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初复习案：极差方差与标准差——数据的离散程度

初三复习案：极差、方差与标准差——数据的离散程度

【学习目标】一. 教学内容：数据的离散程度二. 学习目标：

1. 掌握极差的定义，了解极差反映一组数据的变化范围，能够通过极差的大小来判断一组数据的波动情况。

2. 了解衡量一组数据的波动大小除了平均数、极差外，还有方差、标准差、理解方差、标准差的定义，会计算一组数据的方差和标准差，了解样本的方差，样本标准差、总体方差的意义，会用简化的计算公式求一组数据的方差、标准差，会比较两组数据的波动情况。三. 重点：

极差的定义，方差、标准差的应用。四、难点：

会用极差的意义判断一组数据的波动情况，利用方差、标准差描述社会生活的方方面面，在实际运用时理解相关数据之间的规律。【学习内容】（一）知识要点

知识点1：表示数据集中趋势的代表

平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。

知识点2：表示数据离散程度的代表

极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。

极差=最大值－最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。知识点3：生活中与极差有关的例子在生活中，我们经常用极差来描述一组数据的离散程度，比如一支篮球队队员中最高身高与最矮身高的差。一家公司成员中最高收入与最低收入的差。

知识点4：平均差的定义

在一组数据x 1，x 2，…，x n 中各数据与它们的平均数-

x 的差的绝对值的平均数即T=

|)x x ||x x ||x x (|n

n 21----+???+-+-叫做这组数据的“平均差”

。 “平均差”能刻画一组数据的离散程度，“平均差”越大，说明数据的离散程度越大。知识点5：方差的定义

在一组数据x 1，x 2，…，x n 中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即

S 2

=])x x ()x x ()x x [(n

12n 2

221----+???+-+-来描述这组数据的离散程度，并把S 2叫做这组

数据的方差。

知识点6：标准差

方差的算术平方根，即用S=])x x ()x x ()x x [(n

12n 2

221----+???+-+-来描述这一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。

知识点7：方差与平均数的性质

若x 1，x 2，…x n 的方差是S 2

，平均数是-

x ，则有

①x 1+b ， x 2+b …x n +b 的方差为S 2

，平均数是-

x +b

②ax 1， ax 2，…ax n 的方差为a 2s 2

，平均数是a -

③ax 1+b ， ax 2+b ，…ax n +b 的方差为a 2s 2

，平均数是a -

x +b 【典型例题】

例1. 从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对使用寿命进行跟踪调查，结果如下：（单位：年）甲：3、4、5、6、8、8、8、10 乙：4、6、6、6、8、9、12、13 丙：3、3、4、7、9、10、11、12

三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年。请根据结果判断厂家在广告中分别运用平均数、众数、中位数中的哪一种表示集中趋势的特征数。

甲：乙：丙：解：众数、平均数、中位数

例2. 下表是南京2005年2月下旬和2006年同期的每日最高气温（单位：℃）如何对

解：2005年2月下旬和2006年2月下旬的气温的极差（即温差）分别是： 2005年2月下旬：22－6=16（℃） 2006年2月下旬：16－9=7（℃）

可以看出，2005年2月下旬最高气温与最低气温之间差距较大，相差16℃，即极差为16℃，2006年2月下旬气温的极差为7℃，气温变化的范围不大。

例3. 某班四个小组的人数如下：10，10，x ，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数。

解：平均数是

2848x 1010+=

+++ 中位数一定是四个数据中的两个数据的平均数

（1）当x ≤8时，

98x 94x

2892108中位数为∴=∴=+∴=+ （2）当8＜x ≤10时，8x 4x

28210x =∴+=+（舍去）

（3）当x ＞10时，104

281021010=+∴=+∴x=12，此时中位数为10

例4. 从甲、乙两种棉花中各抽取10株，测得它们株高分别如下（单位：cm ）

甲：25，41，40，37，22，14，19，39，21，42；乙：27，16，44，27，44，16，40，40，16，40。（1）哪种棉花长得较高？（2）哪种棉花长得较齐？解：（1）10

x =-

甲（25+41+40+37+22+14+19+39+21+42）=30 10

x =

乙（27+16+44+27+44+16+40+40+16+40）=31

∵-甲x ＜-

乙x

∴乙种棉花长得高

（2）2.104])3042()3041()3025[(10

S 2222

=-+???+-+-?=甲 8.128])3140()3116()3127[(10

S 2222=-+???+-+-?=

乙 ∵2

S 甲＜2S 乙

∴甲种棉花长得整齐

例5. 小李参加体育项目训练，近期5次的测试成绩为13，14，13，12，13。求测试成绩的极差、方差和标准差。（精确到0.01）解：极差=14－12=2

.04.0S 4

.0])1313()1312()1313()1314()1313[(5

1S 13

)1312131413(51

x 222

222≈==-+-+-+-+-?==++++?=-

例6. 为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他的电脑

回答下列问题：

（1）甲学生成绩的众数是分，乙学生成绩的中位数是分。

（2）若甲学生成绩的平均数为-

甲x ，乙学生成绩的平均数为-

乙x ，则-甲x 与-

乙x 的大小关系是。

（3）经计算知2

S 甲=13.2，2S 乙=26.36，这说明。

（4）若测验分数在85分（含85分）以上为优秀，则甲的优秀率为，乙的优秀率为。

解：（1）86，83

（2）-甲x ＞-

乙x

（3）甲学生的成绩比乙学生的成绩稳定（4）50%， 40%。

例7. 已知： x 1，x 2，…x n 的平均数是-

x ，标准差是S x 。3x 1+5，3x 2+5，…，3x n +5的平均数是-

y ，标准差是S y ，试说明：（1）-y =3-

x +5 （2）S y =3S x

解：（1）

5x 35)x x x (n 3

]n 5)x x x (3[n

)]5x 3()5x 3()5x 3[(n 1

y n 21n 21n 21+=++???++=++???++=++???++++=

（2）

])y y ()y y ()y y [(n

1S 2n 2

2212y ----+???+-+-=

2x 2n 22212n 2221n 22

1S 9]

)x x ()x x ()x x [(n 1

9])x x (9)x x (9)x x (9[n 1

)]5x 35x 3()5x 35x 3()5x 35x 3[(n

1=-+???+-+-?=-+???+-+-=--++???+--++--+=---------

x y S 3S =∴

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

一、选择题

1. 6个数据的平均数为10，其中的一个为5，那么其余5个数的平均数是（） A. 10 B. 9 C. 11 D. 12

2. 甲、乙两个样本中，2.0S ,4.0S 2

2==乙甲则两个样本的波动情况是（）

A. 甲的波动比乙大

B. 乙的波动比甲大

C. 甲、乙波动一样大

D. 无法比较

3. 如果10个数的平方和是370，方差是33，那么平均数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4. 能反映一组数据与其平均数的离散程度的是（）

A. 极差和方差

B. 极差和标准差

C. 方差和标准差

D. 以上都不对

5. 一组数据的方差为S 2

，将这组数据中的每个数据都乘2，所得到的一组新数据的方差是（）

A. 2

S 2 B. S 2 C. 2S 2 D. 4S

6. 甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，他们射击的环数的方差分别为：

S 甲=2.4 ，2S 乙=3.2，则射击的稳定程度是（）

A. 甲高

B. 乙高

C. 一样高

D. 不能确定二、填空题

7. 某次考试5个班级的平均成绩如下（单位：分）53，62，63，48，54则这5个班级的平均成绩的极差是。

8.已知某班第8小组8位男生的身高如下（单位：m ）： 1.78， 1.68， 1.72，1.80， 1.64，1.69，1.71，1.82则他们的平均身高是。

9.一组数据的方差为S 2

，将这组数据中的每个数据都乘以2，再减去3，则所得新数据的方差为。

10.已知样本4，2，x 的方差S 2

，则x 的值。

11.一组数据为1，－1，0，－1，1，则这组数据的极差、方差、标准差分别为，，。

12. 若1，2，3，a 的平均数是3，且4，5，a ，b 的平均数是5，则样本0，1，2，3，4，a ，b 的方差是。

13. 已知甲、乙两名学生5次考试数学成绩如下：

甲：97，103，95，110，95 乙：90，110，95，115，90

（1）=-

甲x ，S 甲≈ （精确到0.01），2

S 甲 = （2）=-

乙x ，S 乙≈ （精确到0.01），2S 乙=

三、解答题

14. 甲、乙两名学生各进行了5次立定跳远测试，两人平均成绩相同，其中甲的成绩的方差是0.005，乙的成绩如下：2.20m ，2.30m.2.30m ， 2.40m ，2.30m ，那么甲、乙的成绩谁更稳定些？说说你的理由。

请你根据所学的统计知识，分别从平均数和方差的角度判断这两个班的成绩谁优谁次？ 16. 某校初三（1）班、（2）班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩如下表所示：

（1）请你对下面一段话，给予简要分析：初三（1）班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里可算上游了！”

（2）请你根据表中的数据对这两个班的测验情况进行评价，并提出建议。

【试题答案】

1. C

2. A

3. B

4. C

5. D

6. A

7. 15 8. 1.73m 9. 4S 2

10. 3 11. 2 0.8 0.89 12. 4

13. （1）100，5.80，33.6 （2）100，10.49，110 14. 解：乙的成绩更稳定些。因为 004

.0S 30

.2)30.240.230.230.220.2(51

x 2==++++=-乙乙 2

2S S 甲

乙而< 所以乙的成绩更稳定些。

15. 解：平均成绩均为80分，故两班成绩一样好。

244S 21= 108S 22= ∵>21S 2

2S ∴（2）班成绩较为整齐。

故（2）班的成绩较好。 16. 解：（1）由中位数可知85分排在第25位以后，从位次上讲不能说85分是上游。但也不能单纯以位次来判断学习的好坏，小刚得85分，说明他对阶段学习内容掌握较好，从掌握学习内容上讲，也可以说属于上游。

（2）初三（1）班成绩的中位数为87，而平均分为79分，标准差很大，说明两极分化严重。建议：采取措施，加强“帮扶”工作。

初三（2）中位数和平均分都是79分，标准差较小，说明差别不大，两头学生少。建议：采取措施，“提优”工作要加强。

数学：方差与标准差教案苏教版必修

§２．３第7课时方差与标准差教学目标（１）通过实例是学生理解样本数据的方差、标准差的意义和作用；（２）学会计算数据的方差、标准差；（３）使学生掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想．教学重点用样本数据的方差和标准差估计总体的方差与标准差．教学难点理解样本数据的方差、标准差的意义和作用，形成对数据处理过程进行初步评价的意识．教学过程一、问题情境１．情境：有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个标本（如表）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm ２）,甲１１0 １２0 １３0 １２５１２0 １２５１３５１２５１３５１２５乙１１５１00 １２５１３0 １１５１２５１２５１４５１２５１４５哪种钢筋的质量较好？二、学生活动由图可以看出，乙样本的最小值１00低于甲样本的最小值１00，最大值１４５高于甲样本的最大值１３５，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定. 我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差（range ）。由图可以看出，乙的极差较大，数据点较分散；甲的极差小，数据点较集中，这说明甲比乙稳定。运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但如果两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论。考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是方差和标准差。三、建构数学１．方差：一般地，设一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，其平均数为－ x ，则称－　21 2 )(1x x n s n i i -=∑=为这个

样本的方差．因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，我们将方差的算术平方根称为这组数据的标准差．２．标准差：21 )(1-=-=∑x x n s n i i 标准差也可以刻画数据的稳定程度．３．方差和标准差的意义：描述一个样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大．四、数学运用１．例题：例１．甲、乙两种水稻试验品种连续５年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm ２），试根据这组数解：甲品种的样本平均数为１0，样本方差为 [（9．8—１0）２ +（9．9—１0）２+（１0．１—１0）２+（１0—１0）２+（１0．２—１0）２]÷５=0．0２．乙品种的样本平均数也为１0，样本方差为 [（9．４—１0）２+（１0．３—１0）２+（１0．8—１0）２+（9．7—１0）２+（9．8—１0）２]÷５=0．２４因为0．２４>0．0２，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定。例２．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换。已知某校使用的１00只分析：用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求平均寿命。解：各组中值分别为１6５，１9５，２２５，２8５，３１５，３４５，３7５，由此算得平均数约为１6５×１%+１9５×１１%+２２５×１8%+２５５×２0%+２8５×２５%+３１５×１6%+３４５×7%+３7５×２%=２67．9≈２68（天）这些组中值的方差为１/１00×[１×（１6５—２68）２+１１×（１9５—２68）２+１8×（２２５—２68）２+２0×（２５５—２68）２+２５×（２8５—２68）２+１6×（３１５—２68）２+7×（３４５—２68）２+

平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差

平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差说明6个基本统计量（平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差）的内涵，学生学习过程中可能产生的困难及主要原因、应对策略. 首先，结合简单实例认真把握这6个基本统计量的内涵。一、平均数、众数、中位数是刻画一组数据的“平均水平”的数据代表。（八上《第八章数据的代表》）平均数分算术平均数和加权平均数，算术平均数是指n个数据的和的平均值，学生理解与计算都不成问题，只要注意细心运算就是其中的取标准值后的简便算法也都是在小学早已熟练的（公式： x=1/n(x1+x2+x3+……+xn)；而加权平均数是一组数据里的各个数据乘各自的“权”之后的平均数。此处理解“权”的概念可能产生很大困难，因为“权”的理解的确不易，若是照搬教材直接给出其定义，学生会迷惑成团，再进行应用更是不可思议。所以应对措施：讲好、用好加权平均数就要先举例、后分析、再给出定义，比如：某同学的一次考试各科成绩如下：语文110、数学105、英语106、物理95、化学90、政治86、历史98、地理66、生物89，你可以先让学生算算各科的平均数，再按中考计分法将语、数、英各取120%，物、化、政各取100%，史、地、生各取40%后的平均值算出，两个结果一比较，学生就会很容易发现不同的原因是加入了所谓的“权”，这样，不仅通俗易懂，而且对“权”内涵的理解和应用就不再困难。众数是一组数据中出现次数最多的数。其内涵很好理解和掌握，就是结合实际应用也顺理成章，如商店老板进货号多大的男鞋好？那当然是“众数”（调查数据最多的号）所代表的。中位数顾名思义是一组数据中间位置的数，但考虑一组数可能有偶数个或奇数个，所以要注意强调取中位数的方法。教材上给出的内涵很好：一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。如一组数据1.5,1.5,1.6,1.65,1.7,1.7,1.75,1.8的中位数

如何衡量数据的离散程度精编版

如何衡量数据的离散程度精编版 MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】

如何衡量数据的离散程度我们通常使用均值、中位数、众数等统计量来反映数据的集中趋势，但这些统计量无法完全反应数据的特征，即使均值相等的数据集也存在无限种分布的可能，所以需要结合数据的离散程度。常用的可以反映数据离散程度的统计量如下：极差（Range）极差也叫全距，指数据集中的最大值与最小值之差：极差计算比较简单，能从一定程度上反映的数据集的离散情况，但因为最大值和最小值都取的是极端，而没有考虑中间其他数据项，因此往往会受异常点的影响不能真实反映数据的离散情况。四分位距（interquartilerange，IQR）我们通常使用箱形图来表现一个数据集的分布特征：一般中间矩形箱的上下两边分别为数据集的上四分位数（75%，Q3）和下四分位数（25%，Q1），中间的横线代表数据集的中位数（50%，Media，Q2），四分位距是使用Q3减去Q1计算得到：如果将数据集升序排列，即处于数据集3/4位置的数值减去1/4位置的数值。四分位距规避了数据集中存在异常大或者异常小的数值影响极差对离散程度的判断，但四分位距还是单纯的两个数值相减，并没有考虑其他数值的情况，所以也无法比较完整地表现数据集的整体离散情况。方差（Variance）方差使用均值作为参照系，考虑了数据集中所有数值相对均值的偏离情况，并使用平方的方式进行求和取平均，避免正负数的相互抵消：方差是最常用的衡量数据离散情况的统计量。标准差（StandardDeviation）方差得到的数值偏差均值取平方后的算术平均数，为了能够得到一个跟数据集中的数值同样数量级的统计量，于是就有了标准差，标准差就是对方差取开方后得到的：基于均值和标准差就可以大致明确数据集的中心及数值在中心周围的波动情况，也可以计算正态总体的置信区间等统计量。

华师大版数学八下极差方差标准差教案

华师大版数学八下极差方差标准差教案文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]

20.3 极差、方差与标准差第1课时 (一)本课目标 1.理解极差的概念及应用. 2.明确极差是刻画数据离散程序的一个统计量. 3.能够举出一些利用极差进行比较的例子. 重点：极差的概念及应用难点: 极差概念的引入. (二)教学流程 1.情境导入播放多媒体──教材中的导图“你喜欢住在哪个城市？”(?或用投影幻灯片或由教学挂图展示).观察导图,?讨论用什么样的数来反映数据的高低起伏的变化大小比较合适. 2．阅读教材P 30-131 3.师生互动互动1 师:用平均数、中位数或众数代表数有什么不同生:思考、讨论、交流. 明确通过复习旧知,导入本节课的内容. 互动2 师:在导图中,为什么说北京“四季分明”，而新加坡“四季温差不大”？生:思考、讨论、交流.

明确通过讨论,学生初步感知:最大值与最小值的差可以用来表示数据高低起伏的变化大小. ℃) 表20.2.1 上海每日最高气温统计表(单位:℃) 互动3 生:小组交流、发表意见. 师:比较两段时间气温的高低,求平均气温是一种常用的方法.?请你计算其平均数. 生:动手、交流.(都是12℃) 师:这是不是说,两个时段的气温情况没有什么差异呢生:思考、讨论. 明确平均气温(即平均数)是比较两组数据平均水平的一种常用的方法,?但它反映不出一组数据的离散程度,由此引入极差的概念.(板书:1.表示一组数据离散程度的指标──极差.) 互动4 师:根据两段时间的气温情况绘成折线图,请同学们观察,它们有差别吗生:小组讨论、交流看法.归纳出:(a)中的折线高低起伏较大;(b)中的折线高低起伏较小.

极差.方差与标准差(知识点讲解)

极差.方差与标准差(知识点讲解) 极差、方差与标准差一、本节知识导学本节以自主探索为主，并初步体验：对图的观察和分析是科学研究的重要方法。通过例题发现极差（最大值-最小值）的作用：用来表示数据高低起伏的变化大小；同时也希望同学们通过深入思考发现极差的不足之处：极差只能反应一组数据中两个极端值之间的差异情况，对其他数据的波动情况不敏感。因此有必要重新找一个对整组数据的波动情况更敏感的指标, 构造方差前请同学们注意以下几个方面： 1．为什么要用“每次成绩” 和“平均成绩”相减。 2．为什么要“平方”。 3．为什么“求平均数”比“求和”更好。同时请同学们意识到：比较两组数据的方差有一个前提条件是，两组数据要一样多。对于方差的学习，重点在于方差公式的导出和对于方差概念的理解，而不是数字的计算，应充分利用计算器和计算机去完成繁杂的计算。对于方差与标准差之间除了计算公式不一样，数量单位也不一样但通过求算术平方根运算又可以将他们联系在一起。二、例题 1．不通过计算，比较图中（1）（2）两组数据的平均值和标准差分析：平均值是反映一组数据的平均水平，标准差是反映一组数据与其平均值的离散程度。本例不通过计算，从折线图来估算标准差，应先估算平均值的大小。解：从图（1）（2）中可以看出，两组数据的平均值相等。（图（1）中数据与图（2）中前 10个数据相等, 且图（2）中后几个数据不影响平均值）。图（1）的标准差比图（2）的标准差大。（因为图（1）中各数据与其平均值离散程度大，图（2）中前10个数据与其平均值的离散程度与图（1）相同，而后几个数据与其平均值的离散程度小。因此整体上说图（2）所有数据与其平均值的离散程度小于图（1）。） 2．求下列数据的方差（小数点后保留两位）：5，7，9，9，10，11，13，14。分析：要求方差，必须先求平均数。解：

评价数据离散程度的指标

标准差标准差（Standard Deviation），也称（mean square error），是各数据偏离的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。标准差是方差的。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。标准差（Standard Deviation），在统计中最常使用作为程度（statistical dispersion）上的。标准差定义为的，反映组内个体间的离散程度。测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质：为非负数值，与测量资料具有相同单位。一个总量的标准差或一个的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。标准计算公式假设有一组数值X1,X2,X3,......Xn（皆为），其平均值为μ，公式如图1. 图1 标准差也被称为，或者实验标准差，公式如图2。图2 简单来说，标准差是一组数据分散程度的一种度量。一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。例如，两组数的集合{0, 5, 9, 14} 和{5, 6, 8, 9} 其平均值都是7，但第二个集合具有较小的标准差。

标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的。标准差数值越大，代表回报远离过去值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准差数值越细，代表回报较为稳定，风险亦较小。例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70，但A组的标准差为17.078分，B组的标准差为2.16分（此数据是在R统计软件中运行获得），说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。如是总体，根号内N=n，如是，标准差公式根号内N=（n-1)，因为我们大量接触的是样本，所以普遍使用根号内除以（n-1)。公式意义所有数减去其平均值的平方和，所得结果除以该组数之个数（或个数减一，即变异数)，再把所得值开根号，所得之数就是这组数据的标准差。深蓝区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围。在中，此范围所占比率为全部数值之68%。根据正态分布，两个标准差之内（深蓝，蓝）的

标准差教案样本

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征（2）标准差教学目标 1、了解方差、标准差的概念. 2、会求一组数据的方差、标准差，并会用她们表示数据的离散程度 3、能用样本的方差来估计总体的方差 4、经过实际情景，提出问题，并寻求解决问题的方法，培养学生应用数学的意识和能力教学重点与难点教学重点：本节教学的重点是方差的概念和计算，教学难点：本节教学的难点是方差的几何意义。情感目标会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。教学方法类比探究教学过程 A、复习回顾 1、样本的众数、中位数和平均数常见来表示样本数据的”中心值”。其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表示样本数据中的少量信息；平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大。当样本数据质量比较差时，使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，因此，我们需要一个数字特征用于刻画样本数据的离散程度。 2、何谓一组数据的极差？极差反映了这组数据哪方面的特征？一组数据中的最大值减去最小值所得的差叫做这组数据的极差，极差反映的是这组数据的变化范围或变化幅度，也称离散程度，但极差只能反映一组数据中

两个极值之间的大小情况 , 而对其它非极值数据的波动情况不敏感。如何做选择 ? 析：易得甲众数 =乙众数=7, 甲中位数 =乙中位数 =7, 计算可得两平均数亦等为 7。两人射击的众数、中位数、平均数都是一样的 , 置疑：两人的射击水平没有什么差异吗 ? 画图分析：甲成绩比较分散 ,乙成绩相对集中。看来 , 平均数还难以概括样本的实际状态 , 因此 , 我们还需要从另外的角度来考察这两组数据。思考：什么样的指标能够反映一组数据变化范围的大小 ? 我们能够用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差二最大值-最小值。甲的环数极差 =10-4=6 乙的环数极差 =9-5=4. 极差对极端值非常敏感 , 在一定程度上表明样本数据的的波动情况。但极差只能反映一组数据中两个极端值之间的差异情况 , 对其它数据的波动情况不敏感 , 到底是A 组还是B 组数据更加稳定呢？有必要重新找一个对整组数据波动情况更敏感的指标。本节课我们就要来学习反应一组数据稳定程度的两个量一一标准差、方差． C 、新知讲授一、标准差 1、考察样本数据的分散程度的大小 , 最常见的统计量是标准差。标准差是样本平均数的一种平均距离 , 一般用 s 表示．所谓”平均距离” , 其含义可作如下理解：假设样本数据是x1, x2,……xn,其中用X 表示这组数据的平均数 B 、问题引入有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶甲：787954910 乙：9578768 6 如果你是教练 , 你应当如何对这次射击作出评价 10 次, 每次命中的环数如下： 74 7 7 ?如果是一次选拔考核 , 你应该

计算全距平均差方差和标准差

计算全距、平均差、方差和标准差一、全距 R（range）全距是一组数据中的最大值（maximum）与该组数据中最小值（minimum）之差，又称极差。 R＝Xmax－Xmin 一般用于研究的预备阶段，用它检查数据的分布范围，以便确定如何进行统计分析原始数据计算公式三、四分位差(Quartile) 四分位差是第一个四分位数与第三个四分位数之差计算公式为 Q=Q 3-Q 1 四、方差与标准差方差：又称为变异数、均方，是每个数据与该组数据平均数之差乘方后的均值，是表示一组数据离散程度的统计指标。样本的方差用表示，总体的方差用表示。标准差是方差的算术平方根。一般样本的标准差用 S 表示，总体的标准差用表示。标准差和方差是描述数据离散程度的最常用的差异量。分组数据方差与标准差的计算公式方差与标准差的性质 ?方差是对一组数据中各种变异的总和的测量,具有可加性和可分解性特点。 ?标准差是一组数据方差的算术平方根，它不可以进行代数计算，但有以下特性：总体方差、标准差或者方差、标准才差的合成 ?方差具有可加性的特点。当已知几个小组数据的方差或标准差时，可

以计算几个小组联合在一起的总的方差或标准差。 ?需要注意的是，只有在应用同一种观测手段，测量的是同一种特质，只是样本不同的数据时，才能计算合成方差或标准差。方差和标准差的优点：方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好指标，其值越大，离散程度越大。应用方差和标准差表示一组数据的离散程度，须注意必须是同一类数据（即同一种测量工具的测量结果），而且被比较样本的水平比较接近。优点： ?反应灵敏。每个数据发生变化，方差与标准差也随之变化 ?有一定计算公式的严密确定 ?容易计算 ?受抽样变动的影响小 ?简单明了 ?方差具有可加性（区分变异源，组间/组内）五、差异系数（coefficient of variation）差异系数指标准差与其算术平均数的百分比，它是没有单位的相对数。用CV表示。何种情况下运用差异系数： ?两个或两个以上样本所测特质不同，即所使用的观测工具不同，如何比较两者的离散程度？ ?即使使用同一种观测量具，但样本水平相差较大，如何比较其离散程度？差异系数的作用 ?比较不同单位资料的差异程度 ?比较单位相同而平均数相差较大的两组资料的差异程度 ?可判断特殊差异情况

2017-2018学年高中数学第一章统计4.1-4.2平均数、中位数、众数、极差、方差标准差教学案北师大版必修3

4．1 & 4.2 平均数、中位数、众数、极差、方差标准差预习课本P25～31，思考并完成以下问题 (1)什么是平均数、中位数、众数？ (2)什么是极差、方差、标准差？ (3)方差、标准差的计算公式是什么？ [新知初探] 1．平均数、中位数、众数 (1)平均数如果有n 个数x 1，x 2，…，x n ，那么x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n ，叫作这n 个数的平均数． (2)中位数把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数． (3)众数一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个． [点睛] 如果有几个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这几个数据都是这组数据的众数；若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数． 2．极差、方差、标准差 (1)极差一组数据中最大值与最小值的差称为这组数据的极差． (2)方差标准差的平方s 2 叫作方差． s 2＝1 n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．

其中，x n 是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数． (3)标准差标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示．s ＝ 1n [ x 1－x 2 ＋x 2－x 2 ＋…＋x n －x 2 ]. [点睛] (1)标准差、方差描述了一组数据围绕着平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小． (2)标准差、方差为0时，表明样本数据全相等，数据没有波动幅度和离散性． (3)标准差的大小不会超过极差． [小试身手] 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平均数反映了一组数据的平均水平，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的变化．( ) (2)一组数据中，有一半的数据不大于中位数，而另一半则不小于中位数，中位数反映了一组数据的中心的情况．中位数不受极端值的影响．( ) (3)一组数据的众数的大小只与这组数据中的部分数据有关．( ) (4)数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定．( ) (5)数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ 2．在某次考试中，10名同学的得分如下：84,77,84,83,68,78,70,85,79,95.则这一组数据的众数和中位数分别为( ) A ．84,68 B ．84,78 C ．84,81 D ．78,81 解析：选C 将所给数据按从小到大排列得68,70,77,78,79,83,84,84,85,95，显然众数为84，而本组数据共10个，中间两位是79,83，它们的平均数为81，即中位数为81. 3.某学生几次数学测试成绩的茎叶图如图所示，则该学生这几次数学测试的平均成绩为________．解析：根据茎叶图提供的信息知，这几次测试成绩为 53,60,63,71,74,75,80.所以所求的平均成绩为1 7 ×(53＋60＋63＋71＋74＋75＋80)＝68. 答案：68 4.如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．

八年级初二数学《极差、方差和规范差》知识点

欢迎阅读页脚内容八年级数学《极差、方差和标准差》知识点极差、方差、标准差都是用来研究一组数据的离散程度，表示一组数据离散程度的指标．一、定义理解 1、极差极差是用来反映一组数据变化范围的大小．我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差就称为极差．极差＝最大值－最小值极差仅只表示一组数据变化范围的大小，只对极端值较为敏感，而不能表示其它更多的意义． 2 2S 表 s 23将个数据12x x ，方例1、甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行10次比赛得分如下：甲队：100，97，99，96，102，103，104，101，101，100 乙队：97，97，99，95，102，100，104，104，103，102 （1）求甲、乙两队的平均分和极差？（2）计算甲、乙两队的方差与标准差，并判断哪支球队发挥更为稳定？解：（1）3.10010010110110410310296999710010 1）＝（＝甲+++++++++?x 甲队的极差＝104－96＝8；甲队的极差＝104－95＝9 （2）61.5])3.100100()3.10099()3.100100[(10 12222＝甲-++-+-= S

欢迎阅读页脚内容甲队的标准差：37.261.5≈；乙队的标准差：03.321.9≈ 所以，由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此他们在联赛中发挥更为稳定一些．例2、对10盆同一品种的花施用甲、乙两种花肥，把10盆花分成两组，每组5盆，记录其花期：甲组：25，23，28，22，27 乙组：27，24，24，27，23 （1）10盆花的花期最多相差几天？（2）施用何种花肥，花的平均花期较长？（3）施用哪种保花肥效果更好？分析：花期的极差就是花期最多相差的天数，花的平均花期就是分别求得甲、乙两组数据的平得2甲S 1.2.0， 3.4. 5.． 6.x

如何衡量数据的离散程度

如果将数据集升序排列，即处于数据集3/4位置的数值减去1/4位置的数值。四分位距规避了数据集中存在异常大或者异常小的数值影响极差对离散程度的判断，但四分位距还是单纯的两个数值相减，并没有考虑其他数值的情况，所以也无法比较完整地表现数据集的整体离散情况。方差（Variance）方差使用均值作为参照系，考虑了数据集中所有数值相对均值的偏离情况，并使用平方的方式进行求和取平均，避免正负数的相互抵消：方差是最常用的衡量数据离散情况的统计量。标准差（Standard Deviation）方差得到的数值偏差均值取平方后的算术平均数，为了能够得到一个跟数据集中的数值同样数量级的统计量，于是就有了标准差，标准差就是对方差取开方后得到的：基于均值和标准差就可以大致明确数据集的中心及数值在中心周围的波动情况，也可以计算正态总体的置信区间等统计量。平均差（Mean Deviation）方差用取平方的方式消除数值偏差的正负，平均差用绝对值的方式消除偏差的正负性。平均差可以用均值作为参考系，也可以用中位数，这里使用均值：平均差相对标准差而言，更不易受极端值的影响，因为标准差是通过方差的平方计算而来的，但是平均差用的是绝对值，其实是一个逻辑判断的过程而并非直接计算的过程，所以标准差的计算过程更加简单直接。变异系数（Coefficient of Variation，CV）上面介绍的方差、标准差和平均差等都是数值的绝对量，无法规避数值度量单位的

《方差与标准差》教案

2.2 方差与标准差（教案）学习目标： 1、了解方差的定义和计算公式。 2. 理解方差概念的产生和形成的过程。 3. 会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。 4. 经历探索极差、方差的应用过程，体会数据波动中的极差、方差的求法时以及区别，积累统计经验。学习重、难点重点：方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题。掌握其求法，难点：理解方差公式，应用方差对数据波动情况的比较、判断。学习过程一、情景创设：乒乓球的标准直径为40mm ，质检部门从A 、B 两厂生产的乒乓球中各抽取了10只，对这些乒乓球的直径了进行检测。结果如下（单位：mm ）： A 厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，39.8，40.0，39.9，40.0，40.1； B 厂：39.8，40.2，39.8，40.2，39.9，40.1，39.8，40.2，39.8，40.2. 你认为哪厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小呢? （1）请你算一算它们的平均数和极差。（2）是否由此就断定两厂生产的乒乓球直径同样标准？今天我们一起来探索这个问题。探索活动通过计算发现极差只能反映一组数据中两个极值之间的大小情况，而对其他数据的波动情况不敏感。让我们一起来做下列的数学活动算一算把所有差相加，把所有差取绝对值相加，把这些差的平方相加。想一想你认为哪种方法更能明显反映数据的波动情况？二、新知讲授：讲授新知：（一）方差定义：设有n 个数据n x x x ，，， 21，各数据与它们的平均数的差的平方分别是 2221)()(x x x x --，，…，，， 2)(x x n -我们用它们的平均数，即用 ])()()[(1222212x x x x x x n x n -++-+-= 来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差（variance ），记作2s 。意义：用来衡量一批数据的波动大小在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定归纳：（1）研究离散程度可用2S （2）方差应用更广泛衡量一组数据的波动大小（3）方差主要应用在平均数相等或接近时

极差、方差与标准差-边讲边练(含答案)-

极差、方差与标准差学习目标 1．理解极差、方差、标准差可以用来表示一组数据的波动情况，?知道三个统计量各自的长处与不足． 2．学会用极差、方差与标准差来处理数据． 3．会用计算器（计算机）求方差和标准差．知识网络背景材料 1．反映一组数据集中程度的指标有哪些？ 2．如何反映一组数据的离散程度？反映一组数据离散程度的量有哪些？ 3．什么是极差？什么是方差？什么是标准差？方差与标准差的关系是什么？预习反馈 1．极差是，它反映了．

2．方差是标准差的，如果一组数据的方差是3，那么它的标准差是．知识要点详解 1．表示一组数据离散程度的指标（1）极差用一组数据中的最大数据减去最小的数据所得到的差来反映这组数据的变化范围，这个差就称为极差．（2）方差 ①定义一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方和的平均数叫做这组数据的方差． ②方差的意义方差是反映一组数据波动大小的量，它表示的是一组数据偏离平均值的情况上．方差越大，数据组的波动就越大． ③方差的计算公式数据x1，x2，x3, …n的方差是 S2=1 （x1-x）2+（x2-x）2+（x3-x）2+…+（x） n 注意：①上面的计算公式是一般情况下计算方差的办法；

②当数据组中的数据个数比较少且绝对值比较小时，又可以采用下面的公式来计算方差： [（x122232+…2）x2] S2=1 n ③如果数据组中的每一个数比较接近于常数a时，?也可以采用下面的公式计算方差： 1 [（x`12`22`32+…`2）x`2]（其中x1`、x2`、x3`……`分别n 等于x1、x2、x3……，?x`是数据组x1`、x2`、x3`……`的平均数）（3）标准差方差的算术平方根叫做标准差．标准差和方差一样，也是反映一组数据波动大小的指标．同样，标准差越大，数据组的波动就越大．触类旁通 1．求数据组9、10、11、12的方差．

数据离散程度的度量

数据离散程度的度量复习学案一、教学内容：第10章数据离散程度的度量二、复习目标： 1、通过复习熟练掌握考察数据离散程度的量及意义。 2、能根据数据统计结果作出简单判定与决策。三、本章知识结构：极差——概念概念——用科学方差——公式——计算器数据离散程度的度量计算方标准差——概念——差和标公式——准差。四、依据知识结构翻阅课本与笔记本记忆基本知识点 1、检查知识点 2、完成下列题目：（1）样本2，3，0，5，-7，6的极差是。（2）下面几个概念中，能体现一组数据离散程度的是。 A、平均数 B、中位数 C、众数 D、极差（3）数学老师对小明参加的4次中考模拟的考试成绩进行统计分析，判断小明成绩是否稳定的应计算的数学量是。 A、平均数 B、中位数 C、众数 D、方差（4）已知1，2，3，4，5的方差为s2，则11,12，13，14，15这组数的方差是。 3、专题研究：（1）甲、乙两个小组各6名同学，某次数学测验成绩如下：甲：76，90，84，86，81，81 乙：82，80，85，89，79，80 甲组的众数是，乙组的中位数是，甲组的方差是，乙组的方差是，由计算知学习成绩较稳定的小组是。（2）为了从甲、乙两名射击选手中选出一人参加射击比赛，辅导员对它们的实际水平进行了测试，每人射击10次，成绩如下：甲：9，9，10，8，6，10，10，8，10，8 乙：10，8，7，10，10，10，10，8，7，8 你如何帮助辅导员作出决策？四、课堂达标： 1、下列说法正确的是（）

A、如果两名运动员的训练成绩的平均数、众数、中位数相同则他们的成绩一样 B、一组数据的方差总是大于标准差 C、一组数据的方差越大，则这组数据的波动越小 D、一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小 2、已知一组数据为-1，0，x，1，-2的平均数是0那么这组数据的方差是。 3、一组数据x1，x2，……x n的方差s2=0.36，则这组数据x1，x2，…… x n，x的方差是（）。 4、一个样本的方差s2=1/50【（x1- 5）2+（x2- 5）2+……+（x n- 5）2】那么这个样本的容量是，平均数是。 5、已知样本x1，x2，……x n的方差为2，平均数是6，则3x1+2，3x2+2，…… 3x n+2的方差是，平均数是。五、小结（学生先独立小结，小组再整合）：六、作业：

华师大版数学八下极差方差标准差教案

华师大版数学八下极差方差标准差教案集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]

极差、方差与标准差第1课时 (一)本课目标 1.理解极差的概念及应用. 2.明确极差是刻画数据离散程序的一个统计量. 3.能够举出一些利用极差进行比较的例子. 重点：极差的概念及应用难点: 极差概念的引入. (二)教学流程 1.情境导入播放多媒体──教材中的导图“你喜欢住在哪个城市”(?或用投影幻灯片或由教学挂图展示).观察导图,?讨论用什么样的数来反映数据的高低起伏的变化大小比较合适. 2．阅读教材P 30-131 3.师生互动互动1 师:用平均数、中位数或众数代表数有什么不同

生:思考、讨论、交流. 明确通过复习旧知,导入本节课的内容. 互动2 师:在导图中,为什么说北京“四季分明”，而新加坡“四季温差不大” 生:思考、讨论、交流. 明确通过讨论,学生初步感知:最大值与最小值的差可以用来表示数据高低起伏的变化大小. 出示投影:课本第135页表上海每日最高气温统计表(单位:℃) 表上海每日最高气温统计表(单位:℃)

互动3 师:表显示的是上海2001年2月下旬和2002年同期的每日最高气温.?从表上看,2002年和2001年2月下旬的气温相比,有4天的温度相对高些,有3天的温度相对低些,还有1天的温度相同.我们是否可以由此认为2002年2月下旬的气温比2001年高呢生:小组交流、发表意见. 师:比较两段时间气温的高低,求平均气温是一种常用的方法.?请你计算其平均数. 生:动手、交流.(都是12℃) 师:这是不是说,两个时段的气温情况没有什么差异呢生:思考、讨论. 明确平均气温(即平均数)是比较两组数据平均水平的一种常用的方法,?但它反映不出一组数据的离散程度,由此引入极差的概念.(板书:1.表示一组数据离散程度的指标──极差.) 互动4 师:根据两段时间的气温情况绘成折线图,请同学们观察,它们有差别吗

如何衡量数据的离散程度

如何衡量数据的离散程度 Revised by Jack on December 14,2020

如何衡量数据的离散程度我们通常使用均值、中位数、众数等统计量来反映数据的集中趋势，但这些统计量无法完全反应数据的特征，即使均值相等的数据集也存在无限种分布的可能，所以需要结合数据的离散程度。常用的可以反映数据离散程度的统计量如下：极差（Range）极差也叫全距，指数据集中的最大值与最小值之差：极差计算比较简单，能从一定程度上反映的数据集的离散情况，但因为最大值和最小值都取的是极端，而没有考虑中间其他数据项，因此往往会受异常点的影响不能真实反映数据的离散情况。四分位距（interquartile range，IQR）我们通常使用箱形图来表现一个数据集的分布特征：一般中间矩形箱的上下两边分别为数据集的上四分位数（75%，Q3）和下四分位数（25%，Q1），中间的横线代表数据集的中位数（50%，Media，Q2），四分位距是使用Q3减去Q1计算得到：如果将数据集升序排列，即处于数据集3/4位置的数值减去1/4位置的数值。四分位距规避了数据集中存在异常大或者异常小的数值影响极差对离散程度的判断，但四分位距还是单纯的两个数值相减，并没有考虑其他数值的情况，所以也无法比较完整地表现数据集的整体离散情况。方差（Variance）方差使用均值作为参照系，考虑了数据集中所有数值相对均值的偏离情况，并使用平方的方式进行求和取平均，避免正负数的相互抵消：方差是最常用的衡量数据离散情况的统计量。标准差（Standard Deviation）方差得到的数值偏差均值取平方后的算术平均数，为了能够得到一个跟数据集中的数值同样数量级的统计量，于是就有了标准差，标准差就是对方差取开方后得到的：

初三复习案：极差、方差与标准差——数据的离散程度

初三复习案：极差、方差与标准差——数据的离散程度【学习目标】一. 教学内容：数据的离散程度二. 学习目标： 1. 掌握极差的定义，了解极差反映一组数据的变化范围，能够通过极差的大小来判断一组数据的波动情况。 2. 了解衡量一组数据的波动大小除了平均数、极差外，还有方差、标准差、理解方差、标准差的定义，会计算一组数据的方差和标准差，了解样本的方差，样本标准差、总体方差的意义，会用简化的计算公式求一组数据的方差、标准差，会比较两组数据的波动情况。三. 重点：极差的定义，方差、标准差的应用。四、难点：会用极差的意义判断一组数据的波动情况，利用方差、标准差描述社会生活的方方面面，在实际运用时理解相关数据之间的规律。【学习内容】（一）知识要点知识点1：表示数据集中趋势的代表平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。知识点2：表示数据离散程度的代表极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。极差=最大值－最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。知识点3：生活中与极差有关的例子在生活中，我们经常用极差来描述一组数据的离散程度，比如一支篮球队队员中最高身高与最矮身高的差。一家公司成员中最高收入与最低收入的差。知识点4：平均差的定义在一组数据x 1，x 2，…，x n 中各数据与它们的平均数- x 的差的绝对值的平均数即 T= |)x x ||x x ||x x (|n 1 n 21----+???+-+-叫做这组数据的“平均差” 。 “平均差”能刻画一组数据的离散程度，“平均差”越大，说明数据的离散程度越大。知识点5：方差的定义在一组数据x 1，x 2，…，x n 中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即 S 2=])x x ()x x ()x x [(n 12n 2 221- ---+???+-+-来描述这组数据的离散程度，并把S 2叫做这组数据的方差。知识点6：标准差方差的算术平方根，即用S=])x x ()x x ()x x [(n 12n 2 221----+???+-+-来描述这一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。知识点7：方差与平均数的性质若x 1，x 2，…x n 的方差是S 2 ，平均数是- x ，则有

评价数据离散程度的指标

评价数据离散程度的指标文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688]

简单来说，标准差是一组数据分散程度的一种度量。一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。例如，两组数的集合 {0, 5, 9, 14} 和 {5, 6, 8, 9} 其平均值都是7，但第二个集合具有较小的标准差。标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的。标准差数值越大，代表回报远离过去值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准差数值越细，代表回报较为稳定，风险亦较小。例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70，但A组的标准差为17.078分，B组的标准差为2.16分（此数据是在R统计软件中运行获得），说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。如是总体，根号内N=n，如是，标准差公式根号内N=（n-1)，因为我们大量接触的是样本，所以普遍使用根号内除以（n-1)。公式意义

极差方差标准差

20.2 数据的波动程度 20.2.1极差教学目标 1、理解极差的定义，知道极差是用来反映数据波动范围的一个量 2、会求一组数据的极差重点、难点和难点的突破方法 1、重点：会求一组数据的极差 2、难点：本节课内容较容易接受，不存在难点。例习题的意图分析教材P151引例的意图（1）、主要目的是用来引入极差概念的（2）、可以说明极差在统计学家族的角色——反映数据波动范围的量（3）、交待了求一组数据极差的方法。课堂引入：引入问题可以仍然采用教材上的“乌鲁木齐和广州的气温情”为了更加形象直观一些的反映极差的意义，可以画出温度折线图，这样极差之所以用来反映数据波动范围就不言而喻了。例习题分析本节课在教材中没有相应的例题，教材P152习题分析问题1 可由极差计算公式直接得出，由于差值较大，结合本题背景可以说明该村贫富差距较大。问题 2 涉及前一个学期统计知识首先应回忆复习已学知识。问题3答案并不唯一，合理即可。随堂练习： 1、一组数据：473、865、368、774、539、474的极差是，一组数据1736、1350、-2114、-1736的极差是 . 2、一组数据 3、-1、0、2、X的极差是5，且X为自然数，则X= . 3、下列几个常见统计量中能够反映一组数据波动范围的是（） A.平均数 B.中位数 C.众数 D.极差 4、一组数据X 1、X 2 …X n 的极差是8，则另一组数据2X 1 +1、2X 2 +1 (2) n +1 的极差是（） A. 8 B.16 C.9 D.17 答案：1. 497、3850 2. 4 3. D 4.B 七、课后练习： 1、已知样本9.9、10.3、10.3、9.9、10.1，则样本极差是（） A. 0.4 B.16 C.0.2 D.无法确定在一次数学考试中，第一小组14名学生的成绩与全组平均分的差是2、3、-5、 10、12、8、2、-1、4、-10、-2、5、5、-5，那么这个小组的平均成绩是（） A. 87 B. 83 C. 85 D无法确定 3、已知一组数据2.1、1.9、1.8、X、2.2的平均数为2，则极差是。 4、若10个数的平均数是3，极差是4，则将这10个数都扩大10倍，则这组数据的平均数是，极差是。