现代控制理论习题解答..
《现代控制理论》第1章习题解答
1.1 线性定常系统和线性时变系统的区别何在？ 答：线性系统的状态空间模型为：
x Ax Bu
y Cx Du
=+=+
线性定常系统和线性时变系统的区别在于：对于线性定常系统，上述状态空间模型中的系数矩阵A ，B ，C 和D 中的各分量均为常数，而对线性时变系统，其系数矩阵A ，B ，C 和
D 中有时变的元素。线性定常系统在物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统，
而线性时变系统的参数则随时间的变化而变化。
1.2 现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有什么区别？ 答: 传递函数模型与状态空间模型的主要区别如下:
1.3 线性系统的状态空间模型有哪几种标准形式？它们分别具有什么特点？
答: 线性系统的状态空间模型标准形式有能控标准型、能观标准型和对角线标准型。对于n 阶传递函数
121210
1110
()n n n n n n n b s b s b s b G s d s a s a s a ------++++=+++++，
分别有
⑴ 能控标准型： []012
101
210100000100000101n n n x x u a a a a y b b b b x du
---?????
????????????
???=+??
????????
?
?????----????
?
=+??
⑵ 能观标准型： []0011221100010
00
100010
1n n n b a b a x a x u b a b y x du
---?-??
?????
??-?????
?????=-+????
?
?????
??????-????
?=+?? ⑶ 对角线标准型： []1212
001001001n n p p
x x u p y c c c x du
?????
???????
???=+??????
?????
??????=+? 式中的12,,
,n p p p 和12,,,n c c c 可由下式给出，
12121012
1
11012
()n n n n n
n n n n
b s b s b s b
c c c G s
d d s a s a s a s p s p s p ------++++=+=+++
+++++--- 能控标准型的特点：状态矩阵的最后一行由传递函数的分母多项式系数确定，其余部分具有特定结构，输出矩阵依赖于分子多项式系数，输入矩阵中的元素除了最后一个元素是1外，其余全为0。
能观标准型的特点：能控标准型的对偶形式。 对角线标准型的特点：状态矩阵是对角型矩阵。 1.4 对于同一个系统，状态变量的选择是否惟一？
答：对于同一个系统，状态变量的选择不是惟一的，状态变量的不同选择导致不同的状态空间模型。
1.5 单输入单输出系统的传递函数在什么情况下，其状态空间实现中的直接转移项D 不等
于零，其参数如何确定？
答: 当传递函数)(s G 的分母与分子的阶次相同时，其状态空间实现中的直接转移项D 不等于零。
转移项D 的确定：化简下述分母与分子阶次相同的传递函数
1110
111)(a s a s a s b s b s b s b s G n n n
n n n n ++++++++=---- 可得：
d a s a s a s c s c s c s G n n n n n ++++++++=----0
11
10
111)( 由此得到的d 就是状态空间实现中的直接转移项D 。
1.6 在例1.
2.2处理一般传递函数的状态空间实现过程中，采用了如图1.12的串联分解，试
问：若将图1.12中的两个环节前后调换，则对结果有何影响？
答: 将图1.12中的两个环节调换后的系统方块图为：
图中，
32
210
11()a s s a s a s a =+++，2
210()b s b s b s b =++。 由于3s y -相当于对y 作3次积分，故1
()
y m a s =可用如下的状态变量图表示：
因为2
s b 相当于对b 作2次微分，故()m
b s u
=可用如下的状态变量图表示:
因此，两个环节调换后的系统状态变量图为
进一步简化，可得系统状态变量图为
取3y x =，2y x =，1y x =，可以得到两个环节调换后的系统的状态空间模型为
001122001
001[0
01]a b x a x b u
a b y x
-????????=-+????-????????=
两个环节调换前的状态空间模型是：
012012010000101[]x x u a a a y b b b x
????
????=+????????---????=
显然，调换前后的状态空间实现是互为对偶的。 1.7 已知系统的传递函数
2()6
()56
Y s s U s s s +=++ 试求其状态空间实现的能控标准形和能观标准形。 答： 系统的能控标准形为:
[]01065161x x u y x
?????=+?????--?????
?=?
系统的能观标准形为:
[]06615101x x u y x
?-????=+?????-?????
?=?
1.8 考虑由下图描述的二阶水槽装置，
图1.18
二阶水槽装置图
该装置可以看成是由两个环节串联构成的系统，它的方块图是：
图1.19 二阶水槽系统的方块图
试确定其状态空间模型。
答：图1.19中两个环节的状态空间模型分别为:
??
?=+-=22
22222x y u b x a x
和 ?
?
?=+-=11111x y u b x a x
又因为21x u u +=，所以
1121111u b x b x a x
++-= 22222u b x a x
+-= 1x y =
进一步将其写成向量矩阵的形式，可得：
??
?
?????????+???????????
?--=??????21212121121000u u b b x x a b a x x []??
?
???=2101x x y
1.9 考虑以下单输入单输出系统:
61166+++=y y y y u
试求该系统状态空间模型的对角线标准形。 答： 由微分方程可得:
321)3)(2)(1(6
6
1166)(3212
3+++++=+++=+++=
s c s c s c s s s s s s s G 其中，
3)
3)(2(6
lim
11=++=-→s s c s
6)
3)(1(6
lim
22-=++=-→s s c s
3)2)(1(6
lim 33=++=-→s s c s
故该系统状态空间模型的对角线标准形为:
u x x x x x x ????
??????+????????????????????---=??????????111300020001321321 []??
??
??????-=321363x x x y
1.10 已知单输入单输出时不变系统的微分方程为:
()4()3()()6()8()++=++y t y t y t u t u t u t
试求:（1）建立此系统状态空间模型的对角线标准形；
（2）根据所建立的对角线标准形求系统的传递函数。
答: （1）由微分方程可得:
3
45
213486)(222++++=++++=s s s s s s s s G
记
12122525
()(1)(3)13
43c c s s G s s s s s s s ++=
==+++++++，
其中，
23352lim
11=++=-→s s c s ，2
1
152lim 32=++=-→s s c s 。
从输入通道直接到输出通道上的放大系数1=d ，由此可得:
u x x x x ??????+???????????
?--=??????1130012121 u x x y +???????
?????=212123 （2） 由于??????--=3001A ，??
????=11B ，???
???=2123C ，1=D ，因此 1()()30113
11011(1)(2)221.50.5
113
G s C sI A B D
s s s s s s -=-++??????=+??????+++??????
=
++++ 1.11 已知系统的传递函数为
25
()(3)(5)
+=
++s G s s s
（1） 采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图； （2） 采用并联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图。 答:（1）将()G s 重新写成下述形式：
125()35s G s s s +=
?++ 每一个环节的状态空间模型分别为：
??
?=+-=11
113x y u x x
和 ??
?+-=+-=1
2122255u x y u x x
又因为11y u =， 所以
??
?-=+-=2121153x x x u x x
2152x x y -=
因此，若采用串联分解方式，则系统的状态空间模型为：
u x x x x ??????+???????????
?--=??????0151032121 []??
?
???-=2152x x y
对应的状态变量图为：
（2）将()G s 重新写成下述形式：
0.5 2.5
()35
S G s s -=
+++ 每一个环节的状态空间模型分别为：
1111
30.5x x u
y x =--??
=? ??
?=+-=2
2225.25x y u x x
又由于
??
?+-=--=u x x u x x
5.255.0322
11 1212y y y x x =+=+
?2x -
1
x ?
1
x -
因此，若采用并联分解方式，则系统的状态空间模型为：
u x x x x ??????-+???????????
?--=??????5.25.050032121 []??
?
???=2111x x y
对应的状态变量图为：
1.12 已知系统的状态空间模型为,x Ax Bu y Cx =+=，写出该系统的特征多项式和传递
函数矩阵。
答: 系统的特征多项式为det()sI A -， 传递函数为1()()G s C sI A B -=-。
1.13 一个传递函数的状态空间实现是否惟一？由状态空间模型导出的传递函数是否惟
一？
答: 一个传递函数的状态空间实现不惟一；而由状态空间模型导出的传递函数是惟一的。
1.14 已知系统的状态空间模型为Cx y Bu Ax x
=+=, ，写出其对偶状态空间模型。 答: 其对偶状态空间模型为:
???=+=x
B y u
C x A x T T T ~
~~ 1.15 两个对偶状态空间模型之间的特征多项式和传递函数有什么关系？
答: 对于互为对偶的 ???=+=Cx
y Bu Ax x
与
???=+=x
B y u
C x A x T T T ~
~~ ，它们对应的特征多项式分别为det()sI A -和det()T sI A -。由于一个矩阵和其装置的特征多项式是相同的，故互为对偶的两
个状态空间模型具有相同的特征多项式。 它们对应的传递函数分别为
-
-
?
1
x ?
2
x x
1
1()()()det()
C sI A B
G s C sI A B sI A *--=-=-
1
2()()()det()
T T T
T
T T
T B sI A C G s B sI A C sI A *--=-=-
由于det()det()T sI A sI A -=-，()
()()T
T T T C sI A B
B sI A
C *
*-=-，故对偶状态空间模
型之间的传递函数关系为12()()T G s G s =，即互为转置。 1.16 考虑由以下状态空间模型描述的系统:
010651[11]x x u y x
????
=+????--????=
试求其传递函数。 答: 由于
11()()()G s C sI A B D C sI A B --=-+=-
??
????-+++=--s s s s A sI 6156)5(1
)(1 故
[]651
)1(6
5110615116)5(1)(2
2+++=+++=????????????-+++=s s s s s s s s s s s G 1.17 给定系统的状态空间模型:
10000
4310112011000
01x x u y u ????
????=-+????????---??????
=?
???
求系统的传递函数矩阵。
答: 系统的传递函数为1()()G s C sI A B -=-。由于
????
?
?
????+----+-++++++=??
??
??????+-+-=---s s s s s s s s s s s s s s s s A sI 414323321163116121134001
)(22
22
31
1
因此，
B A sI
C s G 1)()(--=
?????
?
??????????????+----+-+++??????+++=10010041432332116100001311612
2
223s s s s s s s s s s s s s ??
????+--++++=s s s s s s s 413231161
22
3
1.18 试用MATLAB 软件求出下列传递函数的状态空间实现:
232
1047160
()1456160
s s G s s s s ++=+++ 答: 执行以下的m-文件：
num=[0 10 47 160]; den=[1 14 56 160]; [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
得到：
??????????---=0100011605614A ， ??
??
?
?????=001B ， []1604710=C ， 0=D
由此可知：
u x x x x x x
????
??????+????????????????????---=??????????0010100011605614321321 []??
??
??????=3211604710x x x y
1.19 试用MATLAB 软件求以下系统的传递函数:
112233123010011011000[100]x x x x u x x x y x x ????????
????????=--+???????????????
?????????????
=??
????
答: 执行以下m-文件：
A=[0 1 0;-1 -1 0;1 0 0];
B=[0;1;0];
C=[1 0 0]; D=0;
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)
可得：
num = 0 0 1.0000 0 den = 1.0000 1.0000 1.0000 0
因此，系统的传递函数为
s
s s s
s G ++=
23)(
1.20 试用MATLAB 软件求以下系统的传递函数:
11122233123210010201001301[001]x x u x x u x x x y x x ??????????????????=+??
?????????????????
?????????????
=??
????
答: 执行以下的m-文件：
A=[2 1 0;0 2 0;0 1 3]; B=[0 1;1 0;0 1]; C=[0 0 1]; D=[0 0];
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,2) 可得要求的两个传递函数是
3
21()2
()71612
Y s s U s s s s -=-+- 23
2
2()44
()71612
Y s s s U s s s s -+=-+- 1.21 已知系统的状态空间模型为,x Ax Bu y Cx =+=，取线性变换阵为P ，且x P
x =，写出线性变换后的状态空间模型。 答: 把x Px =代入,x Ax Bu y Cx =+=，得
Px APx Bu y CPx
=+=
因此，线性变换后的等价状态空间模型为：
11x P APx P Bu y CPx
--=+=
1.22 线性变换是否改变系统的特征多项式和极点？简单证明之。 答: 假设系统的状态空间模型为
Du
Cx y Bu Ax x
+=+=
经过线性变换Tx x =后，系统的状态模型变为：
u
D x C y u B x A x
+=+=
其中，
1-=TAT A ，TB B =，1-=CT C ，D D =
由于
1111det()det()det()det()det()det()det()
sI A sI TAT sTT TAT T sI A T sI A -----=-=-=-=-
故线性变换不会改变系统的特征多项式和极点。 1.23 已知以下微分方程描述了系统的动态特性:
32y y y u ++=
（1） 选择状态变量12,x y x y ==，写出系统的状态方程； （2） 根据（1）的结果，由以下的状态变换:
112212
2x x x x x x =+=--
确定新的状态变量12,x x ，试写出关于新状态变量12,x x 的状态空间模型。
答: (1) 由12,x y x y ==可得
??
?
??=+--==11222123x
y u x x x x x 写成矩阵向量形式，可得
[]???
???
????
???=??????+????????????--=??????21212101103210x x y u x x x x (2) 由于112212,2x x x x x x =+=--，即
11221112x x x x ??????=??????--?
?????
容易验证这是一个等价线性变换，故可得
[]???
???
????
???=??
????-+???????
?????--=??????21212111112001x x y u x x x x
1.24 给定系统
[]010100x x u a b d y x
????=+????
--????= 试确定参数b a ,和d 的值，以使得该系统模型能等价地转换成以下的对角型
[]30101155z z u y z
-????=+????-????=- 答: 由对角型状态空间模型可知
2
551010
()31(3)(1)43
G s s s s s s s -=
+==++++++ 而从原状态空间模型则可得传递函数
2
10()d
G s s bs a
=
++ 由于等价的状态空间模型具有相同的传递函数，故经比较系数可得：
341
a b d ===
现代控制理论习题解答..
《现代控制理论》第1章习题解答 1.1 线性定常系统和线性时变系统的区别何在？ 答：线性系统的状态空间模型为： x Ax Bu y Cx Du =+=+ 线性定常系统和线性时变系统的区别在于：对于线性定常系统，上述状态空间模型中的系数矩阵A ，B ，C 和D 中的各分量均为常数，而对线性时变系统，其系数矩阵A ，B ，C 和 D 中有时变的元素。线性定常系统在物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统， 而线性时变系统的参数则随时间的变化而变化。 1.2 现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有什么区别？ 答: 传递函数模型与状态空间模型的主要区别如下: 1.3 线性系统的状态空间模型有哪几种标准形式？它们分别具有什么特点？ 答: 线性系统的状态空间模型标准形式有能控标准型、能观标准型和对角线标准型。对于n 阶传递函数 121210 1110 ()n n n n n n n b s b s b s b G s d s a s a s a ------++++=+++++， 分别有 ⑴ 能控标准型： []012 101 210100000100000101n n n x x u a a a a y b b b b x du ---????? ???????????? ???=+?? ???????? ? ?????----???? ? =+??
⑵ 能观标准型： []0011221100010 00 100010 1n n n b a b a x a x u b a b y x du ---?-?? ????? ??-????? ?????=-+???? ? ????? ??????-???? ?=+?? ⑶ 对角线标准型： []1212 001001001n n p p x x u p y c c c x du ????? ??????? ???=+?????? ????? ??????=+? 式中的12,, ,n p p p 和12,,,n c c c 可由下式给出， 12121012 1 11012 ()n n n n n n n n n b s b s b s b c c c G s d d s a s a s a s p s p s p ------++++=+=+++ +++++--- 能控标准型的特点：状态矩阵的最后一行由传递函数的分母多项式系数确定，其余部分具有特定结构，输出矩阵依赖于分子多项式系数，输入矩阵中的元素除了最后一个元素是1外，其余全为0。 能观标准型的特点：能控标准型的对偶形式。 对角线标准型的特点：状态矩阵是对角型矩阵。 1.4 对于同一个系统，状态变量的选择是否惟一？ 答：对于同一个系统，状态变量的选择不是惟一的，状态变量的不同选择导致不同的状态空间模型。 1.5 单输入单输出系统的传递函数在什么情况下，其状态空间实现中的直接转移项D 不等 于零，其参数如何确定？ 答: 当传递函数)(s G 的分母与分子的阶次相同时，其状态空间实现中的直接转移项D 不等于零。 转移项D 的确定：化简下述分母与分子阶次相同的传递函数 1110 111)(a s a s a s b s b s b s b s G n n n n n n n ++++++++=---- 可得： d a s a s a s c s c s c s G n n n n n ++++++++=----0 11 10 111)( 由此得到的d 就是状态空间实现中的直接转移项D 。 1.6 在例1. 2.2处理一般传递函数的状态空间实现过程中，采用了如图1.12的串联分解，试 问：若将图1.12中的两个环节前后调换，则对结果有何影响？
现代控制理论模拟题
《现代控制理论》模拟题（补） 一．判断题 1．状态变量的选取具有非惟一性。 （ √ ） 2．由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。 （ √ ） 3．传递函数G (s )的所有极点都是系统矩阵A 的特征值，系统矩阵A 的特征值也一定都是传 递 函 数 G (s )的极点。 （ × ） 4．若一个对象的连续时间状态空间模型是能控的，则其离散化状态空间模型也一定是能控的。 （ × ） 5．对一个系统，只能选取一组状态变量 （ × ） 6．由状态转移矩阵可以决定系统状态方程的状态矩阵，进而决定系统的动态特性。（ √ ） 7．传递函数只能给出系统的输出信息；而状态空间表达式不仅给出输出信息，还能够提供系统内部状态信息。 （ √ ） 8．一个系统的平衡状态可能有多个，因此系统的李亚普诺夫稳定性与系统受干扰前所处得平衡位置无关。 （ × ） 9．系统的状态观测器存在的充分必要条件是：系统能观测，或者系统虽然不能观测，但是其不能观测的子系统的特征值具有负实部。 （ √ ） 10．如果线性离散化后系统不能控，则离散化前的连续系统必不能控。 （ × ） 11．一个系统BIBO 稳定，一定是平衡状态0e x =处渐近稳定。 （ × ） 12．状态反馈不改变系统的能控性。 （ √ ） 13．对系统x Ax =&，其李亚普诺夫意义下的渐近稳定性和矩阵A 的特征值都具有负实部是 一致的。 （ √ ） 14．极点配置实际上是系统镇定问题的一个特殊情况。 （ × ） 15．若传递函数存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控不能观的。 （ × ） 16．若系统状态完全能控，则对非渐近稳定系统通过引入状态反馈实现渐近稳定，称为镇定问题。 （ √ ） 二．填空题 1．动态系统的状态是一个可以确定该系统 行为 的信息集合。这些信息对于确定系统 未来 的行为是充分且必要的。 2．以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交 线性 空间，称之为 状态空间 。 3． 能控性 定义: 线性定常系统的状态方程为()()()x t Ax t Bu t =+&,给定系统一个初始状态00()x t x =,如果在10t t >的有限时间区间10[,]t t 内,存在容许控制()u t ,使 1()0x t =,则称系统状态在0t 时刻是 能控 的;如果系统对任意一个初始状态都 能控 , 称系统是状态完全 能控 的。
现代控制理论课后习题答案
绪论 为了帮助大家在期末复习中能更全面地掌握书中知识点，并且在以后参加考研考博考试直到工作中，为大家提供一个理论参考依据，我们11级自动化二班的同学们在王整风教授的带领下合力编写了这本《现代控制理论习题集》（刘豹第三版），希望大家好好利用这本辅助工具。 根据老师要求，本次任务分组化，责任到个人。我们班整体分为五大组，每组负责整理一章习题，每个人的任务由组长具体分配，一个人大概分1~2道题，每个人任务虽然不算多，但也给同学们提出了要求：1.写清题号，抄题，画图（用CAD或word画）。2.题解详略得当，老师要求的步骤必须写上。3.遇到一题多解，要尽量写出多种方法。 本习题集贯穿全书，为大家展示了控制理论的基础、性质和控制一个动态系统的四个基本步骤，即建模、系统辨识、信号处理、综合控制输入。我们紧贴原课本，强调运用统一、联系的方法分析处理每一道题，将各章节的知识点都有机地整合在一起，力争做到了对控制理论概念阐述明确，给每道题的解析赋予了较强的物理概念及工程背景。在课后题中出现的本章节重难点部分，我们加上了必要的文字和图例说明，让读者感觉每一题都思路清晰，简单明了，由于我们给习题配以多种解法，更有助于发散大家的思维，做到举一反三！
这本书是由11级自动化二班《现代控制理论》授课老师王整风教授全程监管，魏琳琳同学负责分组和发布任务书，由五个小组组组长李卓钰、程俊辉、林玉松、王亚楠、张宝峰负责自己章节的初步审核，然后汇总到胡玉皓同学那里，并由他做最后的总审核工作，绪论是段培龙同学和付博同学共同编写的。 本书耗时两周，在同学的共同努力下完成，是二班大家庭里又一份智慧和努力的结晶，望大家能够合理使用，如发现错误请及时通知，欢迎大家的批评指正！ 2014年6月2日
(精选)现代控制理论作业题答案
第九章 线性系统的状态空间分析与综合 9-1 设系统的微分方程为 u x x x =++23&&& 其中u 为输入量，x 为输出量。 ⑴ 设状态变量x x =1，x x &=2，试列写动态方程； ⑵ 设状态变换211x x x +=，2122x x x --=，试确定变换矩阵T 及变换后的动态方程。 解：⑴ u x x x x ??????+????????????--=???? ??1032102121&&，[]??????=2101x x y ； ⑵ ??????=??????2121x x T x x ，??????--=2111T ；?? ????--=-11121 T ；AT T A 1-=，B T B 1-=，CT C =； 得，??????--=2111T ；u x x x x ??????-+??????????? ?-=??????1110012121&&，[]??????=2111x x y 。 9-2 设系统的微分方程为 u y y y y 66116=+++&&&&&& 其中u 、y 分别系统为输入、输出量。试列写可控标准型(即A 为友矩阵)及可观标准型(即A 为友矩 阵转置)状态空间表达式，并画出状态变量图。 解：可控标准型和可观标准型状态空间表达式依次为， []x y u x x 00610061161 00010=??????????+??????????---=&；[]x y u x x 100 006610 1101600=???? ? ?????+??????? ???---=&； 可控标准型和可观标准型的状态变量图依次为， 9-3 已知系统结构图如图所示，其状态变量为1x 、2x 、3x 。试求动态方程，并画出状态变量图。 解：由图中信号关系得，31x x =&，u x x x 232212+--=&，32332x x x -=&，1x y =。动态方程为 u x x ?? ?? ? ?????+??????????---=020*********&，[]x y 001；
现代控制理论1-8三习题库
信息工程学院现代控制理论课程习题清单
正确理解线性系统的数学描述，状态空间的基本概念，熟练掌握状态空间的表达式，线性变换，线性定常系统状态方程的求解方法。 重点容：状态空间表达式的建立，状态转移矩阵和状态方程的求解，线性变换的基本性质，传递函数矩阵的定义。要求熟练掌握通过传递函数、微分方程和结构图建立电路、机电系统的状态空间表达式，并画出状态变量图，以及能控、能观、对角和约当标准型。难点：状态变量选取的非唯一性，多输入多输出状态空间表达式的建立。 预习题 1.现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有何区别？ 2.状态、状态空间的概念？ 3.状态方程规形式有何特点？ 4.状态变量和状态矢量的定义？ 5.怎样建立状态空间模型？ 6.怎样从状态空间表达式求传递函数？ 复习题 1.怎样写出SISO系统状态空间表达式对应的传递函数阵表达式 2.若已知系统的模拟结构图，如何建立其状态空间表达式？ 3.求下列矩阵的特征矢量 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - = 2 5 10 2 2 1- 1 A 4.（判断）状态变量的选取具有非惟一性。 5.（判断）系统状态变量的个数不是惟一的，可任意选取。 6.（判断）通过适当选择状态变量，可将线性定常微分方程描述其输入输 出关系的系统，表达为状态空间描述。 7.（判断）传递函数仅适用于线性定常系统；而状态空间表达式可以在定 常系统中应用，也可以在时变系统中应用. 8.如果矩阵A 有重特征值，并且独立特征向量的个数小于n ,则只能化为 模态阵。 9.动态系统的状态是一个可以确定该系统______（结构，行为）的信息集 合。这些信息对于确定系统______（过去，未来）的行为是充分且必要 的。 10.如果系统状态空间表达式中矩阵A, B, C, D中所有元素均为实常数时， 则称这样的系统为______（线性定常，线性时变）系统。如果这些元素 中有些是时间t 的函数，则称系统为______（线性定常，线性时变）系 统。 11.线性变换不改变系统的______特征值，状态变量）。 12.线性变换不改变系统的______（状态空间，传递函数矩阵）。 13.若矩阵A 的n 个特征值互异，则可通过线性变换将其化为______（对 角阵，雅可比阵）。 14.状态变量是确定系统状态的______（最小，最大）一组变量。 15.以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交______（线性，非线性） 空间，称之为______（传递函数，状态空间）。
(完整版)现代控制理论考试卷及答案
西北工业大学考试试题（卷）2008 －2009 学年第2 学期
2009年《现代控制理论》试卷A 评分标准及答案 第一题（10分，每个小题答对1分，答错0分） （1）对 （2）错 （3）对 （4）错 （5）对 （6）对 （7）对 （8）对 （9）对 （10）错 第二题（15分） （1）)(t Φ（7分）：公式正确3分，计算过程及结果正确4分 ? ? ? ???+-+---=-=Φ?? ?? ??????+- +-+- +-+- ++-+=??????-+++=-??? ???+-=------------t t t t t t t t e e e e e e e e A sI L t s s s s s s s s s s s s A sI s s A sI 22221 11 2222}){()(22112 21221112112 213)2)(1(1 )(321 （2） 状态方程有两种解法（8分）：公式正确4分，计算过程及结果正确4分 ??????-+-+-=????? ???????+-+++-+++-++??????+--=??????????? ???????++-++++-=-+-=??????---+-=????? ?+--+??? ???+--=??????-Φ+Φ=------------------------------??t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t e e te e e te s s s s s s L e e e e t x t x s s s s s L x A sI L t x s BU A sI x A sI s X e e t e e t d e e e e e e e e e t x t x d t Bu x t t x 222 21 22212 21111122)(02222210 2344}2414)1(42212)1(4 {2)()(} )2()1(4) 2()1()3(2{)}0(){()() ()()0()()(2)34()14(22222)()()()()0()()(或者 ττ τττττττ 第三题（15分，答案不唯一，这里仅给出可控标准型的结果） （1） 系统动态方程（3分） []x y u x x 0010 1003201 00010=???? ??????+??????????--=&
《现代控制理论》习题册
第一章 控制系统的状态空间描述 1-1 求图示网络的状态空间表达式，选取C u 和i 为状态变量。 R L + 1-2 已知系统微分方程，试将其变换为状态空间表达式。 （1）u y y y y 2642=+++
（2）u u y y y 237+=++ （3）u u u y y y y 23745++=+++ （4）u u u u y y y y 81786116+++=+++
1-3试画出如图所示系统的状态变量图，并建立其状态空间表达式。
1-4 已知系统的传递函数，试建立其状态空间表达式，并画出状态变量图。 （1）61161)(2 32+++++=s s s s s s G （2）6 51 3)(22++++=s s s s s G （3）)3()1(4 )(2++=s s s s G （4）1 3332)(2 32+++++=s s s s s s G
1-5 已知系统 2 33 )()(2+++=s s s s U s Y ，试求其能控标准型和对角标准型。 1-6 已知系统传递函数，试用并联法求其状态空间表达式。 （1）61161)(23+++= s s s s G （2）2 545 )(2 3+++=s s s s G
1-7 试求下列状态方程所定义系统的传递函数。 ?????? ?? ?????????? ?=???????? ??????????+????????????--=??????21212121211001101142510x x y y u u x x x x 1-8 试将下列状态方程化为对角标准型。 （1）u(t)x(t)(t)x ? ? ????+??????--=106510
现代控制理论复习题库
一、选择题 1.下面关于建模和模型说法错误的是( C )。 A．无论是何种系统，其模型均可用来提示规律或因果关系。 B．建模实际上是通过数据、图表、数学表达式、程序、逻辑关系或各种方式的组合表示状态变量、输入变量、输出变量、参数之间的关系。 C．为设计控制器为目的建立模型只需要简练就可以了。 D．工程系统模型建模有两种途径，一是机理建模，二是系统辨识。 &&&&的类型是( B ) 。 2.系统()3()10() y t y t u t ++= A．集中参数、线性、动态系统。B．集中参数、非线性、动态系统。 C．非集中参数、线性、动态系统。D．集中参数、非线性、静态系统。 3.下面关于控制与控制系统说法错误的是( B )。 A．反馈闭环控制可以在一定程度上克服不确定性。 B．反馈闭环控制不可能克服系统参数摄动。 C．反馈闭环控制可在一定程度上克服外界扰动的影响。 D．控制系统在达到控制目的的同时，强调稳、快、准、鲁棒、资源少省。 x Pz说法错误的是( D )。 4.下面关于线性非奇异变换= A．非奇异变换阵P是同一个线性空间两组不同基之间的过渡矩阵。 B．对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的特征值。 C．对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的传递函数。 D．对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的状态空间描述。 5.下面关于稳定线性系统的响应说法正确的是( A )。 A．线性系统的响应包含两部分，一部是零状态响应，一部分是零输入响应。 B．线性系统的零状态响应是稳态响应的一部分。 C．线性系统暂态响应是零输入响应的一部分。 D．离零点最近的极点在输出响应中所表征的运动模态权值越大。 6.下面关于连续线性时不变系统的能控性与能观性说法正确的是( A ) 。 A．能控且能观的状态空间描述一定对应着某些传递函数阵的最小实现。 B．能控性是指存在受限控制使系统由任意初态转移到零状态的能力。 C．能观性表征的是状态反映输出的能力。 D．对控制输入的确定性扰动影响线性系统的能控性，不影响能观性。 7.下面关于系统Lyapunov稳定性说法正确的是( C ) 。
现代控制理论课后习题答案
前言 本书是为了与张嗣瀛院士等编写的教材《现代控制理论》相配套而编写的习题解答。 本书对该教材中的习题给予了详细解答，可帮助同学学习和理解教材的内容。由于习题数量较多，难易程度不同，虽然主要对象是研究型大学自动化专业本科学生，但同时也可以作使用其它教材的专科、本科、以及研究生的学习参考书。 书中第5、6、8章习题由高立群教授组织编选和解答；第4、7 章由井元伟教授组织编选和解答，第1、2章由郑艳副教授组织编选和解答。 由于时间比较仓促，可能存在错误，请读者批评、指正。另外有些题目解法和答案并不唯一，这里一般只给出一种解法和答案。 编者 2005年5月 第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答 2.1有电路如图P2.1所示，设输入为1u ，输出为2u ，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。 图P2.1 解 此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达式。也可以先由电路图求得系统传递函数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。这里采样机理分析法。 设1C 两端电压为1c u ，2C 两端的电压为2c u ，则 2 12221c c c du u C R u u dt ++= (1) 1121 21c c c du u du C C dt R dt += (2) 选择状态变量为11c x u =，22c x u =，由式(1)和(2)得：
1121121121212111 c c c du R R C u u u dt R R C R C R C +=--+ 2121222222 111c c c du u u u dt R C R C R C =--+ 状态空间表达式为： 1211 1211212121 212 1222222 21111111R R C x x x u R R C R C R C x x x u R C R C R C y u u x +?=--+?? ? =--+?? ?==-?? && 即: 12121121211112222222211111R R C R C R R C R C x x u x x R C R C R C +???? -???? ????????=+????????????--??????? ? && []11210x y u x ?? =-+???? 2.2 建立图P22所示系统的状态空间表达式。 1 图P2.2 解 这是一个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达式会更为方便。令()f t 为输入量，即u f =，1M ，2M 的位移量1y ，2y 为输出量， 选择状态变量1x =1y ，2x = 2y ，3x =1 dy dt ，24dy x dt =。 根据牛顿定律对1M 有： 211311 () d x x M x Kx B dt -=--&
现代控制理论复习题
概念： 设动态系统为)()()(,)()()(t Du t Cx t y t Bu t Ax t x +=+=&， （1）若At e t =Φ) (，则)(t Φ称为（状态转移矩阵 ） （2）若D B A sI C s G +-=-1 )()(，则)(s G 称为（ 传递函数矩阵 ） （3）若],,,,[],[1 2B A B A AB B B A n c -=ΓΛ，则],[B A c Γ称为（能控性矩阵） （4）若T n o CA CA CA C A C ],,,,[],[12-=ΓΛ，则],[A C o Γ称为（能观性矩阵） （5）若],,,,,[],,[1 2D B CA B CA CAB CB B A C n oc -=ΓΛ，则],,[B A C oc Γ称为（输出能 控性矩阵） （6）李雅普诺夫方程 Q PA P A T -=+，其中Q 为正定对称阵，当使方程成立的P 为（ 正定对称阵 ）时，系统为渐近稳定。 （7）设系统0)0(,0,)(=≥=f t x f x &，如果存在一个具有一阶导数的标量函数 )(x V ，0)0(=V ，并且对于状态空间X 中的且非零点x 满足如下条件：)(x V 为（正定）；)(x V &为（负定）；当∞→x 时，∞→)(x V 。则系统的原点平衡状态是 （大范围渐近稳定的）。 （8）状态反馈不改变系统的（可控性）。输出至状态微分反馈不改变系统的（可观测性）。输出至参考输入反馈，不改变系统的（可控性和可观测性）。状态反馈和输出反馈都能影响系统的（稳定性和动态性能）。 （9）状态反馈控制的极点任意配置条件是系统状态（完全可控）。状态观测的极点任意配置条件是系统状态（完全可观）。 （10）系统线性变换Px x =时，变换矩阵P 必须是（非奇异的，或满秩）的。 二：已知系统传递函数 ) 2()1(5 )(2 ++= s s s G ，试求约当型动态方程。 解：25 15) 1(5)2()1(5)(2 2+++-+=++= s s s s s s G
2010《现代控制理论基础》考试题B卷及答案
一．（本题满分10分） 请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。其中状态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感2L 的电流强度。 【解答】根据基尔霍夫定律得： 11132223321L x Rx x u L x Rx x Cx x x ++=?? +=??+=?&&& 改写为1 13111 22 322 31 211111R x x x u L L L R x x x L L x x x C C ? =--+?? ?=-+???=-?? &&&，输出方程为2y x = 写成矩阵形式为
[]1 1 111222 2 331231011000110010R L L x x L R x x u L L x x C C x y x x ??? --???????????????? ???????=-+???? ??????? ???????????????? ???-??????? ? ??? ?? ?=??? ?????? &&& 二．（本题满分10分） 单输入单输出离散时间系统的差分方程为 (2)5(1)3()(1)2()y k y k y k r k r k ++++=++ 回答下列问题： （1）求系统的脉冲传递函数； （2）分析系统的稳定性； （3）取状态变量为1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，求系统的状态空间表达式； （4）分析系统的状态能观性。 【解答】 （1）在零初始条件下进行z 变换有： ()()253()2()z z Y z z R z ++=+ 系统的脉冲传递函数： 2()2 ()53 Y z z R z z z +=++ （2）系统的特征方程为 2()530D z z z =++= 特征根为1 4.3z =-，20.7z =-，11z >，所以离散系统不稳定。 （3）由1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，可以得到 21(1)(2)(1)(2)(1)x k x k r k y k r k +=+-+=+-+ 由已知得 (2)(1)2()5(1)3()y k r k r k y k y k +-+=-+-112()5(1)3()r k x k x k =-+- []212()5()()3()r k x k r k x k =-+-123()5()3()x k x k r k =--- 于是有： 212(1)3()5()3()x k x k x k r k +=--- 又因为 12(1)()()x k x k r k +=+ 所以状态空间表达式为
《现代控制理论》模拟题
《现代控制理论》模拟题 一、判断题 1 要使得观测器估计的状态尽可能快地逼近系统的实际状态，观测器的极点应该比系统极 点快10倍以上。√ 2 状态反馈系统的瞬态性能主要是由极点决定的。√ 3 平衡状态渐近稳定包含了BIBO稳定。√ 4 对于初始松弛系统，任何有界输入，其输出也是有界的，称为BIBO系统。√ 5 若线性系统是李亚普诺夫意义下稳定的，则它是大范围渐近稳定的。√ 6 若传递函数存在零极对消，则对应状态空间模型描述的系统是不能控的。╳ 7 工程中较为复杂的系统，通常是由若干个子系统按某种方式连接而成的。这样的系统称 为组合系统。√ 8 状态空间表达式既可以描述初始松弛（即：初始条件为零）系统，也可以描述非初始松 弛系统。√ 9 具有对角型状态矩阵的状态空间模型描述的系统可以看成是由多个一阶环节串联组成的 系统。╳ 10 通过适当选择状态变量，可将线性定常微分方程描述其输入输出关系的系统，表达为状 态空间描述。√ 11 若系统状态完全能控，则对非渐近稳定系统通过引入状态反馈实现渐近稳定，称为镇定 问题。√ 12 状态反馈不改变系统的能控性。√ 13 一个系统BIBO稳定，一定是平衡状态处渐近稳定。╳ 14 若一个系统是李亚普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的。╳ 15 如果线性离散化后系统不能控，则离散化前的连续系统必不能控。╳ 16 若传递函数存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控不能观的。╳ 17 传递函数只能给出系统的输出信息；而状态空间表达式不仅给出输出信息，还能够提供 系统内部状态信息。√ 18 由状态转移矩阵可以决定系统状态方程的状态矩阵，进而决定系统的动态特性。√ 19 传递函数是系统初始松弛（即：初始条件为零）条件下，输出时间变量与输入时间变量 之比。╳ 20 对一个系统，只能选取一组状态变量╳ 21 极点配置实际上是系统镇定问题的一个特殊情况。╳ 22 李亚普诺夫第二法也可以研究非线性时变系统的稳定性问题。√ 23 对系统X=AX，其李亚普诺夫意义下的渐近稳定性和矩阵A的特征值都具有负实部是一 致的。√ 24 系统的状态观测器存在的充分必要条件是：系统能观测，或者系统虽然不能观测，但是 其不能观测的子系统的特征值具有负实部。√ 25 一个系统的平衡状态可能有多个，因此系统的李亚普诺夫稳定性与系统受干扰前所处得
现代控制理论第版课后习题答案
现代控制理论第版课后习 题答案 Prepared on 22 November 2020
《现代控制理论参考答案》 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y = 有电路原理可知：? ? ? +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+-- =? ? ? 写成矢量矩阵形式为： 1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。 解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述 列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。 解：令.. 3. 21y x y x y x ===，，，则有
相应的模拟结构图如下： 1-6 （2）已知系统传递函数2 )3)(2() 1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现， 并画出相应的模拟结构图 解：s s s s s s s s s W 31 233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++- + +-=+++= 1-7 给定下列状态空间表达式 []??? ? ? ?????=???? ??????+????????????????????----=??????????321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘ （1） 画出其模拟结构图 （2） 求系统的传递函数 解： （2）???? ??????+-+-=-=31103 201 )()(s s s A sI s W 1-8 求下列矩阵的特征矢量 （3）???? ??????---=6712203 010 A 解：A 的特征方程 0611667122301 23=+++=?? ?? ??????+---=-λλλλλλλA I 解之得：3,2,1321-=-=-=λλλ
现代控制理论试题(详细答案)
现代控制理论试题B 卷及答案 一、1 系统[]210,01021x x u y x ? ??? =+=????-???? 能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。 2试从高阶微分方程385y y y u ++= 求得系统的状态方程和输出方程（4分/个） 解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。状态变量个数是2。…..（4分） 2．选取状态变量1x y =，2x y = ，3x y = ，可得 …..….…….（1分） 12233131 835x x x x x x x u y x ===--+= …..….…….（1分） 写成 010*********x x u ???? ????=+????????--???? …..….…….（1分） []100y x = …..….…….（1分） 二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。 （3分） 2已知系统[]210 020,011003x x y x ?? ??==?? ??-?? ，判定该系统是否完 全能观？(5分)
解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++- ，时系统从第 k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于 0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。…..….…….（3分） 2. [][]320300020012 110-=?? ?? ? ?????-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=?? ?? ? ?????--=CA ……..……….（1分） ???? ? ?????-=??????????=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分） rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….……. （2分） 三、已知系统1、2的传递函数分别为 2122211 (),()3232 s s g s g s s s s s -+==++-+ 求两系统串联后系统的最小实现。（8分） 解 112(1)(1)11 ()()()(1)(2)(1)(2)4 s s s s g s g s g s s s s s s -+++== ?=++--- …..….……. （5分） 最小实现为
《现代控制理论》第3版课后习题答案
《现代控制理论参考答案》 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 1 1K s K K p +s K s K p 1 +s J 11s K n 2 2s J K b - + + - +- ) (s θ)(s U 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： ) (s U ) (s θ-- - + ++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 1 K p K K 1p K K 1++ +p K n K ? ? ?1 1J ? 2 J K b ? ?- 1 x 2 x 3 x 4 x 5x 6x 系统的状态方程如下：
u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 1611166 13153 46 1 51 41 31 33 222 11+ - - =+-==+ + - - == =? ? ? ? ? ? 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 []????????? ???????????=??????? ? ?????????? ????+?? ???????? ?????????????????????? ? ??? ? ???????? ?---- -=??????????????????????????????6543211654321111111126543 2100 0001 000000 00 0000 0001 00100000 000 000 10 x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 R1 L1 R2 L2 C U ---------Uc --------- i1 i2图1-28 电路图
现代控制理论复习题库
、选择题 1. 下面关于建模和模型说法错误的是( C )。 A ?无论是何种系统，其模型均可用来提示规律或因果关系。 B ?建模实际上是通过数据、图表、数学表达式、程序、逻辑关系或各种方式的组合表示状态变量、输入变量、输出变量、参数之间的关系。 C.为设计控制器为目的建立模型只需要简练就可以了。 D .工程系统模型建模有两种途径，一是机理建模，二是系统辨识。 2. 系统&y&(t) 3y&(t) 10 u(t) 的类型是( B ) 。 A ?集中参数、线性、动态系统。 B ?集中参数、非线性、动态系统。 C.非集中参数、线性、动态系统。 D ?集中参数、非线性、静态系统。 3. 下面关于控制与控制系统说法错误的是( B )。 A ?反馈闭环控制可以在一定程度上克服不确定性。 B ?反馈闭环控制不可能克服系统参数摄动。 C?反馈闭环控制可在一定程度上克服外界扰动的影响。 D ?控制系统在达到控制目的的同时，强调稳、快、准、鲁棒、资源少省。 4. 下面关于线性非奇异变换x Pz说法错误的是(D )。 A ?非奇异变换阵P是同一个线性空间两组不同基之间的过渡矩阵。 B ?对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的特征值。 C?对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的传递函数。 D ?对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的状态空间描述。 5. 下面关于稳定线性系统的响应说法正确的是( A )。 A .线性系统的响应包含两部分，一部是零状态响应，一部分是零输入响应。 B .线性系统的零状态响应是稳态响应的一部分。 C.线性系统暂态响应是零输入响应的一部分。 D .离零点最近的极点在输出响应中所表征的运动模态权值越大。 6. 下面关于连续线性时不变系统的能控性与能观性说法正确的是( A ) 。 A ?能控且能观的状态空间描述一定对应着某些传递函数阵的最小实现。 B ?能控性是指存在受限控制使系统由任意初态转移到零状态的能力。 C.能观性表征的是状态反映输出的能力。 D .对控制输入的确定性扰动影响线性系统的能控性，不影响能观性。 7. 下面关于系统Lyapunov 稳定性说法正确的是( C ) 。
现代控制理论试题与答案
现代控制理论 1、经典-现代控制区别: 经典控制理论中,对一个线性定常系统,可用常微分方程或传递函数加以描述,可将某个单变量作为输出,直接与输入联系起来;现代控制理论用状态空间法分析系统,系统的动态特性用状态变量构成的一阶微分方程组描述,不再局限于输入量,输出量,误差量,为提高系统性能提供了有力的工具、可以应用于非线性,时变系统,多输入-多输出系统以及随机过程、2、实现-描述 由描述系统输入-输出动态关系的运动方程式或传递函数,建立系统的状态空间表达式,这样问题叫实现问题、实现就是非唯一的、 3、对偶原理 系统=∑1(A1,B1,C1)与=∑2(A2,B2,C2)就是互为对偶的两个系统,则∑1的能控性等价于∑2的能观性, ∑1的能观性等价于∑2的能控性、或者说,若∑1就是状态完全能控的(完全能观的),则∑2就是状态完全能观的(完全能控的)、对偶系统的传递函数矩阵互为转置 4、对线性定常系统∑0=(A,B,C),状态观测器存在的充要条件就是的不能观子系统为渐近稳定 第一章控制系统的状态空间表达式 1、状态方程:由系统状态变量构成的一阶微分方程组 2、输出方程:在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式 3、状态空间表达式:状态方程与输出方程总合,构成对一个系统完整动态描述 4、友矩阵:主对角线上方元素均为1:最后一行元素可取任意值;其余元素均为0 5、非奇异变换:x=Tz,z=T-1x;z=T-1ATz+T-1Bu,y=CTz+Du、T为任意非奇异阵(变换矩阵),空间表达式非唯一 6、同一系统,经非奇异变换后,特征值不变;特征多项式的系数为系统的不变量 第二章控制系统状态空间表达式的解 1、状态转移矩阵:eAt,记作Φ(t) 2、线性定常非齐次方程的解:x(t)=Φ(t)x(0)+∫t0Φ(t-τ)Bu(τ)dτ 第三章线性控制系统的能控能观性 1、能控:使系统由某一初始状态x(t0),转移到指定的任一终端状态x(tf),称此状态就是能控的、若系统的所有状态都就是能控的,称系统就是状态完全能控 2、系统的能控性,取决于状态方程中系统矩阵A与控制矩阵b 3、一般系统能控性充要条件:(1)在T-1B中对应于相同特征值的部分,它与每个约旦块最后一行相对应的一行元素没有全为0、(2)T-1B中对于互异特征值部分,它的各行元素没有全为0的 4、在系统矩阵为约旦标准型的情况下,系统能观的充要条件就是C中对应每个约旦块开头的一列的元素不全为0 5、约旦标准型对于状态转移矩阵的计算,可控可观性分析方便;状态反馈则化为能控标准型;状态观测器则化为能观标准型 6、最小实现问题:根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式,其解无穷多,但其中维数最小的那个状态空间表达式就是最常用的、 第五章线性定常系统综合 1、状态反馈:将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数,然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律,作为受控系统的控制输入、K为r*n维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵 2、输出反馈:采用输出矢量y构成线性反馈律H为输出反馈增益阵 3、从输出到状态矢量导数x的反馈:A+GC 4、线性反馈:不增加新状态变量,系统开环与闭环同维,反馈增益阵都就是常矩阵 动态补偿器:引入一个动态子系统来改善系统性能 5、(1)状态反馈不改变受控系统的能控性 (2)输出反馈不改变受控系统的能控性与能观性 6、极点配置问题:通过选择反馈增益阵,将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置,以获得所希望的动态性能(1)采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件就是∑0完全能控
现代控制理论复习题
现代控制理论复习题 一 判断题 （10分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在其左边的括号里打√，反之打×。 （×）对一个系统，只能选取一组状态变量； （√）由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。 （×） 一个传递函数只能有唯一的状态空间表达式。 （×）若一个对象的连续时间状态空间模型是能控的，则其离散化状态空间模型也一定是能控的。 （×）若一个对象的连续状态空间模型是能观测的，则其离散化状态空间模型也一定是能观测的。 （×）对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。 （√）对线性定常系统，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵的特征值都具有负实部是一致的。 （√）由状态转移矩阵可以决定系统状态方程的状态矩阵，进而决定系统的动态特性； （×）若传递函数存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控不能观的； （×）若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的； （√）状态反馈不改变系统的能控性。 （√）线性定常系统的最小实现不是惟一的，但最小实现的维数是惟一的。 （×）一个系统的传递函数若有零极点对消现象，则其状态空间表达式必定是既能控又能观测的。 （√）由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。 （×）若一个对象的连续时间状态空间模型是能控的，则其离散化状态空间模型也一定是能控的。 （×）对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。 （√）对线性定常系统，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵的特征值都具有负实部是一致的。 （√）由状态转移矩阵可以决定系统状态方程的状态矩阵，进而决定系统的动态特性； （×）若传递函数存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控不能观的； （×）若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的； 二 填空题（共10分，每空一分） 1、同一系统,由于系统状态变量的选择不唯一,故建立的系统状态表达式 不唯一；但同一系统的传递函数阵却是 唯一 的，但 状态变量 个数等于系统中独立储能元件的个数。 2、状态空间表达式由状态方程和输出方程组成；状态方程是一个 一阶微分方程组 ，主要描述系统输入与系统状态的变化关系；输出方程是一个代数方程，主要描述系统的输出与状态和输入的关系。 3、线性定常系统从能控性和能观测性出发，可分解为能控能观测 、能控不能观测、不能控能观测和不能控不能观测四个子空间。 4、假如不稳定的线性定常系统是 完全能控 的，则一定存在线性状态反馈阵实现系统的镇定。假如线性定常系统的状态不完全能控，则存在线性状态反馈阵实现系统镇定的条件是系统的不能控部分为渐近稳定。 5、若系统能控且能观测，当用状态观测器估计值构成状态反馈时，其系统的极点配置和观测器的设计可分别独立进行，即矩阵Ｋ和Ｌ的设计可 分别独立 进行。这称之为分离性原理。 6、状态反馈实现闭环极点任意配置的充要条件是被控对象能控 。状态反馈不改变系统的零点，只改变系统的 极点 。 7、李氏稳定性条件仅是 充分 条件，不是 必要 条件。 8、系统的镇定是指将闭环系统的 极点 配置到Ｓ平面的左半平面。 9、当系统阶数等于传递函数阵的阶数时，称该系统的一个 最小实现 。 三 问答题 1、定常线性系统经状态变量的非奇异线性变换哪些量和性质不变？P43（至少列举2项） 答：矩阵的维数、秩、迹、特征多项式、特征值和系统的能控性、能观测性都不变。 2、如果某个定常线性系统是开环不稳定的，能通过状态反馈使闭环稳定的条件是什么？☆ 答：系统状态方程的根均具有负实部，即所有根都位于z 域的左半平面。 3、利用李雅普诺夫第二方法判断定常线性系统渐近稳定的充分必要条件是什么？P204 答：在平衡状态0=e x 处定常线性系统渐近稳定的充分必要条件是：对任给的一个正定实对称矩阵Q ，存在一个正定的对称矩阵P ，且满足矩阵方程Q PA P A T -=+，而标量函数()Px x x v T =是这个系统的一个二次型形式的李雅普诺夫 函数。 4、什么是系统的能控性和能观测性？为什么在经典控制论中没有引入这两个概念？P121-P132、P2 答：（1）系统的能控性：状态的能控性——系统的输入能否控制状态的变化；输出的能控性——系统的输入能否控制系统的输出。（2）系统的能观测性：系统状态的变化能否由系统的输出反映出来。（3）经典控制理论具有明显的局限性，