一元二次方程(复习课导学案)

初三数学 班级 姓名

一元二次方程（复习课导学案）

复习目标

1．了解一元二次方程的有关概念。

2．能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。 3．会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。

4．掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。 5． 通过复习深入理解方程思想、转化思想、分类讨论思想、整体思想，并会应用；进一步培养分析问题、解决问题的能力。

重点：能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。 难点：1、会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。 2、掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。 复习流程

考点呈现

考点1：一元二次方程的概念

例1 下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ）

A.3（x+1）2

=2(x+1) B.

02112

=-+x x

C.ax 2+bx+c=0

D.x 2+2x=x 2

-1 解析：构成一元二次方程（一般形式）必须同时满足以下条件：①整式方程；②二次项系数不为0；③只含有一个未知数；④未知数的最高次数是2.选项B 不满足①，C 不满足②，D 不满足④.故选Ａ.

考点2：一元二次方程的根

例2已知x=-1是一元二次方程02=++n mx x 的一个根，则2

22-n mn m +的值为 ．

解析：把x ＝-1代入一元二次方程，得m-n ＝1, 则m 2-2mn+n 2＝(m-n) 2

＝1． 考点3：一元二次方程的解法

例3 方程x(x －1)＝2的解是（ ） A ．x ＝－1 B ．x ＝－2 C ．x 1＝1，x 2＝－2 D ．x 1＝－1，x 2＝2

解析：将原方程化为一般形式为x 2

-x-2＝0，用公式法解得x 1＝-1，x 2＝2. 故选D. 例4方程（x ﹣1）（x + 2）= 2（x + 2）的根是 ．

解析：方法一：去括号，整理得 x 2

－x －6＝0.用公式法解得x 1＝－2，x 2＝3.

方法二：移项，提取公因式x ＋2，得 (x ＋2)(x －3)＝0.解得x 1＝－2，x 2＝3． 点评：解一元二次方程要根据方程的特点灵活选用，讲究解法技巧，准确、迅速． 考点4：一元二次方程根的判别式

例5已知关于x 的一元二次方程

01)12

=++-x x m （有实数根，则m 的取值范围是 ．

解析：一元二次方程有实数根，即满足b 2

-4ac ≥０且a ≠0. 由题意，得1-4(m-1)≥0且m-1≠0.解得m ≤

5

4

且m ≠1. 例6若关于x 的一元二次方程2

420x x k ++=有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数值.

解析：∵关于x 的一元二次方程2

420x x k ++=有两个实数根， ∴b 2

-4ac=2

44121680k k -??=-≥.

解得2k ≤.

∴k 的非负整数值为0,1,2.

考点5: 一元二次方程的应用问题

例7 20XX 年5月，中央召开了新疆工作座谈会，为实现新疆跨越式发展和长治久安，作出了重要战略决策部署．为此我市抓住机遇，加快发展，决定今年投入5亿元用于城市基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到20XX 年当年用于城市基础设施维护与建设资金达到8.45亿元. （1）求从20XX 年至20XX 年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率. （2）若20XX 年至20XX 年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率相同，预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设资金共多少亿元.

解析：（1）设从2010至20XX 年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为x ，

由题意，得 ()2

518.45x +=.

解得x 1=0.3=30%,x 2=-2.3(不合题意,舍去).答略.

（2）这三年共投资()5518.45x +++=5+5×(1+0.3)+8.45=19.95(亿元). 答略. 误区点拨

一、概念理解不清致错

例1 关于x 的方程（m +2）22

m x

-+2（m -1）x-1=0，当m= 时，该方程是一元二

次方程.

错解：当m 2-2=2， 即m=±2时，原方程是一元二次方程.

剖析：错解忽视了一元二次方程定义中二次项系数不等于0这一条件. 正解：m=2. 二、解方程出错

例2用公式法解方程4722=+x x ．

错解：∵a=2,b=7,c=4,b 2-4ac=72

-4×2×4=17,

∴x=

2

217

7?±-.

4

17

7,417721--=+-=

∴x x .

剖析：用公式法解方程时应先将方程化为一般形式，错解忽视了这一点，出现常数项c 错误.

正解：原方程化为.04-722

=+x x

∵a=2,b=7,c=-4,b 2

-4ac=72

-4×2×（-4）=81,

∴x=

2

281

7?±-.

∴12142

x x =-=

，． 三、思维定势

例3若关于x 的方程（m 2－1）x 2－2（m+2）x+1=0有实数根，求m 的取值范围. 错解：由 m 2－1≠0 ， 解得 m ≠±1， b 2

-4ac =［－2（m+2）］2－4（m 2－1）≥0 ， m ≥ 5

4

-

. 所以m 的取值范围是m ≥5

4

-

且m ≠±1. 剖析：题设中的方程没有明确指出是一元二次方程，因此方程也有可能为一元一次方程，此时有 m 2－1=0且－2（m+2）≠0， 解得m=±1 .

正解：m ≥5

4

-

时，原方程有实数根. 四、忽视检验根是否符合题意致错

例4 新华中学八年级同学参加“手拉手”活动，甲班同学（人数不超过60人）全体都参加此项活动，共捐书300本；乙班同学有30人参加此项活动，共捐书260本，这两个班参加此活动的同学人均捐书比甲班人均捐书多1本，甲班有多少名同学？

错解：设甲班有x 名同学.依题意,得 300300260

130

x x +=-+．

化简整理，得 223090000x x -+=．

解得 1250180x x ==，．

所以，甲班有50名或180名同学．

剖析：方程的根没有检验是否符合题意，忽视了“甲班同学（人数不超过60人）”这个已知条件．

正解：在错解的基础上，求得x 1=50,x 2=180.

由于甲班同学人数不超过60人，所以50=x ，即甲班有50名同学．

跟踪训练

1．方程（k+2）x |k|

+3kx+1=0是关于x 的一元二次方程，那么k 的值是（ ） A ．k=±2 B．k=2 C ．k=－2 D ．k≠±2 2.用配方法解下列方程时，配方错误的是 （ ）

A. x 2-2x-99=0化为(x-1)2=100

B. x 2+8x+9=0化为(x+4)2

=25

C. 2t 2

-7t-4=0化为1681)47

(2=

-t D. 3y 2

-4y-2=0化为9

10)32(2=-y

3．如果方程x 2＋mx ＋12=0的一个根是4，则另一个根和m 的值分别是( ) A ．3 -7 B ．3 7 C ．-3 7 D ．-3 -7

4．用公式法解方程x 2

－3x －1=0，正确的解为（ ） A ．x 1=

2133+-，x 2=2133-- B ．x 1= 253+-，x 2= 25

3-- C ．x 1=

253+ ，x 2= 253- D ．x 1=2133+，x 2=2

13

3- 5.如果关于x 的方程2

20x x a -+=有两个相等的实数根，那么a= .

6．定义新运算“*”，规则：()()a a b a b b a b ≥?*=?

)522-*=.若x 2+2x-3=0 的两根为12,x x ，则12x x *＝ ．

7．参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场.设共有x?个队参加比赛，则可列方程为__________．

8．等腰△ABC 中，BC=8，AB ，AC 的长是关于x 的方程x 2

－10x+m=0的两根，求m 的值． 解：（1）当AB 或AC 的长为8时，64－10×8+m=0，所以m=_____；

（2）当AB=AC 时，方程x 2－10x+m=0有两个相等的实数根，则b 2

－4ac=0，即______，所以m=____．

9．阅读下列解题过程，并解答后面的问题．

用配方法解方程2x 2

－5x －8=0．

解：原方程化为x 2

－5x －8=0． ① 配方，得x 2

－5x+（－52）2=8+（－52

）2

． ② 所以（x －

52）2=57

4

． ③ 解得x 1=

557

+，x 2=557-. ④

（1）指出每一步的解题根据：①______；②______；③_______；④_______．

（2）上述解题过程有无错误，如有，错在第______步，原因是_________． （3）写出正确的解答过程．

10. 一块矩形耕地大小尺寸如下图所示，要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和

4条水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的耕地面积为9600米2

，那么水渠应挖多宽？

中考零距离

1.(20XX 年芜湖市)关于x 的方程（a-5）x 2-4x-1=0有实数根，则a 满足（ ） A.a ≥1 B.a>1且a ≠5 C. a ≥1且a ≠5 D. a ≠5

2.（20XX 年毕节市）有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）

A ．8人

B ．9人

C ．10人

D ．11人 3.（20XX 年眉山市）一元二次方程2260x -=的解为_______． 4.（20XX 年清远市）方程2x(x-3)=0的解是 . 5.（20XX 年新疆维吾尔自治区）解方程：2x 2－7x ＋6＝0. 6.（20XX 年武汉市）解方程:x 2

+x-1=0.

7.（20XX 年天津市）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．

青山村种的水稻20XX 年平均每公顷产8 000 kg ，20XX 年平均每公顷产9 680 kg ，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率.

解题方案：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x. （Ⅰ）用含x 的代数式表示：

① 20XX 年种的水稻平均每公顷的产量为 ； ② 20XX 年种的水稻平均每公顷的产量为 ； （Ⅱ）根据题意，列出相应方程 ； （Ⅲ）解这个方程，得 ； （Ⅳ）检验： ；

（Ⅴ）答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 %.

8.（20XX 年安徽省）在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的14000元/m 2

,下降到5月份的12600元/m 2.

1）问：4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据：95.09.0≈）

（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否

会跌破10000元/m 2

？请说明理由．

跟踪训练答案

1.B

2.B

3.A

4.D

5.1

6. 1 7．x （x －1）=90 8. （1）16 （2）100－4m=0 25

9．（1）①二次项系数化为1 ②移项，方程的两边都加上一次项系数一半的平方 ③方程左边化为完全平方式 ④用直接开平方法解方程 （2）① 常数项和一次项系数未同时除以2

（3）x 1=

54，x 2．（过程略） 10. 解：设水渠应挖x 米宽.

根据题意，得(162-2x)(64-4x)=9600 ,即x 2

-97x+96=0. 解得 x 1=1,x 2=96(不合题意，舍去) . 答：水渠应挖1米宽.

中考零距离答案

1.A

2.B

3.x=

4.x 1=0，x 2=3

5.21=x ,2

3

2=

x . 6.251-1+=x ,

2

5

-1-2=

x . 7.解：（Ⅰ）①8000(1)x + ②28000(1)x +（Ⅱ）28000(1)9680x += （Ⅲ）10.1x =，2 2.1x =-

（Ⅳ）10.1x =，2 2.1x =-都是原方程的根，但2 2.1x =-不符合题意，所以0.1x = （Ⅴ）10 8.解：（1）设4、5两月平均每月降价的百分率为x. 根据题意，得12600)1(140002

=-x . 化简，得9.0)1(2

=-x .

解得95.1,05.021≈≈x x （不合题意，舍去）.

因此，4、5两月平均每月降价的百分率约为5%

（2）如果按此降价的百分率继续回落，估计7月份的商品房成交均价为

10000113409.012600)1(126002>=?=-x ,所以7月份该市的商品房成交均价不会跌

破10000元/m 2

.