历年高考数学圆锥曲线试题汇总
高考数学试题分类详解——圆锥曲线
一、选择题
1.设双曲线22221x y a b
-=（ａ＞0，b>０）的渐近线与抛物线y=x 2
+1相切,则该双曲线的离心率等于
（ Ｃ ）
（A)3 (B)2 (Ｃ)5 （D ）6
２.已知椭圆2
2:12
x C y +=的右焦点为F ，右准线为l ，点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3FA FB =,则||AF =
(A). 2 (B). 2 (C).3 （D ）. 3
3．过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线
的交点分别为,B C .若1
2
AB BC =,则双曲线的离心率是 （ ）
A.2
B.3
C.5 D ．10
4.已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直线
AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ )
A ．
3 B ．22 Ｃ．13 D ．12
5.点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2
y x =于,A B 两点,且
|||PA AB =,则称点P 为“
点”，那么下列结论中正确的是 （ ) A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“
点”
Ｄ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点)是“
点”
６.设双曲线12222=-b
y a x 的一条渐近线与抛物线ｙ=x 2
+1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为
（ ）．
Ａ.
4
5
B. ５
C. 2
5
D.5 2
A ．2
4y x =± Ｂ.2
8y x =± C. 2
4y x = Ｄ. 2
8y x =
8.双曲线13
62
2=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切,则ｒ= (Ａ)3 (B)2 (C ）３ （D ）6
9.已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C:x y 82
=相交A 、B 两点，Ｆ为C 的焦点。若FB FA 2=，则ｋ=
(A)
31 (Ｂ）32 (Ｃ）3
2 (D)322
10．下列曲线中离心率为6的是
(A ）22124x y -= (B)22142x y -= (C ）22146x y -= (Ｄ）221410
x y -=
11．下列曲线中离心率为
6
2
的是 A. ? B. ? C. ?D ．
1２．直线过点(-１,2）且与直线垂直,则的方程是 A. B.
Ｃ.
Ｄ．
1３.设1F 和2F 为双曲线22
221x y a b
-=(0,0a b >>）的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的
三个顶点，则双曲线的离心率为
A.
32 B.2 Ｃ．5
2
D.3 14．过椭圆22
221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点,若
1260F PF ∠=,则椭圆的离心率为
A.
22 B.33 C ．12 D.13
15.设双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的虚轴长为2,焦距为32,则双曲线的渐近线方程为（ )
A x y 2±=
B x y 2±= Ｃ x y 22±
= D x y 2
1±= 16.已知双曲线22122x y -=的准线过椭圆22
214x y b
+=的焦点,则直线2y kx =+与椭圆至多有一个交点的充要条件是
A ． 11,22K ??∈-
???? B. 11,,22K ?
???
∈-∞-+∞ ??
?????
Ｃ. ,22K ?∈-??? D. 2,,22K ???
∈-∞-+∞ ?? ?????
1７.已知双曲线
)0(122
2
2>=-b b y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ,其一条渐近线方程为x y =,点),3(0y P 在双曲线上．则1PF ·2PF =
A ． －12 B. -２ Ｃ． ０ Ｄ. 4
18.已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2
:8C y x =相交于A B 、两点,F 为C 的焦点，若
||2||FA FB =，则k =
A ．
13 B.3 ?Ｃ. 2
3
D. 3
１9．已知双曲线()22
2210,0x y C a b a b
-=>>：的右焦点为F ,过F C 于A B
、两点，若4AF FB =，则C 的离心率为
A ．
65 Ｂ． 75 Ｃ． 58 D. 9
5
２０．抛物线2
8y x =-的焦点坐标是【 】
Ａ．(２，０） B.（－ 2，0) C.(４,0） D ．（- ４,0)
2１.已知圆C 与直线x-ｙ＝0 及x －y-４＝０都相切,圆心在直线x ＋y=0上,则圆Ｃ的方程为 (A ）2
2
(1)(1)2x y ++-= (B ） 2
2
(1)(1)2x y -++= （C) 2
2
(1)(1)2x y -+-= (Ｄ) 2
2
(1)(1)2x y +++=
２2.双曲线24x -2
12
y =１的焦点到渐近线的距离为
（A ）（B)２ (C （D ）1
的中点为(2,2），则直线ι的方程为_______＿＿_＿＿_．
２4.过原点且倾斜角为60?的直线被圆学2
2
40x y y +-=所截得的弦长为 (A)3 (Ｂ)2 （C)6(D)23
２５．“0m n >>”是“方程2
21mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的
(A ）充分而不必要条件 (B ）必要而不充分条件
(C)充要条件 (Ｄ) 既不充分也不必要条件
26.已知双曲线
)0(1222
2>=-b b
y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =,点),3(0y P 在双曲线上.则1PF ·2PF =
A. -１2
B. -2
C. ０
D. 4
2７.设双曲线()222200x y a b a b
－＝1＞，＞的渐近线与抛物线2
1y ＝x ＋
相切,则该双曲线的离心率等于 （A 3）2 （5 628.已知椭圆2
2:12
x C y +=的右焦点为F,右准线l ，点A l ∈，线段ＡＦ交C 于点Ｂ。若3FA FB =,则AF ＝
（2 (Ｂ) 2 （C ）
3 (D) 3
29.已知双曲线141222
2
222=+=-b y x y x 的准线经过椭圆(b>0）的焦点，则b=
A ．3 B.5 C.3 D.2
30.设抛物线2
y =2x 的焦点为F ，过点30)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线
相交于Ｃ,BF =２,则?ＢCF 与?ACF 的面积之比
BCF
ACF
S S ??= （A)
45 (B ）23 (C)47 （D)1
2
31.已知双曲线
22
21(0)2x y b b
-=>的左右焦点分别为12,F F ，其一条渐近线方程为y x =,点0(3,)P y 在该双曲线上，则12PF PF ?=
A. 12-
B. 2- C .０ D. 4
距离之和的最小值是
A.2 Ｂ.3
C.
115 D.3716
33.已知圆1C ：2
(1)x ++2
(1)y -=１,圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为 (A ）2
(2)x ++2
(2)y -=1 （Ｂ)2
(2)x -+2
(2)y +=１ (C ）2
(2)x +＋2
(2)y +=1 (D ）2
(2)x -+2
(2)y -=１
34.若双曲线()22
2213
x y a o a -=>的离心率为2，则a 等于
A. 2
B.
3 C ．
3
2
D. 1 35.直线1y x =+与圆2
2
1x y +=的位置关系为（ ） Ａ．相切
B ．相交但直线不过圆心 Ｃ.直线过圆心?? D.相离
3６.已知以4T =为周期的函数21,(1,1]
()12,(1,3]
m x x f x x x ?-∈-?=?--∈??，其中0m >。若方程3()f x x =恰有5
个实数解,则m 的取值范围为（ )
A.158(
,)3
B.15
(
,7) ?C ．48(,)33? D.4(,7)3
3７.圆心在y 轴上,半径为１,且过点（1,2)的圆的方程为（ ） A ．2
2
(2)1x y +-= B.2
2
(2)1x y ++= C ．2
2
(1)(3)1x y -+-=?
D.22
(3)1x y +-=
3８.过圆2
2
(1)(1)1C x y -+-=：的圆心,作直线分别交x 、y 正半轴于点A 、B ，AOB
?被圆分成四部分(如图),若这四部分图形面积满足|||,S S S S I ∏+=+则直线ＡB 有( ） (Ａ) 0条 (B) 1条 (C) 2条 （D ） 3条
二、填空题
1.若⊙221:5O x y +=与⊙22
2:()20()O x m y m R -+=∈相交于Ａ、B 两点,且两圆在点A 处的切线
互相垂直，则线段AB 的长度是 w
2.若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22,则m 的倾斜角可以是 ①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75
其中正确答案的序号是 .(写出所有正确答案的序号）
3．若圆224x y +=与圆22
260x y ay ++-=（a>0)的公共弦的长为3，则=a _______＿
４.过原点Ｏ作圆x 2
+ｙ2
6-?
x-8y+20＝０的两条切线，设切点分别为P 、Ｑ，则线段ＰQ 的长为 。
5．已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆上存在一点P 使
1221
sin sin a c PF F PF F =，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
6.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点
P 使
1221sin sin PF F a
PF F c
=，则该双曲线的离心率的取值范围是 .
7.椭圆22
192
x y +=的焦点为12,F F ,点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF = ；12F PF ∠的大小为 .
８.设()f x 是偶函数，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1，则该曲线在(1,(1))f --处的切线的斜率为__＿__＿___.
9.椭圆22
192
x y +=的焦点为12,F F ,点P 在椭圆上，若1||4PF =,则2||PF =＿＿_＿__＿_＿;12F PF ∠的小大为__＿____＿__.
１0.如图，在平面直角坐标系xoy 中,1212,,,A A B B 为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的四个顶点，F 为
其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点Ｔ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点,则该椭圆
的离心率为 ．
１1．已知圆O:52
2=+y x 和点A(１，2),则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于
1２.巳知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,
离心率为2
,且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为1２，则椭圆G 的方程为 ．
１３.以点(2，1-）为圆心且与直线6x y +=相切的圆的方程是 ．
１4.若圆422=+y x 与圆)0(0622
2>=-++a ay y x 的公共弦长为32，则ａ=___＿＿＿＿_.
1５.抛物线2
4y x =的焦点到准线的距离是 .
16.过双曲线Ｃ:22221x y a b
-=(0,0)a b >>的一个焦点作圆222
x y a +=的两条切线,切点分别为A ,B ，
17．(２0０9福建卷理）过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点Ｆ作倾斜角为45的直线交抛物线于Ａ、B 两点，若线段AB 的长为８,则p =________＿_＿_____
18.以知F 是双曲线
22
1412
x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点,则PF PA +的最小值为 。
19.抛物线2
4y x =的焦点到准线的距离是 .
20.已知抛物线C 的顶点坐标为原点，焦点在x 轴上,直线y=x 与抛物线C 交于Ａ,B 两点，若()2,2P 为AB 的中点,则抛物线Ｃ的方程为 。
21.已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中,有一个内角为60 o
,则双曲线C
的离心率为
22．已知1F 、2F 是椭圆1:22
22=+b
y a x C （a >b ＞0）的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且21PF PF ⊥.
若21F PF ?的面积为9，则b =＿______＿____.
23．已知12F 、F 是椭圆的两个焦点，p 为椭圆C 上的一点,若12PF F ?的面积为9,则b = .
三、解答题
１．（本小题满分１4分)已知椭圆Ｇ的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为
2
3
,两个焦点分别为1F 和2F ,椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为1２.圆k C :0214222=--++y kx y x )(R k ∈的圆心为
点k A ．
(1)求椭圆G 的方程 （2)求21F F A k ?的面积
(3）问是否存在圆k C 包围椭圆G ？请说明理由.
2.(本小题满分１２分）如图,已知抛物线2
:E y x =与圆2
2
2
:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、
C 、
D 四个点。
（I ）求r 得取值范围;
（ＩI)当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC 、BD 的交点P 坐标
3.(本题满分１5分）已知椭圆1C :22
221(0)y x a b a b
+=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直长
轴的弦长为1.
(Ｉ)求椭圆1C 的方程;
（I Ｉ）设点P 在抛物线2C ：2
()y x h h =+∈R 上，2C 在点P 处
的切线与1C 交于点,M N ．当线段AP 的中点与MN 的中 点的横坐标相等时，求h 的最小值．
4.(本题满分15分)已知抛物线C :2
2(0)x py p =>上一点(,4)A m 到其焦点的距离为174
． （I)求p 与m 的值；
(I Ｉ)设抛物线C 上一点P 的横坐标为(0)t t >,过P 的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于点M ,过点Q 作PQ 的垂线交C 于另一点N ．若MN 是C 的切线,求t 的最小值．
5.(本小题共14分) 已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为3，右准线方程为
3
x =
。 （Ⅰ)求双曲线C 的方程；
(Ⅱ)已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点Ａ,B,且线段AB 的中点在圆2
2
5x y +=上,求
m 的值.
６.(本小题共14分)已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的离心率为3，右准线方程为3x =
（Ⅰ）求双曲线C 的方程；
(Ⅱ)设直线l 是圆22
:2O x y +=上动点0000(,)(0)P x y x y ≠处的切线,l 与双曲线C 交于不同的两点
,A B ，证明AOB ∠的大小为定值．
7.（本题满分１0分)
在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点Ａ（2,2）,其焦点F 在x 轴上。 (１)求抛物线Ｃ的标准方程;
(2)求过点Ｆ,且与直线OA 垂直的直线的方程;
（３)设过点(,0)(0)M m m >的直线交抛物线C 于D 、E 两点，ME=2DM,记D 和E 两点间的距离为()f m ,求()f m 关于m 的表达式。
8.（本小题满分14分)设椭圆E ： 22
221x y a b
+=（a,ｂ>0）过M （２，2） ,Ｎ(6，１)两点，O
为坐标原点,
（I)求椭圆E 的方程;
(I Ｉ)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B ，且OA OB ⊥？若存在,写出该圆的方程,并求|AB ｜的取值范围，若不存在说明理由。
9. (本小题满分１4分）设m R ∈，在平面直角坐标系中,已知向量(,1)a mx y =+，向量
(,1)b x y =-,a b ⊥,动点(,)M x y 的轨迹为E ．
(1)求轨迹E 的方程，并说明该方程所表示曲线的形状; (2)已知4
1
=
m ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点Ａ,Ｂ,且OA OB ⊥(O 为坐标原点)，并求出该圆的方程;
(３）已知4
1=m ,设直线l 与圆Ｃ:222
x y R +=(1<Ｒ<2）相切于A 1,且l 与轨迹E 只有一个公共点B
１
,当R 为何值时，|Ａ1Ｂ１|取得最大值?并求最大值．
10.（本小题满分16分在平面直角坐标系
xoy
中,已知圆22
1:(3)(1)4C x y ++-=和圆
222:(4)(5)4C x y -+-=.
(1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为23，求直线l 的方程；
(2）设P 为平面上的点，满足:存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交,且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标。
１1.（本小题满分12分）已知椭圆C: )0(122
2
2>>=+b a b y a x 的离心率为33，过右焦点Ｆ的直线l
与C 相交于A 、B 两点,当l 的斜率为１时，坐标原点O 到l 的距离为22
（Ⅰ)求ａ,b 的值;
（Ⅱ)Ｃ上是否存在点P ，使得当ｌ绕F 转到某一位置时，有→
→
→
+=OB OA OP 成立? 若存在,求出所有的Ｐ的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由。
12.(本小题满分1４分)已知曲线2
:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ,且A B x x <.记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D .设点
(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合.
（１）若点Q 是线段AB 的中点,试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程; （2)若曲线2
2
2
51
:24025
G x ax y y a -+-++=与D 有公共点,试求a 的最小值．
１３.(本小题满分13
分)点00(,)P x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上,00cos ,sin ,0.2
x a y b π
βββ==<<
直线2l 与直线00
122:
1x y l x y a b
+=垂直，Ｏ为坐标原点,直线ＯP 的倾斜角为α，直线2l 的倾斜角为γ.
(I)证明: 点P 是椭圆22
221x y a b
+=与直线1l 的唯一交点；
(II ）证明:tan ,tan ,tan αβγ构成等比数列.