）2-=z 点条件收敛；（B ）i z 2=点绝对收敛；（C ） i z +=1点绝对收敛；（D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B ) （A ）如果函数 )(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果 )(z f 在C 所围成的区域内解析，则 0)(=? C dz z f （C ）如果0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、) ,(y x v

复变函数综合练习

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