n次独立重复试验与二项分布
二项分布及其应用
1．条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做______________，用符号__________来表示，其公式为P (B |A )＝__________.
在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝n (AB )
n (A )
. (2)条件概率具有的性质： ①____________；
②如果B 和C 是两互斥事件，则P (B ∪C |A )＝__________________________________. 2．相互独立事件
(1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称_______________________． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝________， P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝____________.
(3)若A 与B 相互独立，则________，________，________也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则________________． 3．二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有______种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
(2)在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为________________________(p 为事件A 发生的概率)，事件A 发生的次数是一个随机变量X ，其分布列为____________，记为____________． 1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别与联系
(1)“互斥”与“相互独立”都是描述的两个事件间的关系．
(2)“互斥”强调不可能同时发生，“相互独立”强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
(3)“互斥”的两个事件可以独立，“独立”的两个事件也可以互斥． 2．条件概率
条件概率通常是指在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率．放在总体情况下看：先求P (A )，P (AB )再
求P (B |A )＝P (AB )
P (A ).关键是求P (A )和P (AB )．
1．已知P (AB )＝320，P (A )＝3
5，则P (B |A )＝________.
2．如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关， 每个开关开或关的概率都是，且是
相互独立的，则灯泡甲亮的概率为 .
3．(2010·福建)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．
4．在4次独立重复试验中事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为65
81
，则事件A 在1次试验
中出现的概率为________．
5．(2011·广东)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为
A.12
B.35
C.23
D.34
题型一 条件概率
例1
抛掷红、
蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”．
(1)求P (A )，P (B )，P (AB )；
(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．
1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个
红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问 (1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？ 题型二 相互独立事件的概率
例2
甲、乙两
个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为1
16.
(1)求乙投球的命中率p ；
(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率；
(3)若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率．
设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率
分别为0.8、0.9，求： (1)两人都击中目标的概率； (2)两人中恰有1人击中目标的概率； (3)在一次射击中，目标被击中的概率； (4)两人中，至多有1人击中目标的概率． 题型三 独立重复试验与二项分布
例3
某射手每
次射击击中目标的概率是2
3
，且各次射击的结果互不影响．
(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；
(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；
(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外一次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总分数，求ξ的分布列．
探究提高 (1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)二项分布满足的条件
①每次试验中，事件发生的概率是相同的． ②各次试验中的事件是相互独立的．
③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． ④随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数．
为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础
设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12、13、1
6，现在3名工人
独立地从中任选一个项目参与建设．
(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
(2)(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列．方法与技巧
1．古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)＝P(AB)
P(A)＝
n(AB)
n(A)，其中，在实际应用中P(B|A)
＝n(AB)
n(A)是一种重要的求条件概率的方法．
2．运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A、B相互独立时，公式才成立．3．在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，其中p 是一次试验中该事件发生的概率．实际上，C k n p k(1－p)n－k正好是二项式[(1－p)＋p]n的展开式中的第k＋1项．失误与防范
1．独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等．注意恰好与至多(少)的关系，灵活运用对立事件．
2．二项分布要注意确定成功概率．
专项基础训练题组 一、选择题
1．设随机变量X ～B ????6，1
2，则P (X ＝3)等于
( )
A.5
16
B.3
16
C.58
D.38
2．(2010·辽宁)两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和3
4，两个零件是否加工为一等品
相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为
( )
A.12
B.5
12
C.14
D.16
3.(2011·湖北)如图，用K 、A1、A2三类不同 的元件连接成一个系统．当K 正常工作且 A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常 工作．已知K 、A1、A2正常工作的概率依
次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为 ( ) A ．0.960 B ．0.864 C ．0.720
D ．0.576
二、填空题
4.(2011·湖南)如图，EFGH 是以O 为圆心， 半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子 随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子 落在正方形EFGH 内”，B 表示事件 “豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”， 则(1)P(A)= ；(2)P(B|A)= .
5．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为________．
6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为16
25
，则该队员每次罚球的命中率为________． 三、解答题
7．(2011·大纲全国)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种 保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； (2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
8．(2010·江苏)某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立． (1)记X (单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列； (2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率． B 组 专项能力提升题组
一、选择题
1.一个电路如图所示，A 、B 、C 、D 、E 、F 为 6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独 立的，则灯亮的概率是 ( ) A.164 B.5564 C.18 D.116
2．(2010·江西)一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p 1和p 2.则
( )
A ．p 1＝p 2
B ．p 1＜p 2
C ．p 1＞p 2
D ．以上三种情况都有可能
3．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是
( ) A.16
625
B.96625
C.624
625
D.4625
二、填空题
4．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在1次试验中发生的概率p 的取值范围是________． 5．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的 入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将 3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知 小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概
率都是1
2
，则小球落入A 袋中的概率为 .
6．(2010·安徽)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝5
11；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不
能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关． 三、解答题
7．某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定，他们三人都有“同意”、“中立”、“反
对”三类票各一张，投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为1
3，他们
的投票相互没有影响，规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目的投资．
(1)求该公司决定对该项目投资的概率；
(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率．
8．投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初
审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审．
(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
(2)求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．