三角函数公式与记忆方法
三角函数公式及其记忆方法
一、同角三角函数的基本关系式 （一）基本关系
1、倒数关系
1cot tan =?αα1csc sin =?αα1sec cos =?αα 2、商的关系
ααα
tan cos sin =ααα
tan csc sec = αα
α
cot sin cos =αα
α
cot sec csc = 3、平方关系
1cos sin 22=+αααα22sec tan 1=+αα22csc cot 1=+
（二）同角三角函数关系六角形记忆法
构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 1、倒数关系
对角线上两个函数互为倒数； 2、商数关系
六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两
条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。 3、平方关系
在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的
三角函数值的平方。 二、诱导公式的本质
所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。
（一）常用的诱导公式
1、公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
z k k ∈=+,sin )2sin(ααπz k k ∈=+,cos )2cos(ααπ
z k k ∈=+,tan )2tan(ααπz k k ∈=+,cot )2cot(ααπ z k k ∈=+,sec )2sec(ααπz k k ∈=+,csc )2csc(ααπ
2、公式二：α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
ααπsin )sin(-=+ααπcos )cos(-=+
ααπtan )tan(=+ααπcot )cot(=+ ααπsec )sec(-=+ααπcsc )csc(-=+
3、公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
ααsin )sin(-=-ααcos )cos(=-
ααtan )tan(-=-ααcot )cot(-=- ααsec )sec(=-ααcsc )csc(-=-
4、公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
ααπsin )sin(=-ααπcos )cos(-=-
ααπtan )tan(-=-ααπcot )cot(-=- ααπsec )sec(-=-ααπcsc )csc(=-
5、公式五：利用公式一和公式三可以得2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π－α）=－sinα cos（2π－α）=cosα tan （2π－α）=－tanα cot（2π－α）=－cotα sec(2π—α)=secα csc(2π—α)=—cscα
6、公式六：2
π+α与α的三角函数值之间的关系：
sin （2π+α）=cosα cos（2π+α）=－sinα
tan （2π+α）=－cotα cot（2π
+α）=－tanα
sec(2
π+α)=—cscα csc(2π
+α)=secα
7、公式七：2
π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin （2
π－α）=cosα cos（2
π－α）=sinα
tan （2
π－α）=cotα cot（2
π－α）=tanα
sec(2
π—α)=cscα csc(2
π—α)=secα 8、推算公式：2
3π+α与α的三角函数值之间的关系：
sin （23π+α）=－cosα cos（2
3π
+α）=sinα tan （23π+α）=－cotα cot（2
3π+α）=－tanα sec(
2
3π+α)=cscα csc(2
3π+α)=—secα 9、推算公式：23π
—α与α的三角函数值之间的关系：
sin （2
3π
－α）=－cosα cos （
2
3π
－α）=－sinα tan （
2
3π
－α）=cotα cot（23π－α）=tanα sec （2
3
π-α)=—cscα csc （2
3π
—α)=—secα 诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。
“奇、偶”指的是2
π的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：
“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。 符号判断口诀：
“一全正；二正弦；三两切；四余弦”。 这十二字口诀的意思就是说：
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”； 第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“－”；
第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“－”； 第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“－”。
“ASCT”意即为“all(全部)”、“sin”、“tan ”、“cos ”
（二）其他三角函数知识
1、两角和差公式
βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-
βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-
βαβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(-+=
+
βαβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-
记忆方法： S +=SC+CS C +=CC-SS T +=
TT
T
T +-1
变号都反转
2、二倍角的正弦、余弦和正切公式
αααcos sin 22sin ?=
ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=
α
α
α2tan 1tan 22tan -=
3、半角的正弦、余弦和正切公式
2
cos 12sin α-±=a 2cos 12cos
α+±=a αα
αααsin cos 1cos 1sin 2tan -=
+= α
α
αcos 1cos 12tan 2+-=
4、万能公式
2
tan 12tan
2sin 2α
α
α+=
2
tan 12tan 1cos 2
2
α
αα+-=
2
tan 12tan
2tan 2
α
α
α-=
5、三倍角的正弦、余弦和正切公式
ααα3sin 4sin 33sin -= αααcos 3cos 43cos 3-=
α
α
αα2
3tan 31tan tan 33tan --= 5.1方法一谐音、联想
1) 正弦三倍角：3元 减 4元3角（欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音
似“正弦”)）
2) 余弦三倍角：4元3角 减 3元（减完之后还有“余”） 注意：
函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。
5.2方法二：
1) 正弦三倍角 ：3 1 4 3 2) 余弦三倍角：4 3 3 1
注意:①正弦里函数名都为sin, 余弦里函数名都为cos ②中间都为减号
6、和差化积公式
2cos
2sin
2sin sin β
αβ
αβα-+=+
2sin
2cos 2sin sin β
αβαβα-+=- 2cos
2cos 2cos cos β
αβαβα-+=+ 2
sin
2sin 2cos cos β
αβαβα-+-=- βαβαβαcos cos )
sin(tan tan ?±=±
β
αβαβαsin sin )
sin(cot cot ?±±=±
三角函数和差化积公式快速记忆口诀：
正加正，正在前。正减正，余在前。余加余，余并肩。余减余，余不见，负号很讨厌。
7、积化和差公式
)]sin()[sin(2
1
cos sin βαβαβα-++=
)]sin()[sin(21
sin cos βαβαβα--+=
)]cos()[cos(21
cos cos βαβαβα-++=
)]cos()[cos(2
1
sin sin βαβαβα--+-=
结合6来记忆
三、公式推导过程 （一）万能公式推导
α
αααααα2
2sin cos cos sin 2cos sin 22sin +?=
?=（因为1sin cos 2
2=+αα） 再把上面的分式上下同除α2
cos
，可得2
tan 12
tan
22sin 2
α
α
α+=
然后用2
α代替α即
可。
同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。 （二）三倍角公式推导
α
ααα
ααααααα
αααααααααα
ααααααααααααααα233223222222tan 31tan tan 3cos cos sin 2sin cos cos cos sin sin cos cos sin 2cos sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin 2cos 2sin sin 2cos sin 2cos cos 2sin 3cos 3sin 3tan --=
---+=---+=
-+==
α
αααααααααααααααα33322sin 4sin 3sin 2sin sin 2sin 2sin )sin 21(cos sin 2sin 2cos cos 2sin )2sin(3sin -=-+-=-+=+=+=
α
ααααααααααααααααcos 3cos 4)cos 2cos 2(cos cos 2sin cos 2cos )1cos 2(sin 2sin cos 2cos )2cos(3cos 33322-=-+-=--=-=+=
即 ααα3
sin 4sin 33sin -=
αααcos 3cos 43cos 3-=
（三）和差化积公式推导
首先,我们知道
βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+
βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-
我们把两式相加就得到βαβαβαcos sin 2)sin()sin(=-++
所以,)]sin()[sin(2
1
cos sin βαβαβα-++=
同理,若把两式相减,就得到)]sin()[sin(2
1
sin cos βαβαβα--+=
同样的,我们还知道
βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 所以,把两式相加,我们就可以得到βαβαβαcos cos 2)cos()cos(=-++
所以我们就得到,)]cos()[cos(2
1
cos cos βαβαβα-++=
同理,两式相减我们就得到)]cos()[cos(2
1
sin sin βαβαβα--+-=
这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
)]sin()[sin(21
cos sin βαβαβα-++=
)]sin()[sin(21
sin cos βαβαβα--+=
)]cos()[cos(21
cos cos βαβαβα-++=
)]cos()[cos(2
1
sin sin βαβαβα--+-=
好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.
我们把上述四个公式中的βα+设为χ,βα-设为γ,那么2γα+=,2
γχβ-= 把α,β分别用χ,γ表示就可以得到和差化积的四个公式:
2
cos
2sin
2sin sin γ
χγ
χγχ-+=+
2sin
2cos 2sin sin γ
χγχγχ-+=- 2cos
2cos 2cos cos γ
χγχγχ-+=+ 2
sin
2sin 2cos cos γ
χγχγχ-+-=-