第五章 常微分方程初值问题作业

第五章 常微分方程初值问题作业

(1) 常微分方程初值问题的解，当右端函数可导时一定是存在唯一的； 错

（2）一个算法局部截断误差的阶就等于它全局误差的阶

错

（3）算法的阶越高，由它得到的数值计算结果就越精确

错

(4) 显示方法的突出优点是收敛速度快，收敛阶高；

错

(5) 一个好的算法，或者稳定性好，或者收敛阶高

错

(6) 隐式方法的优点是计算稳定性好，缺点是每步计算的代价高。 对

2. 由Ｅｕｌｅｒ公式和已知条件，有

1112201010(1)1010(1)(1)10(1)n n n n n n n

y y y y N N

y y N N

N ----=+=+=+==+=+ 若初始条件改为(0)1.y δ=+则

1112201010(1)1010(1)(1)10(1)(1)n n n n n n n y y y y N N y y N N

N

δδδδδδδ----=+

=+=+==+=++ 从而有

10(1)n n n y y N

δδ-=+

常微分方程知识点总结

常微分方程知识点总结 常微分方程知识点你学得怎么样呢？下面是的常微分方程知识 点总结，欢迎大家阅读！ 微分方程的概念 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中 就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和数之间的关系找出来，列出包含一个数或几个数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。 但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的 问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。 物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个的函数。 解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似， 也是要把研究的问题中已知函数和函数之间的关系找出来，从列出的包含函数的一个或几个方程中去求得函数的表达式。但是无论在方程

的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。 在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常 有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星 的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。

常微分方程第5章答案

1.给定方程组 x = x x= （*） a)试验证u(t)= ,v(t)= 分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)= , v(0)= 的解. b)试验证w(t)＝c u(t)+c v(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)= 的解，其中是任意常数.解：a) u(0)= = u (t)= = u(t) 又v(0)= = v (t)= = = v(t) 因此u(t),v(t)分别是给定初值问题的解. b) w(0)= u(0)+ u(0)= + = w (t)= u (t)+ v (t) = + = = = w(t) 因此w(t)是给定方程初值问题的解. 2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题： a) x +2x +7tx=e ,x(1)=7, x (1)=-2 b) x +x=te ,x(0)=1, x (0)=-1,x (0)=2,x (0)=0 c) x(0)=1, x (0)=0,y(0)=0,y (0)=1 解：a）令x ＝x, x = x , 得 即 又x ＝x(1)=7 x (1)= x (1)=-2 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： x ＝x(1)＝ 其中x＝. b) 令＝x ＝＝＝则得： 且(0)=x(0)=1, = (0)=-1, (0)= (0)=2, (0)= (0)=0 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： = x(0)= , 其中x= . c) 令w ＝x，w ＝，w ＝y，w ＝y ，则原初值问题可化为： 且 即w w(0)= 其中w＝ 3. 试用逐步逼近法求方程组 ＝x x＝ 满足初始条件 x(0)= 的第三次近似解.

(完整版)常微分方程的大致知识点

= + ?x = + ?x = + ?x 常微分方程的大致知识点 （一）初等积分法 1、线素场与等倾线 2、可分离变量方程 3、齐次方程（一般含有 x 或 y 的项） y x 4、一阶线性非齐次方程 常数变易法，或 y = e ? a ( x )dx [? b (x )e -? a ( x )dx dx + C ] 5、伯努力方程 令 z = y 1-n ，则 dz = (1 - n ) y -n dy ，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 dx 6、全微分方程 若?M ?y 若 ?M ?y dx = ?N ，则u (x , y ) = C ，（留意书上公式） ?x ≠ ?N ，则找积分因子，（留意书上公式） ?x f (x f ( y , （二）毕卡序列 x y 1 y 0 0 x f (x , y 0 )dx ， y 2 y 0 0 x f (x , y 1 )dx ， y 3 y 0 0 f (x , y 2 )dx ，其余类推 （三）常系数方程 1、常系数齐次L (D ) y = 0 方法：特征方程 7、可降阶的二阶微分方程 d 2 y = , dy ) ，令 dy = d 2 y p ,则 = dy dx 2 d 2 y = dx dy ) ，令 dx dy = p ,则 dx 2 d 2 y dx = p dp dx 2 dx dx dx 2 dy 8、正交轨线族

? ? dy 单的实根, ， y = C e 1x + C e 2 x 1 2 1 2 单的复根1, 2 = ± i ， y = e x (C cos x + C 2 sin x ) 重的实根 = = ， y = (C + C x )e x 1 2 1 2 重的复根1, 2 = ± i ，3, 4 = ± i ， y = e x [(C + C 2 x ) c os x + (C 3 + C 4 x ) sin x ] 2、常系数非齐次L (D ) y = 方法：三部曲。 f (x ) 第一步求L (D ) y = 0 的通解Y 第二步求L (D ) y = f (x ) 的特解 y * 第三步求L (D ) y = f (x ) 的通解 y = Y + y * 如何求 y * ？ 当 f (x ) = P m (x )e x 时， y * = x k Q (x )e x 当 f (x ) = P m (x )e ux cos vx + Q (x )e ux sin vx 时， y * = x k e ux (R (x ) cos vx + S m (x ) sin vx ) 当 f (x ) 是一般形式时， y * = ? x W (x ,) f ()d ，其中 W(.)是郎斯基行列式 x 0 W () （四）常系数方程组 方法：三部曲。 第一步求 dX dt = A (t ) X 的通解， Φ(t )C 。利用特征方程 A - I = 0 ，并分情况讨论。 第二步求 dX dt 第三步求 dX dt = A (t ) X + f (t ) 的特解， Φ(t )?Φ-1 (s ) f (s )ds ，（定积分与不定积分等价） = A (t ) X + f (t ) 的通解， Φ(t )C + Φ(t )?Φ-1 (s ) f (s )ds （五）奇点与极限环 ? dx = ax + b y dt ? ? = cx + dy 1、分析方程组? dt 的奇点的性质，用特征方程： A - I = 0 特征方程的根有 3 种情况：相异实根、相异复根、相同实根。第一种情况：相异实根，1 ≠ 2 1 1 m m m

常微分方程初值问题数值解法.

常微分方程初值问题数值解法 朱欲辉 （浙江海洋学院数理信息学院, 浙江舟山316004） [摘要]：在常微分方程的课程中讨论的都是对一些典型方程求解析解的方法.然而在生产实 际和科学研究中所遇到的问题往往很复杂, 在很多情况下都不可能给出解的解析表达式. 本篇文章详细介绍了常微分方程初值问题的一些数值方法, 导出了若干种数值方法, 如Euler法、改进的Euler法、Runge－Kutta法以及线性多步法中的Adams显隐式公式和预测校正 公式, 并且对其稳定性及收敛性作了理论分析. 最后给出了数值例子, 分别用不同的方法计算出近似解, 从得出的结果对比各种方法的优缺点. [关键词]：常微分方程;初值问题; 数值方法; 收敛性; 稳定性; 误差估计 Numerical Method for Initial-Value Problems Zhu Yuhui (School of Mathematics, Physics, and Information Science, Zhejiang Ocean University, Zhoushan, Zhejiang 316004) [Abstract]:In the course about ordinary differential equations, the methods for analytic solutions of some typical equations are often discussed. However, in scientific research, the problems are very complex and the analytic solutions about these problems can’t be e xpressed explicitly. In this paper, some numerical methods for the initial-value problems are introduced. these methods include Euler method, improved Euler method, Runge-Kutta method and some linear multistep method (e.g. Adams formula and predicted-corrected formula). The stability and convergence about the methods are presented. Some numerical examples are give to demonstrate the effectiveness and accuracy of theoretical analysis. [Keywords]:Ordinary differential equation; Initial-value problem; Numerical method; Convergence; Stability;Error estimate

第五章 高等数学(理专) 微分方程试题库1

第五章 微分方程 试题库一 1.填空题 (1) 微分方程0),,,()4(='y y y x F 是 阶微分方程. (2)通过点)1,1(处，且在任意一点),(y x P 处的切线斜率为x 的曲线方程为 . (3) 微分方程054=-'-''y y y 的特征方程为 . (4) 微分方程03='-''y y 的通解为 . (5) 微分方程09=-''y y 的通解为 . (6) 微分方程y x x y -=e d d 的通解为 . (7) 微分方程054=-'+''y y y 的通解为 . (8) 微分方程20yy x '+=的通解为 . (9)微分方程560y y y '''-+=的特征方程为 . (10) 微分方程440y y y '''-+=的通解为 . 2．选择题 (1) 微分方程0))(,,,(24='''y y y x F 的通解中含有的相互独立的任意常数的个数是（ ）. A.1； B.2； C.3； D.4. (2) 下列微分方程中是可分离变量的微分方程的是（ ）. A.y xy x y +=d d ； B. y x y xy sin e d d =； C. 2d d y xy x y +=； D. 22d d y x x y +=. (3) 下列微分方程中是一阶线性非齐次微分方程的是（ ）. A. 2d d y xy x y +=； B.x xy y =+''； C.x xy y =+'； D. 02=+'xy y . (4) 微分方程x y e =''的通解为（ ）. A. x y e =； B. C y x +=e ； C. Cx y x +=e ； D. 21e C x C y x ++=.

常微分方程的大致知识点

常微分方程的大致知识点Last revision on 21 December 2020

常微分方程的大致知识点 （一）初等积分法 1、线素场与等倾线 2、可分离变量方程 3、齐次方程（一般含有x y y x 或的项） 4、一阶线性非齐次方程 常数变易法，或])([)()(?+??=-C dx e x b e y dx x a dx x a 5、伯努力方程 令n y z -=1，则dx dy y n dx dz n --=)1(，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 6、全微分方程 若x N y M ??=??，则C y x u =),(，（留意书上公式） 若 x N y M ??≠??，则找积分因子，（留意书上公式） 7、可降阶的二阶微分方程 ),(22dx dy x f dx y d =，令dx dy dx y d p dx dy ==22,则 ),(22dx dy y f dx y d =，令dy dp p dx y d p dx dy ==22,则 8、正交轨线族 （二）毕卡序列 ?+=x x dx y x f y y 0),(001，?+=x x dx y x f y y 0),(102，?+=x x dx y x f y y 0),(203，其余类推 （三）常系数方程 1、常系数齐次0)(=y D L 方法：特征方程 单的实根21,λλ，x x e C e C y 2121λλ+= 单的复根i βαλ±=2,1，)sin cos (21x C x C e y x ββα+= 重的实根λλλ==21，x e x C C y λ)(21+= 重的复根i βαλ±=2,1，i βαλ±=4,3，]sin )(cos )[(4321x x C C x x C C e y x ββα+++=

常微分方程初值问题的数值解法

贵州师范大学数学与计算机科学学院学生实验报告 课程名称： 数值分析 班级： 实验日期： 年 月 日 学 号： 姓名： 指导教师： 实验成绩： 一、实验名称 实验六: 常微分方程初值问题数值解法 二、实验目的及要求 1. 让学生掌握用Euler 法, Runge-Kutta 法求解常微分方程初值问题. 2. 培养Matlab 编程与上机调试能力. 三、实验环境 每人一台计算机，要求安装Windows XP 操作系统，Microsoft office2003、MATLAB6.5(或7.0). 四、实验内容 1. 取步长h=0.1,0.05,0.01, ,用Euler 法及经典4阶Runge-Kutta 法求解初值 问题 ?? ?=≤≤++-=1 )0() 10(2222'y t t t y y 要求: 1) 画出准确解(准确解22t e y t +=-)的曲线,近似解折线; 2) 把节点0.1和0.5上的精确解与近似解比较,观察误差变化情况. 2. 用 Euler 法,隐式Euler 法和经典4阶R-K 法取不同步长解初值问题 ?? ? ??= ∈-=21 )0(],1,0[,50'y x y y 并画出曲线观察稳定性. 注：题1必须写实验报告 五、算法描述及实验步骤 Euler 法： 输入 000),(,,,),,(y a x x h b a y x f = 输出 Euler 解y 步1 ),,2,1(;m n h n a x h a b m n =?+=-? 步2 对1,,2,1,0-=m n 执行),(1n n n n y x f h y y ?+?+

步3 输出T m y y y y ),,,(21 = 经典4阶R-K 法： 输入 000),(,,,),,(y a x x h b a y x f = 输出 4阶R-K 解y 步1 ),,2,1(;m n h n a x h a b m n =?+=-? 步2 对1,,2,1,0-=m n 执行),(1n n y x f K ?，)5.0,(15.02hK y x f K n n +?+， )5.0,(25.03hK y x f K n n +?+，),(314hK y x f K n n +?+ )22(6 43211K K K K h y y n n ++++?+ 步3 输出T m y y y y ),,,(21 = 六、调试过程及实验结果 >> shiyan6 Y1 = 0.8000 0.6620 0.5776 0.5401 0.5441 0.5853 0.6602 0.7662 0.9009 1.0627 Y2 = 0.8287 0.7103 0.6388 0.6093 0.6179 0.6612 0.7366 0.8419 0.9753 1.1353

常微分方程第五章微分方程组总结

一．线性微分方程组的一般理论 1. 线性微分方程组一般形式为： 1111122112211222221122()()()(),()()()(), 1 , ()()()(),n n n n n n n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++??'=++++??????'=++++? （） 记： 1112121 22212111222()()()()()()()()()()()()(), , ()n n n n nn n n n a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t f t x x f t x x f t x x f t x x ??????=?????? '????????????'??????'===????????????'?????? 非齐次线性方程组表示为： ()() x A t x f t '=+ 齐次线性方程组表示为： ()x A t x '= 2.齐次线性方程组的一般理论 (1)定理 (叠加原理) 如果12(),(),,()n x t x t x t ? 是齐次方程组()x A t x '= 的k 个 解，则它们的线性组合1212()()()n n c x t c x t c x t ++?+ 也是齐次方程组的解，这里 12,,,n c c c ?是任意常数 (2)向量函数线性相关性 定义在区间],[b a 上的函数12(),(),,()n x t x t x t ? ，如果存在不全为零的常数

2018年电大第三版常微分方程答案知识点复习考点归纳总结参考

习题1.2 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：

dx dy =- y x y x +- 令x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1 dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为： dx dy =x y ln x y 令 x y =u ,则dx dy =u+ x dx du

第五章常微分方程习题

第五章 常微分方程 §1 常微分方程的基本概念与分离变量法 1. xy dx dy 2＝,并求满足初始条件：0,1x y ==的特解. 2．2(1)0y dx x dy ++=，并求满足初始条件：0,1x y ==的特解. 3．(1)(1)0x ydx y xdy ++-= 4．(ln ln )0x x y dy ydx --= 5． x y dy e dx -= 答案 1．通解2 x y ce =；特解2 x y e = 2．通解1ln 1y c x = ++；另有解0y =；特解11ln 1y x = ++ 3．ln ;0x y xy c y -+== 4．1ln y cy x += 5．y x e e c =+ §2 一阶线性微分方程 1．（1）（ ）是微分方程。 （A ） （B ） （C ） （D ） （2）（ ）不是微分方程。 （A ） （B ） （C ） （D ）

2.求微分方程的通解 ；（2）。 （1） 3.求微分方程的特解 （1）；（2） 4．解下列微分方程 ；（2）； （1） 答案1．(1)B；(2)C 2.(1)y=cx;(2)y4-x4=C。 3.(1)2/x3;(2)。 4．(1)； (2)y=Csinx； §3 二阶常系数线性微分方程 1.求下列微分方程的通解 ；（2）； （1） （3） （5） 2.求微分方程的特解 3.求下列微分方程的通解

（1） ； （2） ； （3） ； （4） 。 4．求方程2100y y y '''++=满足初始条件0 2x y ==和01x y ='=的特解 5．求方程221y y y x '''+-=+的一个特解 6．求方程22x y y y xe '''+-=的一个特解 7．求方程32(41)x y y y x e '''-+=-的一个特解 答案 1.(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) 。 2. 3.(1) ； (2) ； (3) ； (4) 。

常微分方程解题方法总结.doc

常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半， 课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来， 如何将零散的知 识点有机地结合起来， 而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆， 使知识自成 体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴， 他强调读 书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx

伯努利方程 解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]

常微分方程初值问题的数值解法

第七章 常微分方程初值问题的数值解法 --------学习小结 一、本章学习体会 通过本章的学习，我了解了常微分方程初值问题的计算方法，对于解决那些很难求解出解析表达式的，甚至有解析表达式但是解不出具体的值的常微分方程非常有用。在这一章里求解常微分方程的基本思想是将初值问题进行离散化，然后进行迭代求解。在这里将初值问题离散化的方法有三种，分别是差商代替导数的方法、Taylor 级数法和数值积分法。常微分方程初值问题的数值解法的分类有显示方法和隐式方法，或者可以分为单步法和多步法。在这里单步法是指计算第n+1个y 的值时,只用到前一步的值，而多步法则是指计算第n+1个y 的值时，用到了前几步的值。通过对本章的学习，已经能熟练掌握如何用Taylor 级数法去求解单步法中各方法的公式和截断误差，但是对线性多步法的求解理解不怎么透切，特别是计算过程较复杂的推理。 在本章的学习过程中还遇到不少问题，比如本章知识点多，公式多，在做题时容易混淆，其次对几种R-K 公式的理解不够透彻，处理一个实际问题时，不知道选取哪一种公式，通过课本里面几种方法的计算比较得知其误差并不一样，，这个还需要自己在往后的实际应用中多多实践留意并总结。 二、本章知识梳理 常微分方程初值问题的数值解法一般概念 步长h ，取节点0,(0,1,...,)n t t nh n M =+=，且M t T ≤，则初值问题000 '(,),()y f t y t t T y t y =≤≤?? =?的数值解法的一般形式是 1(,,,...,,)0,(0,1,...,)n n n n k F t y y y h n M k ++==-

常微分方程初值问题

常微分方程初值问题 12.1引言 在数学模型中经常出现的常微分方程在科学的许多分支中同样出现，例如工程和经济学。不幸的是却很少出现这些方程可得到表示在封闭的形式的解的情况，所以通常采用数值方法来寻找近似解。如今，这通常可以非常方便的达到高精度和在解析解和数值逼近之间可靠的误差界。在本节我们将关注一阶微分方程（12.1）形式关于实值函数y的实变 量x的结构和数值分析方法，其中和f是一个给定的实值函数的两个变量。为了从解曲线的无限族选择一个特定的积分构成（12.1）的通解，微分方程将与初始条件一起考虑：给定两个实数和，我们寻求一个（12.1）的解决方案，对于有 （12.2） 微分方程（12.1）与初始条件（12.2）被称为一个初值问题。如果你认为任何（12.1），（12.2）形式的初始值问题具有一个唯一解，看看以下例子。 例12.1考虑微分方程，初始条件，其中α是一个固定的实数，α∈（0，1）。 这是一个关于上述想法的简单验证，对于任何非负实数C， 是初值问题在区间[ 0，∞）上的一个解。因此解的存在性是肯定的，但解不一定唯一；事实上，初始值问题的解有一个无限族，当参数。 我们注意到，在与α∈（0，1）相反的情况下，当α≥1，初值问题，具有唯一解y（x）≡0。 例12.1表明函数f必须遵循相对于它的第二个参数的一定的增长性条件，以保证（12.1），（12.2）有唯一解。精确的保证初始值问题（12.1），（12.2）假设f解的存在惟一基于下面的定理。 定理12.1（Picard theorem）假定实值函数是连续的矩形区域D定义 ；当时；且f 满足Lipschitz条件：存在L＞0则 。

常微分方程期末试题知识点复习考点归纳总结参考

期末考试 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．方程22d d y x x y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 2. 方程组 n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 维空间中的一条积分曲线. 3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f x y =初值唯一的 条件． 4．方程组???????=-=x t y y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 5．方程2)(2 1y y x y '+'=的通解是 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是 8．方程440y y y '''++=的基本解组是 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。 9．一阶线性微分方程 d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ ）． （A ）?=x x p d )(e μ （B ）?=x x q d )(e μ （C ）?=-x x p d )(e μ （D ）?=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ ） （A ）可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）贝努利方程 11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ ）． (A) 1±=x (B)1±=y

(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-='x y y （ ）奇解． （A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无 三、计算题（每小题8分，共48分）。 14．求方程22 2d d x y xy x y -=的通解 15．求方程0d )ln (d 3=++y x y x x y 的通解 16．求方程2 221)(x y x y y +'-'=的通解

常微分方程基本知识点

常微分方程基本知识点 第一章 绪论 1. 微分方程的概念（常微分与偏微），什么是方程的阶数，线性与非线性，齐次与非齐次，解、特解、部分解和通解的概念及判断！ （重要） 例：03)(22=-+y dx dy x dx dy （1阶非线性）； x e dx y d y =+22sin 。 2.运用导数的几何意义建立简单的微分方程。（以书后练习题为主） （习题1，2，9题） 例：曲线簇cx x y -=3满足的微分方程是：__________. 第二章 一阶方程的初等解法 1.变量分离方程的解法（要能通过适当的变化化成变量分离方程）；（重要） 2.齐次方程的解法（变量代换）；（重要） 3.线性非齐次方程的常数变易法； 4.分式线性方程、贝努利方程、恰当方程的概念及判断（要能熟练的判断各种类型的一阶方程）（重要）； 例题：(1).经变换_____y c u os =___________后， 方程1cos sin '+=+x y y y 可化为___线性_____方程； (2).经变换_____y x u 32-=____________后， 方程1 )32(1 '2+-=y x y 可化为____变量分离__方程； (3).方程0)1(222=+-dy e dx ye x x x 为：线性方程。

(4).方程221 'y x y -=为：线性方程。 5.积分因子的概念，会判断某个函数是不是方程的积分因子； 6.恰当方程的解法（分项组合方法）。（重要） 第三章 一阶方程的存在唯一性定理 1.存在唯一性定理的内容要熟记，并能准确确定其中的h ； 2.会构造皮卡逐步逼近函数序列来求第k 次近似解！（参见书上例题和习题 3.1的1，2，3题） 第四章 高阶微分方程 1.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的概念，解的概念，基本解组，解的线性相关与线性无关，齐次与非齐次方程解的性质； 2.n 阶线性方程解的Wronskey 行列式与解的线性相关与线性无关的关系； 3.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的通解结构定理！！（重要） 4.n 阶线性非齐次微分方程的常数变易法（了解）； 5.n 阶常系数线性齐次与非齐次微分方程的解法（Eurler 待定指数函数法确定基本解组），特解的确定（比较系数法、复数法）；（重要） 例题：t te x x 24=-''，确定特解类型？ （习题4.2相关题目） 6.2阶线性方程已知一个特解的解法（作线性齐次变换）。（重要） 7.其他如Euler 方程、高阶方程降阶、拉普拉斯变换法等了解。

第五章 微分方程

第五章 微分方程 第一节 微分方程的基本概念 一、基本概念 微分方程的定义： ①凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程. ②未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程，简称微分方程. 微分方程的阶、解与通解： 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.如果把函数 )(x f y =代入微分方程后，能使方程成为恒等式,则称该函数为该微分方程的解.若微分方 程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解. 初始条件与特解： 用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解。 例1 课本294页 例1 二、独立的任意常数 线性相关与线性无关： 设)(),(21x y x y 是定义在区间),(b a 内的函数，若存在两个不全为零的数21,k k ，使得对于区间),(b a 内的任一x ，恒有 0)()(2211=+x y k x y k 成立，则称函数)(),(21x y x y 在区间),(b a 内线性相关，否则称为线性无关. 显然，函数)(),(21x y x y 线性相关的充分必要条件是 ) () (21x y x y 在区间),(b a 内恒为常数. 如果 ) () (21x y x y 不恒为常数，则)(),(21x y x y 在区间),(b a 内线性无关.

独立的任意常数： 在表达式)()(2211x y C x y C y += (1C ,2C 为任意常数) 中, 1C ,2C 为独立的任意常数的充分必要条件为)(1x y ,)(2x y 线性无关. 例2 课本297页 例4 第二节 可分离变量的微分方程 一、定义 形如 )()(d d y g x f x y = 的微分方程，称为可分离变量的方程.该微分方程的特点是等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个仅是x 的函数，另一个仅是y 的函数，即)(),(y g x f 分别是变量y x ,的已知连续函数. 二、求解方法 可分离变量的微分方程 )()(d d y g x f x y =的求解方法,一般有如下两步: 第一步:分离变量 x x f y y g d )(d )(=， 第二步:两边积分 ??= x x f y y g d )(d )(. 【例1】求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2 的通解. 解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得 dx x dy y y 1 1 12 -=- 两端积分 ? ? -=-dx x dy y y 111 2得 ||ln |1|ln |1|ln 2 1 12C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y 注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解

常微分方程初值问题答案

1.(10分）对常微分方程初值问题(0)1(01) dy y dx y x ?=-???=≤≤? 取步长0.1,h = 分别用改进的Euler 法和标准的四阶Runge-Kutta 法作数值计算,写出公式和简要推导过程，并把结果填入表内。 解：（1） 改进的Euler 方法： 代入公式得10.905n n y y +=，即0.905n n y = …2分 （2）标准的四阶Runge-Kutta 方法： 1 12341213 2430.1(22)0.90483756 (0.05)0.95(0.05)0.9525(0.1)0.90475n n n n n n n n n n y y k k k k y k y k y k y k y k y k y k y +?=++++=?? =-?? =-+=-??=-+=-??=-+=-?? 即0.9048375n n y = ……（4分） 2. 对常微分方程初值问题12 (0)1(01) dy y dx y x ?=-???=≤≤? 取步长0.1,h = 分别用改进的Euler 法和标准的四阶Runge-Kutta 法作数值计算,写出公式和推导过程，并把结果填入表内。

解：（1） 改进的Euler 方法： 代入公式得10.95125n n y y +=，即0.95125n n y = ……………….(2分) （2）标准的四阶Runge-Kutta 方法： 1 12341213 2430.1(22)0.9512196 /2(0.05)/20.4875(0.05)/20.4878125(0.1)/20.47622n n n n n n n n n n y y k k k k y k y k y k y k y k y k y k y +?=++++=?? =-?? =-+=-??=-+=-??=-+=-?? 即0.95145314n n y =……(4分) 《数值分析》复习题 一、填空题 1.绝对误差限=末位的一半+单位，相对误差限=绝对误差限/原值*100% 1. 度量一根杆子长250厘米，则其绝对误差限为 ，相对误差限是 。 2. 测量一支铅笔长是16cm ， 那么测量的绝对误差限是 ，测量的相对误差限是 。 3. 称量一件商品的质量为50千克，则其绝对误差限为 ，相对误差限是 。 2.利用平方差的方法 4. 在数值计算中，当a _____________

常微分方程第五章测试题及参考答案

常微分方程第五章测试题 班级__________姓名__________学号________得分__________ 一、 填空（３０分） 1、 在用皮卡逐步逼近法求方程组η=+=')(),()(0t x x f x t A x 的近似解时，若取η?=)(0t ，则=)(t k ?（ ）。 2、 如果)(t A 是n n ?矩阵，)(t f 是n 维列向量，则它们在b t a ≤≤上满足（ ）时，方程组)()(t f x t A x +='满足初始 条件η=)(0t x 的解在b t a ≤≤上存在唯一。 3、 若)(),(),(21t f t a t a 是[b a ,]上的连续函数，)(),(21t x t x 是方程0)()(21=+'+''x t a x t a x 的两个线性无关解，则的通解为 ( )。 4、 若)(t Φ和)(t ψ都是x t A x )(='的基解矩阵，则)(t Φ与)(t ψ具有关系（ ）。 5、 若A 是n n ?常数矩阵，则矩阵指数exPA=( )。 6、若A 矩阵具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,21，她们对应的特征值分别为n λλλ ,,21，那么矩阵)(t Φ=（ ）是常系数线性方程组Ax x ='的一个基解矩阵。 7、 若)(t Φ是x t A x )(=' 的基解矩阵，则)()(t f x t A x +='满足的解=)(t ?（ ）。 8、 若)(t Φ是x t A x )(=' 的基解矩阵，则向量函数=)(t ?（ ）是)()(t f x t A x +='的满足初始条件 0)(0=t ?的解；向量函数=)(t ?（ ）是)()(t f x t A x +='的满足初始条件η?=)(0t 的解。

《常微分方程》知识点

《常微分方程》复习资料 1．（变量分离方程）形如 ()()dy f x y dx ?=（1.1）的方程，称为变量分离方程，这里(),()f x y ?分别是,x y 的连续函数． 解法：（1）分离变量，当()0y ?≠时，将（1.1）写成 ()() dy f x dx y ?=，这样变量就“分离”了； （2）两边积分得 ()()dy f x dx c y ?=??+（1.2） ，由（1.2）所确定的函数(,)y x c ?=就为（1.1）的解． 注：若存在0y ，使0()0y ?=，则0y y =也是（1.1）的解，可能它不包含在方程（1.2）的通解中，必须予以补上． 2．（齐次方程）形如 (dy y g dx x =的方程称为齐次方程，这里是u 的连续函数． ()g u 解法：（1）作变量代换（引入新变量）y u x =，方程化为()du g u u dx x -=，（这里由于dy du x u dx dx =+）； （2）解以上的分离变量方程； （3）变量还原． 3．（一阶线性微分方程与常数变异法）一阶线性微分方程() ()()0dy a x b x y c x dx ++=在的区间上可写成()0a x ≠()()dy P x y Q x dx =+（3.1），这里假设在考虑的区间上是(),()P x Q x x 的连续函数．若，则（3.1）变为()0Q x =()dy P x y dx =（3.2），（3.2）称为一阶齐次线性方程．若()0Q x ≠，则（3.1）称为一阶非齐次线性方程． 解法：（1）解对应的齐次方程()dy P x y dx =，得对应齐次方程解()p x y ce dx ?=，为任意常数； c （2）常数变异法求解（将常数变为c x 的待定函数，使它为（3.1）的解）：令为（3.1）的 解，则 ()c x ()()p x dx y c x e ?=()()()()()p ??p x dx p x dy dc x e c x x e dx dx =+dx ，代入（3.1）得()() ()p x dx dc dx x Q x e -?=)，积分得； ()p x dx c ?=+ ()()c x Q x e -?（3）故（3.1）的通解为()()(()p x dx p x dx y e Q x e dx -??c =+? ． 4．（伯努利方程）形如 ()()n dy P x y Q x y dx =+的方程，称为伯努利方程，这里为(),()P x Q x x 的连续函数． 解法：（1）引入变量变换，方程变为1n z y -=(1)()(1)()dz n P x z n Q x dx =-+-； （2）求以上线性方程的通解； （3）变量还原． 5．（可解出的方程）形如y (,)dy y f x dx =(5.1)的方程，这里假设(,)f x y '有连续的偏导数． 解法：（1）引进参数dy p dx = ，则方程（5.1）变为(,)y f x p =（5.2）； （2）将（5.2）两边对x 求导，并以dy p dx =代入，得f f p p x p x ???=+???（5.3），这是关于变量,x p 的一阶微分方 程； （3）（i ）若求得（5.3）的通解形式为(,)p x c ?=，将它代入（5.2） ，即得原方程（5.1）的通解(,(,))y f x x c ?=，为任意常数； c