高二数学教案：9复习讲义(4)
高二下学期数学第九章复习（4）
空间向量的（坐标 ）运算（2）
一、基础训练：
1．已知空间三点的坐标为)2,5,1(-A 、)1,4,2(B 、)2,3,(+q p C ，若A 、B 、C 三点共线，
则=p 3 ，=q 2 ． 2．在平行六面体1111D C B A ABCD -中， 4=AB ，3=AD ，51=AA ，o BAD 90=∠，
o DAA BAA 6011=∠=∠，则1AC
．
3．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||||
AB AC OP OA AB AC λ=++，
[0,)λ∈+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ?的
（ B ）
()A 外心 ()B 内心 ()C 重心 ()D 垂心
4．若(1,1,3)A m n +-，(2,,2)B m n m n -，(3,3,9)C m n +-三点共线，则m n +=0．
5．已知(0,2,3)A ，(2,1,6)B -，(1,1,5)C -，若||3a =且,a AB a AC ⊥⊥，则a 的坐标为
()()1,1,1,1,1,1---．
6．已知,是空间二向量，若||3,||2,||7a b a b ==-=
，则a
与b 的夹角为60．
7．已知向量)3,2,1(-=a ，)1,1,1(=b ，则向量a 在向量b 方向上的射影向量的模为
3
． 二、例题分析：
例1．在平行四边形ABCD 中，1==AC AB ，090=∠ACD ，
将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成060角，求B 、D 间的距离．（答案：2,
）
例2．在矩形ABCD 中，已知1=AB ，a BC =，⊥PA 平面ABCD ，2=PA ，若BC 边上存在唯一一点Q ，使得DQ PQ ⊥，M 是AD 上一点，M 在平面PQD 上的射影恰好是
PQD ?的重心，求线段AM 的长度及M 到平面PQD 的距离．
（答案：2
3
） P
A
B
C
D
M
例3．在ABC ?中2AB BC AC ===，现将ABC ?沿着平面ABC 的法向量1AA 平移到
111A B C ?的位置，31=BB ，D 是AB 的中点，F 是11C A 的中点，E 在1BB 上，
⑴当13
1
BB BE =时，求直线EC 与DF 所成角的大小； ⑵当E 点在1BB 上变化时，BE 为多长时DF CE ⊥．
答案：⑴2arccos 10；⑵2
3
．
三、课后练习： 班级 学号 姓名
1．四面体SABC 中，SC ＝AB ＝１，SA 与BC 中点分别为,P Q ，且2
2
PQ =，则异面直线AB
与SC 所成的角为90．
2．已知CD AB 2=，且点A 、B 、C 、D 不共线，则下列结论正确的是 （ D ） ()A 四边形ABCD 是平行四边形 ()B 四边形ABDC 是平行四边形
()C 四边形ABCD 是梯形 ()D 四边形ABDC 是梯形
3．已知32134e e e a -+=，321245e e e b +-=，其中},,{321e e e 是一组正交基底，b 及a 之
间的夹角的余弦值为
130
65
． 4．从O 点出发的三条射线两两垂直，空间一点P 到这三条射线的距离分别为,,a b c ，则P 到
O 的距离为
222
2
a b c ++． 5．已知平面α内的60BOC ∠=，OA a =，OA 是平面α的斜线段，
且45AOB AOC ∠=∠=，则点A 到平面α的距离为3a
．
6．如图，,,,,,M N E F G H 分别是四面体ABCD 中各棱的中点，
若此四面体的对棱相等， 则EF 与GH 所成的角等于90；
()EF NH MG ?+=_0．
E
D
A B C A
B C
1
1F
7．已知空间三个点(2,0,2)P -,(1,1,2)Q -和(3,0,4)R -，设a PQ =,b PR =， ⑴求a 与b 的夹角θ（用反三角函数表示）； ⑵试确定实数k ，使ka b +与2ka b -互相垂直； ⑶试确定实数k ，使ka b +与a kb +互相平行．
答案：⑴10arccos 10??- ? ???；⑵52,2-；⑶1k =±． 8．如图，点P 是矩形ABCD 外一点，⊥PA 平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，
⑴求证：AB MN ⊥；
⑵若PDA θ∠=，能否确定θ使得MN 是异面直线AB 与PC 的公垂线？若可以确定θ，试求θ的值？若不能，说明理由． 答案：⑵ 45．
9．已知ABC ?，将ABC ?沿着平面ABC 的法向量1AA 平移到111A B C ?的位置，11BC AB ⊥，
11BC AC ⊥，求证：11AB AC =．
P
A B
C
D
M N