【三轮押题冲刺】2013高考数学基础知识最后一轮拿分测验 几何概型(word版,含答案)

几何概型

【考点导读】

1．了解几何概型的基本特点.

2．会进行简单的几何概率的计算. 【基础练习】

1．在500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是 0.004

2. 取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的

概率是 31

3. 在1万 km2的海域中有40 km2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻

到油层面的概率是2501

4. 如下图，在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为2 cm 的正方形，向大正方形内

随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是 94

.

5. 如下图，在直角坐标系内，射线OT 落在60°的终边上，任作一条射线OA ，则射线落

在∠xOT 内的概率是 61

. 【范例解析】

例1. 在等腰Rt △ABC 中， (1)在斜边AB 上任取一点M ，求AM 的长小于AC 的长的概率. （2）过直角顶点C 在ACB ∠内作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM

=2

2=

='

AB

AC AB

C A

.

(2) 在AB 上截取AC ′=AC,0

'

18045

67.5

2

ACC -∠=

=

(第4题)

B

A C

M

(2)

(1)

于是P （AM ＜AC ）

67.5390

4=

=

点评 （1）对于几何概型中的背景相同的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样的（2）在利用几何概率公式计算概率时，必须注意d 与D 的测度单位的统一.

例2．平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r

解：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A ，为了确定硬币的位置，由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM ，垂足为M ，如图所示，这样线段OM 长度（记作OM ）的取值范围就是[o,a]，只有当r ＜OM ≤a 时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A 的概率就

是P （A ）

=(,][0,]r a a 的长度的长度

=

a

r

a -

例3.将长为l 的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.

解：设A=“3段构成三角形”，x,y 分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l x y --. 则实验的全部结果可构成集合

{}

(,)

0,0,0x y x l y l x y l Ω=<<<<<+<，要使3段构

成三角形，当且仅当任意两段之和大于第三段，故所求结果构成的集合()1,,,222l l A x y x y y x ??=+><

??

所求的概率为2

2

1122()4

2

A l S P A l S Ω

??

? ?

??

=

==

点评 用几何概型解题的一般步骤是：（1

之相应的区域；（3）把事件A 转化为与之对应的区域；（4）利用概率公式计算.

【反馈演练】

1. 两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m

的概率是 31

2. 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，此人等车时间不多

于10分钟的概率 61

．

M

解:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于

[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)= 60

50

60-=61

，即此人等车时间

不多于10分钟的概率为． 3．若x 可以在

13

x +≤的条件下任意取值，则x 是负数的概率是 2/3 .

4. 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01．

分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率. 解：取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A ，则

P(A)= 所有种子的体积取出的种子体积

=100010

=0.01． 5.在区间

[]1,1--上任取两实数a,b ，则二次方程x2+2ax+b2=0的两根都为实数的概率1/2 .

6. 如下图，在一个边长为a,b （a ＞b ＞0）的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为13

a

与

12a

，高为b ，向该矩形内随机投一点,则所投的点落在梯形内部的概率为 125

7．某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）．

解：可以认为人在任何时刻到站是等可能的.设上一班车离站时刻为a ，则该人到站的时刻的一切可能为(,5)a a Ω=+，若在该车站等车时间少于3分钟，则到站的时刻为

(2,5)

g a a =++，

3()5P A =

=Ωg 的长度的长度

.

8．一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒,当你到达路口时看见下列三种情况的概率各是多少? (1) 红灯 (2) 黄灯 (3) 不是红灯

解：总的时间长度为3054075++=秒，设红灯为事件A ，黄灯为事件B ，

（1）出现红灯的概率

302()755P A =

=

=

构成事件A 的时间长度

总的时间长度 （2）出现黄灯的概率

51()75

15P B =

==

构成事件B 的时间长度

总的时间长度

（3）不是红灯的概率

23()1()15

5P A P A =-=-

=

9. 一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m ，宽20 m 的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率.

解：对于几何概型，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.如下图，区域Ω是长30 m 、宽20 m 的长方形.图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m ”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在下图中阴影部分的概率.由于区域Ω的面积为30×20=600（m2），阴影A 的面积为30×20－26×16=184（m2）

.∴P （A ）=7523600184

=.

10.两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去.求两人能会面的概率.

【解】以7点钟作为计算时间的起点，设甲、乙分别在x 分钟和y 分钟到达，则样本空间为

(){}

,060,060D x y x y =≤≤≤≤,画成图为如图所示的正方形.

会面的充要条件是

20

x y -≤，即事件A={可以会面}所对应的区域是图中的阴影部分.所

以，()22

60405

.9

d P A D -=

=2

的面积

＝

60

的面积

60

20

0 20 60