假设检验
第七
章 假设检验
一、教材说明
本章主要介绍统计假设检验的基本概念和基本思想、正态总体参数的统计假设的显着性检验方法.。
1、本章的教学目的与要求
（1）使学生了解假设检验的基本概念； （2）使学生了解假设检验的基本思想； （3）使学生掌握假设检验的基本步骤；
（4）使学生会计算检验的两类错误，搞清楚两类错误的关系；
（5）使学生掌握正态总体参数的假设检验，主要是检验统计量及其分布，检验拒绝域的确定；
（6）使学生灵活运用所学知识解决实际问题。 2、本章的重点与难点
本章的重点是正态总体参数的各种假设检验中的检验统计量及其分布，难点是假设检验拒绝域的确定。
二、教学内容
下面主要分3节来讲解本章的主要内容。
§ 假设检验的基本概念
对总体分布或分布中的某些参数作出假设，然后利用样本的观测值所提供的信息，运用数理统计的分析方法,检验这种假设是否成立，从而决定接受或拒绝“假设”,这一统计推断过程，称为假设检验。 1.引例
我们先举一个简单的实例来说明假设检验的基本思想及推理方法. 例1：某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.且知标准差为0.015千克.当机器正常时, 其均值为0.5千克,某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(千克): , 问机器是否正常
分析：用μ和σ分别表示这一天袋装糖重总体X 的均值和标准差，则)015.0,(~2
μN X ,其中μ未知。
问题: 已知总体2
(,)X N μσ:,且00.015,σσ==根据样本值判断0.5μ=还是
0.5μ≠。
提出两个对立假设00:0.5H μμ==（原假设或零假设）和 10:H μμ≠(备择假设).再利用已知样本作出判断是接受假设0H ( 拒绝假设1H ) , 还是拒绝假设0H (接受假设
1H ). 如果作出的判断是接受0H , 则0μμ=即认为机器工作是正常的, 否则, 认为是不
正常的.
因为X 是μ的无偏估计量，所以，若0H 为真，则0μ-x
~(0,1)X N -，
衡量0μ-x
的大小。于是可以选定一个适当的正数k ,当观察
值x
X k ≥时，拒绝假设0H ;反之，当观察值x 满足
时k n
X <-/0
σμ，接受假设
0H 。因为当0H
为真时，~(0,1)X U N =
,由标准正态分布分位点的定义得:
假设检验过程如下: 在实例中,
(1)若取定 0.05, α=则/20.025 1.96,k u u α===我们有 又已知0 9, 0.015, n σ==由样本算得 0.511, x =
即有 2.2 1.96,
=>于是根据小概率事件实际不可能性原理,拒绝假设0H , 认为包装机工作不正常. (2)若取定 0.01, α=则/20.005 2.58,k u u α==
= 2.2 2.58, =<于是接
受假设0H , 认为包装机工作正常.
注:上述α称为显着性水平.此例表明假设检验的结论与选取的显着性水平α有密切的关系.所以,必须说明假设检验的结论是在怎样的显着水平α下作出的. 2.假设检验的基本思想及推理方法 1)假设检验基本思想
（1） 在假设检验中，提出要求检验的假设，称为原假设或零假设，记为0H ，原假设如
果不成立，就要接受另一个假设，这另一个假设称为备择假设或对立假设，记为1H 。
（2） 假设检验的依据——小概率原理：小概率事件在一次试验中实际上不会发生。
（3） 假设检验的思路是概率性质的反证法。即首先假设成立，然后根据一次抽样所得的
样本值得信息，若导致小概率事件发生，则拒绝原假设，否则接受原假设。
（4） 假设检验可能犯的两类错误：
① 第一类错误（弃真错误）：即假设0H 为真而被拒绝，记为α，即
00{|}P H H α=拒绝为真。
② 第二类错误（存伪错误）：假设0H 不真而被接受，记为β，即
00{|}P H H β=接受不真。
③ 当样本容量n 一定时，,αβ不可能同时减少，在实际工作中总是控制α适当的小。 2)假设检验的程序
对任何实际问题进行假设检验，其程序一般为五步，即： ⑴根据题意提出零假设0H （或相应备选假设1H ）。
⑵构造样本统计量并确定其分布；
⑶给定显着性水平α，查表确定临界值，从而得出接受域和拒绝域； ⑷由样本观测值计算出统计量的值；
⑸作出判断：若统计量的值落入拒绝域则拒绝0H ，若统计量的值落入接受域则接受0H 。 3)假设检验的主要方法
U 检验法、t 检验法、2χ检验法、F 检验法。
例2 已知某产品使用寿命X 服从正态分布，要求平均使用寿命不低于1000小时，现从一批这种产品中随机抽出25只，测得平均使用寿命为950小时，样本方差为100小时。则可用（ ）
① t--检验法 ②2
χ--检验法 ③Z--检验法 ④F--检验法 解 选①
例3 假设检验时，只减少样本容量，犯两类错误的概率（ ） ①都增大 ②都减少
③不变 ④一个增大，一个减少 解 选①
例4 正态总体()n X X X N X ,,,,,~212
Λσμ为样本，,11
∑==n
i i X n X 假设检验
()为已知数02
20:σσσ≤H ，在显着性水平α下，则当()
2
01
2
2σχ∑=-=n
i i
x
x
（ ）时拒绝0H
①()2
21;n αχ≥- ②()2
121n αχ-≤-
③()2
1n αχ≤
- ④()21n αχ≥-
解 由于当0H 成立时,
*2
*2
2
2
(1)(1),n S n S σ
σ
--≤
而
*2
22
(1)(1)n S n χσ
--:,故
*2
*2
2
222
(1)(1)(
(1))(
(1))n S n S P n P n ααχχασσ--≥-≤≥-=,于是选④
§ 单个正态总体的假设检验
⑴22
00X :N(μ,σ),σ已知，检验假设H ：μ=μ
U 检验法：
①001000H H μμμμμμμμ≠><：= （：或或）
②统计量0(0,1)()U N H -
=
:成立时。
③给出2
2
{}P U u u αααα>=，，查正表定.
④ 由样本值
12n x x x L L （，，，） 计算u 的值 ⑤ 判断：若/2||u u α>0，则拒绝H
（这是对双侧检验提出的U 检验法步骤，若是单侧可仿比）
（2）22
00X ～N(μ,σ),σ未知，检验假设H ：μ=μ
t 检验法：
①001000H H μμμμμμμμ≠><：= （：或或）
②0(1)()T t n H -
=
-:成立时。
③给出2
2
{(1)}(1).P T t n t n αααα>-=-，，查t 分布表定
④由样本值计算T 的值.
⑤判断：若00
2
2
(1),(1),t t n H H t n αα≥--则拒绝，否则接受（若是单侧可查t 表定 同样得出拒绝域）.
（3）222200(,),H X N μσσσσ:未知，检验假设：= ①2222
000H σσσ
σ≠1：=（H ：） ②*2
221
02
2
(1)(1)()i n S
n H χχσσ=-=
=
-∑
:n
-
2
i
（X -X ）成立时。
③给出22
22
12
2
{(1)}{(1)}2
P n P n ααα
αχχχχ-
<-=>-=，，查2χ分布表定2
2
(1)
n αχ-及2
12
(1).n α
χ
-
-
④由样本值计算2
χ的值 ⑥ 判断：若2
2220012
2
(1)(1)n n H H ααχχχχ->
-<-或，则拒绝，反之则接受. （一）已知方差
例5 设某产品的某项质量指标服从正态分布，已知它的标准差150σ=，现从一批产品中随机地抽取26个，测得该项指标的平均值为1637。问能否认为这批产品的该项指标值为1600(0.05α=) ？
解 (1)提出原假设： H 0：μ=1600，H 1：μ≠1600； (2)
选取统计量X U =
(3)对于给定的显着性水平0.05α= ，查标准正态分布表 (4)计算统计量观察值 (5)结论 12
1.258 1.96u u
α
-
=<=接受原假设H 0
即不能否定这批产品该项指标为1600。 （二）未知方差，检验00μμ=：H
例6某厂生产乐器用合金弦线，其抗拉强度服从均值为10560（kg/2
cm ）的正态分布。现从一批产品中抽取10根测得其抗拉强度（单位：kg/2
cm ）为： 10512 10623 10668 10554 10776 10707 10557 10581 10666 10670
⑴对显着性水平α=，问这批产品的抗拉强度有无显着变化？ ⑵对显着性水平α=，结果如何？（已知
()()()()0.050.0250.010.0059 1.833,9 2.262,9 2.821,9 3.250t t t t ====）
解 ①假设检验10560,10560:10≠=μμ：对H H ②方差未知时，检验数学期望选用统计量
()*2
201
1~1()1n i i X T H T T n S
x x n ==
-=--∑在成立时，其中 ③对给定样本值，计算得()4.1063110670106231015210
1
11=+++=
=∑=Λn i i x n x
所以，统计量的样本值0* 2.788x t μ-=
== ④当显着性水平α=时，拒绝域为()0.0259 2.262T t ≥=，
02.788 2.262,0.05,t H α=>=这里落入拒绝域，所以在不应接受即认为抗拉强度
有显着变化。
当显着性水平α=时，拒绝域为 0.005||(9) 3.250T t ≥=，即认为这批产品的抗拉强度无显着性变化。
例7已知某种元件的寿命服从正态分布，要求该元件的平均寿命不低于1000 小时，现从这批元件中随机抽取25 只，测得平均寿命 980X =小时 标准差65s =小时 试在显着水平0.05α= 下，确定这批元件是否合格
（附表0.900.950.975(24) 1.138,(24) 1.171,(24) 2.064t t t ===）
分析 元件是否合格，应通过寿命低于1000 小时来判断（1000≥小时都合格），这里对总体均值的单测检验， 2
σ未知，用 t -检验法
解 ①提出检验假设0010:1000,:1000H H μμμμ==<=
②选取统计量
*
X T μ-=
，当 0H 成立时~(1)T t n - ③由样本观测值，计算统计量所取的值。这里*
980,65x s ==
得
9801000
1.53865t -=
=-
④对显着水平0.05α= 拒绝域（临界域）10.95(1)(24) 1.711t t n t α-≤--=-=- 因为0.95(24) 1.711t t >-=- ，未落入拒绝域，应接受0H ，否定1H ：即认为这批元
件合格。
(三)未知均值,检验2
020:σσ=H
例5 某工厂生产的铜丝折断力(单位:斤)服从正态分布(
)2
8
,μN ,某日随机抽取了10根进行
折断力检验,测得平均折断力为斤,样本方差为,在05.0=α下,检验2
208:=σH 对()()()
7.29,023.199,8:2
025.02975.0221==≠χχσH
解 用-2χ检验法,检验统计量为20
2
2
σ
χn
nS =
对05.0,10==αn 拒绝域为:
()()023.19912
0975.02212==-≥-χχχαn 或
()()7.2912
0975.0222==-≤χχαn x
有样本观察值,计算得65.108
16
.68102
2
=?=
χ 因为()()()
()023.19,7.29,965.102
975.02025.02=∈=χχχ所以接受0H 。
例6 某种导线，要求其电阻的标准差不得超过（欧姆）。今在生产的一批导线中取样品9根，测得s=（欧姆），设总体为正态分布，问在水平05.0=α下能认为这种导线的标准差显着地偏大吗？（()()5.178,507.1582
975.02
95.0==χχ）
分析 凡方差“大于”、“不低于”、“偏大”、“偏小”等问题，均属于方差的单侧检验问题，
其假设的提出有两种方式：有的书提出原假设2
020:σσ=H 和备择假设
()()()
2
2
20
2
0102022
21,:σ
σσσσσσσ≤≥或：原假设；有的书只提出是对立假设与或H H H H πφ（注意原假设含有等
号），本教材按前者讲述。 解 用2
χ--检验法
①检验假设22021220200005.0:005.0:===σσσσφH H H ，：
②选用统计量()()1~,1220
2
22
--=n H s n χχσχ
成立时，当。
③由样本观察值，计算统计量所取值为2
χ=2
2
005
.0007.0*)19(-= ④对a= ，由已知)8(95
.02χ
=，拒绝域)8()1(995.02122χχχ=-≥-n a =。这里
68.152=χ>故拒绝0H ，接受1H ：即认为这批导线的标准差显着的偏大。
§ 两个正态总体的假设检验
（1）22
12012H σσμμ=，已知，检验假设：
U 检验法：
①01212H μμμμ=≠1：（H ：）
②0(0,1),()U N H --
=
:成立时。
③给出2
αα，查正态表定u
④由样本值
1212n n x x x y y L L L L （，，，），（y ，，，） 计算U 的值
⑤作出判断：若002
u u H H α≥则拒绝，反之接受.
（2）2212012H σσσσμμ=22
12，未知，但=，检验假设：
t 检验法：
①0121121212H H μμμμμμμμ><：= （：=或或）
②120(2)()T t n n H --
=
+-:成立时。
③④⑤同前
（3）22
120112,(:)H H μμσσσσ≠2212，未知，检验假设：=
F 检验法：
①22
0112(:)H H σσσσ≠2212：=
②*2*2
12120/(1,1)()F S S F n n H =--:成立时
（一） 已知21σ及2
2σ，检验假设210:μμ=H
例1 由累积资料知道甲，乙两矿的含灰率服从X ～N （5.7,1μ），Y ～N （6.2,2μ）。现从两矿中各取几个试件，分析其含灰率为： 甲矿： （%） 乙矿： （%） 问：甲乙两矿所采煤的含灰率的数学期望1μ和2μ有无显着性水平差异？（显着性水平a=）.
（64.1,28.195.090.0==Z Z ）
解 已知2
1σ及2
2σ，假设检验210:μμ=H ，用Z ～检验法。 ①提出零假设210:μμ=H ，对211:μμ≠H ②选取统计量2
22
1
2
1
21)
(n n y x Z σ
σ
μμ+
---=
，当0H 成立时，Z ～N （）
③对显着性水平a=，由64.195.0=Z =，确定临界域64.12
1==-a Z Z
④计算统计量Z 的 观察值。18,5.21==Y X 于是
由于Z => ，故拒绝0H ，即可以认为1μ和2μ有显着性差异。 （二） 未知，但2
22
1σσ=，假设检验210:μμ=H
例2 某物品在处理前与处理后抽样分析含脂率（%）如下： 处理前x ： 处理后y ：
设含脂率分别服从正态分布N(2
11,σμ),N(2
22,σμ)，对显着性水平a=，试问：处理前后的平均含脂率有无显着性差异？（145.2)14(,160.2)13(975.0975.0==t t ）
分析 首先需要F-检验法验证二总体方差是否有显着性差异，在无显着性差异（视为相等）的条件下，然后利用T-检验法在检验二总体均值是否有显着性差异。 解（1）利用F-检验法检验二总体方差有无显着性差异。
①检验假设2
2
21122210:,:σσσσ≠=H H ②选用统计量22
222
12
1σσS S F =，当0H :成立时，)1,1(~21--n n F F
③对给定显着性水平a=，有F-分布表得临界值，
175.070
.51
)7,6(1)7,6(,12.5)7,6(2
2
2
1====-
a a a F F F
④计算统计量F 的样本观察值
故)12.5,175.0(93.122
2
1∈==S S F ，接受0H ，认为二总体方差无显着性差异。
（2）利用T-检验法检验二总体均值有无显着性差异。
①检验假设221210:,:μμμμ≠=H H ②选取统计量
)
2(~11)
()(21-++---=
n m t n
m S y x T w
μμ2
121212
2
221121)
2()1()1()
(n n n n n n S n S n Y X T +-+-+----=
μμ
0H 成立时，)2(~21-+n n T
③对给定显着性水平a=，得拒绝域160.2)13(975.0=≥t T ④计算统计量T 的观测值
由于160.2)13(849.2975.0=>=t t 。故拒绝0H ，接受1H 。即处理后含脂率有显着差异。
（三） 均值未知，检验假设22210:σσ=H
例3 某一橡胶配方中，原用氧化锌5g ，现减为1g ，若分别用两种配方做一批实验，5g 配方测9个值，得橡胶伸长率的样本差是86.632
1=S ；1g 配方测3个值，橡胶伸长率的样本差是8.2362
2=S 。设橡胶伸长率遵从正态分布，问两种配方的伸长率的总体标准差有无显着差异？(a=(39.3)8,9(,23.3)9,8(95.095.0==F F )
分析 两种配方的伸长率的总体标准差有无显着差异，是通过样本值去判断2
221σσ=是否成立，是均值未知的两个总体方差是否相等的检验，5g 配方和1g 配方记为
),(~),,(~2
22211σμσμN Y N X
解 ①检验假设2221122210:,:σσσσ≠=H H
②选取统计量22
22212
1σσS S F =，当0H 成立时)1,1(~21222
1--=n n F S S F
③对显着性水平a=由题设295.039
.31
)8,9(1)9,8(,23.3)9,8(95.005.095.0====F F F 。故拒
绝域为[][]+∞?,23.3295.0,0 ④计算统计量F 的样本观察值
由于F=)23.3,295.0(?，即F 落入拒绝域，应拒绝0H ，接受1H ，即在σ=下认为两个总体的方差是不等的。
注：若将显着性水平改为a=，此时
91.5)8,9()8,9(,47.5)9,8()9,8(99.02
199.02
1====-
-
F F
F F
a a
此时拒绝域
[]
[][][)+∞?=+∞????
???=+∞???????=??????+∞???????-,47.5169.0,0,47.591.51,0,)8,9(1,0),9,8()9,8(,099.099
.0212F F F F a a
样本观察值F=未落入拒绝域，故接受0H ，即认为两种配方总体方差无显着差异，说明显着性水平越小，否定零假设越困难。
（四） 均值未知，检验假设2
2210:σσ≤H
例4 有甲乙两车床生产同一型号的滚珠，根据已有经验可以认为，这两台车床生产的滚珠都服从正态分布，问题是要比较台车床生产的滚珠的直径的方差。现在从这两台车床的产品中分别抽取8个和9个，经计算得甲X =，乙X =，2
甲S =，2
乙S =，对显着性水平a=，试问：
乙车床产品的方差是否比甲车床的小？
（90.4)7,8(,53.4)8,7(,73.3)7,8(,50.3)8,7(975.0975.095.095.0====f f f f ）
分析 由题意，是验证2
2乙甲σσ<是否成立，而单边检验所提假设含等号，故此题可假设为2
20:乙甲σσ≤H
解 利用F-检验法检验两总体方差比。
①检验假设220:乙甲σσ≤H ，221:乙甲σσ>H
②选取统计量22乙
甲
S
S F =
，第一自由度是7，第二自由度是8的F-分布
③由题知)8,7(95.0f =，故拒绝域为[)+∞,50.3 ④统计量F 的样本观察值
由于f= >，故应拒绝0H ，接受1H 。即乙车床产品的直径的方差比甲车床的小。
二、两个正态总体均值差的检验
设m x x x ,,,21Λ是来自总体X 服从),(2
11σμN 的样本，n y y y ,,,21Λ是来自总体Y 服从),(2
22σμN 的样本，且两样本相互独立，考虑如下的三种检验：
0:0:211210>-≤-μμμμH vs
H （１） 0:0
:211210<-≥-μμμμH vs
H （２） 0:0:211210≠-=-μμμμH vs
H （３）
主要分两种情况讨论。
1、12,σσ已知时的两样本的检验
此时21μμ-的估计y x -的分布完全已知，),(~22
2
121n
m
N y x σσμμ+
--，由此可
采用U 检验法，检验统计量为 在21μμ=时，)1,0(~22
21
N n
m
y
x U σ
σ
+
-=
。检验的拒绝域取决于备择假设的形式。上述三
对假设检验的拒绝域分布为：
2、σσσ==21但未知时的两样本t —检验
在22
2
21σσσ==未知时，类似于单个正态总体方差未知时均值的检验，我们仍用2
σ
的无偏估计代替2σ，而此时可以证明2
σ的无偏估计为： 于是有
从而检验统计量为 在021=-μμ时，)2(~11-++-=
n m t n
m S y x T w
。上述三对假设检验的拒绝域分布为：
例7.２.3 某厂铸造车间为提高铸件的耐磨性而试制了一种镍合金铸件以取代铜合金铸件，从两种铸件中各抽取一个容量分别为8和9的样本，测得其硬度（一种耐磨性指标）为：
镍合金 铜合金
根据专业经验，硬度服从正态分布，且方差保持不变，试在显着性水平=α下判断镍合金的硬度是否有明显提高？ 解 略。
综上，关于两个正态总体均值差的假设检验问题可汇总成如下的表：
设总体),(~2
σμN X ，n x x x ,,,21Λ是来自该总体的样本，对方差2
σ考虑如下的三
种检验：
2
0212
20::σσσσ>≤H vs H （１） 20212
20::σσσσ<≥H vs H （２） 20212
20::σσσσ≠=H vs
H （３）
1、均值μ未知时方差的检验
由于μ未知，∑=--=n i i
x x n S 1
2
2
)(11是2σ的无偏估计，且202σσ=有
对于显着性水平α，对应上述三种假设检验的拒绝域分布为：
)1()1(;
{2
12
20
2
2
-≥-=-
n S n W α
χ
σ
χ或
)}1()1(2
220
2
-≤-n S n αχσ
例7.2.4 某类钢板每块的重量X 服从正态分布，其一项质量指标是钢板重量的方差不得超过2
kg 。现从某天生产的钢板中随机抽取25块，得其样本方差2S =2
kg 。问该天生产的钢板重量的方差是否满足要求？=α。 解 略。
2、均值μ已知时方差的检验
此时，检验统计量取为2
02
1
2
)
(σμχ∑=-=
n
i i
x
，且22
0σσ=时
故对均值μ已知时方差的三种检验，我们只需将均值μ未知时方差的三种检验中2
χ—分布的自由度变一下就可得到检验的拒绝域。
综上，关于单个正态总体方差的假设检验问题可汇总成如下的表：
设m x x x ,,,21Λ是来自总体X 服从),(2
11σμN 的样本，n y y y ,,,21Λ是来自总体Y 服从),(2
22σμN 的样本，且两样本相互独立，考虑如下的三种检验：
2
2
2112
2
2
10::σσσσ>≤H vs H （１） 2
2
2
112
2
210::σσσσ<≥H vs H （２） 2
2
2112
2
210::σσσσ≠=H vs H （３） 此处21,μμ均未知，2
2,y
x S S 分别表示总体X 、Y 的样本方差，易知 212σ=x ES ，2
2
2σ=y ES 从而建立检验统计量 当2
2
12σσ
=时，
)1,1(~22--=n m F S S F y
x
，此时，上述三个检验的拒绝域分别为：
)1,1(:{2
1--≥=-
n m F
F F W α
或)}1,1(2
--≤n m F F α
例7.2.5 甲、乙两台机床加工零件，零件的直径服从正态分布，总体方差反映了加工的精度，为比较两台机床的加工精度有无区别，现从各自加工的零件中分别抽取7件产品和8件产品，测得直径为：
X （机床甲） Y （机床乙） 取 =α。
解 略。
综上，关于两个正态总体方差比的假设检验问题可汇总成如下的表：
假设检验案例集
案例一：假设检验设备判断中的应用[1] 例如：某公司想从国外引进一种自动加工装置。这种装置的工作温度X服从正态分布(μ,52),厂方说它的平均工作温度是80度。从该装置试运转中随机测试16次，得到的平均工作温度是83度。该公司考虑，样本结果与厂方所说的是否有显著差异？厂方的说法是否可以接受？ 类似这种根据样本观测值来判断一个有关总体的假设是否成立的问题，就是假设检验的问题。我们把任一关于单体分布的假设，统称为统计假设，简称假设。上例中，可以提出两个假设：一个称为原假设或零假设，记为H0：μ=80（度）；另一个称为备择假设或对立假设，记为H1 ：μ≠80（度）这样，上述假设检验问题可以表示为： H0：μ=80 H1：μ≠80 原假设与备择假设相互对立，两者有且只有一个正确，备择假设的含义是，一旦否定原假设H0，备择假设H1备你选择。所谓假设检验问题就是要判断原假设H0是否正确，决定接受还是拒绝原假设，若拒绝原假设，就接受备择假设。 应该如何作出判断呢？如果样本测定的结果是100度甚至更高（或很低），我们从直观上能感到原假设可疑而否定它，因为原假设是真实时，在一次试验中出现了与80度相距甚远的小概率事件几乎是不可能的，而现在竟然出现了，当然要拒绝原假设H0。现在的问题是样本平均工作温度为83度，结果虽然与厂方说的80度有差异，但样本具有随机性，80度与83度之间的差异很可能是样本的随机性造成的。在这种情况下，要对原假设作出接受还是拒绝的抉择，就必须根据研究的问题和决策条件，对样本值与原假设的差异进行分析。若有充分理由认为这种差异并非是由偶然的随机因素造成的，也即认为差异是显著的，才能拒绝原假设，否则就不能拒绝原假设。假设检验实质上是对原假设是否正确进行检验，因此，检验过程中要使原假设得到维护，使之不轻易被否定,否定原假设必须有充分的理由；同时，当原假设被接受时，也只能认为否定它的根据不充分，而不是认为它绝对正确。 [编辑] 案例二：假设检验在卷烟质量判断中的应用[2] 在卷烟生产企业经常会遇到如下的问题：卷烟检验标准中要求烟支的某项缺陷的不合格品率P不能超过3%，现从一批产品中随机抽取50支卷烟进行检验，发现有2支不合格品，问此批产品能否放行？按照一般的习惯性思维：50支中有2支不合格品，不合格品率就是4%，超过了原来设置的3%的不合格品率，因此不能放行。但如果根据假设检验的理论，在α＝0.05的显著性水平下，该批产品应该可以放行。这是为什么呢？
(完整版)假设检验习题及答案
第三章 假设检验 3.2 一种元件,要求其使用寿命不低于1000（小时）,现在从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命平均值为950（小时）。已知这种元件寿命服从标准差 100σ=（小时）的正态分布，试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。 {}01001:1000, H :1000 X 950 100 n=25 10002.5 V=u 0.05H x u αμμσμα-≥<====->=提出假设：构造统计量：此问题情形属于u 检验，故用统计量：此题中：代入上式得： 拒绝域： 本题中：0.950.950 u 1.64u 0.0u H =>∴即，拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。 3.4某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为（%）： 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测定值服从正态分布，问在0.01α=下能否接受假设，这批矿砂的镍含量为 010110 2: 3.25 H :t 3.252, S=0.0117, n=5 0.3419 H x μμμμσ==≠==提出假设：构造统计量：本题属于未知的情形，可用检验，即取检验统计量为：本题中，代入上式得：否定域为：1-20.99512 0 V=t>t (1)0.01,(4) 4.6041, 3.25n t t t H ααα- ??-?? ?? ==<∴Q 本题中，接受认为这批矿砂的镍含量为。
3.5确定某种溶液中的水分，它的10个测定值0.452%,0.035%,X S == 2N(,),μσ设总体为正态分布试在水平5%检验假设： 0101() H :0.5% H :0.5%() H :0.04% H :0.0.4% i ii μμσσ≥<≥< {}0.95()0.452% S=0.035%-4.1143 (1)0.05 n=10 t (9) 1.833i t X n ασα==-==1-构造统计量：本文中未知，可用检验。取检验统计量为X 本题中，代入上式得： 0.452%-0.5% 拒绝域为： V=t >t 本题中，0 1 4.1143H <=∴t 拒绝 {}2 2 2 002 2 2212210.95 2()nS S 0.035% n=10 0.04%100.035%7.65630.04% V=(1)(1)(9)16.919 ii n n αα μχσσχχχχ χ χ--= ==*==>--==Q 2 构造统计量：未知，可选择统计量本题中，代入上式得： （） （） 否定域为： 本题中， 210 (1)n H αχ-<-∴接受 3.9设总体116(,4),,,X N X X μ:K 为样本，考虑如下检验问题：
参数估计和假设检验习题解答
参数估计和假设检验习题 1.设某产品的指标服从正态分布，它的标准差σ已知为150，今抽了一个容量为26的样本，计算得平均值为1637。问在5％的显著水平下，能否认为这批产品的指标的期望值μ为1600? 0.05,α=26,n = 0:1600H μ=, 即,以95%的把握认为这批产品的指标 的期望值μ为1600. 2.某纺织厂在正常的运转条件下，平均每台布机每小时经纱断头数为O.973根，各台布机断头数 的标准差为O.162根，该厂进行工艺改进，减少经纱上浆率，在200台布机上进行试验，结果平均每台每小时经纱断头数为O.994根，标准差为0.16根。问,新工艺上浆率能否推广(α=0.05)? 解: 012112:, :,H H μμμμ≥< 3.某电器零件的平均电阻一直保持在2.64Ω，改变加工工艺后，测得100个零件的平均电阻为2.62Ω，如改变工艺前后电阻的标准差保持在O.06Ω，问新工艺对此零件的电阻有无显著影响(α=0.05)? 解: 01: 2.64, : 2.64,H H μμ=≠已知标准差σ=0.16,拒绝域为2 Z z α>,取0.0252 0.05, 1.96z z αα===, 100,n =由检验统计量 3.33 1.96Z = ==>,接受1: 2.64H μ≠, 即, 以95%的把握认为新工艺对此零件的电阻有显著影响. 4.有一批产品，取50个样品，其中含有4个次品。在这样情况下，判断假设H 0：p ≤0.05是否成立(α=0.05)? 解: 01:0.05, :0.05,H p H p ≤>采用非正态大样本统计检验法,拒绝域为Z z α>,0.950.05, 1.65z α==, 50,n =由检验统计量0.9733 Z = ==<1.65,接受H 0：p ≤0.05. 即, 以95%的把握认为p ≤0.05是成立的.
假设检验习题答案
1假设某产品的重量服从正态分布，现在从一批产品中随机抽取 16件，测得平 均重量为820克，标准差为60克，试以显着性水平 ＞0.01与＞0.05，分别检验这批 产品的平均重量是否是 800克 解：假设检验为H 0 ： % =800,比： 丄0沁00 （产品重量应该使用双侧 检验）。米 以在两个水平下都接受原假设。 2?某牌号彩电规定无故障时间为10 000小时，厂家采取改进措施，现在从新批量彩 电中抽取100台，测得平均无故障时间为10 150小时，标准差为500小时，能否据此 判断该彩电无故障时间有显着增加（＞0.01） ? 解：假设检验为H 。： J =10000，比7。.10000 （使用寿命有无显着增加，应该 使用右侧检验）。n=100可近似采用正态分布的检验统计量 水平下的反查正态概率表得到临界值 2.32到2.34之间（因为表中给出的是双侧检验 的 接受域临界值，因此本题的单侧检验显着性水平应先乘以 2,再查到对应的临界值） 计算统计量值z 」 0150 _10000 =3。因为z=3＞2.34（＞2.32），所以拒绝原假设，无故 500 M/100 障时间有显着增加。 3. 设某产品的指标服从正态分布，它的标准差 （T 已知为150，今抽了一个容量为 26的样本，计算得平均值为1637。问在5%的显着水平下，能否认为这批产品的指标 的期望值卩为1600? 解 ： H 0*=1600, H 1 -1600, 标 准 差 （T 已 知 ， 当 — 0.05, n =26 , Z 1 _ ：?/ 2 - Z 0.975 - 1.96 即,以95%勺把握认为这批产品的指标的期望值 卩为1600. 4. 某电器零件的平均电阻一直保持在 2.64 Q,改变加工工艺后，测得100个零件 的平均电阻为2.62 Q ，如改变工艺前后电阻的标准差保持在 O.06Q ，问新工艺对此零 件的电阻有无显着影响（a =0.05）? 解 ： H 0:?二=2.64,已：?'2.64, 已知 标准差 c =0.06, 当 用t 分布的检验统计量 查出〉=0.05和0.01两个水平下的临界值 (df= n-1=15)为 2.131 和 2.947。t 820 一 800 60 / J6 二 1. 334 因为 t <2.131<2.947，所 查出〉=0.01 由 检 验 统 计 量 X-卩 hj~n 1637-1600 150/ , 26 = 1.25 <1.96,接受 H 0」=1600,
假设检验-例题讲解
假设检验 一、单样本总体均值的假设检验 .................................................... 1 二、独立样本两总体均值差的检验 ................................................ 2 三、两匹配样本均值差的检验 ........................................................ 4 四、单一总体比率的检验 ................................................................ 5 五、两总体比率差的假设检验 .. (7) 一、单样本总体均值的假设检验 例题： 某公司生产化妆品，需要严格控制装瓶重量。标准规格为每瓶250 克，标准差为1 克，企业的质检部门每日对此进行抽样检验。某日从生产线上随机抽取16 瓶测重，以95%的保证程度进行总体均值的假设检验。 x t μ-= data6_01 样本化妆品重量 SPSS 操作： （1）打开数据文件，依次选择Analyze （分析）→Compare Means （比较均值）→One Sample T Test （单样本t 检验），将要检验的变量置入Test Variable(s)（检验变量）； （2）在Test Value （检验值）框中输入250；点击Options （选项）按钮，在
Confidence Interval（置信区间百分比）后面的框中，输入置信度（系统默认为95%，对应的显著性水平设定为5%，即0.05，若需要改变显著性水平如改为0.01，则在框中输入99 即可）； （3）点击Continue（继续）→OK（确定），即可得到如图所示的输出结果。 图中的第2~5 列分别为：计算的检验统计量t 、自由度、双尾检验p-值和样本均值与待检验总体均值的差值。使用SPSS 软件做假设检验的判断规则是：p-值小于设定的显著性水平?时，要拒绝原假设（与教材不同，教材的判断标准是p
假设检验测试答案Word版
第八章假设检验 1. Ａ 2. Ａ 3. Ｂ 4. Ｄ 5. Ｃ 6. Ａ 1.某厂生产的化纤纤度服从正态分布,纤维的纤度的标准均值为1.40。某天测得25根纤维的纤度的均值39 = x,检验与原来设计的标 .1 准均值相比是否有所变化,要求的显著性水平为05 α，则下列正确 .0 = 的假设形式是（）。 Ａ. H：μ＝1.40,1H:μ≠1.40 Ｂ. 0H: μ≤1.40,1H:μ＞0 1.40 Ｃ. H：μ＜1.40,1H:μ≥1.40 Ｄ. 0H：μ≥1.40,1H:μ＜0 1.40 2.某一贫困地区估计营养不良人数高达20％,然而有人认为这个比例实际上还要高,要检验该说法是否正确，则假设形式为（）。 Ａ. H：π≤0.2,1H:π＞0.2 Ｂ. 0H：π＝0.2,1H:π≠0 0.2 Ｃ. H：π≥0.3,1H:π＜0.3 Ｄ. 0H：π≥0.3,1H:π＜0 0.3 3.一项新的减肥计划声称：在计划实施的第一周内,参加者的体重平均至少可以减轻8磅。随机抽取40位参加该项计划的样本,结果显示：样本的体重平均减少7磅,标准差为3.2磅,则其原假设和备择假设是
（）。
Ａ. H：μ≤８,1H: μ＞８Ｂ. 0H：μ≥８,1H：μ＜0 ８ Ｃ. H：μ≤７,1H：μ＞７Ｄ. 0H：μ≥７,1H：μ＜0 ７ 4.在假设检验中,不拒绝原假设意味着（）。 Ａ. 原假设肯定是正确的Ｂ. 原假设肯定是错误的Ｃ. 没有证据证明原假设是正确的Ｄ. 没有证据证明原假设是错误的 5.在假设检验中,原假设和备择假设（）。 Ａ. 都有可能成立Ｂ. 都有可能不成立 Ｃ. 只有一个成立而且必有一个成立Ｄ. 原假设一定成立，备择假设不一定成立 6.在假设检验中，第一类错误是指（）。 Ａ. 当原假设正确时拒绝原假设Ｂ. 当原假设错误时拒绝原假设 Ｃ. 当备择假设正确时拒绝备择假设Ｄ. 当备择假设不正确时未拒绝备择假设 7. Ｂ 8. Ｃ 9. Ｂ 10.Ａ 11.Ｄ 12.Ｃ 7.在假设检验中，第二类错误是指（）。
[汇总]统计学假设检验练习题
[汇总]统计学假设检验练习题 例3.7.9 从一大批相同型号的金属线中，随机选取10根，测得它的直径(单位:mm)为: 1.23 1.24 1.26 1.29 1.20 1.32 1.23 1.23 1.29 1.28 2(1)如果金属线直径X,N(μ,0.04)，试求平均直径μ的置信度为95%的置信区间. 22(2)如果金属线直径X,N(μ, σ)，σ未知，试求平均直径μ的置信度为95%的置信区间. 例3.7.10 随机取某牌香烟8支，其尼古丁平均含量为3.6mg，标准差为 0.9mg(试求此牌香烟尼古丁平均含量μ的95,的置信区间((假设尼古丁含量服从正态分布)( 4.某种袋装食品的重量服从正态分布.某一天随机地抽取9袋检验,重量(单位:g)为 510 485 505 505 490 495 520 515 490 22(1) 若已知总体方差σ=8.6,求μ的置信度为90%的置信区间; (2) 若已知总体方差未知,求μ的置信度为95%的置信区间. 5.为了估计在报纸上做一次广告的平均费用,抽出了20家报社作随机样本,样本的均值和标准差分别为575(元)和120(元),假定广告费用近似服从正态分布,求总体均值的95%的置信区间. 6.从某一班中随机抽取了16名女生进行调查.她们平均每个星期花费13元吃零食,样本标准差为3元,求此班所有女生每个星期平均花费在吃零食上的钱数的95%的置信区间.(假设总体服从正态分布)
7.一家轮胎工厂在检验轮胎质量时抽取了400条轮胎作试验,其检查结果这些轮胎的平均行驶里程是20000km,样本标准差为6000km.试求这家工厂的轮胎的平均行驶里程的置信区间,可靠度为95%. 8.为了检验一种杂交作物的两种新处理方案,在同一地区随机地选择8块地段.在各试验地段,按两种方案处理作物,这8块地段的单位面积产量是(单位:kg) 一号方案产量: 86 87 56 93 84 93 75 79 二号方案产量: 80 79 58 91 77 82 74 66 222假设两种产量都服从正态分布,分别为N(μ, σ) ,N(μ, σ), σ未知,求μ-μ的置信度1212为95%的置信区间. 9.为了比较两种型号步枪的枪口速度,随机地取甲型子弹10发,算得枪口子弹的平均值 =500(m/s), 标准差s=1.10(m/s); 随机地取乙型子弹20发,得枪口速度平均值=496(m/s),标1 准差s=1.20(m/s). 设两总体近似地服从正态分布,并且方差相等,求两总体均值之差的置信水2 平为95%的置信区间. 10.为了估计参加业务训练的效果.某公司抽了50名参加过训练的职工进行水平测验,结果是平均得分为4.5,样本方差为1.8;抽了60名未参加训练的职工进行水平测验,其平均得分为3.75,样本方差为2.1. 试求两个总体均值之差的95%的置信区间.(设两个总体均服从正态分布). 11、风驰汽车制造厂的装配车间安装车门仍需人工操作，不同工人的装配时间不同，同一工人的装配时间也有差异，为测定安装车门所需时间，每隔一定时间抽选一个样本，共抽取了10个样本，其数据如下(单位:秒):
假设检验例题讲解(20210110065140)
假设检验 一、............................... 单样本总体均值得假设检验 1 二、............................. 独立样本两总体均值差得检验 2 三、................................. 两匹配样本均值差得检验 3 四、..................................... 单一总体比率得检验 5 五、................................. 两总体比率差得假设检验 6 、单样本总体均值得假设检验 例题： 某公司生产化妆品，需要严格控制装瓶重量。标准规格为每瓶250 克，标准差为1克，企业得质检部门每日对此进行抽样检验。某日从生产线上随机抽取16瓶测重，以95%得保证程度进行总体均值得假设检验。 SPSS操作: （1）打开数据文件,依次选择Analyze（分析）f pare Means（比较均值）f One Sample T Test单样本t检验）,将要检验得变量置入Test Variable（s）检验变量）; ⑵在Test Value脸验值）框中输入250;点击Options（选项）按钮，在
Confidenee Interval（置信区间百分比）后面得框中，输入置信度（系统默认为95%,对应得显著性水平设定为5%,即0、05,若需要改变显著性水平如改为0、01则在框中输入99即可）； （3）点击Continue（继续）f OK（确定），即可得到如图所示得输出结果。 单样本检验 检验值=250
图中得第2~5列分别为：计算得检验统计量t、自由度、双尾检验p-值与样本均值与待检验总体均值得差值。使用SPSS软件做假设检验得判断规则就是：p- 值小于设定得显著性水平？时,要拒绝原假设（与教材不同，教材得判断标准就是pv?/2）。从图中可以瞧到，p-值为0、01,小于0、05,故检验结论就是拒绝原假设、接受备择假设,认为当天生产得全部产品平均装瓶重量与250克有显著差异（拒 绝原假设）,不符合规定得标准。 图中表格得最后两列，就是样本均值与待检验总体均值差值（xi-250）1-?置信区间得下限与上限，待检验得总体均值Test Value加上这两个值，就构成了总体均值得1-?置信区间。通过这个置信区间也可以做假设检验：若这个区间不包含待 检验得总体均值，就要在？水平上拒绝原假设。本例中样本均值与待检验总体均值差值95%置信区间得下限与上限均为负值，因此所构造得总体均值得95%置信区间不可能包含待检验得总体均值250,因此要在0、05得水平上拒绝原假设、 接受备择假设，与依据p-值得出得检验结论一致。 注意:除非给出明确结果,SPSS没有单侧检验,SPSS^得p值均为双侧检验得概率p 值，如果要进行要单侧检验，将软件给出得p值与2倍得显著性水平进行比较即可，如要求？=0、05,单侧比较时，p值与2? =0、1进行比较、 二、独立样本两总体均值差得检验 例题： 某品牌时装公司在城市中心商业街得专卖店中只销售新款产品且价格不打折，打折得旧款产品则统一在城郊购物中心得折扣店销售。公司销售部门为制订更合理得销售价格及折扣方法，对购买该品牌时装得顾客做了抽样调查。分别从光顾城中心专卖店得顾客中随机抽取了36人，从光顾折扣店得顾客中随机抽取 了25人。调查发现，光顾专卖店得顾客样本平均月收入水平为1、35万元，而光 顾折扣店得顾客样本平均月收入水平为1、24万元。现在需要判断：光顾这两种 店得顾客得总体收入水平就是否也存在明显得差异？
假设检验练习题-答案
假设检验练习题 1. 简单回答下列问题： 1）假设检验的基本步骤？ 答：第一步建立假设(通常建立两个假设,原假设H0 不需证明的命题,一般是相等、无差别的结论,备择假设H1,与H0对立的命题,一般是不相等，有差别的结论) 有三类假设 第二步选择检验统计量给出拒绝域的形式。 根据原假设的参数检验统计量： 对于给定的显著水平样本空间可分为两部分：拒绝域W 非拒绝域A 拒绝域的形式由备择假设的形式决定 H1：W为双边 H1：W为单边 H1：W为单边 第三步：给出假设检验的显著水平 第四步给出零界值C，确定拒绝域W 有了显著水平按照统计量的分布可查表得到临界值，确定拒绝域。例如：对于=0.05有 的双边W为 的右单边W为 的右单边W为 第五步根据样本观测值，计算和判断 计算统计量Z 、t 、当检验统计量的值落在W时能拒绝，否则接受 (计算P值227页p值由统计软件直接得出时拒绝，否则接受
计算1-a的置信区间置信区间由统计软件直接得出统计量落入置信区间接受，否则接受) 2）假设检验的两类错误及其发生的概率？ 答：第一类错误：当为真时拒绝，发生的概率为 第二类错误：当为假时，接受发生的概率为 3）假设检验结果判定的3种方式？ 答：1.计算统计量Z 、t 、当检验统计量的值落在W时能拒绝，否则接受 2.计算P值227页p值由统计软件直接得出时拒绝，否则接受 3.计算1-a的置信区间置信区间由统计软件直接得出，落入置信区间接受，否则接受 4）在六西格玛A阶段常用的假设检验有那几种？应用的对象是什么？ 答：连续型（测量的数据）：单样本t检验-----比较目标均值 双样本t检验-----比较两个均值 方差分析-----比较两个以上均值 等方差检验-----比较多个方差 离散型（区分或数的数据）：卡方检验-----比较离散数 2．设某种产品的指标服从正态分布，它的标准差σ=150，今抽取一个容量为26 的样本，计算得平均值为1 637。问在5%的显著水平下，能否认为这批产品的指标的期望值μ = 1600。 答：典型的Z检验 1. 提出原假设和备择假设 ：平均值等于1600 ：平均值不等于1600 2. 检验统计量为Z,拒绝域为双边
习题八 假设检验答案
习题八 假设检验 一、填空题 1．设12,,...,n X X X 是来自正态总体的样本，其中参数2,μσ未知，则 检验假设0:0H μ=的t -t -检验使用统计量t 2．设12,,...,n X X X 是来自正态总体的样本，其中参数μ未知，2σ已知。要检验假设0μμ=应用 U 检验法，检验的统计量是 U = 0H 成立时 该统计量服从N （0，1） 。 3．要使犯两类错误的概率同时减小，只有 增加样本容量 ; 4 ． 设12,,...,n X X X 和12,,...,m Y Y Y 分别来自正态总体2 ~(,)X X X N μσ和2 ~(,)Y Y Y N μσ，两总体相互独立。 （1）当X σ和Y σ已知时，检验假设0:X Y H μμ=所用的统计量为 X Y U = 0H 成立时该统计量服从 N （0，1） 。 （2）若 X σ和Y σ未知，但X Y σσ= ，检验假设0:X Y H μμ=所用的统计量 为 X Y T = ；当0H 成立时该统计量服从 (2)t m n +- 。 [ 5．设12,,...,n X X X 是来自正态总体的样本，其中参数μ未知，要检验假设 2 200 :H σσ=，应用 2χ 检验法，检验的统计量是 2 2 20 (1)n S χσ-= ；当0H 成 立时，该统计量服从 2(1)n χ- 。 6．设12,,...,n X X X 和12,,...,m Y Y Y 分别来自正态总体2 ~(,)X X X N μσ和2~(,)Y Y Y N μσ，两总体相互独立。要检验假设22 0:X Y H σσ=，应用 F 检验法，检 验的统计量为 2 2X Y S F S = 。 7．设总体22~(,),,X N μσμσ 都是未知参数，把从X 中抽取的容量为n 的 样本均值记为X ，样本标准差记为S （修正），在显著性水平α下，检验假设 01:80;:80;H H μμ=≠的拒绝域为 2 ||(1)T t n α≥- 在显著性水平α下，检 验假设2222 0010:;:;H H σσσσ=≠的拒绝域为 222(1)n αχχ≥-或222(1)n αχχ≤- ; 8．设总体22~(,),,X N μσμσ都是未知参数，把从X 中抽取的容量为n 的样本均值记为 X ，样本标准差记为S （修正），当2σ已知时，在显著性水平α下， 检验假设0010:;:H H μμμμ≥<的统计量为 U = ，拒绝域为 {}U u α≤- 。 当2σ未知时，在显著性水平α下，检验假设0010 :;:H H μμμμ≤>
关于假设检验中检验统计量的选择及拒绝域的确定问题
关于假设检验中检验统计量的选择及拒绝域的确定问题 假设检验是根据样本所提供的信息检验假设是否成立的一种统计推断方法。在检验之前总体参数未知，先对总体参数提出一个假设的值，然后根据样本所提供的信息检验假设是否成立。 在假设检验中，如何根据已知条件选择检验统计量，并确定拒绝域和临界值，是非常重要的两个环节。学员在理解时容易出现混淆。 一、 根据已知条件选择检验统计量 这里要注意，样本均值x 的分布与根据样本均值及总体方差（或样本方差）构造的检验统计量的分布是两个不同的概念。根据抽样分布的理论，只要总体服从正态分布，那么，无论是大样本，还是小样本，其样本均值的分布均服从正态分布；如果总体的分布是非正态分布，在大样本情况下，其样本均值的分布仍服从正态分布，小样本的样本均值的分布则服从非正态分布。 但是，检验统计量的分布则不然。 （一） 对于小样本量 分两种情况： 1、在总体是正态分布的情况下，如果总体方差未知、小样本（n<30），检验统计量n s x /0 μ-的分布服从t 分布； 2、在总体服从非正态分布、小样本的情况下，检验统计量的分布也服从t 分布。 由于一般情况下总体方差未知，需要用样本方差来代替，所以，一般准则是：小样本量时用t 检验。 （二） 对于大样本量 在大样本量（ 30≥n ）的情况下，检验统计量的分布与样本均值的分布相同，服从正态分布，这一点比较容易理解。所以，概括来说，大样本量时用Z 检验。 选择用t 检验还是Z 检验，直接关系到选择t 临界值还是Z 临界值。 二、 拒绝域和临界值的确定 应结合分布的图形来理解接受域、拒绝域以及临界值。 （一）对于双侧检验 一般在双侧检验时，使用正态分布对总体均值进行检验，拒绝域为：2αZ Z >或 2αZ Z -<（或2αZ Z >） ；使用t 分布进行检验，拒绝域为：2αt t >或2αt t -<，（或2αt t >） ；使用2χ分布进行检验时（对总体方差的检验），若检验的统计量222αχ>χ或2122αχχ-<时，拒绝原假设。注意，这里使用的是 2α，因为双侧检验中有两个拒绝域，各占2 α。只要满足其中一个拒绝域，即可拒绝原假设。
假设检验的基本步骤
假设检验的基本步骤 （三）假设检验的基本步骤 统计推断 1．建立假设检验，确定检验水准 H0和H1假设都是对总体特征的检验假设，相互联系且对立。 H0总是假设样本差别来自抽样误差，无效/零假设 H1是来自非抽样误差，有单双侧之分，备择假设。 检验水准，a＝0.05 检验水准的含义 2．选定检验方法，计算检验统计量 选择和计算检验统计量要注意资料类型和实验设计类型及样本量的问题， 一般计量资料用t检验和u检验； 计数资料用χ2检验和u检验。 3．确定P值，作出统计推理 P≤a ，拒绝H0，接受H1 P> a，按a＝0.05水准，不拒绝H0，无统计学意义或显著性差异 假设检验结论有概率性，无论使拒绝或不拒绝H0，都有可能发生错误 （四）两均数的假设检验（各种假设检验方法的适用条件及假设的特点、计算公式、自由度确定以及确定概率P值并做出推断结论） u检验适用条件 t检验适用条件 t检验和u检验 1．样本均数与总体均数比较 2．配对资料的比较/成组设计的两样本均数的比较 配对设计的情况：3点 3. 两个样本均数的比较 （1）两个大样本均数比较的u检验 （2）两个小样本均数比较的t检验 （五）假设检验的两类错误及注意事项（Ⅰ和Ⅱ类错误） 1.两类错误 拒绝正确的H0称Ⅰ型错误－弃真，用检验水准α表示，α＝0.05，犯I型错误概率为0.05，理论上平均每100次抽样有5次发生此类错误； 接受错误的H0称Ⅱ型错误－存伪。用β表示，（1－β）为检验效能或把握度，意义为两总体有差异，按α水准检出差别的能力，1－β＝0.9，若两总体确有差别，理论上平均每100次抽样有90次得出有差别的结论。 两者的关系：α愈大β愈小；反之α愈小β愈大。 2.假设检验中的注意事项 （1）随机化：代表性和均衡可比性 （2）选用适当的检验方法 （3）正确理解统计学意义 （4）结论不绝对 （5）单侧与双侧检验的选择 四．分类变量资料的统计描述
概率与数理统计第8章假设检验习题及答案
第8章 假设检验 一、填空题 1、 对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著性水平0.05下，接受假设 00:μμ=H ，那么在显著性水平0.01下，必然接受0H 。 2、在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平为α，则犯第一类错误的概率是α。 3、设总体),(N ~ X 2σμ，样本n 21X ,X ,X ，2σ未知，则00:H μ=μ，01:H μ<μ的拒绝域为 )}1(/{0 --<-n t n S X αμ，其中显著性水平为α。 4、设n 21X ,X ,X 是来自正态总体),(N 2σμ的简单随机样本，其中2,σμ未知，记 ∑==n 1 i i X n 1X ，则假设0:H 0=μ的t 检验使用统计量=T Q n n X )1(- . 二、计算题 1、某食品厂用自动装罐机装罐头食品，规定标准重量为250克，标准差不超过3克时机器工作 为正常，每天定时检验机器情况，现抽取16罐，测得平均重量252=X 克，样本标准差4=S 克，假定罐头重量服从正态分布，试问该机器工作是否正常？ 解：设重量),(~2σμN X 05.016==αn 4252==S X (1)检验假设250:0=μH 250:1≠μH ， 因为2σ未知，在0H 成立下，)15(~/250t n S X T -= 拒绝域为)}15(|{|025.0t T >，查表得1315.2)5(025.0=≠t 由样本值算得1315.22<=T ，故接受0H (2)检验假设9:20=σH 9:201>σH 因为μ未知，选统计量 2 02 2)1(σS n x -= 在0H 成立条件下，2 x 服从)15(2x 分布，
第7章思考与练习-假设检验
第七章 假设检验 【思考与练习】 一、思考题 1．解释零假设与备择假设的含义。 2．简述假设检验的基本步骤。 3．比较单侧检验与双侧检验的区别。 4．解释I 型错误、II 型错误和检验效能，并说明它们之间的关系。 5．简述假设检验与置信区间估计的联系。 二、案例辨析题 为了比较非洛地平与常规药物治疗高血压的疗效差异，现已知常规药能使高血压患者的血压平均下降20 mmHg ，某医生随机抽取100名原发性高血压患者，分别测量患者接受非洛地平治疗前后的血压差值，计算得其21.5X =mmHg ， 8.0S =mmHg 。该医生进行了t 检验，零假设是μμ0=，备择假设是μμ0≠，检验 水准0.05α=。计算得 1.875t =，按100ν=查t 界值表，得0.10P 0.05<<，故接受0H ，认为非洛地平与常规药物治疗高血压的疗效无差别。你认为该结论正确吗？请说明理由。 三、最佳选择题 1．比较两药疗效时，下列哪种情况可作单侧检验 A ．已知A 药与B 药均有效 B ．已知A 药与B 药均无效 C ．已知A 药不会优于B 药 D ．已知A 药与B 药差不多好 E ．不知A 药好还是B 药好 2．假设检验的步骤是 A ．计算检验统计量、确定P 值、作出推断结论 B ．建立无效假设、建立备择假设、确定检验水准 C ．建立无效假设、计算检验统计量、确定P 值
D．确定单侧检验或双侧检验、选择t检验或Z检验、估计I型错误概率和II型错误概率 E．建立检验假设和确定检验水准、计算检验统计量、确定P值并作出统计推断3．假设检验时，下列关于检验结果的说法正确的是 A．若P值小于0.05，则不拒绝 H，此时可能犯II型错误 B．若P值小于0.05，则拒绝 H，此时可能犯II型错误 C．若P值小于0.05，则不拒绝 H，此时可能犯I型错误 D．若P值大于0.05，则拒绝 H，此时可能犯I型错误 E．若P值大于0.05，则不拒绝 H，此时可能犯II型错误 4．假设检验时，取以下何种检验水准时可能犯II型错误的概率最小 A．0.025 α= B．0.01 α= C．0.05 α= D．0.10 α= E．0.20 α= 5．下列有关检验统计量t的说法中正确的是 A．t越大，说明总体参数差别越大 B．t越大，说明总体参数差别越小 C．t越大，说明样本统计量差别越大 D．t越大，说明样本统计量差别越小 E．t越大，越有理由认为两总体参数不等 6．在样本均数与已知总体均数比较的t检验中，结果 3.24 t=， 0.05/2,2.086 t ν =， 0.01/2,2.845 t ν=，按检验水准0.05 α=，正确的结论是 A．可认为此样本均数与该已知总体均数不同 B．可认为此样本均数与该已知总体均数差异很大 C．可认为此样本均数所对应的总体均数与已知总体均数差异很大D．可认为此样本均数所对应的总体均数与已知总体均数相同E．可认为此样本均数所对应的总体均数与已知总体均数不同7．下列关于单侧检验和双侧检验的说法正确的是
统计学假设检验作业答案
假设检验作业答案 一、单项选择题 1.在假设检验中，第一类错误是指（A ） A.当原假设正确时拒绝原假设 B.当原假设错误时拒绝原假设 C.当备择假设正确时拒绝备择假设 D.当备择假设不正确时拒绝备择假设 2.对于给定的显著性水平α，根据P 值拒绝原假设的准则是（B ） A.P=α B.P<α C.P>α D.P=α=0 3.在大样本情况下，当总体方差已知时，检验总体均值所使用的统计量是（B ）A.0/x z n μσ?=B. x z =C. x t =D. x z = 4.检验一个正态总体的方差时所使用的分布是（D ） A.正态分布 B.t 分布 C.F 分布 D.2 χ分布二、简答题 简述：假设检验依据的基本原理是什么？
三、计算题 1.已知某炼铁厂的产品含碳量服从正态分布N(4.55,0.108)，现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484。如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量为4.55(α=0.05)。 解：正态分布总体，方差已知，因此用Z 检验。α=0.05时，临界值为±1.96 01: 4.55, : 4.55 H H μμ=≠0.602 x z ===?1.96 1.96 z ?<<所以不拒绝原假设。 结论：样本提供的信息不足以推翻“铁水平均含碳量为4.55”的说法。 2.某地区小麦的一般生产水平为亩产250公斤，其标准差为30公斤。现用一种化肥进行试验，从35个小区抽样结果，平均产量为270公斤。问这种化肥是否使小麦明显增产？(α=0.05) 解：大样本，方差已知，用Z 检验。0.05 1.645 z =01:250, :250 H H μμ≤> 0.053.94x z z ===>所以拒绝原假设。 结论：这种化肥使小麦明显增产 3.某种大量生产的袋装食品，按规定不得少于250克。今从一批该食品中任意抽取50袋，发现有6袋低于250克。若规定不符合标准的比例超过5%就不得出厂。问该批食品能否出厂？(α=0.05) 解：大样本的总体比例检验，用Z 检验。0.05 1.645 z =01:5%, :5% H H ππ≤>
假设检验——简单假设 复合假设
第七章 假设检验 7.1 设总体2(,)N ξμσ~，其中参数μ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设： （1）0:0,1H μσ==； （2）0:0,1H μσ=>； （3）0:3,1H μσ<=； （4）0:03H μ<<； （5）0:0H μ=. 解：（1）是简单假设，其余位复合假设 7.2 设1225,,,ξξξL 取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如对检验问题0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥L ，试决定常数c ，使检验的显著性水平为0.05 解：因为(,9)N ξμ~，故9 (,)25 N ξμ~ 在0H 成立的条件下， 000 53(||)(||)53 521()0.05 3c P c P c ξμξμ-≥=-≥? ?=-Φ=???? 55( )0.975,1.9633 c c Φ==，所以c =1.176。 7.3 设子样1225,,,ξξξL 取自正态总体2 (,)N μσ，20σ已知，对假设检验0010:,:H H μμμμ=>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>L ， （1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系； （2）设0μ=0.05，20σ=0.004[下载自.管理资源吧]，α=0.05，n=9，求μ=0.65时不犯第二类错误的概率。
解：（1）在0H 成立的条件下，2 00(, )n N σξμ~，此时 00000()P c P ξαξ=≥=≥ 10 αμ-= ，由此式解出010c αμ-= + 在1H 成立的条件下，2 0(, )n N σξμ~，此时 1010 10 ()(P c P αξβξμ-=<=< =Φ=Φ=Φ 由此可知，当α增加时，1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。 （2）不犯第二类错误的概率为 10 0.9511(0.650.51(3) 0.2 1(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ- -=-Φ- =-Φ-=Φ= 7.4 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体，对()f x 考虑统计假设： 0011101 201 :():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤??==? ??? 其他其他 试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2min αβ+=，并求其最小值。 解 设检验函数为 1()0x c x φ∈?=?? 其他（c 为检验的拒绝域）
假设检验例题.
假设检验 总体均值的检验(σ2 已知 (例题分析 【例】一种罐装饮料采用自动生产线生产,每罐的容量是 255ml ,标准差为 5ml 。为检验每罐容量是否符合要求,质检人员在某天生产的饮料中随机抽取了 40罐进行检验,测得每罐平均容量为 255.8ml 。取显著性水平α=0.05 , 检验该天生产的饮料容量是否符合标准要求? H 0:μ = 255 H 1:μ≠ 255 α = 0.05 n = 40 检验统计量 : 决策 : 不拒绝 H 0 结论 : 样本提供的证据表明:该天生产的饮料符合标准要求 总体均值的检验(σ2 未知 (例题分析 【例】一种机床加工的零件尺寸绝对平均误差允许值为 1.35mm 。生产厂家现采用一种新的机床进行加工以期进一步降低误差。为检验新机床加工的零件平均误差与旧机床相比是否有显著降低,从某天生产的零件中随机抽取 50个进行检验。利用这些样本数据,检验新机床加工的零件尺寸的平均误差与旧机床相比是否有显著降低? (
=0.01 总体均值的检验(σ2 未知 (例题分析 【例】某一小麦品种的平均产量为 5200kg/hm2 。一家研究机构对小麦品种进行了改良以期提高产量。为检验改良后的新品种产量是否有显著提高,随机抽取了 36个地块进行试种, 得到的样本平均产量为 5275kg/hm2,标准差为 120/hm2 。试检验改良后的新品种产量是否有显著提高? (α=0.05 H 0 :μ≤ 5200 H 1 :μ > 5200 α = 0.05 n = 36 临界值 (c : 检验统计量 : 决策 : 拒绝H 0 (P = 0.000088 < α = 0.05 结论 : 改良后的新品种产量有显著提高
假设检验练习题 答案
假设检验练习题 1、简单回答下列问题: 1)假设检验的基本步骤？ 答:第一步建立假设(通常建立两个假设,原假设H0 不需证明的命题,一般就是相等、无差别的结论,备择假设H1,与H0对立的命题,一般就是不相等,有差别的结论) 有三类假设 第二步选择检验统计量给出拒绝域的形式。 根据原假设的参数检验统计量: 对于给定的显著水平样本空间可分为两部分: 拒绝域W 非拒绝域A 拒绝域的形式由备择假设的形式决定 H1:W为双边 H1:W为单边 H1:W为单边 第三步:给出假设检验的显著水平 第四步给出零界值C,确定拒绝域W 有了显著水平按照统计量的分布可查表得到临界值,确定拒绝域。例如:对于=0、05有 的双边W为 的右单边W为 的右单边W为 第五步根据样本观测值,计算与判断 计算统计量Z 、t 、当检验统计量的值落在W内时能拒绝, 否则接受 (计算P值227页p值由统计软件直接得出时拒绝,否则接受 计算1-a的置信区间置信区间由统计软件直接得出统计量落入置信区间接受,否则接受)
2)假设检验的两类错误及其发生的概率？ 答:第一类错误:当为真时拒绝,发生的概率为 第二类错误:当为假时,接受发生的概率为 3)假设检验结果判定的3种方式？ 答:1、计算统计量Z 、t 、当检验统计量的值落在W内时能拒绝, 否则接受 2、计算P值227页p值由统计软件直接得出时拒绝,否则接受 3、计算1-a的置信区间置信区间由统计软件直接得出,落入置信区间接受,否则接受 4)在六西格玛A阶段常用的假设检验有那几种？应用的对象就是什么？ 答:连续型(测量的数据): 单样本t检验-----比较目标均值 双样本t检验-----比较两个均值 方差分析-----比较两个以上均值 等方差检验-----比较多个方差 离散型(区分或数的数据): 卡方检验-----比较离散数 2.设某种产品的指标服从正态分布,它的标准差σ=150,今抽取一个容量为26 的样本,计算得平均值为1 637。问在5%的显著水平下,能否认为这批产品的指标的期望值μ = 1600。 答:典型的Z检验 1、提出原假设与备择假设 :平均值等于1600 :平均值不等于1600 2、检验统计量为Z,拒绝域为双边 ~~N(0,1)