一元二次方程(全章共21课教案)人教版
第十二章一元二次方程
第1课一元二次方程
一、教学目的
1．使学生理解并能够掌握整式方程的定义．
2．使学生理解并能够掌握一元二次方程的定义．
3．使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式．
二、教学重点、难点
重点：一元二次方程的定义．
难点：一元二次方程的一般形式及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．
三、教学过程
复习提问
1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？
2．指出下面哪些方程是已学过的方程？分别叫做什么方程？
(l)3x+4=l； (2)6x-5y=7；
3．结合上述有关方程讲解什么叫做“元”，什么叫做“次”．
引入新课
1．方程的分类：
通过上面的复习，引导学生答出：
学过的几类方程是
没学过的方程是
x2-70x+825=0，x(x+5)=150．
这类“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程．”而在整式方程中，“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．”
据此得出复习中学生未学过的方程是
(4)一元二次方程：x2-70x+825=0，x(x+5)=150．
同时指导学生把学过的方程分为两大类：
2．一元二次方程的一般形式
注意引导学生考虑方程
x2-70x+825=0
和方程x(x+5)=150，即x2+5x=150，
可化为：x2+5x-150=0．
从而引导学生认识到：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为
ax2+bx+c=0(a≠0)
的形式．并称之为一元二次方程的一般形式．强调，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数．要特别注意：二次项系数a是不等于0的实数(a=0时，方程化为bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可为任意实数．例把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式．并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项．
讲解例题
课堂练习 P5-6 1、2
课堂小结
1．方程分为两大类：
判别整式方程与分式方程的关键是看分母中是否含有未知数；判别一元一次方程，一元二次方程的关键是看方程化为一般形式后，未知数的最高次数是一次还是二次．2．一元二次方程的定义：一个整式方程，经化简形成只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，则这样的整式方程称一元二次方程．其一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中b，c均可为任意实数，而a不能等于零．
作业：教材中相关习题．
第2课一元二次方程的解法(一)
一、教学目的
1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程．
2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c ＜0)的方法．
二、教学重点、难点
重点：准确地求出方程的根．
难点：正确地表示方程的两个根．
三、教学过程
复习过程
回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据．
求下列各式中的x：
1．x2=225； 2．x2-169=0；3．36x2=49； 4．4x2-25=0．
回答解题过程中的依据．
解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．
即一般地，如果一个数的平方等于a(a≥0)，那么这样的数有两个，它们是互为相反数．
引入新课
我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？
新课
例1 解方程 x2-4=0．
解：先移项，得x2=4．
即x1=2，x2=-2．
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．
例2 解方程 (x+3)2=2．
讲解例2
练习：P7 1、2
小结
1．本节主要学习了简单的一元二次方程的解法——直接法．
2．直接法适用于ax2+c=0(a＞0，c＜0)型的一元二次方程．
作业：习题12.1A组 1、2
第3课一元二次方程的解法(二)
一、教学目的
1．使学生掌握用配方法解一元二次方程的方法．
2．使学生能够运用适当变形的方法，转化方程为易于用配方法求解的形式，来解某些一元二次方程．并由此体会转化的思想．
二、教学重点、难点
重点：掌握配方的法则．
难点：凑配的方法与技巧．
三、教学过程
复习过程
用开平方法解下列方程：
(1)x2=441； (2)196x2-49=0；
引入新课
我们知道，形如x2-A=0的方程，可变形为x2=A(A≥0)，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如ax2+bx+c=0(a＞0)的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题．
新课
我们研究方程x2+6x+7=0的解法：
将方程视为：x2+2·x·3=-7，即 x2+2·x·3+32=32-7，∴ (x+3)2=2，
这种解一元二次方程的方法叫做配方法．这种方法的特点是：先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解．
例1 解方程x2-4x-3=0．
配方法解之．在解的过程中，介绍配方的法则．
例2 解方程2x2+3=7x．
练习：P10 1、2
小结：应用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的要点是：
(1)化二次项系数为1；
(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数；
(3)方程两边各加上一次项系数一半的平方；
作业：习题12.1 3
第4课一元二次方程的解法(三)
一、教学目的
1．使学生掌握一般一元二次方程的求根公式的推导过程，并由此培养学生的分析、综合和计算能力．
2．使学生掌握公式法解一元二次方程的方法．
二、教学重点、难点
重点：要求学生正确运用公式解方程．
难点：求根公式的推导过程．
三、教学过程
复习提问
提问：当x2=c时，c≥0时方程才有解，为什么？
练习：用配方法解下列一元二次方程
(1)x2-8x=20； (2)2x2-6x-1=0．
引入新课
我们思考用配方法解一般形式的一元二次方程，应如何配方来进行求解？
新课
(引导学生讨论)用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的步骤．
解：∵a≠0，两边同除以a，得
把常数项移到方程右边，并两边各加上一次项系数的一半的平方，得
(a≠0)的求根公式．用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法．
应用求根公式解一元二次方程的关键在于：(1)将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)；
(2)将各项的系数a，b，c代入求根公式．
例1 解方程x2-3x+2=0．
讲解例1
例2 解方程2x2+7x=4．
讲解例2
练习P14 1
小结
1．本节课我们推导出了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，即
要重点让学生注意到应用公式的大前提，即b2-4ac≥0．
2．应注意把方程化为一般形式后，再用公式法求解．
作业：习题12.1A组 4
第5课一元二次方程的解法(四)
一、教学目的
使学生进一步熟练掌握利用求根公式解一元二次方程的方法．
二、教学重点、难点
重点：用求根公式求一元二次方程的根的方法．
难点：含有字母参数的一元二次方程的公式解法．
三、教学过程
复习提问
1．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？
2．求根公式成立的前提是什么？
引入新课
在用求根公式解一元二次方程时，是否会遇到一些特殊现象？可看下述几例．
新课
讲解例3
例4 解方程x2+x-1=0．(精确到0.001)
讲解例4
例5 解关于x的方程 x2-m(3x-2m+n)-n2=0．
讲解例5
练习：P14 2
小结：
2．在解含有字母系数的一元二次方程时，应注意化方程为一般形式，确定b2-4ac≥0后，再用求根公式解之．
作业习题12.1 A组 5 6
第6课一元二次方程的解法(五)
一、教学目的
使学生掌握应用因式分解法解某些系数较为特殊的一元二次方程的方法．
二、教学重点、难点
重点：用因式分解法解一元二次方程．
难点：将方程化为一般形式后，对左侧二次三项式的因式分解．
三、教学过程
复习提问
1．在初一时，我们学过将多项式分解因式的哪些方法？
2．方程x2=4的解是多少？
引入新课
方程x2=4还有其他解法吗？
新课
众所周知，方程x2=4还可用公式法解．
此法要比开平方法繁冗．本课，我们将介绍一种较为简捷的解一元二次方程的方法——因式分解法．
我们仍以方程x2=4为例．
移项，得 x2-4=0，
对x2-4分解因式，得
(x+2)(x-2)=0．
我们知道：
∴ x+2=0，x-2=0．
即 x1=-2，x2=2．
由上述过程我们知道：当方程的一边能够分解成两个一次因式而另一边等于0时，即可解之．这种方法叫做因式分解法．
例1 解下列方程：(1)x2-3x-10=0；
(2)(x+3)(x-1)=5．
在讲例1(1)时，要注意讲应用十字相乘法分解因式；
讲例1(2)时，应突出讲将方程整理成一般形式，然后再分解因式解之．
例2 解下列方程：
(1)3x(x+2)=5(x+2)；(2)(3x+1)2-5=0．
在讲本例(1)时，要突出讲移项后提取公因式，形成(x+2)(3x-5)=0后求解；
再利用平方差公式因式分解后求解．
注意：在讲完例1、例2后，可通过比较来讲述因式分解的方法应“因题而宜”．例3 解下列方程：
(1)3x2-16x+5=0；(2)3(2x2-1)=7x．
依照教材中的解法介绍，此类题需用十字相乘法解之．
练习：P20 1、2
小结
对上述三例的解法可做如下总结：因式分解法解一元二次方程的步骤是
1．将方程化为一般形式；
2．把方程左边的二次三项式分解成两个一次式的积；(用初一学过的分解方法)
3．使每个一次因式等于0，得到两个一元一次方程；
4．解所得的两个一元一次方程，得到原方程的两个根．
作业：习题12.2 A组 1
第7课一元二次方程的解法(六)
一、教学目的
使学生进一步巩固掌握一元二次方程的开平方法、配方法、公式法和因式分解法．
二、教学重点、难点
重点：一元二次方程的四种常见解法的复习．
难点：选择适当的方法解一元二次方程．
三、教学过程
例1 解下列方程：
讲解例1
例2 解下列方程：
(1)5x(5x-2)=-1；(2)(x-2)2+10(x-2)+16=0．
讲解例2
例3 用适当的方法解下列方程：
讲解例3
小结
在解一元二次方程时，要注意根据方程的特征，选择适当的方法灵活的解决问题．作业习题12.2 A组 2
第8课一元二次方程的根的判别式(一)
一、教学目的
1．使学生理解并掌握一元二次方程的根的判别式．
2．使学生掌握不解方程，运用判别式判断一元二次方程根的情况．
二、教学重点、难点
重点：一元二次方程根的判别式的应用．
难点：一元二次方程根的判别式的推导．
三、教学过程
复习提问
1．一元二次方程的一般形式及其根的判别式是什么？
2．用公式法求出下列方程的解：
(1)3x2＋x－10＝0；(2)x2－8x＋16＝0；(3)2x2－6x＋5＝0．
引入新课
通过上述一组题，让学生回答出：一元二次方程的根的情况有三种，即有两个不相等的实数根；两个相等的实数根；没有实数根．
接下来向学生提出问题：是什么条件决定着一元二次方程的根的情况？这条件与方程的根之间又有什么关系呢？能否不解方程就可以明确方程的根的情况？这正是我们本课要探讨的课题．(板书本课标题)
新课
先讨论上述三个小题中b2－4ac的情况与其根的联系．再做如下推导：
对任意一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，可将其变形为
∵a≠0，∴4a2＞0．
由此可知b2－4ac的值的“三岐性”，即正、零、负直接影响着方程的根的情况．
(1)当b2－4ac＞0时，方程右边是一个正数．
(2)当b2－4ac＝0时，方程右边是0．
通过以上讨论，总结出：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况可由b2－4ac来判定．故称b2－4ac是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用“△”来表示．综上所述，一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
当△＞0时，有两个不相等的实数根；
当△＝0时，有两个相等的实数根；
当△＜0时，没有实数根．反过来也成立．
注：“△”读作“delta”．
例不解方程，判别下列方程根的情况：
(1)2x2＋3x－4＝0；(2)16y2＋9＝24y；(3)5(x2＋1)－7x＝0．
分析：要想确定上述方程的根的情况，只需算出“△”，确定它的符号情况即可．练习：P26 1 2 3
小结
应用判别式解题应注意以下几点：
1．应先把已知方程化为一元二次方程的一般形式，为应用判别式创造条件．
2．不必解方程，只须先求出△，确定其符号即可，具体数值不一定要计算出来．
3．其逆命题也是成立的．
作业：习题12.3 A组 1--4
第9课一元二次方程的根的判别式(二)
一、教学目的
通过对含有字母系数方程的根的讨论，培养学生运用一元二次方程根的判别式的论证能力和逻辑思维能力．培养学生思考问题的灵活性和严密性．
二、教学重点、难点
重点：巩固掌握根的判别式的应用能力．
难点：利用根的判别式进行有关证明．
三、教学过程
复习提问
1．写出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式．
2．方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根有哪几种情况？如何判断？
引入新课
教材中“想一想”提出了如下问题：
已知关于x的方程
2x2-(4k+1)x+2k2-1=0，
其中△=[-(4k+1)]2-4×2×(2k2-1)
=16k2+8k+1-16k2+8
=8k+9．
想一想，当k取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程没有实数根．
新课
上述问题，实际上是这样一道题目．
例1 当k取什么值时，关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0
(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等实数根；(3)方程没有实数根．
讲解例1
例2 求证关于x的方程(k2+1)x2-2kx+(k2+4)=0没有实数根．
分析：要证明上述方程没有实数根，只须证明其根的判别式△＜0即可．
例3 证明关于x的方程(x-1)(x-2)=m2有两个不相等的实数根．
讲解例3
例4 已知a，b，c是△ABC的三边的长，求证方程a2x2-(a2+b2-c2)x+b2=0没有实数根．讲解例4
练习：
1．若m≠n，求证关于x的方程2x2+2(m+n)x+m2+n2=0无实数根．
2．求证：关于x的方程x2+(2m+1)x-m2+m=0有两个不相等的实数根．
小结
解决判定一元二次方程ax2+bx+c=0的方程根的情况应依照下列步骤进行：
1．计算△；
2．用配方法将△恒等变形(或变成易于观察其符号的情况)；
3．判断△的符号，得出结论．
作业：习题12.3 B组
一、教学目的
1．使学生掌握一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理)，并学会初步运用．
2．培养学生分析、观察以及利用求根公式进行推理论证的能力．
二、教学重点、难点
重点：韦达定理的推导和初步运用．
难点：定理的应用．
三、教学过程
复习提问
1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式应如何表述？
2．上述方程两根之和等于什么？两根之积呢？
新课
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为
由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：(又称“韦达定理”)
如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么
我们再来看二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0的根与系数的关系．
得出：
如果方程x2＋px＋q＝0的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q．
由 x1＋x2＝－p，x1x2＝q 可知p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，
∴方程x2＋px＋q＝0，
即 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．
这就是说，以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是
x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．
例1 已知方程5x2＋k x－6＝0的一个根是2，求它的另一根及k的值．讲解例1
练习 P32 1 2
小结
1．本节课主要学习了一元二次方程根与系数关系定理，应在应用过程中熟记定理．2．要掌握定理的两个应用：一是不解方程直接求方程的两根之和与两根之积；二是已知方程一根求另一根及系数中字母的值．
作业：习题12.4 A组 1
一、教学目的
1．复习巩固一元二次方程根与系数关系的定理．
2．学习定理的又一应用，即“已知方程，求方程两根的代数式的值”．
3．通过应用定理，培养学生分析问题和综合运用所学知识解决问题的能力．
二、教学重点、难点
重点：已知方程求关于根的代数式的值．
难点：用两根之和与两根之积表示含有两根的各种代数式．
三、教学过程
复习提问
1．一元二次方程根与系数关系的定理是什么？
2．下列各方程两根之和与两根之积各是什么？
(1)x2－3x－18＝0；(2)x2＋5x＋4＝5；
(3)3x2＋7x＋2＝0；(4)2x2＋3x＝0．
引入新课
考虑下列两个问题；
1．方程5x2＋kx－6＝0两根互为相反数，k为何值？
2．方程2x2＋7x＋k＝0的两根中有一个根为0，k为何值？
我们可以从这两题中看出，根与系数之间的运算是十分巧妙的．本课我们将深入探讨这一问题．
新课
例2 利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x－1＝0两根的(1)平方和；(2)倒数和．
在讲本题时，要突出讲使用韦达定理，寻求x2＋px＋q＝0中的p，q的值．
例4 已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．
这是一道“根与系数的关系定理”的应用题，要注意讲此类题的解题步骤：
(1)运用定理构造方程； (2)解方程求两根； (3)得出所欲求的两个数．
练习：P32 3、4、5
小结
本课学习了利用根与系数关系解决三类问题的方法：(1)已知方程求两根的各种代数式的值；(2)已知两根的代数式的值，构造新方程；(3)已知两根的和与积，构造方程，解方程，求出与根对应的数．
作业：习题12.4 A组 2、3、4
一、教学目的
1．使学生理解二次三项式的意义及解方程和因式分解的关系．
2．使学生掌握用求根法在实数范围内将二次三项式分解国式．
二、教学重点、难点
重点：用求根法分解二次三项式．
难点：方程的同解变形与多项式的恒等变形的区别．
三、教学过程
复习提问
解方程：1．x2-x-6＝0； 2．3x2-11x+10＝0； 3．4x2+8x-1＝0．
引入新课
在解上述方程时，第1，2题均可用十字相乘法分解因式，迅速求解．而第3题则只有采用其他方法．此题给我们启示，用十字相乘法分解二次三项式，有时是无法做到的．是否存在新的方法能分解二次三项式呢？第3个方程的求解给我们以启发．
新课
二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，我们已经可以用十字相乘法分解一些简单形式．下面我们介绍利用一元二次方程的求根公式将之分解的方法．
易知，解一元二次方程2x2-6x+4＝0时，可将左边分解因式，即2(x-1)(x-2)＝0，
求得其两根x1＝1，x2＝2.
反之，我们也可利用一元二次方程的两个根来分解二次三项式．即，令二次三项式为0，解此一元二次方程，求出其根，从而分解二次三项式．具体方法如下：
如果一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两个根是
＝a[x2-(x1+x2)x+x1x2] ＝a(x-x1)(x-x2)．
从而得出如下结论．
在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两根x1，x2，然后写成ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2)．
例如，方程2x2-6x+4＝0的两根是x1＝1，x2＝2．
则可将二次三项式分解因式，得2x2-6x+4＝2(x-1)(x-2)．
例1 把4x2-5分解因式．
讲解例1
练习：P37 1
小结：用公式法解决二次三项式的因式分解问题时，其步骤为：
1．令二次三项式ax2+bx+c＝0；
2．解方程(用求根公式等方法)，得方程两根x1，x2；
3．代入a(x-x1)(x-x2)．
作业：习题12.5 A组 1
一、教学目的
使学生进一步巩固和熟练掌握公式法将二次三项式因式分解的方法．
二、教学重点、难点
重点：用求根公式法分解二次三项式．
难点：二元二次三项式的因式分解．
三、教学过程
复习提问
求根法分解二次三项式的因式的步骤有哪些？
引入新课
上节课我们证明了：ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2分别等于什么？
应用这一结论，今天我们深入的探讨一些问题．
新课
例2 把4x2+8x-1分解因式．
此题注意将二次项系数4分解乘入两因式的必要性，即化简结论．
例3 把2x2-8xy+5y2分解因式．
注意视之为关于x的方程，视y为常数的重要性．
练习 P37 2
小结
二次三项式ax2+bx+c(a≠0)分解因式的方法有三种，即
1．利用完全平方公式；
2．十字相乘法：
即x2+(a+b)x+ab＝(x+a)(x+b)；
acx2+(ad+bc)x+bd＝(ax+b)(cx+d)．
3．求根法：
ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2)，
(1)当b2-4ac≥0时，可在实数范围内分解；
(2)当b2-4ac＜0时，在实数范围内不能分解．
作业：习题12.5 A组 2
第14课一元二次方程的应用(一)
一、教学目的
1．使学生会列出一元二次方程解应用题．
2．使学生通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．
二、教学重点、难点
重点：由应用问题的条件列方程的方法．
难点：设“元”的灵活性和解的讨论．
三、教学过程
复习提问
1．一元二次方程有哪些解法？(要求学生答出：开方法、配方法、公式法、因式分解法．) 2．回忆一元二次方程解的情况．(要求学生按△＞0，△＝0，△＜0三种情况回答问题．) 3．我们已经学过的列方程解应用题时，有哪些基本步骤？(要求学生回答：①审题；②设未知数；③根据等量关系列方程(组)；④解方程(组)；⑤检验并写出答案．) 引入新课
我们已经涉及了一个与一元二次方程有联系的应用．此类问题还有吗？回答是肯定的：还有很多！本课我们将深入研究有关一元二次方程的应用题．
新课
本章开始时，教材P3中我们提出了如下问题：用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖长方形盒子．试问：应如何求出截去的小正方形的边长？
解：设小正方形边长为xcm，则盒子底面的长、宽分别为(80-2x)cm及(60-2x)cm，依题意，可得(80-2x)(60-2x)＝1500，
即 x2-70x+825＝0．
当时，我们不会解此方程．现在，可用求根公式解此方程了．
∴x1＝55，x2＝15．
当x＝55时，80-2x＝-30，60-2x＝-50；
当x＝15时，80-2x＝50，60-2X＝30．
由于长、宽不能取负值，故只能取x＝15，即小正方形的边长为15cm．
我们再回忆本章第1节中的一个应用题：
剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？
分析：要解决此问题，需求出铁片的长和宽，由于长比宽多5cm，可设宽为未知数来列方程．
解：设这块铁片宽xcm，则长是(x+5)cm．依题意，得
x(x+5)＝150，即x2+5x-150＝0．
∴x1＝10，x2＝-15(舍去)．
∴x＝10，x+5＝15．
答：应将之剪成长15cm，宽10cm的形状．
练习 P41 1 2
小结
利用一元二次方程解应用题的主要步骤仍是：①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤依题意检验所得的根；⑥得出结论并作答．
作业：习题12.6 A组 1、2、3
一、教学目的
使学生掌握有关面积和体积方面以及“药液问题”的一元二次方程应用题的解法．提高学生化实际问题为数学问题的能力．
二、教学重点、难点
重点：用图示法分析题意列方程．
难点：方程的布列．
三、教学过程
复习提问
本小节第一课我们介绍了什么问题？
引入新课
今天我们进一步研究有关面积和体积方面以及“药液问题”的一元二次方程的应用题及其解法．
新课
例1 如图1，有一块长25cm，宽15cm的长方形铁皮．如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面积为231cm2的无盖长方体盒子，求截去的小正方形的边长应是多少？
分析：如图1，考虑设截去的小正方形边长为xcm，则底面的长为(25-2x)cm，宽为(15-2x)cm，由此，知由长×宽＝矩形面积，可列出方程．
解：设小正方形的边长为xcm，依题意，得(25-2x)(15-2x)＝231，
即x2-20x+36＝0，
解得x1＝2，x2＝18(舍去)．
答：截去的小正方形的边长为2cm．
例2 一个容器盛满药液20升，第一次倒出若干升，用水加满；第二次倒出同样的升数，这时容器里剩下药液5升，问每次倒出药液多少升？
∴x＝10．
答：第一、二次倒出药液分别为10升，5升．
练习 P41 3、4
小结
1．注意充分利用图示列方程解有关面积和体积的应用题．
2．要注意关于“药液问题”应用题，列方程要以“剩下药液”为依据列式．
作业：习题12.6 4、5、6、7
一、教学目的
使学生掌握列一元二次方程解关于增长率的应用题的方法．并进一步培养学生分析问题和解决问题的能力．
二、教学重点、难点
重点：弄清有关增长率的数量关系．
难点：利用数量关系列方程的方法．
三、教学过程
复习提问
1．问题：(1)某厂生产某种产品，产品总数为1600个，合格品数为1563个，合格率是多少？
(2)某种田农户用800千克稻谷碾出600千克大米，问出米率是多少？
(3)某商店二月份的营业额为3.5万元，三月份的营业额为5万元，三月份与二月份相比，营业额的增长率是多少？
新课
例1 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增产的百分率是多少？
分析：用译式法讨论列式
一月份产量为5000吨，若月增长率为x，则二月份比一月份增产5000x吨．
二月份产量为(5000+5000x)＝5000(1+x)吨；
三月份比二月份增产5000(1+x)x吨，
三月份产量为5000(1+x)+5000(1+x)x＝5000(1+x)2吨．再根据题意，即可列出方程．解：设平均每月增长的百分率为x，根据题意，
得5000(1+x)2＝7200，即(1+x)2＝1.44，
∴1+x＝±1.2，x1＝0.2，x2＝-2.2(不合题意，舍去)．
答：平均每月增长率为20％．
例2 某印刷厂一月份印刷了科技书籍50万册，第一季度共印182万册，问二、三月份平均每月的增长率是多少？
解：设每月增长率为x，依题意得
50+50(1+x)+50(1+x)2＝182，
答：二、三月份平均月增长率为20％．
练习：P41 5
小结
依题意，依增长情况列方程是此类题目解题的关键．
作业：习题12.6 A组 8
第17课可化为一元二次方程的分式方程
教学目的
1．使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，会用去分母或换元法求方程的解．
2．使学生了解解分式方程产生增根的原因，掌握验根的方法．
3．结合教学对学生进行化归转化思想的培养．
教学重点
将分式方程转化为一元二次方程．
教学难点
分式方程验根的必要性的认识．
教学过程
一、复习
1．我们学过分式方程，同学们还记得怎样解分式方程吗？
2．请同学们解下列方程：
3．请同学们结合上面两个题，回答下列问题：
(1)什么是分式方程？解分式方程的一般方法与步骤是什么？
(2)在解分式方程过程中，容易犯的错误是什么？应当怎样避免？
(3)解分式方程为什么必须验根，应当怎样验根？
指出：
分母里含有未知数的方程叫做分式方程．解分式方程的一般思路是化分式方程为整式方程，解分式方程的一般步骤是：
(1)把方程中各分式的分母因式分解，确定各分式的最简公分母．
(2)用最简公分母去乘方程两边，约去分母，使分式方程化为整式方程．
(3)解这个整式方程，得到此整式方程的根．
(4)检验．
解分式方程容易犯的错误有：
(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．
(2)约去分母后，分子是多项式时，要注意添括号．
根据方程同解原理：方程两边都乘以不等于零的同一个数，所得方程与原方程同解．而我们在解分式方程时，方程两边同时乘以最简公分母，它是一个整式，当此整式为零时，就破坏了方程的同解原理，因此最后整式方程的根就不一定是原方程的根，所以解分式方程必须验根．验根的一般方法是：把最后整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根为原方程的增根，必须舍去，否则是原方程的根．
二、新课
讲解例1
讲解例2
三、练习 P49 1、2
四、小结
1．分式方程的定义．
2．分式方程的一般解法及解方程步骤．
3．用换元法解分式方程时，方程具备的特点，验根的方法．
五、作业习题12.7 A组 1、2、3、4
第18课可化为一元二次方程的分式方程的应用
教学目的
1．使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，会用去分母或换元法求方程的解．
2．会列出可化为一元二次方程的分式方程，解应用题．
3．在教学中培养学生分析问题与解决问题的能力．
教学重点:列方程．
教学过程
一、复习
1．什么叫分式方程？解分式方程的一般方法是什么？在不同的解法过程中应分别注意什么？
二、新课
今天我们学习利用分式方程解应用题．
例1 甲乙二人同时从张庄出发，步行15千米来到李庄．甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时，二人每小时各走几千米？
讲解例1
例2 某农场开挖一条长960m的渠道，开工后每天比原计划多挖20m，结果提前4天完成任务，原计划每天挖多少？
讲解例2
三、练习
1．从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站开出，1小时后，快车在慢车前12千米；快车到达乙站此慢车早25分，快车和慢车每小时各走几千米？
2．某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存煤比原计划多用20天，贮存的煤原计划用多少天？每天烧少吨？
3．甲、乙两队学生绿化校园．如果两队合作，6天可以完成．如果单独工作，甲队比乙队少用5天，两队单独工作各需多少天完成？
四、小结
1．列方程解应用题的一般步骤．
2．列分式方程解应用题验根的两个目的．
五、作业习题12.7A组 4、5
第19课由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组(一)
一、教学目的
1．使学生了解二元二次方程、二元二次方程组的概念．
2．使学生熟练掌握用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组．
二、教学重点、难点
重点：用代入法解二元二次方程组．
难点：二元一次方程代入二元二次方程的技巧．
三、教学过程
复习提问
1．我们学过哪些方程及其解法？
2．二元一次方程组有哪些解法，其解法步骤是什么？
引入新课
我们已经知道，方程就是含有未知数的等式．方程
x2+2xy+y2+x+y+6=0 (*)
是一个含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的方程．这样的方程我们怎样称呼它呢？
新课
形如方程(*)和下述方程
(1)x2+3y2+4x+3y+6=0；
(2)xy+3y+7=0；
(3)x2+3xy+5=0；
(4)x2+y2+4=0，等．
含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程．其中(*)中，x2，2xy，y2叫做这个方程的二次项，4x，3y叫做一次项，6叫做常数项．我们看下面的两个方程组：
第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的；第二个方程组是由两个二元二次方程组成的．像这样的方程组叫做二元二次方程组．
本课主要研究由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法．
一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法来解．