圆锥曲线一轮复习
如题21
2
的椭圆222
2
:
1(0)x y C a b a
b
+
=>>过点M （2，1）
，O 为坐标原点，平行于OM 的直线l 交椭圆C 于不同的两点A 、B 。 （1）求椭圆C 的方程。
（2）证明：直线MA 、MB 与x 轴围成一个等腰三角形。
解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为:
)0(12
22
2>>=+
b a b
y a
x ．
由题意得:?????==???????
?=++==2
81
14,232
2
2
22
22
b a b
a
c
b a
a
c
∴ 椭圆方程为
12
8
2
2
=+
y
x
．……………5分
（Ⅱ）由直线OM
l //,可设m x y l +=2
1: 将式子代入椭圆C 得:
04222
2
=-++m mx x
设),(,),(2211y x B y x A ,则,221m x x -=+422
21-=m x x … 设直线MA 、MB 的斜率分别为1k 、2k ，则2
1111--=
x y k 2
1222--=
x y k ……………8分
下面只需证明：021=+k k ，事实上，2
12
12
12
1
221121--++--+=
+x m x x m x k k
=++--+?
+=-+
-+=4
)(241)2
12
1(
121212121x x x x x x m x x m
m +104
)2(2424
22
=+-----?
m m m
故直线MA 、MB 与x 轴围成一个等腰三角形．……………12分
已知椭圆
12
22
2=+
b
y a
x （0>>b a ）过点M （0，2）
，离心率3
6=e .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过定点N （2，0）的直线l 与椭圆相交于B A 、两点，且AOB ∠为锐角（其中
O 为坐标原点),求直线l 倾斜角的取值范围.
解：（Ⅰ）由题意得3
6,
2=
=a
c b
结合222c b a +=，解得122=a
所以，椭圆的方程为
14
12
2
2
=+
y
x
. ………………4分
（Ⅱ） 设),(),,(2211y x B y x A ，则),(OB ),,(OA 2211y x y x ==. ①当221==x x 时，不妨令)3
62,2(OB ),3
62,
2(OA -
==
03
43
84OB OA >=
-
=?，当斜率不存在时，AOB ∠为锐角成立 ………………6分
②当21x x ≠时，设直线l 的方程为：)2(-=x k y
由???????-==+)
2(14
122
2x k y y
x 得12)2(3222=-+x k x 即0121212)31(2
222=-+-+k x k x k .
所以2
2
212
2213112
12,3112k
k
x x k
k
x x +-=
?+=
+， ………………8分
]4)(2[()2)(2(21212
212
21++-=--=?x x x x k x x k y y
2
2
4
2
42
2
4
314123124311212k
k
k
k
k
k k
k
+++
+-
+-=
2
2
318k
k
+-
= ………………10分
2121OB OA y y x x +=?
03112
42
2
>+-=k
k
解得33-<>k k 或. ……………………12分
综上，直线l 倾斜角的取值范围是)3
2,3(
ππ . …………………13分
已知椭圆12
22
2=+
b
y a
x （0>>b a ）过点M （0，2），离心率3
6=e .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线1+=x y 与椭圆相交于B A 、两点，求AMB S ?.
解：（Ⅰ）由题意得3
6,2==a
c b
结合222c b a +=，解得122=a
所以，椭圆的方程为
14
12
2
2
=+
y
x
. ………………5分
（Ⅱ）由???????+==+1
14
122
2x y y
x 得12)1(322=++x x ………………6分
即09642
=-+x x ，经验证0>?.
设),(),,(2211y x B y x A . 所以4
9,2
32121-
=?-
=+x x x x ， ………………8分 2
212
212
21)2)()AB x x y y x x -=
-+-=（（，
2
103]4)[2AB 212
21=
-+=
x x x x （ ………………11分
因为点M 到直线AB 的距离2
22
1
20=
+-=
d ， ………………13分
所以4
532
22
1032
12
1=
?
?
=
??=
?d AB S AMB . ………………14分
已知椭圆()2
2
220y x
C a b a b
：+＝1＞＞A 的直线l 与椭圆C 相交于A 、
B 两点，且(13)B --，.
（1）求椭圆C 和直线l 的方程；
（2）记曲线C 在直线l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．若曲线
222
2440x mx y y m -+++-=与D 有公共点，试求实数m 的最小值．
解:（1）由离心率3
e =
3
a =
223a b =. ① ……2分
又点(13)B --，在椭圆222
2
:
1y x C a
b
=+
上，
即2
2
2
2(3)(1)1a
b --=+. ② ……4分
解 ①②得2
2
124a b ==，，故所求椭圆方程为
2
2
1124
y
x
+
=. ……5分
由(20)(13)A B --，，，得直线l 的方程为2y x =-. ………6分
（2）曲线2222440x mx y y m -+++-=，即圆22()(2)8x m y -++=，其圆心
坐标为(2)G m -，，半径r =2y =-上，半径为动圆.由于要求实数m 的最小值，由图可知，只须考虑0m <的情形.
设G 与直线l 相切于点T
=，得4m =±，………… 10分
当4m =-时，过点(42)G --，与直线l 垂直的直线l '的方程为60x y ++=，解方程组
6020x y x y ++=??
--=?
，
得(24)T --，.……………… 12分 因为区域D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为12-，，所以切点T D ?，由图可知当
G
过点B 时，m 取得最小值，即22(1)(32)8m --+-+=，解得m in 1m =- (14)
分
、过点)1,0(C 的椭圆
)0(12
22
2>>=+
b a b
y
a x
的离心率为
23
，椭圆与x 轴交于两点
(,0),(,0)A a B a -，
过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q
（1）当直线l 过椭圆的右焦点时，求线段CD 的长； （2）当点P 异于点B 时，求证：OQ OP ?为定值
设直线l 的方程为)210(1≠
≠+=k k kx y 且
代入椭圆的方程，化简得08)14(22=++kx x k ，解得1
4802
21+-=
=k
k x x 或
代入直线l 的方程，得1
441,12
2
21+-=
=k k
y y
所以，D 的坐标为)1
441,148(
2
2
2
+-+-k k
k
k 又直线AC 的方程为
12
=+y x ，直线BD 的方程为)2(4221+-+=
x k
k y
联立解得??
?+=-=1
24k y k x 即)12,4(+-k k Q
而P 的坐标为)0,1(k
- 所以4)12,4()0,1(=+-?-=?k k k
OQ OP 即OQ OP ?为定值
设椭圆1C ：
222
2
1(0)x
y
a b a b
+
=>>的左、右焦点分别是
21,F F ，下顶点为A ，线段OA 的中点为B （O 为坐标原点）
， 如图．若抛物线2C ：2
1y x =-与y 轴的交点为B ，且经过21,F F 点．
（Ⅰ）求椭圆1C 的方程； （Ⅱ）设)5
4,0(-
M ，N 为抛物线2C 上的一动点，过点N 作抛
物线2C 的切线交椭圆1C 于Q P ,两点，求MPQ ?的最大值． 解：（Ⅰ）由题意可知B （0，-1），则A （0，-2），故2b =．
令0y =得210x -=即1x =±，则 1F (-1，0)，2F （1，0），故1c =． 所以2
2
2
5a b c =+=．于是椭圆1C 的方程为：
2
2
15
4
x
y
+
=
（Ⅱ）设N （2,1t t -），由于'2y x =知直线PQ 的方程为：
2
(1)2()y t t x t --=-． 即2
21y tx t =--．
代入椭圆方程整理得：222224(15)20(1)5(1)200t x t t x t +-+++-=,
2
2
2
2
2
2
400(1)80(15)[(1)4]t t t t ?=+-++-=4
2
80(183)t t -++,
2
122
5(1)15t t x x t
++=
+ , 22
122
5(1)204(15)
t x x t +-=
+,
故12PQ x =-=
2
15t
=
+．
设点M 到直线PQ 的距离为d
，则d =
=
=
．
所以
，MPQ
?的面积
S 12
P Q d =
?2
2
15t
=
+
=
=
5
≤
=
当3t =±时取到“=”，经检验此时0?>，满足题意．
综上可知，MPQ ?
5
已知点)2,1(A 是离心率为2
2的椭圆C ：)0(12
22
2>>=+
b a a
y b
x 上的
一点。斜率为2直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合。 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）ABD ?面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？
又点)2,1(在椭圆上 ∴
12212
2
=+
c
c
， 22
=∴c
∴2=a ，2=b ， ∴椭圆方程为
14
2
2
2
=+
y
x
……………………4分
∴06482>+-=?b 2222<<-?b
,2
221b x x -=+ 4
42
21-=
b x x ……………………7分
设d 为点A 到直线b x y +=2的距离， ∴3
b d =
……………9分
∴2
2)8(4
22
1b b d BD S ABD -=
=
? ……………………10分
已知椭圆
222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>的左焦点为F (0),离心率e=
2
,M 、N 是椭圆
上的的动点。
（Ⅰ）求椭圆标准方程；
（Ⅱ）设动点P 满足：2OP OM ON =+ ，直线OM 与ON 的斜率之积为1
2
-，问：
是否存在定点12,F F ，使得12PF PF +为定值？，若存在，求出12,F F 的坐标，若不存在，说明理由。
（Ⅲ）若M 在第一象限，且点,M N 关于原点对称，点M 在x 轴上的射影为A ，连接N A
并延长交椭圆于点B ，证明：M N M B ⊥； 20.解：
（Ⅰ）由题设可知：2,2c a c c a
?=?
==
?=
??……………………………2分
故2222b a c =-=……………………………3分 故椭圆的标准方程为：
2
2
14
2
x
y
+
=……………………………4分
（Ⅱ）设1122(,),(,),(,)p P P x y M x y N x y ，由2OP OM ON =+
可得： 12
12
2.............2P P x x x y y y =+??
=+?①……………………………5分 由直线OM 与ON 的斜率之积为12
-
可得：
1212
12
y y x x =-
，即121220............x x y y +=②……………………………6分
由①②可得：()()2
2
222222121211222222(2)(2)P
P x y x x y y x y x y +=+++=+++ M 、N 是椭圆上，故2222
112224,24x y x y +=+=
故2228P
P
x y +=，即
2
2
18
4
P P x y +
=……………..8分
由椭圆定义可知存在两个定点12(2,0),(2,0)F F -，使得动点P 到两定点距离
和为定值……………………………….9分； （Ⅲ）设1122(,),(,)M x y B x y 由
题
设
可
知
1120
,0,0
x y x y x >>
>
>
≠
………..10分
由题设可知A B l 斜率存在且满足1211
21
2N A N B y y y k k x x x +=∴
=
+………….③
121
1
21
11.........
M N M B
y y y k k
x x x
-?+=?
+-④…………………12分
将③代入④可得：
2
2
2
2
21212
21122
212121
2()(2)(2)
11M N M B
y y y y x y x y k k x x x x x x +-+-+?+=?+=+--……
⑤………….13分 点
,M B
在
椭
圆
2
2
1
4
2
x
y
+
=，
故
2
2
2
2
22112
22221
2
1
(2)
(2
)
4410M N M B x y
x y
k k x x
x x
+-+
-?+=
=
=--
所以101M N M B M N M B k k k k M N M B ?+=∴?=-∴⊥…………14分
如图，正方形ABCD 内接于椭圆
222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>，且它的四条边与坐标轴平行，正
方形MNPQ 的顶点M ，N 在椭圆上，顶点P ，Q 在正方形的边AB 上，且A ，M 都在第一象限．
（I ）若正方形ABCD 的边长为4，且与y 轴交于E ，F 两点，正方形MNPQ 的边长为2． ①求证：直线AM 与△ABE 的外接圆相切； ②求椭圆的标准方程．
（II ）设椭圆的离心率为e ，直线AM 的斜率为k ，求证：2
2e k -是定值．
（Ⅰ）①依题意：(2,2)A ，(4,1)M ，(0,2)E -(2,1),(2,4)AM AE ∴=-=--
0A M A E A M A E ∴?=∴⊥
3分
AE 为Rt ABE ?外接圆直径∴直线A M 与ABE ?的外接圆相切； 5分
②由??
?
??
2
2
2
2
441
16
1
1
a b a
b
+=+
=解得椭圆标准方程为
2
2
120
5
x
y
+
=． 10分
（Ⅱ）设正方形A B C D 的边长为2s ，正方形M NPQ 的边长为2t ，
则(,)A s s ，(2,)M s t t +，代入椭圆方程
222
2
1x y a
b
+
=得
???
??
222
22
22
2
1(2)1s s a
b
s t t a
b
+
=++=????
?
?2
2
2
21(3)
1
4(3)
s t a s s t t b
s s t -=+=
+22
2
514b t s
e a
t
-∴=-
=
14分 (2)2t s
t s k s t s
t --=
=
+- 2
22e k ∴-=为定值． 15分
设点E 、F 分别是椭圆222
2
:1(0)x y C a b a
b
+=>>的左、右焦点，过点E 垂直于椭圆长轴的
直线交椭圆于A 、B 两点，ABF ?是正三角形。 （1）求椭圆的离心率；
（2
）过定点(0)D 作直线l 与椭圆C 交于不同的两点P 、Q ，且满足2D P Q D =
，
O 是坐标原点。当OPQ ?的面积最大时，求椭圆的方程。
设点E、F分别是椭圆
22
22
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>的左、右焦点，过点E垂直于椭圆长轴的
直线交椭圆于A、B两点，ABF
?是正三角形。
（1）求椭圆的离心率；
（2）设椭圆C的焦距为2，过点P（3，0）且不与坐标轴重合的直线交椭圆C于M、N两点，点M关于x轴的对称点为'
M N过x轴一定点，并求此定
M，求证：直线'
点坐标。
已知抛物线x y 42=的焦点为F
（1）若直线l 过点M （4，0），且F 到直线l 的距离为2，求直线l 的方程；
（2）设A ，B 为抛物线上两点，且AB 不与X 轴垂直，若线段AB 中点的横坐标为2.求证：线段AB 的垂直平分线恰过定点。
22解：（1）由已知，x=4不合题意。设直线L 的方程为)4(-=x k y ，
由已知，抛物线C 的焦点坐标为（1，0）， …………………………1分
因为点F 到直线l 的距离为2，所以21|3|2
=+k
k ， (3)
分 解得5
52±=k ，所以直线L 的斜率为5
52±
. (5)
分
所以直线l 的方程为)4(5
52-±=x y (7)
分
（2）设A 、B 坐标为A （11,y x ），B （22,y x ），
因为AB 不垂直于x 轴，设直线AB 的方程为b kx y +=， ……………………8分
联立方程???+==b
kx y x y 42，消去y 得
0)42(2
2
2
=+-+b x bk x k ， (9)
分 2
2124k
bk x x -=
+，
因为AB 中点的横坐标为2，故
4242
=-k
bk
整理得k
k b 2
22-=
.
由AB 中点的坐标为（2，2k+b ）
得AB 垂直平分线的方程为：)2(1)2(--=+-x k
b k y （※）， (12)
分 将k
k b 2
22-=
代入方程（※）并化简整理得：
04=-+ky x 显然定点（4，0）.
线段AB 的垂直平分线恰过定点（4，0） …………………………14分
.已知抛物线的顶点在坐标原点O ，焦点F 在x 正半轴上，倾斜角为锐角的直线l 过F 点。设
直线l 与抛物线交于A 、B 两点，与抛物线的准线交于M 点，.0,>=λλ其中FB MF （I ）若1=λ，求直线l 的斜率；
（II ）若点A 、B 在x 轴上的射影分别为A 1、B 1，且||2|,||,|11F A OF F B 成等差数列，
求λ的值。
依题意设抛物线方程为),(),,(),0(222212y x B y x A p px y >=， 直线,,0,0y M k k l 点的纵坐标为的斜率为>
则l p x p F 直线准线方程为
,2
),0,2
(
-
=的方程为
.0),,2
(),2(20>-
-
=y y p M p x k y
因为,FB MF λ= 即),,2
(),(020y p x y p -=-λ
故).2(2p x p -
=λ
（I ）若02),2
(,1222
22>=-
==y px y p x p 及由时λλ得
????
?
==.3,232
2
p y p x
故点B 的坐标为).3,2
3(
p p
所以直线.32
2303=--=
=p p p k k l BF 的斜率 5分
（II ）联立y p x k y px y 消去)2
(,22-
==得
.04
)2(2
2
2
22=+
+-p k x p p k x k
则.4
2
21p
x x =
又,2
2p p
x +
=
λ 7分
故.4
2)
2
(
442
2
2
1+=+
==
λλλ
p p p
p x p
x 9分
因为||2|,||,|11F A OF F B 成等差数列， 所以.||2||2||11OF F A F B =+ 故.)2
(2)2(12p x p p x =-+-即.2212p x x =
-
将4
22
12+=
+=
λλλp
x p p x 和代入上式得
2
1+=
λλ
λ由20=>λλ解得。 12分
已知点()1,0A -，()1,1B -，抛物线x y C 4:2
=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于,M P ，直线M B 交抛物线C 于另一点Q ． （I ）若向量OM 与OP 的夹角为
4
π
,求P O M ?的面积；
（II ）证明：直线PQ 恒过一个定点.
解：（I ）设点P y y P y y M ),,4
(
),,4
(
22
212
1,,M A 三点共线，
1122
221
1
2
,,1
4
4
4
AM PM y y y k k y
y
y
-∴==
+-
即
4,14
212
121
1=∴+=
+y y y y y y 即
， ----3分
.54
4
212
22
1=+?
=
?∴y y y y OP OM
?45的夹角为与向量OP OM ，2545cos ||||=???∴OP OM ，
.2
545sin ||||2
1=
???=
∴?OP OM S POM ----------------7分
（II ）设点Q B M y y Q ,,),,4
(
32
3 三点共线，,QM BQ k k =∴
313322223
3
1
3
13
111,,4
1
4
4
4
y y y y y
y
y
y y y +-+=
=
-+--
即
即
2
31331313(1)()4,40.y y y y y y y y ∴++=-+++=即 ----------------11分
,0444,4,432
32
2
121=+++
?∴
=
=y y y y y y y y 即
即.(*)04)(43232=+++y y y y
,44
4
3
223
22
32y y y
y
y y k PQ +=
-
-=
)4
(42
23
22y x y y y y PQ -
+=
-∴的方程是直线，
即.4)(,4))((32322
2322x y y y y y y x y y y y =-+-=+-即
由（*）式，,4)(43232++=-y y y y 代入上式，得).1(4))(4(32-=++x y y y
由此可知直线PQ 过定点()1,4E -. ----------------15分
圆锥曲线解题技巧和方法综合(方法讲解+题型归纳,经典)
圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程： 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？
22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是（ ） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为 “左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什 么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，
圆锥曲线方法归纳
圆锥曲线方法归纳 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13422=+y x 的弦AB 中点则有 1342121=+y x ，1342222=+y x ；两式相减得()()03422 2 12221 =-+-y y x x ?()() ()() 3421212121y y y y x x x x +--=+-?AB k =b a 43- (ⅰ)涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点和弦斜率问题时，常用“点差法”“设而不求”整体来求，借助于一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解．但在求得直线方程后，一定要代入原方程进行检验． (ⅱ)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤： 设点——设出弦的两端点坐标 ↓ 代入——代入圆锥曲线方程 ↓ 作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开 ↓ 整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解 1. 已知椭圆x 2＋2y 2＝4，求椭圆上以(1, 1)为中点的弦所在的直线方程？
2. 如果椭圆x 236＋y 29＝1的弦被点A (4, 2)平分，求这条弦所在的直线方程 3. 已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a ＞b ＞0)相交于A , B 两点，且线段AB 的中 点在直线l ：x －2y ＝0上，则此椭圆的离心率为 ． 4. 过点M (1, 1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a ＞b ＞0)相交于A , B 两点， 若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ． 5. 已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A , B 两点，若 线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ． 6. 已知双曲线E 的中心为原点，F (3, 0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A , B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为
圆锥曲线大题专题训练答案和题目
圆锥曲线大题专题训练 1．如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心．以(0)t t >为半径的圆分别 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ． （Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式 （Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a +， 求证：直线CD 的斜率为定值． 1.解： （Ⅰ）由题意知，(A a ． 因为OA t =，所以2 2 2a a t +=．由于0t > 由点(0)(0)B t C c ，，，的坐标知，直线BC 的方程为 1c t +=． 又因点A 在直线BC 上，故有 1a c +=，将（1）代入上式，得1a c =， 解得2c a =+ （Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为 1CD k = ===-． 所以直线CD 的斜率为定值． 2．设F 是抛物线2 :4G x y =的焦点． （I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =u u u r u u u r g ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求 四边形ABCD 面积的最小值． 2.解：（I ）设切点2 004x Q x ?? ???，．由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为 2000()42x x y x x -=-． 即2 04 24x x y x =-． 因为点(0)P -4，在切线上． 所以2 044 x -=-，2 016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-． （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，． 由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >．
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义
Ⅰ复习提问 一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断 判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （也可以消去x ）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立 (,)0 Ax By C F x y ++=?? =?消去y 后得20ax bx c ++= （1）当0a =时，即得到一个一元一次方程，则l 与C 相交，有且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平行。 （2）当0a ≠时，0?>，直线l 与曲线C 有两个不同的交点；0?=，直线l 与曲线C 相切，即有唯一公共点（切点）；0?<，直线l 与曲线C 相离。 二、圆锥曲线的弦长公式 相交弦AB 的弦长 1212AB AB AB x y y ? ?=???=???=-==-??? 三、中点弦所在直线的斜率 （1）若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>时，以P 00（x ,y ）为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =-≠0 0x y ， 即22op b k k a =- ；若椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>时，相应结论为202(0)a k y b =-≠0 x y ，即22op a k k b =- ； （2）P 00（x ,y ）是双曲线22221x y a b -=内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =≠0 x y ，即 22op b k k a = ； 若双曲线方程为22221y x a b -=时，相应结论为202(0)a k y b =≠0 x y ，即22op a k k b = ； （3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)p k y = ≠0 y ； 若方程为22x py =时，相应结论为k p =0 x 。
圆锥曲线解题技巧教案
圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结 1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答2） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝ 1（0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ， C 同号，A ≠B ）。 如（1）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（答： 11 (3,)(,2)22 ---） ； （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1 （0,0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ， B 异号）。 如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2= e 的双曲线C 过点 )10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=） （3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口 向上时22(0)x py p =>，开口向下时2 2(0)x py p =->。 如定长为3的线段AB 的两个端点在y=x 2上移动，AB 中点为M ，求点M 到x 轴的最短距离。 4 5 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 1
圆锥曲线知识点全归纳完整精华版
圆锥曲线知识点全归纳 完整精华版 YUKI was compiled on the morning of December 16, 2020
圆锥曲线知识点全归纳（精华版） 圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0
文科圆锥曲线专题练习及问题详解
文科圆锥曲线 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ?是底角为30的等腰三 角形，则E 的离心率为（ ） () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思 想，是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为0 30的等腰三角形， ∴322c a = ，∴e =3 4 ， ∴0260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ， 2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（ ） ()A ()B ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解 得y =||AB =a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C. 3.已知双曲线1C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距 离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线x y 3=的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ） 2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。 【解析】因为242c c =?=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =?==，所以2 2 2 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点，点 P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=
最新圆锥曲线一轮复习
如题21图，已知离心率为3 的椭圆 22 22 :1(0) x y C a b a b +=> >过点M（2，1），O为坐标 原点，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A、B。 （1）求椭圆C的方程。 （2）证明：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形。 解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为:)0 (1 2 2 2 2 > > = +b a b y a x ． 由题意得: ?? ? ? ? = = ? ? ? ? ?? ? ? = + + = = 2 8 1 1 4 , 2 3 2 2 2 2 2 2 2 b a b a c b a a c ∴椭圆方程为1 2 8 2 2 = + y x ．……………5分 （Ⅱ）由直线OM l//,可设m x y l+ = 2 1 :将式子代入椭圆C得: 4 2 22 2= - + +m mx x 设) , ( ,) , ( 2 2 1 1 y x B y x A,则, 2 2 1 m x x- = +4 22 2 1 - =m x x… 设直线MA、MB的斜率分别为1k、2k，则 2 1 1 1 1- - = x y k 2 1 2 2 2- - = x y k……………8分 下面只需证明：0 2 1 = +k k，事实上， 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1- - + + - - + = + x m x x m x k k = + + - - + ? + = - + - + = 4 ) (2 4 1 ) 2 1 2 1 ( 1 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x m x x m m + 10 4 ) 2 (2 4 2 4 2 2 = + - - - - - ? m m m 故直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．……………12分
圆锥曲线解题技巧和方法综合(全)
圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型： (1) 中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两点为(小，儿)，匕2，)，2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论)，消去四个参数。 x2 y2 如：(1) —+ —= 1(?>Z?>O)与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(xo,yo),則有cr lr 典+卑《 = 0。 a- \r 2 2 (2) 冷一亠= l(d>0“>0)与直线I相交于A、B,设弦AB中点为M(x°,y°)則有cr Zr 算-辱0 a~ b- (3) y2=2px (p>0)与直线I 相交于A、B 设弦AB 中点为M (x。, y0),则有 2y?k=2p,即y o k=p. 典型例题给定双曲线，一斗=1。过A (2, 1)的直线与双曲线交于两点片及鬥，求线段片人的中点P的轨迹方程。 (2) 焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点p,与两个焦点仟、竹构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 X2 y2 典型例题设P(X, y)为椭IS—+ —= 1上任一点，F](—C0),化(c,0 )为焦点， cr lr
APF}F2 =a9 ZPF占=0。 (1) 求证离心率“血3+0): sin a + sin 0 (2) 求IPFf + PFJ’的灵值。 (3) 直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定艾去解。 典型例题 抛物线方程y? =p(x +1)(p>0),直线x + y = t与x轴的交点在抛物线准线的右边。 (1) 求证：直线与拋物线总有两个不同交点 (2) 设直线与抛物线的交点为A、B,且0A丄0B,求p关于t的函数f(t)的表达式。 (4) 圆锥曲线的相关最值(范围)问题 < 圆锥曲线中的有关置值(范国)问题，常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意艾，一般可用因形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函数，三角函数，均值不等式)求最值。 (1) ,可以设法得到关于a的不等式?通过解不等式求出a的范囤，即：“求范囤，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于(2)首先要把ANAB的面积表示为一个变董的函数，然后再求它的最大值，即：“最值问题，函数思想二 最值问题的处理思路： 1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求心y的范國； 2、数形结合，用化曲为直的转化思想： 3、利用判别式，对于二次函数求罠值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值：
圆锥曲线方法总结
圆锥曲线考点及方法总结（江苏）1 化斜为直：利用相似三角形将斜线段之比转化为直角边之比，然后再将直角边之比转化为坐标之比这就将几何量转化为代数值 2相关点法求曲线轨迹如求p的轨迹方程若知道A点所在的曲线方程L 只需找出P与A之间的坐标关系然后带入L即可 3设点、设线然后将问题向X1+X2、x1*x2、y1+y2、y1*y2 上转化，然后联立直线与曲线的方程，利用韦达定理，涉及最值或范围问题时注意带塔>0； 4圆锥曲线中的最值问题：通常构造函数转化为求函数最值（导数求解），也可以保留两个变量运用基本不等式求解，当然在设点时用圆锥曲线的参数方程，这样最值问题最终转化为三角函数最值问题 5几何性质：角平分线定理 6公式化法则 7焦半径公式 8极坐标方程（与焦半径有关的题目才能用） 9参数方程（涉及最值与定值问题时可尝试） 10直线的参数方程中的|t|的几何意义是直线上的点到定点的线段长度注意线段的方向性即t的正负（在涉及线段长度的题目中有效） 11注意利用点在曲线上这一基本条件许多
设而不求最终都会用到这一条件 12常见椭圆结论：k1*k2为定值（与椭圆对称点）点差法的到的结论椭圆切点出的切线方程椭圆是对称图形 13弦长公式 14 SOAB= 15代换技巧：如两直线过同一点只有K不一样，则算出k1的数据后用k2代换就能得到另一条线的数据（不只斜率K可以代换，点也可以代换）减少计算量 16当化简到非常复杂的式子时，考虑能否整体代换，将形式复杂的部分用一个变量代替 17利用三点共线列等式 18直线过定点问题 方法一；求出AB直线方程再求定点 方法二：取两个特殊位置的直线，解出交点C,验证交点C是否在直线AB上，只需算k1=k2即可 方法三，若能观察出定点在x轴上，解出AB方程令y=0，解出x为定值即可 19对设而不求方法的具体介绍：大胆设点，利用以下结论 一：点在曲线上 二：点满足一定条件（题目所给） 三：韦达定理 运用好这三点，就可以做到舍而不求
高中数学-圆锥曲线专题
高三数学-圆锥曲线知识点 圆锥曲线的统一定义： 平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,O)的距离与到不通过这个定点的一条定直线I的距离之比是一个常数e(e >0),则动点的轨迹叫 做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线I称为准线，正常数e称为离心率。当0v e< 1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e> 1时，轨迹为双曲线。
两点，则MFL NF. 1、点P 处的切线PT 平分△ PFF 2在点P 处的内角. 2、PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 3、以焦点半径PF 为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切.(内切：P 在右支；外切：P 在左支) 1 (a >o,b > o )上，则过F O 的双曲线的切线方程是 ^2 a b 2 2 2 t — (1)等轴双曲线：双曲线 x y a 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y x ，离心率e , 2 . (2)共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴, 2 实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.笃 a 2 2 y_ 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线: 2 L o . b 2 (3)共渐近线的双曲线系方程: 2 y b 2 2 0)的渐近线方程为笃 a 2 y o 如果双曲线的渐近线为 b 2 0时，它的双曲 2 线方程可设为二 2 a 0). 1. 点P 处的切线PT 平分△ PF1F2在点P 处的外角. 2. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 3. P o (X o ,y o )在椭圆 2 y 2 1上，则 过 P o 的椭圆的切线方程是 2 a x °x y o y 1 b 2 4. P 0( x o , y 0) 在椭圆 2 y 2 1夕卜， 则过 P 0 作椭圆的两条切线切点为 P 、 P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是 辱 ^2 1. a b 5. 2 再 1 (a > b > 0)的焦半径公式 b 2 | MF i | a ex o , | MF 2 | ex o ( F i ( c,0) , F 2(C ,0) M(X o ,y 。)). 6. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M N 7. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A 1、A 为椭圆长轴上的顶点, AiP 和AQ 交于点 M AP 和AQ 交于点N,贝U MF 丄NF. 8. 2 x AB 是椭圆— 2 a 2 y_ b 2 1的不平行于对称轴的弦， M (x o , y o )为AB 的中点，贝U k OM k AB b 2 二，即 K AB a b 2X o 2 a y o 9. 若P o (x o ,y o )在椭圆 -H-* 2 y x )x y o y 2 1内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 与 乎 2 X 。 __2 a y 。2 b 2 2 2 x y 4、若P o (X o ,y 。)在双曲线r 2 a b 1. 【备注1】双曲线:
高考数学一轮复习专题突破训练圆锥曲线
圆锥曲线 一、填空题 1、（2015年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则c 的最大值 为___ 2 __________。 2、（2013年江苏高考）双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为 )0,0(122 22>>=+b a b y a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆 C 的离心率为 。 4、（ 南京、盐城市高三二模）在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线C ： y x 42=的焦点为F ，定点)0, 22(A ，若射线FA 及抛物线C 相交于点M ，及抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ：MN= 5、（苏锡常镇四市 高三教学情况调研（二））已知双曲线22 221(,0) x y a b a b -=>的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲ 6、（泰州市 高三第二次模拟考试）已知双曲线22 14x y m -=的渐近线方程为 2 y x =± ，则m = ▲
7、（盐城市 高三第三次模拟考试）若抛物线28y x =的焦点F 及双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合，则n 的值为 ▲ 8、（ 江苏南京高三9月调研）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近 线方程 为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲ 9、（ 江苏苏州高三9月调研）已知双曲线22 15 x y m -=的右焦点及抛物线 212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 10、（南京市、盐城市 高三）若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点及抛物线 24y x =的焦点重合，则a = ▲ . 11、（南通市 高三）在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物 线24y x =焦点的双曲线的方程是 12、（苏州市 高三上期末）以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为 13、（泰州市 高三上期末）双曲线12222=-b y a x 的右焦点到渐近线的距离是其 到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲ 14、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22 19x y m -=的一个焦点为（5，0），则实数 m = ▲ 15、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐 标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线及抛物线y 2＝4x Y
圆锥曲线解题方法技巧归纳
圆锥曲线解题方法技巧归纳 例1、已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆80542 2 =+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴 上）. （1）若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程; （2）若角A 为0 90，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程. 分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC 的斜率，从而写出直线BC 的方程。第二问抓住角A 为0 90可得出AB ⊥AC ，从而得016)(14212121=++-+y y y y x x ，然后利用联立消元法及交轨法求出点D 的轨迹方程； 解：（1）设B （1x ,1y ）,C(2x ,2 y ),BC 中点为(00,y x ),F(2,0)则有 116 20,116202 2 222121=+=+y x y x 两式作差有 16) )((20))((21212121=+-+-+y y y y x x x x 04 500=+k y x (1) F(2,0)为三角形重心，所以由 2321=+x x ，得30=x ，由03421=++y y 得20-=y ，代入（1）得5 6 =k 直线BC 的方程为02856=--y x 2)由AB ⊥AC 得016)(14212121=++-+y y y y x x （2） 设直线BC 方程为8054,2 2 =++=y x b kx y 代入，得080510)54(2 2 2 =-+++b bkx x k 2 215410k kb x x +-=+，222154805k b x x +-= 2 2 22122154804,548k k b y y k k y y +-=+=+ 代入（2）式得 054163292 2=+--k b b ，解得)(4舍=b 或94 -=b 直线过定点（0，)94-，设D （x,y ），则1494 -=-?+ x y x y ，即016329922=--+y x y 所以所求点D 的轨迹方程是)4()9 20()916(222 ≠=-+y y x 。 3、设而不求法 例2、如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线 过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点当 4 3 32≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围。
圆锥曲线专题复习.doc
锥曲线专题训练 一、定义 【焦点三角形】 1、已知椭圆一 +八=1的左右焦点为E、F2, P为椭圆上一点， 9 4 (1) 若NRPF2=90°,求△EPF?的面积 (2) 若ZF1PF2=60°,求的面积 2 2 2、已知双曲线土-匕=1的左右焦点为E、F2, P为双曲线上一点, (1) 若NRPF2=90°,求△EPF?的面积 (2) 若ZF1PF2=60°,求Z^PF?的面积 2 2 3、鸟,氏是椭圆二+七=1(〃＞。＞0)的两个焦点，以鸟为圆心且过椭圆中心的 a~ b~ 圆与椭圆的一个交点为M。若直线&M与圆鸟相切，求该椭圆的离心率。 Y2 v2 4、椭圆瓦+ *_ = 1的焦点为与、「2。点P为其上的动点，当PF2为钝角时。点P横坐标的取值范围为多少？ V-2 V2V-2 V2 5、椭圆—+ J(。＞。＞0)和双曲线、- —(m, n＞ 0)有公共的焦点F】(- 。,0)、 a~ b~〃广 F2(C,0),P为这两曲线的交点，求|商|?|户尸2|的值. 二、方程 已知圆亍+y2=9,从圆上任意一点P向X轴作垂线段PPL点M在PP，上，并且两=2布，求点M的轨迹。 2.3【定义法】(与两个定圆相切的圆心轨迹方程) :—动圆与两圆：『+ ,,2 =]和尤2 * ,2 _8x+]2 = 0都外切，#1勃圆的圆心 的轨迹方程是什么？AA
题型1：求轨迹方程例1. (1) 一动圆与圆J + y2+6x+5 = 0外切，同时与圆x2 + r-6x-91 = 0内切,
求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。. （2）双曲线y-/ =1有动点、P,月,％是曲线的两个焦点，求APgE的重心M的轨迹方程。 3、给出含参数的方程，说明表示什么曲线。 已知定圆G： x2 + y2 =9,圆C2：x2+6x+y2 =0 三、直线截圆锥曲线得相交弦（求相交弦长，相交弦的中点坐标）（结合向量）直线与圆锥曲线相交的弦长计算（1）要熟练利用方程的根与系数关系来计算弦 长.弦长公式： （2）对焦点弦要懂得用焦半径公式处理；对中点弦问题，还要掌握“点差法”. 3. 圆锥曲线方程的求法有两种类型：一种是已知曲线形状，可以用待定系数法求解；另一种是根据动点的几何性质，通过建立适当的坐标系来求解，一般是曲线的类型未知.主要方法有： ?直接法、定义法、相关点法、参数法、几何法、交轨法等.在求轨迹方程中要仔细检查“遗漏”和“多余”. 4. 圆锥曲线是用代数方法来研究几何问题，也就是说，它是处于代数与几何的交汇处，因此要处理好其综合问题，不仅要理解和掌握圆锥曲线的有关概念、定理、公式，达到灵活、综合运用，还要善于综合运用代数的知识和方法来解决问题，并注意解析法、数形结合和等价化归的数学思想的应用. 1、已知椭圆= i,过左焦点k倾斜角为￡的直9 6 线交椭圆于A、8两点。求：弦48的长，左焦点K到48 中点〃的长。 2、椭圆以2+如2=1与直线对尸住0相交于爪8两点，C是线段花的中点.若
高考数学一轮 圆锥曲线的综合问题(学案)
§9.8圆锥曲线的综合问题 ★知识梳理★ 1.直线与圆锥曲线C 的位置关系： 将直线l 的方程代入曲线C 的方程，消去y 或者消去x ，得到一个关于x （或y ）的方程ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)交点个数： ①当 a ＝0或a≠0，⊿＝0 时,曲线和直线只有一个交点；②当 a≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点；③ 当⊿<0 时,曲线和直线没有交点。 (2) 弦长公式： 2.对称问题： 曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿>0）③曲线上两点的中点在对称直线上。 3.求动点轨迹方程： ①轨迹类型已确定的,一般用待定系数法；②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法；③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法。 ★重难点突破★ 重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法； 理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值 难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题 重难点：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题 1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能 ①求弦长时用韦达定理设而不求;②弦中点问题用“点差法”设而不求. 2.体会数学思想方法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中运用 问题1：已知点1F 为椭圆15 92 2=+y x 的左焦点，点)1,1(A ，动点P 在椭圆上，则||||1PF PA +的最小值为 . 点拨：设2F 为椭圆的右焦点，利用定义将||1PF 转化为||2PF ，结合图形， ||||6||||21PF PA PF PA -+=+，当2F A P 、、共线时最小，最小值为2-6 ★热点考点题型探析★ 考点1直线与圆锥曲线的位置关系 题型1：交点个数问题 [例1 ] 设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ） A ．[－ 21，2 1 ] B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4] 【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法 [解析] 易知抛物线2 8y x =的准线2x =-与x 轴的交点为Q (－2 , 0)， 于是，可设过点Q (－2 , 0)的直线l 的方程为(2)y k x =+， 4)(1 ||1||212212122x x x x k x x k AB ?-+?+=-?+=
圆锥曲线解题技巧和方法综合(经典)
圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备: １. 直线方程的形式 （１）直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式： 2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y =- (4)两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=－１ ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式) 标准方程:22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 距离式方程2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种
标准方程:22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程 :|2a = (３)、三种圆锥曲线的通径你记得吗? 22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4）、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如:已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点,平面内一个动点M 满足 221=-MF MF 则动点Ｍ的轨迹是( ) Ａ、双曲线;B 、双曲线的一支；C 、两条射线；D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式:1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S (其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） （6)、记住焦半径公式:(1） 00 ;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为,可简记为“左加右减,上加下减”。 (2)0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 (3)11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 （6）、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 １、点差法（中点弦问题) 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有
圆锥曲线知识点归纳与解题方法技巧.doc
百度文库- 让每个人平等地提升自我 圆锥曲线解题方法技巧 第一、知识储备： 1.直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率 k tan , [0, ) k y2 y1 x2 x1 ②点 P(x0 , y0 ) 到直线 Ax By C 0 的距离 Ax0 By0 C d B2 A2 l1 : y k1x b1 夹角为，k2 k1 ③夹角公式：直线则 tan l2 : y k2 x b2 1 k2 k1 （ 3）弦长公式 直线 y kx b 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 间的距离 ① AB ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ② AB 1 k2 x x (1 k 2 )[( x x ) 2 4x x ] 1 2 1 2 1 2 ③ AB 1 1 y1 y2 k 2 （ 4）两条直线的位置关系 （Ⅰ） l1 : y k1x b1 l2 : y k2 x b2 ① l1 l2 k1k2=-1 ② l1 // l2k1 k2且 b1 b2 l1 : A1 x B1 y C1 0 （Ⅱ） l2 : A2 x B2 y C2 ① l1 l2A1 A2 B1B2 0 ② l1 / /l 2 A1B2 - A2 B1 =0且 AC1 2 - A2C1 0或 A1 B1 C1 者（ A2 B2C2 0 ）
两平行线距离公式 l 1 : y kx b 1 | b 1 b 2 | l 2 : y kx b 2 距离 d k 2 1 l 1 : Ax By C 1 0 |C 1 C 2 | l 2 : Ax By C 2 距离 d B 2 A 2 2、圆锥曲线方程及性质 1. 圆锥曲线的两定义 ： 第一定义 中要重视“括号”内的限制条件 ：椭圆中，与两个定点 F 1 ，F 2 的距离的 和等于常数 2a ，且此常数 2a 一定要大于 F 1 F 2 ，当常数等于 F 1 F 2 时，轨迹是线段 F 1 F 2 ， 当常数小于 F 1F 2 时，无轨迹； 双曲线中 ，与两定点 F 1 ， F 2 的距离的差的绝对值等于常 数 2a ，且此常数 2a 一定要小于 | F 1 F 2 | ，定义中的 “绝对值”与 2a ＜ |F 1 F 2 | 不可忽视 。 若 2a ＝ |F 1 F 2 | ，则轨迹是以 F 1 ，F 2 为端点的两条射线，若 2a ﹥ |F 1 F 2 | ，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程 ( x 6)2 y 2 ( x 6)2 y 2 8 表示的曲线是 _____（答：双曲线的左支） 2. 圆锥曲线的标准方程 （标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （ 1）椭圆 ：焦点在 x 轴上时 x 2 y 2 y 轴上时 y 2 x 2 2 2 1 （ a b 0 ），焦点在 2 2 ＝ 1 a b a b （ a b 0 ）。方程 2 2 表示椭圆的充要条件是什么？（ ≠ ，且 A ， B ，C Ax By C ABC 0 同号， A ≠B ）。椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程： x 2 y 2 1(m 0, n 0且 m n) m n 距离式方程： (x c)2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a 参数方程： x a cos , y bsin 若 x, y R ，且 3x 2 2 y 2 6 ，则 x y 的最大值是 ____，x 2 y 2 的最小值是 ___（答： 5,2 ） （ ）双曲线：焦点在 x 轴上： x 2 y 2 y 2 x 2 ＝1（ a 0, b 0 ）。 2 a 2 b 2 =1 ，焦点在 y 轴上： 2 b 2 方程 Ax 2 By 2 a C 表示双曲线的充要条件是什么？（ ABC ≠0，且 A ， B 异号）。 如设中心在坐标原点 O ，焦点 1 、 F 2 在坐标轴上，离心率 e 2 的双曲线 C 过点 F
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