第7讲 函数的图象
一、选择题
1.为了得到函数y =2x -2的图象,可以把函数y =2x 图象上所有的点( )
A.向右平行移动2个单位长度
B.向右平行移动1个单位长度
C.向左平行移动2个单位长度
D.向左平行移动1个单位长度
解析 因为y =2x -2=2(x -1),所以只需将函数y =2x 的图象上所有的点向右平移1个单位长度即可得到y =2(x -1)=2x -2的图象.
答案 B
2.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶,与以上事件吻合得最好的图象是( )
解析 小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越来越近,排除
A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,排除D.后来为了赶时间加快速度行驶,排除
B.故选
C.
答案 C
3.(2015·浙江卷)函数f (x )=? ??
??x -1x cos x (-π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( ) 解析 (1)因为f (-x )=? ????-x +1x cos(-x )=-? ??
??x -1x cos x =-f (x ),-π≤x ≤π且x ≠0,所以函数f (x )为奇函数,排除A ,B.当x =π时,f (x )=? ??
??π-1πcos π<0,排除C ,故选D.
答案 D
4.(2017·桂林一调)函数y =(x 3-x )2|x |的图象大致是( )
解析 由于函数y =(x 3-x )2|x |为奇函数,故它的图象关于原点对称.当0
排除选项A ,C ,D ,选B.
答案 B
5.使log 2(-x )<x +1成立的x 的取值范围是( )
A.(-1,0)
B.[-1,0)
C.(-2,0)
D.[-2,0)
解析 在同一坐标系内作出y =log 2(-x ),y =x +1的图象,知满足条件的x ∈(-1,0),故选A.
答案 A
二、填空题
6.已知函数f (x )的图象如图所示,则函数g (x )=log 2f (x )的定义
域是________.
解析 当f (x )>0时,
函数g (x )=log 2f (x )有意义,由函数f (x )的图象知满足f (x )>0的x ∈(2,8]. 答案 (2,8]
7.如图,定义在[-1,+∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则f (x )的解析式为________.
解析 当-1≤x ≤0时,设解析式为y =kx +b (k ≠0).
则?????-k +b =0,b =1,得?????k =1,b =1,
∴y =x +1. 当x >0时,设解析式为y =a (x -2)2-1(a ≠0).
∵图象过点(4,0),∴0=a (4-2)2-1,得a =14.
答案 f (x )=?????x +1,-1≤x ≤0,14
(x -2)2-1,x >0 8.设函数f (x )=|x +a |,g (x )=x -1,对于任意的x ∈R ,不等式f (x )≥g (x )恒成立,则实数a 的取值范围是________.
解析 如图作出函数f (x )=|x +a |与g (x )=x -1的图象,观
察图象可知:当且仅当-a ≤1,即a ≥-1时,不等式
f (x )≥
g (x )恒成立,因此a 的取值范围是[-1,+∞).
答案 [-1,+∞)
三、解答题
9.已知函数f (x )=?
??3-x 2,x ∈[-1,2],x -3,x ∈(2,5]. (1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象;
(2)写出f (x )的单调递增区间;
(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值.
解 (1)函数f (x )的图象如图所示.
(2)由图象可知,
函数f (x )的单调递增区间为[-1,0],[2,5].
(3)由图象知当x =2时,f (x )min =f (2)=-1,
当x =0时,f (x )max =f (0)=3.
10.已知f (x )=|x 2-4x +3|.
(1)作出函数f (x )的图象;
(2)求函数f (x )的单调区间,并指出其单调性;
(3)求集合M ={m |使方程f (x )=m 有四个不相等的实根}.
解 (1)当x 2-4x +3≥0时,x ≤1或x ≥3,
∴f (x )=?
??x 2-4x +3,x ≤1或x ≥3,-x 2+4x -3,1 (2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(-∞,1],(2,3), (1,2],[3,+∞),其中(-∞,1],(2,3)是减区间;(1,2],[3,+∞)是增区间. (3)由f (x )的图象知,当0 11.已知函数f (x )=???x 2+2x -1,x ≥0,x 2-2x -1,x <0, 则对任意x 1,x 2∈R ,若0<|x 1|<|x 2|,下列不等式成立的是( ) A.f (x 1)+f (x 2)<0 B.f (x 1)+f (x 2)>0 C.f (x 1)-f (x 2)>0 D.f (x 1)-f (x 2)<0 解析 函数f (x )的图象如图所示: 且f (-x )=f (x ),从而函数f (x )是偶函数且在[0,+∞)上是增函 数. 又0<|x 1|<|x 2|,∴f (x 2)>f (x 1),即f (x 1)-f (x 2)<0. 答案 D 12.(2015·安徽卷)函数f (x )= ax +b (x +c )2 的图象如图所示,则下列结论成立的是( ) A.a >0,b >0,c <0 B.a <0,b >0,c >0 C.a <0,b >0,c <0 D.a <0,b <0,c <0 解析 函数定义域为{x |x ≠-c },结合图象知-c >0, ∴c <0. 令x =0,得f (0)=b c 2,又由图象知f (0)>0,∴b >0. 令f (x )=0,得x =-b a ,结合图象知-b a >0,∴a <0. 答案 C 13.已知函数f (x )=?????-x 2+x ,x ≤1,log 13 x ,x >1,若对任意的x ∈R ,都有f (x )≤|k -1|成立,则实数k 的取值范围为________. 解析 对任意x ∈R ,都有f (x )≤|k -1|成立,即f (x )max ≤|k -1|. 因为f (x )的草图如图所示, 观察f (x )=???-x 2+x ,x ≤1, log 13x ,x >1 的图象可知,当x =12时,函数f (x )max =14, 所以|k -1|≥14,解得k ≤34或k ≥54. 答案 ? ????-∞,34∪???? ??54,+∞ 14.已知函数f (x )的图象与函数h (x )=x +1x +2的图象关于点A (0,1)对称. (1)求函数f (x )的解析式; (2)若g (x )=f (x )+a x ,g (x )在区间(0,2]上的值不小于6,求实数a 的取值范围. 解 (1)设f (x )图象上任一点坐标为(x ,y ), ∵点(x ,y )关于点A (0,1)的对称点(-x ,2-y )在h (x )的图象上, ∴2-y =-x +1-x +2,∴y =x +1x ,即f (x )=x +1x . (2)由题意g (x )=x +a +1x , 且g (x )=x +a +1x ≥6,x ∈(0,2]. ∵x ∈(0,2],∴a +1≥x (6-x ),即a ≥-x 2+6x -1. 令q (x )=-x 2+6x -1,x ∈(0,2], q (x )=-x 2+6x -1=-(x -3)2+8, ∴当x ∈(0,2]时,q (x )是增函数,q (x )max =q (2)=7. 故实数a 的取值范围是[7,+∞).