复变函数
1. 一个项目的输入输出端口是定义在 A 。
A. 实体中
B. 结构体中
C. 任何位置
D. 进程体
2. 描述项目具有逻辑功能的是 B 。
A. 实体
B. 结构体
C. 配置
D. 进程
3. 关键字ARCHITECTURE定义的是 A 。
A. 结构体
B. 进程
C. 实体
D. 配置
4. MAXPLUSII中编译VHDL源程序时要求 C 。
A.文件名和实体可以不同
B. 文件名和实体名无关
C. 文件名和实体名要相同 D
. 不确定
5. 1987标准的VHDL语言对大小写是 D 。
A. 敏感的
B. 只能用小写
C. 只能用大写
D. 不敏感
6. 关于1987标准的VHDL语言中，标识符描述正确的是 A 。
A必须以英文字母开头B可以使用汉字开头C可以使用数字开D任何字符都可以
7. 关于1987标准的VHDL语言中，标识符描述正确的是 B 。
A下划线可以连用B下划线不能连用 C不能使用下划线 D可以使用任何字符
8. 符合1987VHDL标准的标识符是 A 。
A. A_2
B. A+2
C. 2A
D. 22
9. 符合1987VHDL标准的标识符是 A 。
A. a_2_3
B. a_____2
C. 2_2_a
D. 2a
10. 不符合1987VHDL标准的标识符是 C 。
A. a_1_in
B. a_in_2
C. 2_a
D. asd_1
11. 不符合1987VHDL标准的标识符是 D 。
A. a2b2
B. a1b1
C. ad12
D. %50
12. VHDL语言中变量定义的位置是 D 。
A. 实体中中任何位置
B. 实体中特定位置
C. 结构体中任何位置
D. 结构体中特定位置
13. VHDL语言中信号定义的位置是 D 。
A. 实体中任何位置
B. 实体中特定位置
C. 结构体中任何位置
D. 结构体中特定位置
14. 变量是局部量可以写在 B 。
A. 实体中
B. 进程中
C. 线粒体
D. 种子体中
15. 变量和信号的描述正确的是 A 。
A. 变量赋值号是:=
B. 信号赋值号是:=
C. 变量赋值号是<=
D. 二者没有区别
16. 变量和信号的描述正确的是 B
A. 变量可以带出进程
B. 信号可以带出进程
C. 信号不能带出进程
D. 二者没有区别
17. 关于VHDL数据类型，正确的是 C 。
A. 数据类型不同不能进行运算
B. 数据类型相同才能进行运算
C. 数据类型相同或相符就可以运算
D. 运算与数据类型无关
18. 下面数据中属于实数的是 A 。
A. 4.2
B. 3
C. ‘1’
D. “11011”
19. 下面数据中属于位矢量的是 D 。
A. 4.2
B. 3
C. ‘1’
D. “11011”
20. 关于VHDL数据类型，正确的是 B 。
A. 用户不能定义子类型
B. 用户可以定义子类型
C. 用户可以定义任何类型的数据
D. 前面三个答案都
21. 可以不必声明而直接引用的数据类型是 C 。
A. STD_LOGIC
B. STD_LOGIC_VECTOR
C. BIT
D. 前面三个答案都是错误的
22. STD_LOGIG_1164中定义的高阻是字符 D 。
A. X
B. x
C. z
D. Z
23. STD_LOGIG_1164中字符H定义的是 A 。
A. 弱信号1
B. 弱信号0
C. 没有这个定义
D. 初始值
24. 使用STD_LOGIG_1164使用的数据类型时 B 。
A.可以直接调用
B.必须在库和包集合中声明
C.必须在实体中声明
D.必须在结构体中声明
25. 关于转化函数正确的说法是 B 。
A. 任何数据类型都可以通过转化函数相互转化
B. 只有特定类型的数据类型可以转化
C. 任何数据类型都不能转化
D. 前面说法都是错误的
26. VHDL运算符优先级的说法正确的是 C 。
A. 逻辑运算的优先级最高
B. 关系运算的优先级最高
C. 逻辑运算的优先级最低
D. 关系运算的优先级最低
27. VHDL运算符优先级的说法正确的是 A 。
A. NOT的优先级最高
B. AND和NOT属于同一个优先级
C. NOT的优先级最低
D. 前面的说法都是错误的
28. VHDL运算符优先级的说法正确的是 D 。
A. 括号不能改变优先级
B. 不能使用括号
C. 括号的优先级最低
D. 括号可以改变优先级
29. 如果a=1,b=0，则逻辑表达式（a AND b）OR（NOT b AND a）的值是 B 。
A. 0
B. 1
C. 2
D. 不确定
30. 关于关系运算符的说法正确的是 C 。 A不能进行关系运算 B.关系运算和数据类型无关 C关系运算数据类型要相同D.前面的说法都错误
31. 转换函数TO_BIT_VECTOR(A)的功能是 A 。
A. 将STD_LOGIC_VECTOR转换为BIT_VECTOR
B. 将REAL转换为BIT_VECTOR
C. 将TIME转换为BIT_VECTOR
D. 前面的说法都错误
32. VHDL中顺序语句放置位置说法正确的是 D 。
A. 可以放在进程语句中
B.可以放在子程序中
C.不能放在任意位置
D.前面的说法都正确
33. 不属于顺序语句的是 C 。
A. IF语句
B. LOOP语句
C. PROCESS语句
D. CASE语句
34. 正确给变量X赋值的语句是 B 。
A. X<=A+B;
B. X:=A+b;
C. X=A+B;
D. 前面的都不正确
35. EDA的中文含义是 A 。
A. 电子设计自动化
B. 计算机辅助计算
C. 计算机辅助教学
D. 计算机辅助制造
36. 可编程逻辑器件的英文简称是 D 。
A. FPGA
B. PLA
C. PAL
D. PLD
37. 现场可编程门阵列的英文简称是 A 。
A. FPGA
B. PLA
C. PAL
D. PLD
38. 基于下面技术的PLD器件中允许编程次数最多的是 C 。
A. FLASH
B. EEROM
C. SRAM
D. PROM
39. 在EDA中，ISP的中文含义是 B 。
A. 网络供应商
B. 在系统编程
C. 没有特定意义
D. 使用编程器烧写PLD芯片
40. 在EDA中，IP的中文含义是 D 。
A. 网络供应商
B. 在系统编程
C. 没有特定意义
D. 知识产权核
41. EPF10K20TC144-4具有多少个管脚 A 。
A. 144个
B. 84个
C. 15个
D. 不确定
42. EPF10K20TC144-X器件，如果X的值越小表示 C 。
A. 器件的工作频率越小
B.器件的管脚越少
C. 器件的延时越小
D. 器件的功耗越小
43. 如果a=1,b=1，则逻辑表达式（a XOR b）OR（NOT b AND a）的值是 A 。
A. 0
B. 1
C. 2
D. 不确定
44. 执行下列语句后Q的值等于 C 。
SIGNAL E: STD_LOGIC_VECTOR (2 TO 5);
SIGNAL Q: STD_LOGIC_VECTOR (9 DOWNTO 2);
E<=(2=>’1’, 4=>’0’, OTHERS=>’1’);1001
Q<=(2=>E (2), 4=>E (3), 5=>’1’, 7=>E (5), OTHERS=>E (4));00101001
A．“11011011” B. “00101101” C. “11011001” D. “00101100”
45. VHDL文本编辑中编译时出现如下的报错信息
Error: VHDL syntax error: signal declara tion must have ‘；’，but found begin instead.
其错误原因是 A 。
A. 信号声明缺少分号。
B. 错将设计文件存入了根目录，并将其设定成工程。
C. 设计文件的文件名与实体名不一致。
D. 程序中缺少关键词。
46. VHDL文本编辑中编译时出现如下的报错信息
Error: VHDL syntax error: choice value length must match selector expression value length 其错误原因是 A 。
A. 表达式宽度不匹配。
B. 错将设计文件存入了根目录，并将其设定成工程。
C. 设计文件的文件名与实体名不一致。
D. 程序中缺少关键词。
51. 在一个VHDL设计中Idata是一个信号，数据类型为std_logic_vector，试指出下面那个赋值语句是错误的。 D 。
A.idata <= “00001111”;
B.idata <= b”0000_1111”;
C.idata <= X”AB”
D. idata <= B”21”;
52. 在VHDL语言中，下列对时钟边沿检测描述中，错误的是 D 。
A.if clk’event and clk = ‘1’ then
B.if falling_edge(clk) then
C.if clk’event and clk = ‘0’ then
D.if clk’stable and not clk = ‘1’ then
53. 下面对利用原理图输入设计方法进行数字电路系统设计的描述中，那一种说法是不正确的。 C 。
A.原理图输入设计方法直观便捷，但不适合完成较大规模的电路系统设计；
B.原理图输入设计方法一般是一种自底向上的设计方法；
C.原理图输入设计方法无法对电路进行功能描述
D.原理图输入设计方法也可进行层次化设计。
54. 在一个VHDL设计中idata是一个信号，数据类型为integer，数据范围0 to 127，下面哪个赋值语句是正确的。 C 。
A.idata := 32;
B.idata <= 16#A0#;
C.idata <= 16#7#E1;
D.idata := B#1010#;
55. 下列那个流程是正确的基于EDA软件的FPGA / CPLD设计流程： B 。
A.原理图/HDL文本输入→功能仿真→综合→适配→编程下载→硬件测试
B.原理图/HDL文本输入→适配→综合→功能仿真→编程下载→硬件测试；
C.原理图/HDL文本输入→功能仿真→综合→编程下载→→适配硬件测试；
D.原理图/HDL文本输入→功能仿真→适配→编程下载→综合→硬件测试
56. 在VHDL语言中，下列对进程（PROCESS）语句的语句结构及语法规则的描述中，正确的是 B 。
A.PROCESS为一无限循环语句；敏感信号发生更新时启动进程，执行完成后，等待下一次进程启动。
B.
敏感信号参数表中，应列出进程中使用的所有输入信号；C.进程由说明部分、结构体部分、和敏感信号参数表三部分组成；D.当前进程中声明的信号也可用于其他进程。
57. 对于信号和变量的说法，哪一个是不正确的： A 。
A.信号用于作为进程中局部数据存储单元
B.变量的赋值是立即完成的
C.信号在整个结构体内的任何地方都能适用
D.变量和信号的赋值符号不一样
58. VHDL语言共支持四种常用库，其中哪种库是用户的VHDL设计现行工作库： D 。
A.IEEE库
B.VITAL库
C.STD库
D.WORK工作库
59. 下列语句中，不属于并行语句的是： B 。
A.进程语句
B.CASE语句
C.元件例化语句
D.WHEN…ELSE…语句
60. 下面哪一条命令是MAX+PLUSII在时序仿真时执行加载节点的命令？ C 。
A. file—>set project to current file
B. assign—>pin/location chip
C. node—>enter node from SNF
D. file—>create default symbol
61. 在EDA工具中，能将硬件描述语言转换为硬件电路的重要工具软件称为 B
A.仿真器
B.综合器
C.适配器
D.下载器
62. VHDL文本编辑中编译时出现如下的报错信息
Error: Can’t open VHDL“WORK”其错误原因是 B 。
A错将设计文件的后缀写成.tdf，而非.vhd B.错将设计文件存入了根目录，并将其设定成工程C. 设计文件的文件名与实体名不一致。D. 程序中缺少关键词。
63. 在VHDL的CASE语句中，条件句中的“=>”不是操作符号，它只相当与 B 作用。
A. IF
B. THEN
C. AND
D. OR
65. 下列关于信号的说法不正确的是 C 。A . 信号相当于器件内部的一个数据暂存节点。B. 信号的端口模式不必定义，它的数据既可以流进，也可以流出。
C. 在同一进程中，对一个信号多次赋值，其结果只有第一次赋值起作用。
D. 信号在整个结构体内的任何地方都能适用。
66. 下面哪一个可以用作VHDL中的合法的实体名 D 。
A. OR
B. V ARIABLE
C. SIGNAL
D. OUT1
68. 下列关于变量的说法正确的是 A 。
A. 变量是一个局部量，它只能在进程和子程序中使用。
B. 变量的赋值不是立即发生的，它需要有一个δ延时。
C. 在进程的敏感信号表中，既可以使用信号，也可以使用变量。
D. 变量赋值的一般表达式为：目标变量名<= 表达式。
69. 下列关于CASE语句的说法不正确的是 B 。
A. 条件句中的选择值或标识符所代表的值必须在表达式的取值范围内。
B. CASE语句中必须要有WHEN OTHERS=>NULL；语句。
C. CASE语句中的选择值只能出现一次，且不允许有相同的选择值的条件语句出现。
D. CASE语句执行必须选中，且只能选中所列条件语句中的一条。
70. VHDL中,为目标变量赋值符号是 D A. =: B. = C. <= D.:=
71. 在VHDL中,可以用语句 D 表示检测clock下降沿。
A. clock’ event
B. clock’ event and clock=’1’
C. clock=’0’
D. clock’ event and clock=’0’
72.在VHDL的FOR_LOOP语句中的循环变量是一个临时变量，属于LOOP语句的局部量， B 事先声明。
A. 必须
B. 不必
C. 其类型要
D.其属性要
73. 在VHDL中，语句”FOR I IN 0 TO 7 LOOP ”定义循环次数为 A 次。
A. 8
B. 7
C. 0
D.1
74. 在VHDL中，PROCESS结构内部是由 A 语句组成的。A. 顺序 B. 顺序和并行C. 并行 D.任何
75. 执行MAX+PLUSII的 C 命令，可以对设计的电路进行仿真。
Creat Default Symbol https://www.wendangku.net/doc/0a18147906.html,piler C.Simulator D.Programmer
76. 在VHDL中，PROCESS本身是 C 语句。A. 顺序 B.顺序和并行 C.并行 D.任何
78. 在元件例化语句中，用 D 符号实现名称映射，将例化元件端口声明语句中的信号与PORT MAP（）中的信号名关联起来。A. = B. := C. <= D.=>
79.在VHDL中，含WAIT语句的进程PROCESS的括弧中 B 再加敏感信号，否则则是非法的。A. 可以 B.不能 C. 必须 D. 有时可以
80.在MAX+PLUSII集成环境下为图形文件产生一个元件符号的主要作用是。
A. 综合
B. 编译
C. 仿真
D.被高层次电路设计调用
81.在MAX+PLUSII工具软件中，完成网表提取、数据库建立、逻辑综合、逻辑分割、适配、延时网表提取和编程文件汇编等操作，并检查设计文件是否正确的过程称为 B 。
A. 编辑
B. 编译
C. 综合
D. 编程
84. 综合是EDA设计流程的关键步骤，综合就是把抽象设计层次中的一种表示转化成另一种表示的过程；在下面对综合的描述中， D 是错误的。
A. 综合就是将电路的高级语言转化成低级的，可与FPGA / CPLD的基本结构相映射的网表文件；
B. 为实现系统的速度、面积、性能的要求，需要对综合加以约束，称为综合约束；
C. 综合可理解为，将软件描述与给定的硬件结构用电路网表文件表示的映射过程，并且这种映射关系不是唯一的。
D. 综合是纯软件的转换过程，与器件硬件结构无关；
85. 关于VHDL中的数字，请找出以下数字中数值最小的一个： C
A. 2#1111_1110#
B. 8#276#
C. 10#170#
D. 16#E#E1
86. 以下对于进程PROCESS的说法，正确的是： C 。
A. 进程之间可以通过变量进行通信
B. 进程内部由一组并行语句来描述进程功能
C. 进程语句本身是并行语句
D. 一个进程可以同时描述多个时钟信号的同步时序逻辑
87. 进程中的信号赋值语句，其信号更新是 C 。
A.按顺序完成；
B.比变量更快完成；
C.在进程的最后完成；
D.以上都不对。
88．关于VHDL中的数字，请找出以下数字中最大的一个： A 。
A．2#1111_1110#B．8#276#C．10#170#D．16#E#E1
89．VHDL语言是一种结构化设计语言；一个设计实体（电路模块）包括实体与结构体两部分，结构体描述 B A．器件外部特性；B．器件的内部功能；C．器件的综合约束；D.器件外部特性与内部功能。90．下列标识符中， B 是不合法的标识符。A. State0 B. 9moon C. Not_Ack_0 D. signall 91．在VHDL中，IF语句中至少应有1个条件句，条件句必须由 C 表达式构成。
A. BIT
B. STD_LOGIC
C. BOOLEAN
D. INTEGER
92. 在VHDL中 D 不能将信息带出对它定义的当前设计单元。A. 信号 B. 常量 C. 数据 D. 变量
93.在VHDL中，为定义的信号赋初值，应该使用 C 符号。A. =： B. = C. := D. <=
94.在VHDL中，一个设计实体可以拥有一个或多个 B A. 设计实体 B. 结构体 C. 输入D. 输出96. 在VHDL的IEEE标准库中，预定义的标准逻辑位STD_LOGIC的数据类型中是用 B 表示的。A．小写字母和数字 B. 大写字母数字 C. 大或小写字母和数字D. 全部是数字
97. 执行MAX+PLUSII的 A 命令，可以为设计电路建立一个元件符号。
A．create default symbol B. simulator C. compiler D. timing analyzer
98. 在VHDL中，条件信号赋值语句WHEN_ELSE属于 C 语句。
A．并行和顺序 B. 顺序 C. 并行 D. 不存在的
99. 在VHDL的IEEE标准库中，预定义的标准逻辑数据STD_LOGIC有 C 种逻辑值。
A．2 B. 3 C. 9 D. 8
100.一个能为VHDL综合器接受，并能作为一个独立的设计单元的完整的VHDL程序成为 C 。A．设
计输入 B. 设计输出 C. 设计实体 D. 设计结构
复变函数习题三参考答案
习题三 3.1计算积分 2C z dz ? ，其中C 是： （1）原点到()2i +的直线段； （2）原点到2再到()2i +的折线； （3）原点到i 再沿水平到()2i +的折线。 解：（1）C 的参数方程为()()22201z t i t ti t =+=+≤≤ ()2dz i dt =+ 于是 ()()()222 1 222113 C i i d z d t i z t +++== ? （2）12C C C =+，1C 参数方程为()02z t t =≤≤， 2C 参数方程为()201z it t =+≤≤ ()()1 2 2 21 2 2 2 2 1 22113 C C C z dz z dz z dz t dt id it i t += +=+=+? ???? （3）12C C C =+，1C 参数方程为()01z it t =≤≤， 2C 参数方程为()02z t i t =+≤≤ ()()()1 2 2 1 2 2 2 22 1 2113 C C C z dz z dz z dz it idt dt t i i += +++==????? 3.2设C 是,i z e θ θ=是从π-到π的一周，计算： （1） ()Re C z dz ? ；（2）()Im C z dz ?；（3）C zdz ? 解：cos sin i z e i θ θθ==+，()sin cos dz i d θθθ=-+ （1）()()Re cos sin cos C z dz i d i π π θθθθπ-=-+=??； （2）()()Im sin sin cos C z dz i d π π θθθθπ-=-+=-? ?； （3） ()()cos sin sin cos 2C zdz i i d i π π θθθθθπ-=--+=? ? 3.3计算积分C z zdz ? ，其中C 是由直线段11,0x y -≤≤=及上半单位圆周组成的正向闭 曲线。 解：12C C C =+，1C 表示为z x iy =+，()11,0x y -≤≤=；
复变函数论第三版课后习题答案
第一章习题解答 （一） 1 ．设2z =z 及A rcz 。 解：由于32i z e π- = 所以1z =，2,0,1,3 A rcz k k ππ=- +=± 。 2 ．设1 21z z = = ，试用指数形式表示12z z 及 12 z z 。 解：由于6 4 12,2i i z e z i e π π - += == = 所以( )646 4 12 12222i i i i z z e e e e π π π π π - - === 54( )14 6 12 2 6 112 2 2i i i i z e e e z e π ππππ+ - = = = 。 3．解二项方程440,(0)z a a +=>。 解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+= ===。 4．证明2 2 2 1212 122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 证明：由于2 2 2 1212 122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 121 2 122R e () z z z z z z -=+- 所以2 2 2 12 12122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0 321=++z z z , 1 321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3是内 接于单位圆1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于 1 321===z z z ，知 3 21z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 3 1z z z == ()[]()[]2 12322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 2 1212z z z z ++= 所以， 12121-=+z z z z ， 又 ) ())((1221221121212 2 1z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()3 22121=+-=z z z z
(完整版)复变函数与积分变换习题答案
一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。 (1) i 解：2 cos sin 2 2 i i e i ππ π ==+ (2) -1 解：1cos sin i e i πππ-==+ (3) 1+ 解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解： 2221cos sin 2sin 2sin cos 2sin (sin cos )2 2 2 2 22 2sin cos()sin()2sin 222222 i i i i i e παα α α α α α αααπαπαα?? - ??? -+=+=+? ?=-+-= ??? (5) 3z 解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e + 解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+ (7) 11i i -+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++ 二、计算下列数值 (1) 解： 1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a b i ctg a b i ctg a π?? + ??? = =??=??? (2) 解：6 2263634632 22i k i i i i e i e e e i πππππππ?? ??++ ? ??? ????+ ????=+????====-+? ??=-?
(3) i i 解：( )2222i i k k i i e e ππππ???? +-+ ? ??? ?? == (4) 解：( ) 1/2222i i k k e e ππππ???? ++ ? ??? ?? == (5) cos5α 解：由于：()()5 5 2cos5i i e e ααα-+=， 而： ()()()() ()()()() 5 5 5 55 5 5 5 55 cos sin cos sin cos sin cos sin n n i n n n n i n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑ 所以： ()()()()()()()()()()() 5555055550 4 3 2 5 3 543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n n n n n n n n n C i i C i i C i ααααααααααααααααα --=--=?? =+-????=+-??=++=-+∑∑ (6) sin5α 解：由于：()() 5 5 2sin 5i i e e ααα--=， 所以： ()()()()()()()()()()() () 5555055550 5234 245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n n n n n n n n n C i i i C i i i C i C i i ααααααααααααααααα --=--=?? =--? ??? =--??=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解：
(完整版)复变函数试题库
《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是 )(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在} 1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数， 那么它在 D 内为常数. 2. 试证 : ()f z = 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两 个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.
复变函数习题答案第3章习题详解
第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分 ? +i dz z 30 2。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 ()()()?? +=??????+=+=+1 3 1 0332 3 30 2 33 13313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 0330 2 3 2 33 131=??? ???==?? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz = ()()()33 1 031 0233 233133 13313-+=??????+=+=?? +i it idt it dz z i ()()()3 3331 02 3 0230233 133********i i idt it dt t dz z i +=-++= ++= ∴??? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz = ()()31 031 202 3 131i it idt it dz z i =??????==?? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = ()()()33 1 031 02 32 3113 131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+=?? + ()()3 333320 2 30 2 13 13113131i i i i dz z dz z dz z i i i i +=-++= += ∴? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分 ()?++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ ?? +i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 0210 2 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 043210 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i
复变函数习题答案第3章习题详解
第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分? +i dz z 30 2 。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 () ()()?? +=??????+=+= +1 3 1 332 3 30 2 3313313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 33 2 3 2 33131=??? ???== ? ? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t i d t dz = () ()()33 1 31 2 33 2 3313313313-+=??????+=+= ?? +i it idt it dz z i ()()()33 3 3 1 02 30 2 30 2 33 13 3 133 133 13i i idt it dt t dz z i += - ++ = ++ = ∴ ?? ? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t i d t dz = ()()31 31 20 2 3131i it idt it dz z i =??? ???== ? ? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = () ()()33 1 31 2 32 3113131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+= ?? + ()()33 3 3 32 2 30 2 13 13 113 13 1i i i i dz z dz z dz z i i i i += - ++ = + = ∴ ? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分()? ++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=? ???? ???? ??++=++=+∴ ? ?+i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 210 2 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 0432 10 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i 而()i i i i i 6 5 6121213131213 11+-=-++=??? ??+ +
复变函数习题解答(第3章)
p141第三章习题 (一)[ 5, 7, 13, 14, 15, 17, 18 ] 5.由积分 C1/(z+ 2)dz之值证明 [0,](1 + 2 cos)/(5 + 4cos)d= 0，其中C取单位圆周|z| = 1． 【解】因为1/(z+ 2)在圆|z内解析，故 C1/(z+ 2)dz= 0． 设C: z()= ei ，[0, 2]． 则 C1/(z+ 2)dz= C1/(z+ 2)dz= [0, 2]iei /(ei + 2)d = [0, 2]i(cos+isin)/(cos+isin+ 2)d =
[0, 2]( 2 sin+i(1 + 2cos))/(5 + 4cos)d = [0, 2]( 2 sin)/(5 + 4cos)d+i [0, 2](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d． 所以 [0, 2](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0． 因(1 + 2cos))/(5 + 4cos)以2为周期，故 [,](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0；因(1 + 2cos))/(5 + 4cos)为偶函数，故[0,](1 + 2 cos)/(5 + 4cos)d [,](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0． 7. (分部积分法)设函数f(z),g(z)在单连通区域D内解析，,是D内两点，试证 [,]f(z)g’(z)dz= (f(z)g(z))| [,] [,]g(z)f’(z)dz． 【解】因f(z),g(z)区域D内解析，故f(z)g’(z)，g(z)f’(z)，以及(f(z)g(z))’都在D 内解析．因区域D是单连通的，所以f(z)g’(z)，g(z)f’(z)，以及(f(z)g(z))’的积分都与路径无关．[,]f(z)g’(z)dz+ [,]g(z)f’(z)dz= [,](f(z)g’(z)dz+g(z)f’(z))dz
复变函数习题集(1-4)
第一章 复数与复变函数 一、选择题： 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π= -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 32 1+ - （D ）i 2 12 3+ - 3．复数z -3(cos -isin )5 5 π π =的三角表示式为（ ） A ．44-3(cos isin )5 5 ππ＋ B ． 443(cos isin )55ππ－ C ． 443(cos isin )5 5 ππ＋ D ．44-3(cos isin )5 5 ππ－ 4．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 二、填空题 1．设) 2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π=-=i z z ，则=z 4．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线. 5．=+++→)21(lim 4 2 1z z i z 三.求方程z 3+8=0的所有复根. 第二章 解析函数 一、选择题：
复变函数教案3.3
第三章 教学课题：第三节 柯西积分公式及其推论 教学目的：1、充分掌握柯西积分公式以及其解析函数的平均值定理； 2、了解柯西高阶导数分公式； 3、切实掌握解析函数的无穷可微性； 4、理解柯西不等式、刘威尔定理及解析函数的一些等价刻画。 教学重点：柯西积分公式； 教学难点：柯西不等式、刘威尔定理及解析函数的一些等价刻画 教学方法：启发式 教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：柯西积分公式是解析函数的积分表达式，可以帮助我们详细地去研究解析函数的局部性质。柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计式。 教学过程： 1、柯西积分公式： 定理3.11设f (z )在以圆)0(|:|000+∞<<=-ρρz z C 为边界的闭圆盘上连续，C 的内部D 上解析，则有 其中，沿曲线C 的积分是按反时针方向取的，这就是柯西积分公式。它是解析函数的积分表达式，因而是今后我们研究解析函数的重要工具。 证明：设D z ∈，显然函数在z f -ζζ)(满足z D ≠∈ζζ,的点ζ处解析。 以到z 为心，作一个包含在D 内的圆盘，设其半径为ρ，边界为圆ρC 。在D 上，挖去以ρC 为边界的圆盘，余下的点集是一个闭区域ρD 。在ρD 上，ζ的函数)(ζf 以及z f -ζζ)(解析，所以有 其中，沿曲线C 的积分是按关于D 的正向取的，沿ρC 的积分是按反时针方向取的。因此，结论成立。 说明：f(z)沿C 的积分为零。考虑积分 则有：（1）被积函数在C 上连续，积分I 必然存在；
（2）在上述闭圆盘上0 )(z z z f -不解析，I 的值不一定为0，例如i I z f π21)(=≡时，； 现在考虑f (z )为一般解析函数的情况。作以为 0z 心，以)0(0ρρρ<<为半径的圆ρC ，由柯西定理，得 因此，I 的值只f (z )与在点 0z 附近的值有关。令θρi e z z =-0， 则有 由于I 的值只f (z )与在点 0z 附近的值有关，与ρ无关，由f (z )在点0z 的连续性，应该有)(20z if I π=，即 事实上，当ρ趋近于0时，有 由于由f (z )在点0z 的连续性，所以)(0,00ρδδε≤>?>?，使得当ρδρC z ∈<<,0时，ε<-|)()(|0z f z f ，因此 即当ρ趋近于0时，上式右边的有第二个积分趋近于0；而i dz z z C πρ210 =-?，因此，结论成立。 注解1、对于某些有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来。 注解2、柯西公式是解析函数的最基本的性质之一，对于复变函数理论本身及其应用都是非常重要的。 注解3、柯西公式有非常明确的物理背景和物理意义。 2、解析函数的无穷可微性 定理3.12 设D 是以有限条简单闭曲线C 为边界的有界区域。设f (z )在D 及C 所组成的闭区域D 上解析，那么f (z )在D 内有任意阶导数 ,...)3,2,1( )()(2!)(1 )(=-=?+n d z f i n z f C n n ζζζπ, 证明：先证明结论关于n =1时成立。设D h z ∈+是D 内另一点。 只需证明，当h 趋近于0时，下式也趋近于0 现在估计上式右边的积分。设以z 为心，以2d 为半径的圆盘完全在D 内，并且
复变函数3
习题三答案 1． 计算积分 2 (c )x y ix dz ?+∫，其中为从原点到1c i +的直线段 解：积分曲线的方程为，即 , x t y t == ，，代入原积分表达式中，得 z x iy t t =+=+i ):01t →1 2 2 ()()(c x y ix dz t t it t ti dt ′?+=?++∫∫ 1 12 30011(1)33 i i it i dt t ?+?=+==∫+ 2． 计算积分z c e dz ∫ ，其中为 c （1）从0到1再到1的折线 （2）从0到1i +i +的直线 解：（1）从0到1的线段方程为：1c , :01z x iy x x =+=→， 从1到1的线段方程为：i +2c 1, :0z x iy iy y 1=+=+→， 代入积分表达式中，得 1 2 1110 (1)z z z x yi c c c e dz e dz e dz e dx e yi dy +′=+=++∫∫∫∫∫ 1 11 00 (cos sin )1(sin cos )x e ei y i y dy e ei y i y =++=?+?∫ 11(sin1cos1)(cos1sin1)11i e ei i i e i e +=?+?+=+?=?； （2）从0到1的直线段的方程为i +z x iy t ti =+=+，， :01t →代入积分表达式中，得 ， 1100 ()(1)(cos sin )z t ti t c e dz e t ti dt i e t i t dt +′=+=++∫∫∫对上述积分应用分步积分法，得 1 (sin cos )(sin cos ) (1)[]22t t z c e t t e i t t e dz i +?=++∫ 1 1 00(1)(1)(cos sin sin cos )()22t t it it i e i e t i t t i t e ie ++=++?=? 1 (1)1010 1i t i i e e e e +++==?=? 3． 积分 2 ()c x iy dz +∫，其中为 c （1）沿从0到1 （2）沿y x =i +2y x =从0到1i + 解：（1）积分曲线的方程为z x iy t ti =+=+，， :01t →代入原积分表达式中，得
复变函数第三版习题
复变函数第三版习题 第二章解析函数习题课1. 试问函数11?z2在圆盘|z|?1内是否连续？是否一致连续？ 2. 证明函数f(z)?|z|2除去在z?0外，处处不可微。 3. 设函数f(z)在区域D内解析。证明：如果对每一点z?D，有f’(z)?0，那么f(z)在D内为常数。 4. 设函数f(z)在区域D内解析。证明：如果f(z)满足下列条件之一，那么它在D内为常数：Ref(z)或Imf(z)在D内为常数；|f(z)|在D内为常数。 5. 证明：若函数f(z)在上半平面解析，则函数f(z)在下半平面解析。 6. 试用柯西-黎曼条件，证明下列函数在复平面解析：z,e,sinz,cosz 2z而下列函数不解析：z,e,sinz,cosz。 7. 证明在极坐标下的柯西-黎曼条件是：?u1?v?u?v。?,??r?rr?????r2z 8. 已知任何区域D内的解析函数f(z)一
定有任意阶导数。证明：f(z)的实部和虚部在D内也有任意阶导数，并且满足拉普拉斯方程：22?U?x2??U?y2?0 在D内，(?i22?x??22 )|f(z)|?4|f’(z)|222?y29. 试求出的e2?i、Ln(1?i)、i、1、(?2)值。 10. z?sinw及z?cosw所定义w的函数分别称为的反正弦函数和反余弦函数，利用对数函数求出它们的解析表达式。 11. sinhz?e?e2z?z及coshz?e?e2z?z 所定义w的函数分别称为的双曲正弦函数和双曲余弦函数，证明：sinhz??isiniz,coshz?cosiz, 此从关于三角函数的有关公式导出：cosh2z?sinh2z?1，sinh(z1?z2)?sinhz1coshz2?coshz1sinhz2，cosh(z1?z2)?coshz1coshz2?sinhz1sinhz2，sin(x?iy)?sinxcoshy?icosxsinhy，cos(x?iy)?cosxcoshy?isinxsinhy，dsinhzdzdcoszdz。?sinhz?coshz, 12. 设两个实变数的函数u(x,y)有偏导数。这一个函数可以写成z?x?iy及z的
复变函数(全英文版)
1 《复变函数（全英文）》试卷 Ι. Cloze Tests. (4*8=32 points) 1. If 12z =, then ||______,arg ________z z ==. 2. The convergent annulus of 1)n n n n nz z ∞=+ ∑（ is _________________________. 3. The square roots of i are ________________________________. 4. 1(1)i +-= ________________, cos ____________i =. 5. All the singular points of 21 (1)z z +1z e are ___________________, and _______________is its essential singular point. 6. If 5()351f z z z =-+, then ()f z has _______________ root(s) in ||1z <. 7. The Cauchy-Riemann Equation(()(,)(,)f z u x y iv x y =+) is _______________________. 8. If ()0f z '≡ in domain D, Then ()f z = _____________________________. Ⅱ. Computations(10+10+10+10+8= 48 points). 1. To evaluate the integrals(1) 2||1(1)1z z z dz e =+-? , (2) 2||2 .(1)z z e dz z =-? 2. To evaluate the integral (8 points) 23 (1)dz I z +∞-∞=+?. 3. Develop ()sin f z z = as a Maclaurin series (or at point z=0). 4. Develop 1()(2)(1) f z z z =+- as a Laurent series in 0|1|3z <-<. 5. Find a map which maps the domain D: 0Im z π<< to D~: Im 0.w > Ⅲ. To show that the real functions (,)u x y x y =-,32(,)3v x y x xy =- are harmonic, and discuss the analyticity of ()(,)(,)f z u x y iv x y =+.(10 points) Ⅳ. (10 points)Try to prove the Cauchy-Riemann Equation in polar coordinates is r v r u v r r u ??-=????=??θθ ,1.
复变函数
一、复数与复变函数 1基本概念 (1)复数的三种表示方法 (2) 复数的模与辐角 (3) 平面曲线的参数表示(特别是直线，线段，圆周) (4) 复变函数的极限与连续 2 应掌握的习题 (1)设 23,121i z i z +=+=，求它们的模和辐角，且求z z e e arg |,|，及2 121,z z z z 的指数和三角式 (2) 已知3 arg π = z ，求iz iz z i z -+,,)1(,的主辐角。 (3) 在复数域内求方程)0(04>=+a a z 及021 =++z e 的解。 (4) 对下方程表示的曲线用实直坐标方程表示: 1) 3 3 t i t z + = 2) 2 it t z += 3) 3 3 t i t z - = 二、解析函数 1 基本 概念 (1) 函数解析的定义 (2) 函数解析的必要条件 (3) 解析函数的充要条件(有四个): 1) ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 解析?),(),,(y x v y x u 在D 可微，且满足C.-R.方程;(P54) 2) y x y x v v u u ,,，在区域D 连续，且满足C.-R.方程;(P126)且x x iv u z f +=)(' 3) )(z f 在区域D 连续，对D 内任一周线C ，只要C 及内部全含于D ，有0)(=? C dz z f (P128) 4) )(z f 在D 中任一点a 的邻域内可展成a z -的幂级数。(P162)
(4) 初等解析函数 (5) 初等多值函数 2 应掌握的习 题 (1) 判别下列函数的解析性，并求).('z f 1) yi x z f 515)(++= 2) )10()(5)(22y xy i x y x z f -+--= 3) ).3(3)(3223y y x i xy x z f -+-= 4) ).sin cos ()sin cos ()(y x y y ie y y y x e z f x x ++-= (2) 设函数5z w =确定在割开负实轴(包括原点)后的z 平面上，求满足条件53)3(-=-w 的那个分支在点i z =的值。 (3) 求下列各式的值: ;)13 2i e π + );1sin()2i - ;)1()32i i -+ ).3ln()4i +- 三、解析函数的幂级数 表 示 1 基本概念 (1) 幂级数的收敛半径 (2) Taylor 定理:设)(z f 在区域D 内解析， D a ∈当D R a z K ?<-|:|，则)(z f 在K 内 能展成幂级数 .)()(0 ∑∞ =-=n n n a z c z f (3) 幂级数在和函数在其收敛圆周上的状况。 (给出了确定收敛半径R 的一种方法) (4) 初等函数的幂级数展式 (5) 解析函数的零点孤立性及唯一性定理 (6) 最大模原理
复变函数习题解答(第3章)
p141第三章习题(一)[ 5, 7, 13, 14, 15, 17, 18 ] 5. 由积分?C1/(z + 2) dz之值证明?[0, π] (1 + 2 cosθ)/(5 + 4cosθ) dθ = 0，其中C取单位圆周| z | = 1． 【解】因为1/(z + 2)在圆| z | < 3/2内解析，故?C1/(z + 2) dz = 0． 设C : z(θ)= e iθ，θ∈[0, 2π]． 则?C1/(z + 2) dz = ?C1/(z + 2) dz = ?[0, 2π] i e iθ/(e iθ + 2) dθ = ?[0, 2π] i (cosθ + i sinθ)/(cosθ + i sinθ + 2) dθ = ?[0, 2π] (- 2 sinθ + i (1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ) dθ = ?[0, 2π] (- 2 sinθ)/(5 + 4cosθ) dθ+ i ?[0, 2π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ． 所以?[0, 2π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0． 因(1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ)以2π为周期，故?[-π, π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0；因(1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ)为偶函数，故 ?[0, π] (1 + 2 cosθ)/(5 + 4cosθ) dθ = (1/2) ?[-π, π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0． 7. (分部积分法)设函数f(z), g(z)在单连通区域D内解析，α, β是D内两点，试证 ?[α, β] f(z)g’(z)dz = ( f(z)g(z))|[α, β] -?[α, β] g(z) f’(z)dz． 【解】因f(z), g(z)区域D内解析，故f(z)g’(z)，g(z) f’(z)，以及( f(z)g(z))’都在D 内解析．因区域D是单连通的，所以f(z)g’(z)，g(z) f’(z)，以及( f(z)g(z))’的积分都与路径无关． ?[α, β] f(z)g’(z)dz + ?[α, β] g(z) f’(z)dz = ?[α, β] ( f(z)g’(z)dz + g(z) f’(z))dz = ?[α, β] ( f(z)g(z))’dz． 而f(z)g(z)是( f(z)g(z))’在单连通区域D内的一个原函数，所以 ?[α, β] ( f(z)g(z))’dz = f(β)g(β) -f(α)g(α) = ( f(z)g(z))|[α, β]． 因此有?[α, β] f(z)g’(z)dz + ?[α, β] g(z) f’(z)dz = ( f(z)g(z))|[α, β]， 即?[α, β] f(z)g’(z)dz = ( f(z)g(z))|[α, β] -?[α, β] g(z) f’(z)dz． 13. 设C : z = z(t) (α≤t≤β)为区域D内的光滑曲线，f(z)于区域D内单叶解析且f’(z) ≠ 0，w = f(z)将曲线C映成曲线Γ，求证Γ亦为光滑曲线． 【解】分两种情况讨论． (1) 当z(α) ≠z(β)时，C不是闭曲线．此时z(t)是[α, β]到D内的单射，z(t)∈C1[α, β]，且在[α, β]上，| z’(t) |≠ 0． 因Γ是曲线C在映射f下的象，所以Γ可表示为w = f(z(t)) (α≤t≤β)． ?t∈[α, β]，z(t)∈D．因f于区域D内解析，故f在z(t)处解析， 因此f(z(t))在t处可导，且导数为f’(z(t))z’(t)． 显然，f’(z(t))z’(t)在[α, β]上是连续的，所以f(z(t))∈C1[α, β]． 因为f(z)于区域D内是单叶的，即f(z)是区域D到 的单射，而z(t)是[α, β]到D 内的单射，故f(z(t))是[α, β]到 内的单射． 因在D内有f’(z) ≠ 0，故在[α, β]上，| f’(z(t))z’(t) |= | f’(z(t)) | · |z’(t) |≠ 0． 所以，Γ是光滑曲线． (2) 当z(α) = z(β)时，C是闭曲线．此时z(t)∈C1[α, β]；在[α, β]上，有| z’(t) |≠ 0；z’(α) = z’(β)；?t1∈[α, β]，?t2∈(α, β)，若t1 ≠t2，则z(t1) ≠z(t2)．
复变函数课后习题答案(全) (2)
精心整理 页脚内容 习题一答案 1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i +（2）(1)(2)i i i -- （3）131i i i --（4）821 4i i i -+- 132i - （（（2（（（2）1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22i r i re π θππ θθ=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+
.. .. 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i -（2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+--（4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- （4）2 3 (cos5sin 5)(cos3sin 3) i i ????+- （5 = （6 = 4． 设12 ,z z i = =-试用三角形式表示12z z 与12z z 解：1 2cos sin , 2[cos()sin()]4 466 z i z i π π ππ =+=-+-，所以 12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212 i i ππππππ =-+-=+， 5． 解下列方程： （1）5 () 1z i +=（2）440 (0)z a a +=> 解：（1 ）z i +=由此 25 k i z i e i π=-=-，(0,1,2,3,4)k = （2 ）z ==
关于复变函数的书pdf
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引言 复数是16世纪人们在解代数方程时引入的。在17世纪和18世纪随着微积分的发明与发展，人们研究复变函数，特别是把实变函数初等函数推广到复变数情形，得到一些重要结果。 复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。 以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。 复变函数论的发展简况 复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。 复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为
这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。 后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。 复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。 复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。 复变函数论的内容 复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函
复变函数第二章习题答案
第二章解析函数 1-6题中： （1）只要不满足C-R 条件，肯定不可导、不可微、不解析 （2）可导、可微的证明：求出一阶偏导y x y x v v u u ,,,，只要一阶偏导存在且连续，同时满足C-R 条件。 （3）解析两种情况：第一种函数在区域内解析，只要在区域内处处可导，就处处解析；第二种情况函数在某一点解析，只要函数在该点及其邻域内处处可导则在该点解析，如果只在该点可导，而在其邻域不可导则在该点不解析。 （4）解析函数的虚部和实部是调和函数，而且实部和虚部守C-R 条件的制约，证明函数区域内解析的另一个方法为：其实部和虚部满足调和函数和C-R 条件，反过来，如果函数实部或者虚部不满足调和函数或者C-R 条件则肯定不是解析函数。 解析函数求导：x x iv u z f +=')( 4、若函数)(z f 在区域D 上解析，并满足下列的条件，证明)(z f 必为常数。 （1）证明：因为)(z f 在区域上解析，所以。 令),(),()(y x iv y x u z f +=，即x v y u y v x u ??-=????=??,0=??+??='y v i x u z f )(。 由复数相等的定义得： 00=??-=??=??=??x v y u y v x u ,。 所以，1C y x u =),((常数)，2C y x v =),((常数)，即21iC C z f +=)(为常数。 5、证明函数在平面上解析，并求出其导数。 （1） ()()0f z z D '=∈z (cos sin )(cos sin ).x x e x y y y ie y y x y -++