2019-2020学年江苏省无锡市江阴市南菁高中高一(上)第一次段考
数学试卷
一、选择题(本大题共10小题,共50.0分)
1.设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,4,6},B={2,3,5},则图中阴影部分表示的集合
为()
A. {2}
B. {3,5}
C. {1,4,6}
D. {3,5,7,8}
2.设x为实数,则f(x)与g(x)表示同一函数的是()
A. f(x)=1,g(x)=x0
B. f(x)=x?1,g(x)=x2
x
?1
C. f(x)=x2,g(x)=(√x)4
D. f(x)=x2,g(x)=√x6
3
3.已知集合M={x|?2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},对应法则f:M→N,则函数y=f(x)的图
象可能是()
A. B.
C. D.
4.已知函数y=g(x)定义域是[?2,3],则函数y=g(x+1)的定义域是()
A. [?2,3]
B. [?1,4]
C. [?3,2]
D. [?4,1]
5.下列函数中,与函数y=x相同的函数是()
A. y=x2
x B. y=|x| C. y=√x3
3 D. y=(√x)2
6. 已知{x +2(x ≤?1)
x 2(?1 ,若f(x)=3,则x 的值是( ) A. 1 B. 1或32 C. 1,32或±√3 D. √3 7. 已知是定义在 上的偶函数,那么f(x)的最大值是( ) A. 0 B. 13 C. 427 D. 1 8. 函数f(x)={(a ?2)x ?1,x ?1x 2?2x +2,x >1 ,若f(x)在R 上单调递增,则实数a 的取值范围为( ) A. (1,2) B. (2,4) C. (2,4] D. (2,+∞) 9. 已知函数f(x)=x 2+x +a(a >0),若f(m)<0,则f(m +1)的值是( ) A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 与符号与a 有关 10. 已知定义域为(?1,1)的奇函数f(x)又是减函数,且f(a ?3)+f(9?a 2)<0,则a 的取值范围 是( ) A. (2√2,3) B. (3,√10) C. (2√2,4) D. (?2,3) 二、填空题(本大题共6小题,共30.0分) 11. 已知集合A ={x|x 2+x =0,x ∈R},若集合B 满足{0}?B ?A ,则集合B =______. 12. 已知f(x)=√x 2?2ax +3函数的定义域为R ,则实数a 的取值范围是______. 13. 定义在(?∞,+∞)上的函数y =f(x)在(?∞,2)上是增函数,且函数y =f(x +2)为偶函数,则 f(?1),f(4),f(51 2)大小关系是___________________ .(用“<”连接) 14. 若集合{a,b ,c ,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①a =1;②b ≠1;③c =2;④d ≠4有 且只有一个是正确的,则1000a +100b +10c +d = ______ .(写出 一个符合条件的) 15. 已知函数f(x)是(?∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当x <0时,函数的 图象如图所示,则不等式x ·f (x )?0的解集是____________. 16. 设函数f(x)=x 3(x ∈R),若0≤θ<π2时,f(msinθ)+f(1?m)>0恒成立,则实数m 的取值范围是______ . 三、解答题(本大题共5小题,共70.0分) 17. A ={x |3 (1)求A ∪B 与(?R A)∩(?R B); (2)若(A ∩B)?C ,求a 的取值范围. 18.已知函数g(x)=ax2?2ax+1+b(a≠0,b<1),在区间[2,3]上有最大值4,最小值1,设f(x)= g(x) . x (1)求常数a,b的值; ?3)=0有三个不同的解,求实数k的取值范围. (2)方程f(|2x?1|)+k(2 |2x?1| 19.已知f(x)=log4(4x+1)+mx是偶函数. (1)求m的值; x≥log4(a·2x)对x∈R恒成立,求实数a的取值范围. (2)已知不等式f(x)+1 2 20.某校为了落实“每天阳光运动一小时”活动,决定将原来的矩形操场ABCD(其中AB=60米, AD=40米)扩建成一个更大的矩形操场AMPN(如图),要求:B在AM上,D在AN上,对角线 MN过C点,且矩形AMPN的面积小于15000平方米. (1)设AN长为x米,矩形AMPN的面积为S平方米,试将S表示成x的函数,并写出该函数的 定义域; (2)当AN的长为多少米时,矩形AMPN的面积最小,并求最小面积. 21.已知函数f(x)的定义域为R,且对任意a,b∈R都满足f(a?b)=f(a)?f(b). (1)判断函数f(x)的奇偶性; (2)当x<0时,f(x)<0,且f(2)=1,求函数f(x)在[1,10]上的值域. -------- 答案与解析 -------- 1.答案:B 解析: 【分析】 本题考查的知识点是Venn图表达集合的关系及运算,其中正确理解阴影部分元素满足的性质是解答本题的关键.由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(C U A)∩B,根据集合的运算求解即可. 【解答】 解:由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(C U A)∩B, ∵全集U={1,2,3,4,5,6},B={2,3,5}, ∴C U A={3,5}, 又∵集合A={1,2,4,6}, ∴(C U A)∩B={3,5}. 故选B. 2.答案:D 解析: 【分析】 本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题,是基础题. 根据两个函数的定义域相同,对应法则也相同,即可判断它们是同一函数. 【解答】 解:对于A,f(x)=1(x∈R),与g(x)=x0=1(x≠0)的定义域不同,不是同一函数; ?1=x?1(x≠0)的定义域不同,不是同一函数; 对于B,f(x)=x?1(x∈R),与g(x)=x2 x 对于C,f(x)=x2(x∈R),与g(x)=(√x)4(x>0)的定义域不同,不是同一函数; 3=x2(x∈R)的定义域相同,对应法则也相同,是同一函对于D,f(x)=x2(x∈R),与g(x)=√x6 数. 故选D. 3.答案:B 解析: 【分析】 本题考查函数的概念,属基础题,难度不大. 解:由函数定义域M={x|?2?x?2},知A不对; 由函数值域N={y|0?y?2},知D不对; 由函数定义知,一个x不能对应两个y,故C不对. 故选B. 4.答案:C 解析:由?2 5.答案:C 解析: 【分析】本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数的问题,解题时应判断它们的定义域是否相同,对应关系是否也相同,是基础题. 【解答】 =x(x≠0),与y=x(x∈R)的定义域不同,不是同一函数; 解:对于A,y=x2 x 对于B,y=|x|,当x≥0时,y=x,当x<0时,y=?x,与y=x对应关系不同,故不是同一个函数; 3定义域为R,与y=x(x∈R)的定义域相同,化简后与y=x对应关系也相同,故对于C,y=√x3 是同一函数; 对于D.y=(√x)2=x(x≥0),与y=x(x∈R)的定义域不同,不是同一函数. 故选C. 6.答案:D 解析: 【分析】 本题考查已知分段函数的值求自变量x的值,分段讨论求得. 【解答】 解:当x≤?1时,令x+2=3,无解; 当?1 当x≥2时,令2x=3,无解. 故选D. 7.答案:C 解析: 本题考查函数的奇偶性的应用,涉及二次函数的最值,关键是求出a 、b 的值,属于基础题. 根据题意,由函数的奇偶性定义,函数的定义域是关于0对称的,由此得到a ?1+2a =0,解可得a 的值,根据偶函数的性质得该二次函数的对称轴为y 轴,可得b 的值,即可得函数的解析式,然后结合二次函数的性质分析可得答案. 【解答】 解:根据题意,f(x)=ax 2+bx 是定义在[a ?1,2a]上的偶函数, 则有a ?1+2a =0,解可得a =13, 同时其对称轴x =?b 2a =0,解可得b =0, 则f(x)=x 23, 又由x ∈[?23,23], 则f(x)的最大值是f(23)=f(?23)=427; 故选:C . 8.答案:C 解析: 【分析】 本题考查的知识点是函数单调性的性质,熟练掌握分段函数的单调性是解答的关键,属于中档题. 若函数f(x)={(a ?2)x ?1,x ?1x 2?2x +2,x >1 在R 上单调递增,则每段函数均为增函数,且当x =1时,前一段函数的函数值不大于后一段函数的函数值,由此可构造满足条件的不等式组,解出实数a 的取值范围. 【解答】 解:∵函数f(x)={(a ?2)x ?1,x ?1x 2?2x +2,x >1 在R 上单调递增, 则{a ?2>0a ?3≤1 , 解得:2 则实数a 的取值范围为(2,4], 故选C . 9.答案:A 解析:设g(x)=x 2+x ,则有零点?1, 0,由f(m)<0得g(m)0),所以g(m)<0,所以?1 解析:∵f(x)是定义在(?1,1)上的奇函数又是减函数,且f(a ?3)+f(9?a 2)<0,∴f(a ?3)< f(a 2 ?9)∴{?1 11.答案:{?1,0} 解析: 【分析】 本题主要考查了集合的关系,属于基础题. 先求出集合A ,再根据题目条件,B 是A 的子集,集合{0}是B 的真子集,由此得出答案. 【解答】 解:集合A ={x|x 2+x =0,x ∈R}={?1,0}, 由题意得:B 是A 的子集,集合{0}是B 的真子集, 故B =A ={?1,0}, 故答案为{?1,0}. 12.答案:[?√3,√3] 解析:解:函数f(x)=√x 2?2ax +3的定义域为R , 则x 2?2ax +3≥0恒成立, 所以△=4a 2?12≤0,解得?√3≤a ≤√3, 所以实数a 的取值范围是[?√3,√3]. 故答案为:[?√3,√3]. 根据二次根式的定义,利用判别式△≤0列不等式求出a 的取值范围. 本题考查了利用判别式求不等式恒成立应用问题,是基础题. 13.答案:f(51 2) 解析: 【分析】 本题主要考查函数的奇偶性、单调性,函数图象的对称性,并且会根据函数的单调性比较函数值的大小. 由题意可得函数f(x)的图象关于直线x =2对称,且在(2,+∞)上单调递减,利用函数的对称性和单调性比较大小即可. 解:∵y =f(x +2)为偶函数, ∴y =f(x)关于x =2对称. 又y =f(x)在(?∞,2)上为增函数. ∴y =f(x)在(2,+∞)上为减函数,而f(?1)=f(5), ∴f(512) 2) 14.答案:2143 解析:解:由题意,a =2时,b =1,c =4,d =3; ∴1000a +100b +10c +d =1000×2+100×1+10×4+3=2143, 故答案为:2143. 利用集合的相等关系,结合①a =1;②b ≠1;③c =2;④d ≠4有且只有一个是正确的,即可得出结论. 本题考查集合的相等关系,考查分类讨论的数学思想,正确分类是关键. 15.答案:x ∈(?∞,?2)∪(?1,0)∪(0.1)∪(2.+∞) 解析: 【分析】 本题考查函数的性质,函数的图象的画法,不等式的求解方法,考查计算能力.利用函数的奇偶性,画出函数的图象,然后根据图象求解不等式的解集. 【解答】 解:根据奇函数的图象关于原点对称,作出函数的图象,如图 则不等式xf(x)<0的解为:{?x <0?f(x)>0或{?x >0?f(x)<0 解得:x ∈(?∞,?2)∪(?1,0)∪(0,1)∪(2,+∞). 16.答案:(?∞,1) 解析:解:∵f(x)=x 3(x ∈R)为递增函数且为奇函数, f(msinθ)+f(1?m)>0恒成立等价于f(msinθ)>?f(1?m)=f(m ?1)恒成立, 即msinθ>m ?1恒成立,也就是msinθ?m >?1,m(sinθ?1)>?1恒成立, ∵0≤θ<π2 ,∴?1≤sinθ?1<0,0<1?sinθ≤1. ∴m <11?sinθ, ∵0<1?sinθ≤1,∴11?sinθ的最小值为1,∴m <1. ∴使f(msinθ)+f(1?m)>0恒成立的实数m 的取值范围是(?∞,1). 故答案为:(?∞,1). 由给出的幂函数为奇函数,且为实数集上的增函数,把不等式f(msinθ)+f(1?m)>0移项变形,借助于函数的奇偶性和单调性转化为msinθ?m >?1恒成立,分离参数m 后,由角θ的范围求得11?sinθ的最小值,则m 的取值范围可求. 本题考查了函数恒成立问题,借助于已知函数的奇偶性和单调性转化,考查了分离变量法,训练了三角函数最值的求法,是中档题. 17.答案:解:(1)因为A ={x |3 所以A ∪B ={x |3 C R A ={x |x ≥7或x ≤3},C R B ={x |x >10或x ≤4}, 所以(C R A )∩(C R B )={x |x >10或x ≤3}; (2)A ∩B =(4,7), 由|x ?a |>2,可得C ={x |x >a +2或x 因为(A ∩B)?C , 所以a ?2≥7或a +2≤4, 解得a ≥9或a ≤2. 解析:本题考查交、并、补集的混合运算,集合关系中的参数取值问题,属于基础题. (1)根据并集,交集,补集的定义求解; (2)A ∩B =(4,7),根据集合A ∩B 为集合C 的子集求解. 18.答案:解:(1)∵a ≠0,∴g(x)的对称轴为x =1,∴g(x)在[2,3]上是单调函数, ∴{g(2)=1g(3)=4,或{g(2)=4g(3)=1 ,解得a =1,b =0,或a =?1.b =3(舍). ∴a =1,b =0. (2)f(x)=x 2?2x+1x =x +1x ?2. 令|2x ?1|=t ,显然t >0,∴t +1t ?2+k(2t ?3)=0在(0,1)上有一解,在[1,+∞)上有一解. 即t 2?(2+3k)t +1+2k =0的两根分别在(0,1)和[1,+∞)上.令?(t)=t 2?(2+3k)t +1+2k , 若?(1)=0,即1?2?3k +1+2k =0,解得k =0,则?(t)=t 2?2t +1=(t ?1)2,与?(t)有两解矛盾. ∴{?(0)>0?(1)<0,即{1+2k >0?k <0 ,解得k >0, ∴实数k 的取值范围是(0,+∞). 解析:(1)对g(x)在[2,3]上的单调性进行讨论列方程组解出. (2)令|2x ?1|=t ,则f(|2x ?1|)+k(2 |2x ?1|?3)=0有三个不同的解?t 2?(2+3k)t +1+2k =0的两根分别在(0,1)和(1,+∞)上. 本题考查了二次函数的单调性,零点范围与系数的关系,属于中档题. 19.答案:解:(1)?x ,f(x)=f(?x),即log 4(4x +1)+mx =log 4(4?x +1)?mx , ∵2mx =log 4( 4x +14?x +1)=log 44?x =?x 对x ∈R 恒成立, ∴m =?12. (2)由题意得log 4(4x +1)≥log 4(a ?2x )对x ∈R 恒成立, ∵函数y =log 4x 在(0,+∞)上单调递增, ∴4x +1≥a ?2x 对x ∈R 恒成立,即a ≤2x +12对R 恒成立, ∵2x +1 2x ≥2,当且仅当2x =1 2x ,即x =0时等号成立, ∴a ≤2, 又∵a ?2x >0,∴a >0,即a 的取值范围是(0,2]. 解析:本题考查了对数函数的单调性、方程与不等式的解法、 基本不等式的性质、等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. (1)由题意可得:?x ,f(x)=f(?x),化简整理即可得出. (2)由题意得log 4(4x +1)≥log 4(a ?2x )对x ∈R 恒成立, 根据函数y =log 4x 在(0,+∞)上单调递增,可得4x +1≥a ?2x >0对x ∈R 恒成立,