量子力学作业习题
量子力学作业习题
第一章
1、哪些实验说明光具有粒子性？Davisson-germer 实验证实了什么？
答：光电效应、黑体辐射和康普顿效应说明了光具有粒子性。Davisson-germer 实验证实了电子具有波动性。
2、写出德布罗意关系式；当自由电子的德布罗意波长为1010-m 时，求它具有的能量。 解：德布罗意关系式为：
利用德布罗意波长公式得：
可以得到能量与波长的关系式：
电子的能量为
3、写出德布罗意关系式，当自由电子与中子的德布罗意波长均为1010-m 时，求它们各自具有的能量。若它们的速度相等，求出电子与中子波长之比的值。（电子质量kg m e 31101.9-?=，中子质量kg m n 271067.1-?=） 解：德布罗意关系式为：
利用德布罗意波长公式得： （1）
可以得到能量与波长的关系式： （2）
电子与中子的能量分别为
（4）
自由运动粒子的德布罗意波长为
（5）
当电子与中子的速度相等时，它们的波长之比
（6）
第二章
1、设体系的归一化状态波函数为),,(?θψr ，则在半径为r ，厚度为dr 的区域内发现粒子的几率是多少？
答：粒子在dr r r +→区域内发现粒子的几率为：
2、已经知道粒子的状态用()z y x ,,ψ表示，求粒子处于()()2121,z z x x ，及范围内的概率。 解：在于()()2121,z z x x ，及范围内找到粒子的概率为：()dz z y x dy dx z z x x 2
,,2
1
21
ψ?
?
?
+∞
∞
-
3、量子态叠加原理和经典波叠加原理有何本质区别？（以两个态叠加为例）
答：(1)当两个经典波的叠加时，将导致一个新的波动状态，具有新的特征；而当微观粒子的两个态叠加时，并不一定形成新的状态。
(2)量子态叠加将导致在叠加态下观察测量结果的不确定性。 4、为什么表示力学量的算符必须是厄米算符？
答：在任意态()r
Φ中测量任一力学量 F ，所得的结果只能是由算符的本征方程
n n n F ψλψ=?解得的本征值λn 之一。力学量算符的本征值是实数，而厄密算符的本征值必为实数，所以表示力学量的算符必须是厄米算符。
5、（1）波函数ψ与ψk 、ψαi e 是否描述同一态？（2）下列波函数在什么情况下才是描述同一态？221122112121;
;ψψψψψψααi i e c e c c c +++，这里21,c c 是复常数，2
1,αα是实常数。
答：（1）ψ与ψk 、ψαi e 描述的相对概率分布完全相同，如对空间1x 和2x 两点的相对概率
=
2
221)
()(x x ψψ=
2
221)
()(x k x k ψψ2
221)
()(x e x e i i ψψαα，故ψ与ψk 、ψαi e 均描述同一态。（3分）
（2）由于任意复数θi e c c =，以及 2*12*
1*21*2
12
222
112
2211ψψψψψψψψc c c c c c c c +±+=± 显然，只有当复数c c c ==21，即c c c ==21，且αααi i i e e e ==2
1
时，
αααψψψψψψψψψψi i i e c e c e c c c c )(),
(,2122112122112121+=++=++均描述同
一态。（5分））
6、一质量为m 的微观粒子在一维无限深势阱??
?
??>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，
，0 00
)(中运动，求粒子的能级及相应的波函数。
解：t x U 与)(无关，是定态问题。其定态Schrodinger 方程
)()()()(22
2
2x E x x U x dx d m ψψψ=+-
在各区域的具体形式为：
Ⅰ： )()()(2 01112
22x E x x dx d m x ψψψ=?∞+-< ① Ⅱ： )()(2 0 222
2
2x E x dx d m a x ψψ=-
≤≤ ②
Ⅲ： )()()(2
3332
22x E x x dx d m a x ψψψ=?∞+-> ③ (1)、(3)方程中，要等式成立，必须 0)(1=x ψ 0)(3=x ψ
即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2)可变为
0)(2)(22222=+x mE
dx x d ψψ
令22
2 mE k =，得： 0)()(22
2
22=+x k dx
x d ψψ 其解为 kx B kx A x cos sin )(2+=ψ ④
根据波函数的标准条件确定系数A ，B ，由连续性条件，得
)0()0(12ψψ=⑤ )()(32a a ψψ=⑥
⑤ 0=?B
⑥0sin =?ka A
)
,3 ,2 ,1( 0
sin 0
==?=∴≠n n ka ka A π ∴x a
n A x π
ψsin
)(2= 由归一化条件
1)(2
=?
∞
dx x ψ
得 1sin 0
2
2
=?
a
xdx a
n A
π
1
2sin 4222cos
2212122cos 10
220
2020
2=?-=
???
???
-=-?
?a
a
a a
a
x
n n a A A a a x n d a x n n a A x A dx x
a n A πππππ
π
x a
n a x a
A πψs i n 2)(22=
∴=?
2
22 mE
k =
),3,2,1( 222
2
2 ==
?n n ma
E n π。
对应于n E 的归一化的定态波函数为
??
?
??><≤≤=-a x a x a x xe a
n a t x t
E i
n n , ,0 0 ,sin 2),( πψ 7、质量为m 的粒子在一维势场???
??>≤≤<∞
=a
x V a x x x V 0
00
)( 中运动，求决定束缚态能级的方程式。
解： 薛定谔方程: ψ=ψ+ψ
-
E x V dx d m )(22
22 三个区域中的薛定谔方程为：????
?????>ψ
-=ψ-ψ≤≤ψ-=ψ<ψ-=ψ∞-ψa
x E m V m dx d a x E m dx d x E m
dx d 32202232
22
222
12
1212220202
对于00V E <<的情况，三个区域中的波函数分别为：
()()()()???
??
-=+==x C x kx B kx A x x αψψψexp cos sin 0321 其中，
)
(2,20E V m mE
k -=
=
α
利用波函数在0=x 处的连接条件：()()0021ψψ=，得B=0,即()kx A x sin 2=ψ 在a x =处，利用波函数及其一阶导数连续的条件
得到：)exp(sin a C ka A α-= ()a C ka Ak αα--=exp cos 于是有：α
k
ka -
=tan
此即能量满足的超越方程。 8、质量为的粒子在如下一维势阱中运动??
?><≤≤=a
x x V a x x V ,000
)(0
，导出能量本征值满足的
方程。
解：薛定谔方程:
()[]0)(2)(2
22=-+x x V E m
x dx d ψψ
在各区域的具体形式为：
Ⅰ： )()()(2
01101222x E x V x dx d m x ψψψ=?+-< （1） Ⅱ： )()(2 0 222
2
2x E x dx d m a x ψψ=-≤≤ （2） Ⅲ： )()()(2
33032
22x E x V x dx d m a x ψψψ=?+-> （3） 令：222 mE k =
，2
02
1)(2
E V m k -= 考虑当
, 故有（1）、（2）、（3）式的通解分别为
()()()??
?
??
>-≤≤+<=ψa x x k C a x kx B kx B x x k A x 122111exp 0cos sin 0exp
利用波函数在
处的连续条件
， 0
'
20
'
1==ψ=ψx x a x a
x ==ψ=ψ3
2
， a
x a
x ==ψ=ψ'
3'
2
()()???????--=--=+==)7(e x p s i n c o s )6(e x p c o s s i n )5()4(112211221
1
112
1a k k C ka k B ka
k B a k C ka B ka B k B k A B A
（4）、（5）、（6）、（7）联合求解得：2
1
2
12k k kk tgka -=
第三章
1、下列函数哪些是算符22
dx
d 的本征函数，其本征值是什么？
①
， ②
， ③
， ④
， ⑤
解：①，不是
的本征函数。
② ，
是
的本征函数，其对应的本征值为1。
③，
可见，是的本征函数，其对应的本征值为－1。
④
是的本征函数，其对应的本征值为－1。
⑤
∴
是
的本征函数，其对应的本征值为－1。
2、设波函数()x x sin =ψ，求?2
2
=???
???-??
??????? ??ψψdx d x x dx d
解：
3、如果A
?和B ?都是厄米算符，试证明对易子[]
A B B A B A ?????,?-=的厄米性。 解：依题意：()
τφ?τφ?d A d A **???
?=， ()
τφ?τφ?d B
d B *
*????
=
()()()()()()τφ?τφ?τ
φ?τφ?τφ?τφ?τφ?d A B B A
d B A A B d B A d A B d A
B d B A d A B B A *
*
*****????????????????)????(-≠-=-=-=-????
???
所以对易子[]
A B B A B A
?????,?-=不是厄米算符。 4、如果B A
?,?均为厄米算符，但不对易，证明)????(A B B A i -为厄米算符。 证明：依题意：()
τφ?τφ?d A d A **???
?=， ()
τφ?τφ?d B
d B *
*????
=
()()
()()()()τφ?τφ?τφ?τφ?τφ?τφ?τφ?d A B B A
i d B A A B i d B A i d A B i d A
B i d B A i d A B B A i *
******????????????????)????(-=-=-=-=-???
????
所以)????(A B B A
i -是厄米算符。 5、定义算符y x L i L L ???±=±，利用角动量的对易关系式证明[]
z L L L ?2?,? =-+。 证明：
[][][][
]
[][][][][][
]
[][]z
x
y
y
x
x
y y x
y
y
x
y
y
x
x
x
y
x y y x x y x y x L L L i L L
i L L i L i L L
i L i L L i L i L L L
L i L L i L i L L L i L L i L L L
?2?,??,??,??,??,
??,??,??,???,???,???,???,? ==-=+-=-+-=-+-=-+=-+ 6、证明对易关系：[
]
y
z x P i P L ??,? -= 证明：[][][][][][][][]y
y
z
z
y
z
z
z
z
z
y
z
z
z
y
z
z
x
P i P P z P P z P P y P P y P P z P P y P P z P y P L
???,??,????,??,???,???,???,?????,? -=--+=-=-=
7、电子在均匀电场k E E =中运动，其哈密顿算符为eEz P H +=μ
2??2，证明x
P ?与H ?对易。 证明：
[
]
[]
??
?????
?+????????+???????
?=+??????=?????
?+=μμμμμ2?,?2?,?2?,?,?2?,?2?,??,?22222z x y x x x x
x x P P P P P P eEz P P P eEz P P H P
因动量各分量之间对易，所以[
]
0?,?=H P x ，即x
P ?与H ?对易。
8、在时间t=0 时，一维线性谐振子处于用下列归一化的波函数所描写的状态：
)(5
2
)()(31)0,(320x x C x x φφφψ++=
其中)(x n φ为第n 个时间无关的本征函数。 （1）求C 的值；
（2）该振子能量的可能值、几率及平均能量E 。 （3）写出时的波函数。
解：(1)
,
归一化，
，
152312=++C ， 15
4,1542
==C C 取 （2）
，
，3
1
0=
W ；
，1542=
W ；ω 273=E ，5
2
3=W ；
（3）
时，
所以：
9、一维无限深势阱中，如0=t 时刻粒子的状态由波函数x a
x a a
x π
πcos 2sin
2)(=ψ描写。求粒子能量的可能取值、相应的概率及平均值。
解：一维无限深势阱中，粒子的本征值和本征函数分别为：
),3,2,1(22
2
2
2 ==
n n ma
E n π ??
???><≤≤=a x a x a x x a
n a x n , 0 ,0,sin
2)(π
φ x a
x a a x π
πcos 2sin
2)(=
ψ
()()()[]x x a x a a x a a x a a x a a x a x a a x a x a
x 132
1
sin 23sin 221sin 13sin 1sin 3sin 212cos
2sin 2φφππππππππ-=???? ??-=
-=????????? ??-?==
ψ
2
2
2
332
2
21129,21,32,21,1ma E C n ma E C n
ππ=
=
==
==∴
该粒子能量的可能测量值为2223
22
2129,2ma E ma E ππ==，相应几率分别为21。 平均值2
2
222222225)292(21ma ma ma E πππ=+=。
第四章
1、已知z L ?表象中x L ?的矩阵表示为???
?
? ??=01
101010
2? X L ，求x L ?本征态在z
L ?表象中的矩阵表示。 解：设L x 的本征函数为???
?
?
??=321a a a φ
L x 的本征方程为：????
? ??=????
?
??????
?
??32132101
101
0102a a a a a a λ 020220
2
321=????
? ??????
?
???? ??---a a a λλλ
欲得a 1, a 2, a 3 不全为零的解，必须要求系数行列式等于零
02
2
20
2=---λ
λλ
, ()
±=?=+-,0022λλλ 取 =λ代入本征方程得：020220
2
321=????
? ??????
?
????
?
?---a a a
解得：23212
2,22a a a a ==
则 =λ的本征态 可记为：2212111a ???
?
? ??=φ
由归一化条件定a 2, 2212122
12
1111*1
a a ?
???
? ?????
?
?
?
=+φφ1||222==a ,212=a
同理得另外 -=,0λ两个本征值相应本征函数
?????
? ??--=???
??
? ??-=2121213212120φφ
2、已知体系的哈密顿量
试求出体系能量本征值及相应的在
所在的表象的正交归一化的本征矢组。
【解】
（1）. 久期方程：
解得：εεε3,2,
321===E E E
设正交归一的本征矢
对应于
，
本征矢 ，归一化
对应归一本征矢????
? ??-=
101211φ 同样ε22=E ，?
???? ??=0102φ ，ε33=E ，???
?
? ??=
101213φ 即为
的本征函数集
3、已知两个算符H
?和B ?的矩阵形式为 ????? ??--=100010001ω H ；???
?
? ??-=020200001b B
其中b 和ω为实常数，问： （1）H 和B 是否是厄米矩阵？ （2）H 和B 是否对易？
（3）求算符B
?的本征值及相应的本征函数。 解：（1）H H =??????????--=+100010001ω ；B b B =????
?
??-=+
020200001
所以H 和B 都是厄米矩阵
（2）????
??????---=??????????-??????????--=020200
001020200001100010001b b HB ωω HB b b BH =??
??
??????---=??????????--??????????-=020200
001100010001020200001ωω 所以H 和B 是否对易。
（3）设算符B
?的本征函数的形式为???
?? ??321a a a 算符B ?的本征方程为???
?
? ??=????? ??????? ??-321321020200001a a a a a a b λ
久期方程
020
200
0=----λ
λλb b
b ()()b b b b b -=-==?=---32122,2,204λλλλλ
当b 21=λ时，???
?? ??=????? ??-?????? ??=????? ??????? ??-321231321321222222020200001a a a a a a a a a b a a a b
所以?
???
?
??=???
?==221231
00a a a a a ψ 利用归一化条件()
2
1a ,1200122
2
22*
2*
2
11=
==????
? ???=+取a a a a a ψψ
所以算符B ?与本征值b 21
=λ对应的本征函数为???
?? ??=110211ψ 当b 22-=λ时，?
??
?? ??---=????? ??-?????? ??-=????? ??????? ??-321231321321222222020200001a a a a a a a a a b a a a b
所以?
???
?
??-=???
?-==22123100
a a a a a ψ 利用归一化条件()
2
1a ,1200122
2
22*
2*222
=
==????
?
??--?=+取a a a a a ψψ
所以算符B ?与本征值b 22
-=λ对应的本征函数为????? ??=1-10212ψ 当b -=3λ时，???
?
? ??---=????? ??-?????? ??-=????? ??????? ??-32123132132122020200001a a a a a a a a a b a a a b
所以?
???
?
??=?==???
?-=-=000221223233
2a a a a a a a ψ 利用归一化条件()
1a ,110000112
1*122
===????
?
???=+
取a a a ψψ
所以算符B ?与本征值b -=2λ对应的本征函数为???
?
? ??=0012ψ
4、A
?、B ?为厄密算符，1??22==B A ，0????=+A B B A 。（1）求算符A ?、B ?的本征值；（2）在A 表象下求算符A
?、B ?的矩阵表示。 解：（1）设A
?的本征函数为ψ，本征值为λ，则本征方程为 λψψ=A ?
将上式左乘A ?得ψλψλλψψ22???===A A A
因为1?2=A
所以112±=?=λλ，即算符A
?的本征值为1±。 同理得算符B
?的本征值也为1±。 （2）在A 表象下算符A
?为对角矩阵，对角元就是其本征值，所以 ?
??? ??-=1001A
设在A 表象下算符B
?的矩阵表示为???? ??=d c b a B
因为0????=+A B B A
所以0
10011001=???? ??-???? ??+???? ?????? ??-d c b a d c b a 0,002002==?=????
??-d a d a 即B 简化为
?
???
??=00c b B 又因B 为厄密算符，则B B =+，即*
**0000b c c b b c =????? ??=?
??? ?? 即B 化为?
???
??=00*b b B 再因为1?2=B
所以1,1100002
**==?=???? ?????? ??b b b b b b 取，则1c =，即
?
??? ??=0110B
曾量子力学题库(网用).
曾谨言量子力学题库 一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1=ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1)(x x V μω=的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？
量子力学习题集及答案
09光信息量子力学习题集 一、填空题 1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125ο A ）。 2． 索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E （ ηωn ）。 3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍 射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ηω=E ）和（ k p ρηρ = ）。 4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=（ r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ）， () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 5． 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ（ r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ），=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 6． t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2 ），几率流密度= （ () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi ）。 8． 设)(r ρψ描写粒子的状态，2)(r ρψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ρψ中F ?的平均值为F =（ ??dx dx F ψψψψ* *? ） 。 9． 波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ）， δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为 零）的状态。 11． )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 （ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。 14． 3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ ）。 15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为
第1章 量子力学基础-习题与答案
一、是非题 1. “波函数平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的”。对否 解：不对 2. 有人认为，中子是相距为10-13 cm 的质子和电子依靠库仑力结合而成的。试用测不准关系判断该模型是否合理。 解：库仑吸引势能大大地小于电子的动能, 这意味着仅靠库仑力是无法将电子与质子结合成为中子的，这个模型是不正确的。 二、选择题 1. 一组正交、归一的波函数123,,,ψψψ。正交性的数学表达式为 a ，归一性的 表达式为 b 。 () 0,() 1i i i i a d i j b ψψτψψ** =≠=?? 2. 列哪些算符是线性算符------------------------------------------------------ (A, B, C, E ) (A) dx d (B) ?2 (C) 用常数乘 (D) (E) 积分 3. 下列算符哪些可以对易-------------------------------------------- (A, B, D ) (A) x ? 和 y ? (B) x ?? 和y ?? (C) ?x p 和x ? (D) ?x p 和y ? 4. 下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx (C) e -ikx (D) 2 e kx - (1) 哪些是 dx d 的本征函数；-------------------------------- (B, C ) (2) 哪些是的22 dx d 本征函数；-------------------------------------- (A, B, C ) (3) 哪些是22dx d 和dx d 的共同本征函数。------------------------------ (B, C ) 5. 关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) ------------------（C,D ） (A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大 6. 提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：------------------------------（ A ）
喀兴林高等量子力学习题6、7、8
练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}i a 展开的（6.1）式中，证明若ψ 是归一化的，则 1=∑*i i i c c ，即A 取各值的概率也是归一化的。（杜花伟） 证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。根据(6.1)式 ∑=i i i c a ψ, ψi i a c = 可得 1===∑∑* ψψψψ i i i i i i a a c c 即A 取各值的概率是归一化的。 # 练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变. (2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟 核对：王俊美） (1)证明：在定态中i E i H i = , Λ3,2,1=i 则 ()t E i i i i t η -=ψ 所以 i A i e i A e A t E i t E i i i ==-η η ψψ. 即所有物理量的平均值不随时间变化. (2)两个定态的叠加不一定是定态.例如 ()()()t E i t E i e x v e x u t x 21,η η --+=ψ 当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. # 6.3证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立： ) (]),([)()](,[X f X i P X f P f P i P f X ?? =?? =ηη （解答：玉辉 核对：项朋） 证明：（1）
) ()()()()()()()()](,[P f P i P i P f P i P f P f P i P i P f P f P i X P f P Xf P f X ??=??-??+??=??-??=-=ηηηηηηψψ ψψψ ψψ ψψ 所以 )()](,[P f P i P f X ?? =η （2） ) () ()())(())(()()())(()()(]),([X f X i X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ??=?? --??--??-=?? --??-=-=ηηηηηηψψψψψ ψψ ψψ 所以 )(]),([X f X i P X f ?? =η # 练习6.4 下面公式是否正确？（解答：玉辉 核对：项朋） ),()],(,[P X f P i P X f X ?? =η 解：不正确。 因为),(P X f 是X 的函数，所以)],(,[P X f X =0 # 练习6.5 试利用Civita Levi -符号，证明：（孟祥海） （1）00=?=?L X ,L P （2）[]0=?P X L, （3）()()P X X P P X P X L ?-??-=ηi 22 2 2 证明： （1）∑∑∑∑=== ?ijk k j i ijk k j jk ijk i i i i i P X P P X P L P εε L P
高等量子力学习题汇总(可编辑修改word版)
2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C i a i i C i = a i ；而 物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置 算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ] = 0 ， [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡 方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答： (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ，这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、 已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求 证： 2 2
量子力学导论习题答案(曾谨言)
第五章 力学量随时间的变化与对称性 5.1）设力学量A 不显含t ，H 为本体系的Hamilton 量，证明 [][]H H A A dt d ,,2 2 2 =- 证.若力学量A 不显含t ，则有[]H A i dt dA ,1 =, 令[]C H A =, 则 [][]H C H C i dt C d i dt A d ,1 ,112 22 -===, [][]H H A A dt d ,, 2 2 2 =-∴ 5.2）设力学量A 不显含t ，证明束缚定态，0=dt dA 证：束缚定态为:：() () t iE n n n e t -=ψψ,。 在束缚定态()t n ,ψ，有()()()t E t t i t H n n n n ,,,ψψψ=?? = 。 其复共轭为()()()t r E e r t i t r H n n t iE n n n ,,** * * ψψψ=?? -= 。 ??? ??=n n dt dA dt dA ψψ,()??? ??-??? ??-=??n n n n n n A A A dt d ψψψψψψ,,, ?? ? ??-??? ??-= n n n n H i A A H i dt dA ψψψψ 1,,1 []()()n n n n AH i HA i H A i t A ψψψψ,1 ,1,1 -++??= []()()n n HA AH i H A i ψψ--= ,1,1 [][]() 0,,1=-=A H H A i 。 5.3）(){} x x iaP x a a D -=? ?? ??? ??-=exp exp 表示沿x 方向平移距离a 算符.证明下列形式波函数（Bloch 波函数）()()x e x k ikx φψ=,()()x a x k k φφ=+ 是()a D x 的本征态，相应的本征值为ika e - 证：()()()() ()a x e a x x a D k a x ik x +=+=+φψψ ()()x e x e e ika k ikx ika ψφ=?=,证毕。
量子力学期末考试试卷及答案
量子力学期末试题及答案 红色为我认为可能考的题目 一、填空题： 1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题： 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。 答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？ 答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？ 答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。
2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。 1、
第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球， 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r πε=-（） )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 024)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r E d r e r U )( ???????≥≤=??=)( 4 )( ,43441 02 003003303 420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε
高等量子力学习题.
高等量子力学习题 1、 对于一维问题，定义平移算符()a D x ，它对波函数的作用是() ()()a x x a D x -=ψψ，其中a 为实数。设()x ψ的各阶导数存在，试证明()dx d a x e i p a a D -=?? ? ??= ?exp 。 2、 当体系具有空间平移不变性时，证明动量为守恒量。 3、 若算符()x f 与平移算符()a D x 对易，试讨论()x f 的性质。 4、 给定算符B A ,，证明[][][]....,,! 21 ,++ +=-B A A B A B Be e A A ξξ。 5、 给定算符C B A 和、，存在对易关系[]C B A =,，同时[][]0,,0,==C B C A 。证明Glauber 公式C A B C B A B A e e e e e e e 2 12 1 ==-+。 6、 设U 为幺正算符，证明U 必可分解成iB A U +=，其中A 和B 为厄密算符，并满足 122=+B A 和[]0,=B A 。试找出A 和B ，并证明U 可以表示为iH e U =，H 为厄密 算符。 7、 已知二阶矩阵A 和B 满足下列关系：02 =A ，1=+++AA A A ，A A B + =。试证明 B B =2，并在B 表象中求出矩阵A 、B 。 8、 对于一维谐振子，求湮灭算符a ?的本征态，将其表示为谐振子各能量本征态n 的线性叠加。已知1?-=n n n a 。 9、 从谐振子对易关系[ ]1,=+ a a 出发，证明a e ae e a a a a λλλ--=+ +。 10、 证明谐振子相干态可以表示为 0*a a e ααα-+=。 11、 谐振子的产生和湮灭算符用a 和+ a 表示，经线性变换得+ +=va ua b 和 ++=ua va b ，其中u 和v 为实数，并满足关系122=-v u 。试证明：对于算符b 的任 何一个本征态，2 =???p x 。 12、 某量子体系的哈密顿量为，() 223 2 35++++= a a a a H ，其中对易关系[]1,=-≡++ + a a aa a a 。试求该体系的能量本征值。 13、 用+ a ?和a ?表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基本对易式
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曾谨言量子力学题库 一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问 题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在 ),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1= ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1 )(x x V μω= 的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？
量子力学练习题
量子力学练习题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
一. 填空题 1．量子力学的最早创始人是 ，他的主要贡献是于 1900 年提出了 假设，解决了 的问题。 2．按照德布罗意公式 ，质量为21,μμ的两粒子，若德布罗意波长同为 λ，则它们的动量比p 1:p 2= 1:1；能量比E 1：E 2= 。 3．用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量 E=kT 23 （k 为玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度T max = 。 4．阱宽为a 的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大(缩小) ；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a ，质量仍为μ，则第n 个能级的能量E n = ，相应的波函数 =)(x n ψ()a x a x n a n <<= 0sin 2πψ和 。 5．处于态311ψ的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的z 分量的值分别为E= eV eV 51.13 6 .132-=；L= ；L z = ，轨道磁矩M z = 。 6．两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为)(q k ?，当它们是玻色子时波函数为 ),(21q q s ψ= ；玻色体系 为费米子时 =),(21q q A ψ ；费米体系 7．非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是 E n =() () +-'+'+∑≠0 020m n n m mn mn n E E H H E ， )(x n ψ = () ) () +-'+∑≠000 2 0m m n n m mn n E E H ψψ， 其中微扰矩阵元 'mn H =()() ?'τψψd H n m 00?； 而 'nn H 表示的物理意义是 。该方法的适用条 件是 本征值， 。
量子力学基础习题思考题
.量子力学基础习题思考题
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习题 22-1．计算下列客体具有MeV 10动能时的物质波波长，(1)电子；（2）质子。 解：(1) 电子高速运动，设电子的总能量可写为：20K E E m c =+ 用相对论公式， 222240E c p m c =+ 可得 224222400011()K p E m c E m c m c c c = -=+-2 2012K K E m c E c =+ 2202K K h ch p E m c E λ= =+ 834 61923182619 310 6.6310(1010 1.610)29.110(310)1010 1.610 ----???=???+???????? 131.210m -=? （2）对于质子，利用德布罗意波的计算公式即可得出： 341527619 h 6.63109.110m p 22 1.67101010 1.610h mE λ----?= ===??????? 22-2．计算在彩色电 视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为 kV 0.25，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。 解：（1）用非相对论公式： m meU h mE h 123 193134108.71025106.1101.921063.622p h ----?=???????====λ（2）用相对论公式： 4 20222c m c p +=E eU E E k ==-20c m m eU eU c m h mE h 122 20107.722p h -?=+= == ） （λ 22-3．一中子束通过晶体发生衍射。已知晶面间距nm 1032.72 -?=d ，中子的动能 eV 20.4k =E ，求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角. 解：先利用德布罗意波的计算公式即可得出波长： 34 112719h 6.6310 1.410p 22 1.6710 4.2 1.610 h m mE λ----?====??????
量子力学习题答案
量子力学习题答案
2.1 如图所示 左右 0 x 设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论 （一）的情形 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解分别为 （1）粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波，所以为零 由波函数的连续性 得 得 解得 由概率流密度公式 入射 反射系数 透射系数 （2）粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得两个方程 解 反射系数 透射系数 （二）的情形 令,不变 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为
由在右边波函数的有界性得为零 （1）粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得方程 由于全部透射过去，所以 反射系数 透射系数 2.2 如图所示 E 0 x 在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为 总透射系数 2.3 以势阱底为零势能参考点，如图所示 （1） ∞∞ 左中右 0 a x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得
∴ ∴ 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成由波函数归一化条件得 所以波函数 （2） ∞∞ 左 中右 0 x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 当，为任意整数， 则 当，为任意整数， 则 综合得 ∴ 当时，， 波函数 归一化后 当时，， 波函数 归一化后 2.4 如图所示∞ 左右 0 a 显然 在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中
最新量子力学导论习题答案(曾谨言)(1)
第九章 力学量本征值问题的代数解法 9—1） 在8.2节式（21）中给出了自旋（2 1）与轨迹角动量（l ）耦合成总角动量j 的波函数j ljm φ，这相当于2 1,21===s j l j 的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a ）中的CG 系数 jm m m j 21121 解：8.2节式（21a ）（21b ）: ()21),0( 21+=≠-=m m l l j j j ljm φ???? ??-+++=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??-++---+=+=21,2121,212121,21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l j （21a ） ()21-= j l j ljm φ???? ??++---=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??+++--+++-++=≠-=21,2121,211122121),0( 21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l l j （21b ） ()21++j l 此二式中的l 相当于CG 系数中的1j ，而2 12==s j ,21,~,,~21±=m m m m j 。 因此，（21a ）式可重写为 jm ∑=222112 211m jm m j m j m j m j 2 12121212121212111111111--+=m j jm m j m j jm m j ??????? ? ??-???? ??++-???? ??++++=+=212112212121122111211111211121121),21(m j j m j m j j m j j l j a （21a ’） 对照CG 系数表，可知：当21121+=+=j j j j ,212=m 时 ， 21111112212121??? ? ??++=＋j m j jm m j 而2 12-=m 时，
量子力学习题答案
量子力学习题答案 1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E h =ν； p h /=λ 由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ? ），故： 2e E P /(2)=μ 69 h /p h / hc / 1.2410/0.7110 m 0.71nm --λ====?=?=1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为 J 10 2.07K 1K J 10 381.12 32 323 1 23 ---?=????= = kT E 于是有 一维谐振子处于2 2 /2 ()x x Ae α ψ-=状态中，其中α为实常数，求： 1.归一化系数； 2.动能平均值。 （22 x e dx /∞-α-∞ = α?） 解：1.由归一化条件可知： 22 * 2x 2 (x)(x)dx A e dx 1 A /1 ∞∞-α-∞ -∞ ψψ===α=? ? 取相因子为零，则归一化系数1/21/4A /=απ 2.
2222 2 2 22 2 2 22 22 22 22 2 * 2x /2 x /22 2 2 x /2 x /2 2 2 x /2 2x /2 2 222x 2x /2 2 2 24 2x 2T (x)T (x)dx A e (P /2)e dx d A e ()e dx 2dx d A e (xe )dx 2dx A {xe (xe )dx} 2A x e dx A 22∞∞-α-α-∞-∞ ∞-α-α-∞∞-α-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ ∞-α-∞ = ψψ=μ=- μ =- -αμ=- -α- -αμ = α = μμ ? ?? ? ? ? ＝（＝ ＝ 22 2 2 2 2 4 x 22 24 x x 2 2 22 24 21()xd(e ) 21A (){xe e dx}221A ()2442∞-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ α- α =α- -- μααα- - μ α μ μ α ? ? 若αT 4 ω= 解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H 定理是 非常方便的。 一维谐振子的哈密顿量为： 2 2 22 d 1H x 2dx 2 =- + μωμ 它的基态能量01E 2 = ω 选择 为参量，则: 0dE 1d 2 = ω ； 2 2 2 d H d 2d 2()T d dx 2dx =- = - = μμ d H 20 0T d = 由F-H 定理知： 0dE d H 210 T d d 2= ==ω 可得： 1T 4 = ω
结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案
结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案
量子力学基础习题 一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。1103、在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。 1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。 1105、一组正交、归一的波函数ψ1，ψ2，ψ3，…。 正交性的数学表达式为，归一性的表达式为。1106、│ψ(x1，y1，z1，x2，y2，z2)│2
代表______________________。 1107、物理量xp y- yp x的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。 1108、质量为m的一个粒子在长为l的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________，最低能量为____________ ； (3)体系处于基态时，粒子出现在0 ─l/2间的概率为_______________ ； (4)势箱越长，其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ； (5)若该粒子在长l、宽为2l的长方形势箱
中运动， 则其本征函数集为____________，本征 值 谱 为 _______________________________。 1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ 211(x ，y ，z )= _________________________；当粒子处于状态 ψ 211 时，概率密度最大处坐标是 _______________________；若体系的能量为 2 247ma h ，其简并度是_______________。 1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E = 2 243ma h 的简并度是_____，E '= 2 2827ma h 的简 并度是______________。 1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为μ= 2 121m m m m +的一维谐振子，其势能为V =kx 2/2，它 的 薛 定 谔 方 程 是
量子力学教程高等教育出版社周世勋课后答案详解
量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：
011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
量子力学习题
量子物理 一、选择题 1. 已知某单色光照射到一金属表面产生了光电效应，若此金属的逸出电势是U 0 (使电子从金属逸出需作功eU 0)，则此单色光的波长λ必须满足： [ A ] (A) 0eU hc ≤ λ (B) 0 eU hc ≥λ (C) hc eU 0≤λ (D) hc eU 0≥λ 解：红限频率与红限波长满足关系式hv 0= λhc =eU 0，即0 0eU hc = λ 0λλ≤才能发生光电效应，所以λ必须满足0 eU hc ≤ λ 2. 在X 射线散射实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则入射光光子能量0ε与散射光光子能量ε之比ε0 为 [ B ] (A) 0.8 (B) 1.2 (C) 1.6 (D) 2.0 解： λ εhc = ，0 0λεhc = ，02.1λλ= ，所以 2.10 0==λλεε 3. 以下一些材料的功函数(逸出功)为 铍 -----3.9 eV 钯 ---- 5.0 eV 铯 ---- 1.9 eV 钨 ---- 4.5 eV 今要制造能在可见光(频率范围为3.9×1014 Hz ~ 7.5×1014Hz)下工作的光电管，在这些材料中应选 [ C ] (A) 钨 (B) 钯 (C) 铯 (D) 铍 解：可见光的频率应大于金属材料的红限频率0νh , 才会发生光电效应。这些金属的红限频率由A h =0ν可以得到： 1419 34 )(01086.101063.610 6.15.4?=???= --钨ν(Hz) 1419 34 )(01007.121063.610 6.10.5?=???= --钯ν(Hz) 1419 34 ) (01059.41063.610 6.19.1?=???= --铯ν(Hz) 1419 34 )(01041.91063.610 6.19.3?=???= --铍ν(Hz) 可见应选铯
量子力学基础习题
22-1．计算下列客体具有MeV 10动能时的物质波波长，(1)电子；（2）质子。 解：(1) 电子高速运动，设电子的总能量可写为：20K E E m c =+ 用相对论公式， 222240E c p m c =+ 可得 p = = = h p λ= = 834 -= 131.210m -=? （2）对于质子，利用德布罗意波的计算公式即可得出： 3415h 9.110m λ--====? 22-2．计算在彩色电 视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为kV 0.25，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。 解：（1）用非相对论公式： m meU h mE h 123 193134108.71025106.1101.921063.622p h ----?=???????====λ（2）用相对论公式： 420222c m c p +=E eU E E k ==-20c m m eU eU c m h mE h 12220107.722p h -?=+=== ） （λ 22-3．一中子束通过晶体发生衍射。已知晶面间距nm 1032.72 -?=d ，中子的动能 eV 20.4k =E ，求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角. 解：先利用德布罗意波的计算公式即可得出波长： 34 11h 1.410p m λ--====? 再利用晶体衍射的公式，可得出：2sin d k ?λ= 0,1,2k =…
11 11 1.410sin 0.095227.3210 k d λ?--?===?? ， 5.48?= 22-4．以速度m/s 1063 ?=v 运动的电子射入场强为5V/cm =E 的匀强电场中加速， 为使电子波长 A 1=λ，电子在此场中应该飞行多长的距离？ 解：34 10 h 110m λ--== ==? 可得：U=150.9V ，所以 U=Ed ，得出d=30.2cm 。 22-5．设电子的位置不确定度为 A 1.0，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为 keV 1，计算电子能量的不确定度。 解：由测不准关系： 34 2410 1.0510 5.2510220.110 h p x ---??===???? 由波长关系式：E c h =λ 可推出： E E c h ?=?λ 2 151.2410E E E J hc pc λ-??===?? 22-6．氢原子的吸收谱线 A 5.4340=λ的谱线宽度为 A 102 -，计算原子处在被激发态 上的平均寿命。 解：能量hc E h νλ == ，由于激发能级有一定的宽度ΔE ，造成谱线也有一定宽度Δλ，两 者之间的关系为：2 hc E λ λ?=? 由测不准关系，/2,E t ??≥ 平均寿命τ=Δt ，则 22 224t E hc c λλτλπλ=?===??? 102112108 (4340.510)510s 4 3.141010310 ----?==?????? 22-7．若红宝石发出中心波长m 103.67 -?=λ的短脉冲信号，时距为)s 10(ns 19 -，计 算该信号的波长宽度λ?。 解：光波列长度与原子发光寿命有如下关系： x c t ?=? 22 24x x p λλπλλ ?==≈??? 72 2 389 (6.310) 1.32310nm 31010 c t λλ---??===???? 22-8．设粒子作圆周运动，试证其不确定性关系可以表示为h L ≥??θ，式中L ?为粒子角动量的不确定度，θ?为粒子角位置的不确定度。 证明：当粒子做圆周运动时，半径为r ，角动量为：L=rmv=rp 其不确定度P r L ?=?