曲线和方程时

课题：求曲线的方程(第一课时)

教学目标：

(1)了解坐标法和解析几何的意义，了解解析几何的基本问题.

(2)进一步理解曲线的方程和方程的曲线.

(3)初步掌握求曲线方程的方法.

(4)通过本节内容的教学，培养学生分析问题和转化的能力.

教学重点、难点：求曲线的方程.

教学用具：计算机.

教学方法：启发引导法，讨论法.

教学过程：

【引入】

1?提问：什么是曲线的方程和方程的曲线.

学生思考并回答?教师强调.

2?坐标法和解析几何的意义、基本问题.

对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通过研究方

程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门科学称为解析几何?解析几何的两大基本问题就是：

(1)根据已知条件，求岀表示平面曲线的方程.

(2)通过方程，研究平面曲线的性质.

事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题. 而且要先研究如何求岀曲线方程，再研究如何用方程研究曲线?本节课就初步研究曲线方程的求法.

【问题】

如何根据已知条件，求岀曲线的方程.

【实例分析】

例1:设「、亦两点的坐标是、(3，7)，求线段工三的垂直平分线-的方程.

由斜率关系可求得l 的斜率为

于是有

y~

沪奶7

即丨的方程为

-0 ①

分析、引导：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决?可是，你们是否想过①恰好

就是所求的吗？或者说①就是直线 '的方程？根据是什么，有证明吗？

（通过教师引导，是学生意识到这是以前没有解决的问题，

应该证明，证明的依据就是定义

中的两条）. 证明：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解.

设是线段」:王的垂直平分线上任意一点，贝9

呦?|阙

即

J （呵十if 十S 十if = J （仓_ 十也

将上式两边平方，整理得

首先由学生分析：根据直线方程的知识，运用点斜式即可解决.

解法一：易求线段 二占的中点坐标为（1, 3），

这说明点；』的坐标.I' - 是方程' +2

-7-0 的解.

7

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

设点的坐标..■-是方程①的任意一解，则

珂十纽-7"

咼?7_2旳

到上、云的距离分别为

何』卜辰卄十山十疔

=十十］y

=75^I2_5^I+13）

M出卜府孑兀R7

=丿（4-2”尸十5-7『

=十口）

所以陆"卜阿同，即点还在直线山占上.

综合（1）、（2），①是所求直线的方程.

至此，证明完毕?回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象：在证明（1）曲线上的点的

坐标都是这个方程的解中，设■'■'■■' -1'--是线段以吕的垂直平分线上任意一点，最后得到式子咼+ 2升0，如果去掉脚标，这不就是所求方程x + 2y-7 = 0吗？可见，这个证明过程就表明一种求解过程，下面试试看:

解法二：设■- ■■■'是线段口三的垂直平分线上任意一点，也就是点就属于集合

P-{M\岡卜阔}

由两点间的距离公式，点所适合的条件可表示为

仏十沪庆J(心尸十尸

将上式两边平方，整理得

工+2厂？-0

果然成功，当然也不要忘了证明，即验证两条是否都满足. 显然，求解过程就说明第一条是

正确的(从这一点看，解法二也比解法一优越一些)；至于第二条上边已证.

这样我们就有两种求解方程的方法，而且解法二不借助直线方程的理论，又非常自然，还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想?因此是个好方法.

让我们用这个方法试解如下问题：

例2：点Ef与两条互相垂直的直线的距离的积是常数■'求点亞的轨迹方程.

分析：这是一个纯粹的几何问题，连坐标系都没有?所以首先要建立坐标系，显然用已知中

两条互相垂直的直线作坐标轴，建立直角坐标系?然后仿照例1中的解法进行求解.

求解过程略.

【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：

分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤：

首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写岀表示曲线的点集；再代入坐标；最后整

理岀方程，并证明或修正?说得更准确一点就是：

(1)建立适当的坐标系，用有序实数对例如「匚表示曲线上任意一点U 的坐标；

(2)写出适合条件的点的集合

曲线和方程的概念说课

《曲线和方程的概念》说课稿 临朐二中谢文利 各位评委、老师,大家好！ 我说课的内容是“曲线和方程的概念”。下面我从教材分析、教学方法、学法指导、教学程序设计、板书设计以及教后评价六个方面来汇报对教材的钻研情况和本节课的教学设想。恳请在座的领导、专家、同仁批评指正。 一、关于教材分析 1、教材的地位和作用 “曲线和方程”是高中数学人教B版选修2-1第二章第一节的重点内容之一，对一般曲线(也包括直线)与二元方程的关系作进一步的研究。这部分内容从理论上揭示了几何中的“形”与代数中的“数”相统一的关系，为“形”与“数”的相互转化开辟了途径，同时也体现了解析几何的基本思想，为解析几何 https://www.wendangku.net/doc/0c13873514.html,/view/900761eae009581b6bd9eb45.html 的教学奠定了一个理论基础。 2、教学内容的选择和处理 本节教材主要讲解曲线的方程和方程的曲线 https://www.wendangku.net/doc/0c13873514.html,/view/9d02094fc850ad02de8041ad.html） 坐标法、解析几何等概念，讨论怎样求曲线的方程以及曲线的交点等问题。共分两课时，这是第一课时。此课时的主要内容是建立“曲线的方程”和“方程的曲线”这两个概念，并对概念进行初步运用。我在处理教材时，不拘泥于教材，敢于大胆进行调整。主要体现在对曲线的方程和方程的曲线的定义进行归纳上，通过构造反例，引导学生进行观察、讨论、分析、正反对比，逐步揭示其内涵，加深学生对概念的认识然后在此基础上归纳定义。 3、教学目标的确定 根据新课程标准的要求以及本节教材的地位和作用，结合高二学生的认知特点，我认为，通过本节课的教学，应使学生理解曲线和方程的概念；会用定义来判断点是否在方程的曲线上、证明曲线的方程；培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力，渗透数形结合的数学思想；并借用曲线与方程的关系进行辩证唯物主义观点的教育；通过对问题的不断探讨，培养学生勇于探索的精神。 4、关于教学重点、难点和关键 由于曲线和方程的概念体现了解析几何的基本思想，学生只有透彻理解了这个概念，才能用解析法去研究几何图形，才算是踏上学好解析几何的入门之径。因此，我把曲线和方程的概念确定为本节课的教学重点。另外，由于曲线和方程的概念比较抽象，加之刚刚进入高二的学

曲线和方程时

课题：求曲线的方程(第一课时) 教学目标： (1)了解坐标法和解析几何的意义，了解解析几何的基本问题. (2)进一步理解曲线的方程和方程的曲线. (3)初步掌握求曲线方程的方法. (4)通过本节内容的教学，培养学生分析问题和转化的能力. 教学重点、难点：求曲线的方程. 教学用具：计算机. 教学方法：启发引导法，讨论法. 教学过程： 【引入】 1?提问：什么是曲线的方程和方程的曲线. 学生思考并回答?教师强调. 2?坐标法和解析几何的意义、基本问题. 对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通过研究方 程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门科学称为解析几何?解析几何的两大基本问题就是： (1)根据已知条件，求岀表示平面曲线的方程. (2)通过方程，研究平面曲线的性质. 事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题. 而且要先研究如何求岀曲线方程，再研究如何用方程研究曲线?本节课就初步研究曲线方程的求法. 【问题】 如何根据已知条件，求岀曲线的方程. 【实例分析】

例1:设「、亦两点的坐标是、(3，7)，求线段工三的垂直平分线-的方程.

由斜率关系可求得l 的斜率为 于是有 y~ 沪奶7 即丨的方程为 -0 ① 分析、引导：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决?可是，你们是否想过①恰好 就是所求的吗？或者说①就是直线 '的方程？根据是什么，有证明吗？ （通过教师引导，是学生意识到这是以前没有解决的问题， 应该证明，证明的依据就是定义 中的两条）. 证明：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解. 设是线段」:王的垂直平分线上任意一点，贝9 呦?|阙 即 J （呵十if 十S 十if = J （仓_ 十也 将上式两边平方，整理得 首先由学生分析：根据直线方程的知识，运用点斜式即可解决. 解法一：易求线段 二占的中点坐标为（1, 3），

曲线和方程典型例题

典型例题一 例1如果命题“坐标满足方程f x, y 0的点都在曲线C上”不正确，那么以下正确的命题是 (A)曲线C上的点的坐标都满足方程f x, y 0 . (B)坐标满足方程f x, y 0的点有些在C上，有些不在C 上. (C)坐标满足方程f x, y 0的点都不在曲线C 上. (D)—定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程f x, y 0 . 分析：原命题是错误的，即坐标满足方程 f x, y 0的点不一定都在曲线C上，易知答案为D. 典型例题二 例2说明过点P(5, 1)且平行于x轴的直线I和方程y 1所代表的曲线之间的关系. 分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可?其中“曲线上的点的坐标都是方程f(x,y) 0的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是 曲线上的点”，即完备性?这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则. 解：如下图所示，过点P且平行于x轴的直线I的方程为y 1，因而y 在直线I上的点的坐标都满足y 1，所以直线I上的点都在方程y 1表示的曲线上.但是以|y 1这个方程的解为坐标的点不会都在直线I上，因此方 ------ ■ — 程y 1不是直线I的方程，直线I只是方程|y 1所表示曲线的一部分. |1说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性. 典型例题三 例3说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程y x所表示的直线之间的关系. 分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析. 解：方程y x所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等?但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程y x，例如点(3,3)到两坐标轴的距离均为3,但它不满足方 程y x.因此不能说方程y x就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的 点的轨迹也不能说是方程y x所表示的轨迹. 说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”，即满足完备性，而“轨迹上的点的坐标不都 满足方程”，即不满足纯粹性?只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线. 典型例题四 例4曲线x2 (y 1)2 4与直线y k(x 2) 4有两个不同的交点，求k的取值范围.有一个交点呢？无交点呢？ 分析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方程组分

曲线与方程(轨迹方程)

高二数学第二章曲线与方程学案 学习目标： 1、理解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义； 2、掌握求曲线的方程的方法及一般步骤； 学习重点：理解曲线和方程的概念，掌握求曲线的方程的方法及一般步骤； 学习难点：曲线和方程概念的理解； 学习过程： 完成教学目标1：理解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义； 新授知识：曲线的方程与方程的曲线的概念 一般地，在直角坐标系中，如果其曲线C 上的点与一个二元方程f (x ,y )=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点； 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 例1、判断下列结论的正误并说明理由 （1）过点A （3，0）且垂直于x 轴的直线为x=3 ； （2）到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 ； （3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1 ； 练习：1、到两坐标轴距离相等的点组成的直线方程是0=-y x 吗？ 2、已知等腰三角形三个顶点的坐标是)3,0(A ，)0,2(-B ，)0,2(C ，中线O AO (为原点）的 方程是0=x 吗？为什么？ 3、若曲线C 上的点的坐标满足方程(,)0f x y =，则下列说法正确的是（ ） A.曲线C 的方程是(,)0f x y = B.方程(,)0f x y =的曲线是C C.坐标不满足方程(,)0f x y =的点都不在曲线C 上 D.坐标满足方程(,)0f x y =的点都在曲线C 上 例2、已知方程252 2=+by ax 的曲线经过点)3 5,0(A 和点)1,1(B ，求a 、b 的值。 练习：已知方程 2 2 25x y +=表示的曲线C 经过点)A m ，求m 的值。 完成教学目标2：掌握求曲线的方程的方法及一般步骤； 类型一：待定系数法求轨迹方程（设出标准方程，根据题意求出a ，b ，p ） 例1：已知A,B,C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心O ， 且0=?,||2||=,求椭圆的方程。 练习：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．求椭圆C 的标准方程； 类型二：直接法求轨迹方程（根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。注意：是否应该建立适当的坐标系） 例2：已知点Ｆ（１，０），直线ｌ：x ＝－１，Ｐ为平面上的动点，过点Ｐ作直线ｌ的垂线，垂 足为点Ｑ，且FQ FP QF QP ?=?,求动点Ｐ的轨迹Ｃ的方程； **练习：已知动点M 到定点A （1,0）与到定直线l ：x=3的距离之和等于4，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？

曲线和方程典型例题

典型例题一 例1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ，的点都在曲线C 上”不正确，那么以下正确的命题是 （A ）曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ，． （B ）坐标满足方程()0=y x f ，的点有些在C 上，有些不在C 上． （C ）坐标满足方程()0=y x f ，的点都不在曲线C 上． （D ）一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程()0=y x f ，． 分析：原命题是错误的，即坐标满足方程()0=y x f ，的点不一定都在曲线C 上，易知答案为D ． 典型例题二 例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系． 分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则． 解：如下图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ，因而 在直线l 上的点的坐标都满足1=y ，所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上．但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，因此方程1=y 不是直线l 的方程，直线l 只是方程1=y 所表示曲线的一部分． 说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性． 典型例题三 例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系． 分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析． 解：方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等．但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =，例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3，但它不满足方程x y =．因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹． 说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”，即满足完备性，而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”，即不满足纯粹性．只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线． 典型例题四 例4 曲线4)1(2 2=-+y x 与直线4)2(+-=x k y 有两个不同的交点，求k 的取值范围．有一个交点呢？无交点呢？ 分析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方程组分

曲线与方程的教学设计

曲线与方程的教学设计 上海曹杨二中桂思铭 一、内容和内容解析 曲线与方程为选修2-1的内容，它刻画了曲线（几何图形）和方程（代数算式）间的一一对应关系;同时，介绍了求解曲线方程的一般方法，并要求学生能通过方程来处理一些简单的几何问题，如根据已知条件确定方程中的参数，求动点的轨迹方程等问题. 学生在这本节内容学习之前，已经有了直线方程及圆方程的相关知识，在这里进一步研究曲线与方程的关系有着承上启下的作用，学生可以根据已经验通过教师的引导进行一般的归纳总结，用已有经验来加深对定义的认识，廓清曲线与方程之间的关系，进而能更深入理解解析几何的本质，同时也为后继圆锥曲线的学习奠定一个基础. 二．目标和目标解析 教学目标：理解曲线的方程、方程的曲线的概念；能根据给出的条件求曲线的方程；经历对曲线方程定义的归纳理解过程，体会数学思维的严谨，借助于技术强化数形结合的思想 方法. 上述教学目标具体体现在: （1）能辨析给出的方程是否是某个曲线的方程; （2）给出一些熟悉的曲线的部分图像后能确定变量的取值范围; （3）掌握求曲线方程的基本流程; （4）能利用曲线方程的定义求解轨迹方程; （5）能对照求曲线方程的步骤来反思自己的求解过程. 教学的重点和难点在于学生对曲线与方程的概念的理解和掌握. 三．教学问题诊断 新课标教材将这部分内容作为选修内容，之前的学习为学生提供了曲线与方程的具体事例(直线及圆),学生知道直线和圆的问题可以通过方程来研究处理,如判断两条直线的位置关系;求直线的交点;直线和圆的位置关系等,但可能经过了一个阶段学生记忆中留下的只是一些具体的解题的方法和知识,并不能自觉地通过已有的知识、记忆去发展和构建新的知识，这需要教师通过一些事例去激活学生的思维. 另外,在前面学习的直线和圆的过程中,学生遇到的问题往往是求得的直线或圆就是一条完整的直线或一个完整的圆,不需要去深究求得的方程是否会混入不在曲线上的点的问题,而进入到一般的曲线的研究过程,学生自然会在这方面出现这样或那样的问题,所以我们

曲线和方程教案

《课堂教学设计》 课题：曲线和方程（1） 一：教学目标 ?知识与技能目标 （1）了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系； （2）初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念； （3）学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。 ?过程与方法目标 （1）通过直线方程的复习引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识； （2）在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察，分析，讨论等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点； （3）能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。 ?情感与态度目标 （1）通过概念的复习引入，从特殊到一般，让学生感受事物的发展规律； （2）通过本节课的学习，学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究，真正认识到数学是解决实际问题的重要工具； （3）学生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想，体验到数学活动充满着探索性和创造性。 二：教材分析 1、教学分析：因为学生已有了用方程（有时用函数式的形式出现）表示曲线的感性认识（特别是二元一次方程表示直线），现在要进一步研究平面内的曲线和含有两个变数的方程之间的关系，是由直观表象上升到抽象概念的过程。所以本节课采用了复习引入课题，从特殊到一般的方法让学生易于接受。在概念的探索过程中采用了举反例的方法来揭示概念的内涵。在概念的应用即例题的设计方面，着重巩固对概念的两个条件的认识。 2、教学重点 “曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。

曲线与方程,圆的方程

曲线与方程、圆的方程 江苏 郑邦锁 1．曲线C 的方程为:f(x,y)=0?曲线C 上任意一点P （x 0,y 0）的坐标满足方程f(x,y)=0，即f （x 0,y 0）=0；且以f(x,y)=0的任意一组解（x 0,y 0）为坐标的点P （x 0,y 0）在曲线C 上。 依据该定义：已知点在曲线上即知点的坐标满足曲线方程；求证点在曲线上也只需证点的坐标满足曲线方程。求动点P(x,y)的轨迹方程即求点P 的坐标(x,y)满足的方程（等式）。求动点轨迹方程的步骤：①建系，写（设）出相关点的坐标、线的方程，动点坐标一般设为(x,y)，②分析动点满足的条件，并用等式描述这些条件，③化简，④验证：满足条件的点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐标的点都满足条件。 [举例1] 方程04)1(22=-+-+y x y x 所表示的曲线是： （ ） A B C D 解析：原方程等价于：???≥+=--4 0122y x y x ，或422=+y x ； 其中当01=--y x 需422-+y x 有意义，等式才成立，即422≥+y x ，此时它表示直 线01=--y x 上不在圆422=+y x 内的部分，这是极易出错的一个环节。选D 。 [举例2] 已知点A （－1，0），B （2，0），动点M 满足2∠MAB=∠MBA ，求点M 的轨迹方程。 解析：如何体现动点M 满足的条件2∠MAB=∠MBA 是解决本题的关键。用动点M 的坐标体现2∠MAB=∠MBA 的最佳载体是直线MA 、MB 的斜率。 设M （x ，y ），∠MAB=α，则∠MBA=2α，它们是直线 MA 、MB 的倾角还是倾角的补角，与点M 在x 轴的上方 还是下方有关；以下讨论： ① 若点M 在x 轴的上方, ,0),90,0(00>∈y α 此时，直线MA 的倾角为α，MB 的倾角为π-2α， ,2 )2tan(,1tan -=-+==∴x y x y k MA απα （2090≠α） ,2tan )2tan(ααπ-=- ,)1(11222 2+-+?=--∴x y x y x y 得： 132 2 =-y x ，∵1,>∴>x MB MA ．

2.4 曲线与方程

2.4曲线与方程 基础过关练 题组一曲线与方程的关系及其应用 1.若等腰三角形ABC底边的两端点分别是A(-4,0),B(2,0),则顶点C的轨迹是( ) A.一条直线 B.一条直线去掉一点 C.一个点 D.两个点 2.若点(2,-3)在曲线2x2-ay2=5上,则实数a的值等于( ) A.1 3B.1 C.3 D.±1 3 3.已知曲线y=x2-x+2与直线y=x-m有两个交点,则实数m的取值范围是( ) A.(-1,+∞) B.(-∞,-1] C.(-∞,-1) D.(-∞,1) 4.在平面直角坐标系中,方程|x| 3+|y| 2 =1所表示的曲线是( ) A.两条平行线 B.一个矩形 C.一个菱形 D.一个圆 5.方程x+|y-1|=0表示的曲线是( ) 6.(2020山东日照高二月考)方程4x2-y2-4x+2y=0表示的图形是( ) A.直线2x-y=0 B.直线2x+y-2=0 C.点(1 2 ,1) D.直线2x-y=0和直线2x+y-2=0

题组二 求曲线的方程 7.在平面直角坐标系中,到两坐标轴的距离之和等于3的点M 的轨迹方程为( ) A.x+y=3 B.x+y=-3 C.|x+y|=3 D.|x|+|y|=3 8.(2020浙江湖州高二期中)在平面直角坐标系xOy 中,若定点A(-1,2)与动点P(x,y)满足OP ????? ·AO ????? =8,则点P 的轨迹方程为( ) A.x-2y-8=0 B.x-2y+8=0 C.x+2y-8=0 D.x+2y+8=0 9.已知动点A 在圆x 2+y 2=1上,则点A 与定点B(4,0)连线的中点的轨迹方程是( ) A.(x-2)2+y 2=1 4 B.(x-2)2+y 2=1 C.(x-4)2+y 2=14 D.(x+2)2+y 2=1 4 10.已知动点P(x,y)与两定点M(-1,0),N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0),则动点P 的轨迹方程为 . 11.已知A(-1,0),B(2,4),△ABC 的面积为10,则顶点C 的轨迹方程是 . 12.(2020吉林省实验中学高二月考)已知线段AB 的长等于10,两端点A,B 分别在x 轴,y 轴上移动,若点M 在线段AB 上,且AM ?????? +4BM ?????? =0,则点M 的轨迹方程是 . 13.已知圆C 的方程为x 2+y 2=4,过圆C 上的一动点M 作平行于x 轴的直线m,设m 与y 轴的交点为N,若向量OQ ?????? =OM ?????? +ON ?????? (O 为坐标原点),求动点Q 的轨迹方程.

曲线与方程-课时作业(解析版)

课时作业8 曲线与方程 时间：45分钟 分值：100分 一、选择题(每小题6分，共36分) 1．方程(x －2)2＋(y ＋2)2＝0表示的图形是( ) A ．圆 B ．两条直线 C ．一个点 D ．两个点 解析：由已知得????? x －2＝0，y ＋2＝0，即????? x ＝2，y ＝－2. 所以方程表示点(2，－2)． 答案：C 2．已知直线l ：x ＋y －3＝0和曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M(2,1)满足( ) A ．在直线l 上，但不在曲线C 上 B ．既在直线l 上，也在曲线 C 上 C ．既不在直线l 上，也不在曲线C 上 D ．不在直线l 上，但在曲线C 上 解析：把M 的坐标代入直线方程和曲线方程验证即可． 答案：B 3．方程1－|x|＝1－y 表示的曲线是( )

A．两条线段B．两条直线 C．两条射线D．一条射线和一条线段 解析：由已知得1－|x|＝1－y,1－y≥0，所以y＝|x|(y≤1)． 答案：A 4．以(5,0)和(0,5)为端点的线段的方程是( ) A．x＋y＝5 B．x＋y＝5(x≥0) C．x＋y＝5(y≥0) D．x＋y＝5(0≤x≤5) 答案：D 5．方程|x|＋|y|＝1表示的曲线是图中的( ) 解析：分x≥0，y≥0；x≥0，y≤0；x≤0，y≥0；x≤0，y≤0四种情形去绝对值号，即可作出判断． 答案：D 6．若曲线y＝x2－x＋2与直线y＝x＋m有两个交点，则( ) A．m∈R B．m∈(－∞，1)

C ．m ＝1 D ．m ∈(1，＋∞) 解析：联立y ＝x 2－x ＋2与y ＝x ＋m 得x 2－2x ＋2－m ＝0.由Δ＝4－4(2－m )>0，得m >1. 答案：D 二、填空题(每小题8分，共24分) 7．若P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，则a 的值为________． 解析：由22－a (－3)2 ＝1，得a ＝13. 答案：13 8．方程x 2－y 2＝0表示的图形是________． 解析：由x 2－y 2＝0得y ＝±x ，所以方程x 2－y 2＝0表示的图形是两条直线． 答案：两条直线 9．曲线y ＝|x |－1与x 轴围成的图形的面积是________． 解析：在y ＝|x |－1中令x ＝0得y ＝－1，令y ＝0得x ＝±1，所 以曲线y ＝|x |－1与x 轴围成的图形的面积为12 ×2×1＝1. 答案：1 三、解答题(共40分) 10．(10分)已知方程x 2＋(y －1)2＝10. (1)判断P (1，－2)，Q (2，3)两点是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M ? ?? ???m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值．

高中数学选修1-1《圆锥曲线与方程》知识点讲义

高中数学选修1-1《圆锥曲线与方程》知识点讲义

第二章 圆锥曲线与方程 一、曲线与方程的定义： (),C F x y 设曲线，方程=0，满足以下两个条件： ()(),,C x y F x y ?①曲线上一点的坐标满足=0； ()(),,. F x y x y C ?②方程=0解都在曲线上 ()(),,. C F x y F x y C 则曲线称是方程=0的曲线，方程=0是曲线的方程 二、求曲线方程的两种类型： () 1、已知曲线求方程；用待定系数法 ()()() 2,;,x y x y 、未知曲线求方程①设动点②建立等量关系； ③用含的式子代替等量关系；④化简；别出现不等价情况⑤证明；高中不要求

椭圆 一、椭圆及其标准方程 1、画法 {} 121222,2P PF PF a F F a +=<、定义： 3、方程 ()()22 22 22221010x y y x a b a b a b a b +=>>+=>>①或 ② () 22 22+10x y a b a b =>>二、几何性质： 1,. x a y b ≤≤、范围： 2x y O 、对称性：关于、、原点对称. ()()()()12123,0,,0,0,,0,. A a A a B b B b --、顶点 222 4,,a b c a b c =+、之间的关系： () 2 25101c b e e a a ==-<<、离心率： 0, 1e e →→越圆越扁

扩展： ()2222 22222x y x y m b a b a m b m <--①与椭圆+=1有相同焦点的椭圆方程为+=1 ()() 2222 22221010x y y x k k ka kb ka kb +=>+=>②有相同离心率的椭圆为或 . a c a c -+③椭圆上的点到焦点的最小距离是，最大距离是 12P P F PF ∠④为椭圆上一动点，当点为短轴端点时，最大. 24. AB F ABF a V ⑤为过焦点的弦，则的周长为 ()()1122,,,y kx b A x y B x y l =+⑥直线与圆锥曲线相交于两点，则当直线的斜率存在时，弦长为: ()( )2 22 121 2 12114l k x k x x x x ?? =+-= ++-?? ()2 12121222110114k l y y y y y k k ??=+ -=++-??或当存在且不为时，()2210,0. Ax By A B +=>>⑥当椭圆的焦点位置不确定时，可设椭圆的方程为

曲线和方程知识要点

曲线和方程的概念 【知识要点】 定义 一般地，如果曲线C 与方程0),(=y x F 之间有以下两个关系：(1)曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解；(2)以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都在曲线C 上. 我们就把0),(=y x F 叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程0),(=y x F 的曲线. 注意：要建立曲线与方程间的对应关系，仅有条件“曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解”是不够的，因为可能有满足方程0),(=y x F 的点不在曲线C 上；仅有条件“以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都在曲线C 上”也是不够的，因为曲线C 上可能有不满足方程0),(=y x F 的点.只有同时具备这两个条件时，才能说方程0),(=y x F 是曲线C 的方程，曲线C 是方程0),(=y x F 的曲线. 求曲线的方程 【知识要点】 1 求曲线的方程的步骤： ①建立适当的直角坐标系(如果已给出，本步骤省略). ②设曲线上任意一点的坐标为),(y x ，写出已知点的坐标，设出相关点的坐标. ③根据曲线上点所适合的条件，写出等式. ④用坐标表示这个等式(方程)，并化简. ⑤证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(在本教材不作要求). (6)检验，该说明的要说明. 2 求曲线方程的常用方法：定义法、直接法、代入法、参数法等. (1)定义法：根据题意可以得出或推出动点的轨迹是直线或圆或椭圆或双曲线或抛物线.根据所学知识可以写出或求出轨迹方程.若方程形式知道，往往用待定系数法求. (2)直接法：根据题设条件直接写出动点的坐标),(y x 所满足的关系式，即方程0),(=y x F . (3)相关点法(代入法)：是所求轨迹上的动点),(y x P 随着另一个已知曲线上的动点),(11y x M 的运动而运动时，一般用代入法求动点P 的轨迹方程.其方法是根据题设条件求得两动点坐标),(y x 与),(11y x 之间的关系式，从中解出),(),,(11y x g y y x f x ==，由于),(11y x M 在已知曲线上，故),(11y x M 满足已知曲线方程，将11,y x 的表达式代入已知曲线方程，从而求得动点P 的轨迹方程. (4)参数法：根据题意得出动点P 的坐标y x ,用其他点的坐标或长度、角、斜率、时间等参

曲线与方程的教学反思

“曲线与方程”的教学反思 上海曹杨二中桂思铭（200062） 一、对教学设计的再思考 本内容包含“曲线与方程”和“求曲线的方程”。前一小节引入“曲线的方程”和“方程的曲线”概念,并通过概念的简单应用，使学生初步理解概念；后一小节给出求轨迹方程的一般步骤和方法，通过求轨迹方程帮助学生进一步理解、掌握曲线方程的概念. 在先前的教学设计中，主要考虑贯彻教材编写意图问题，注重利用学生在学习“直线的方程”“圆的方程”中建立的已有经验，通过适当的问题引导学生学习，这样的安排充分注意了学生已有的认知基础，有利于学生主动构建概念。我认为这样的设计对学生理解概念、发展能力都有积极意义，但做好这一点必须有充足的时间让学生进行归纳、思考、总结. 从实际的教学情况来看,在概念的引入上是比较成功的,学生在课堂中的表现和教学设计的预设比较一致,这是设计中值得肯定的一面. 先前的设计的不足主要是没有充分重视轨迹方程的求解过程.要完整地体现教材的编写意图,在重视概念形成发展过程的同时还需要重视习题内容的处理.我们来看教材中的一个习题(37页练习3): 如图,已知点的坐标是,过点的直线与轴交于点,过点与直线垂直的直 线与轴交于点.设点是线段的中点，求点的轨迹方程. 这个问题的解答途径主要有两种: （1）用和有公共的斜边这一特性,得出点到定点及的距离相同,得出所求的轨迹就是线段的垂直平分线,因此可以利用例2的方法来求解; （2）引入一个参数,设直线的斜率为,然后根据已有的知识将点的坐标用来表示,最后消去参数.

这两种方法学生都比较陌生,前一种解法的“平面几何味道”很浓,有一个转化的过程;后一种解法主要是用参数方程的思想,学生没有接触过,没有可以模仿的例题,独立解决有困难,需要教师的铺垫与归纳. 同样，学生独立完成教科书上的习题也有一定的难度。因此，课堂教学中，通过例题有效地帮助学生体会到“曲线与方程”中蕴含的数学思想和方法是非常重要的任务. 鉴于上述分析,应将求轨迹方程的方法列入教学的重点和难点,但一个课时无法完成教学任务，需要增加一个课时. 二、对教学设计的调整 基于上面的思考，现将教学设计作一个调整，将本节内容改成两节课完成，两节课的内容安排如下： 第一课 2.1.1曲线与方程的全部内容加上2.1.1求曲线的方程例2; 第二课 例3结合作业分析,归纳几种主要的求轨迹方程的方法. 下面是修改后的教学设计: (1) 课前预习 在上课前一天布置学生复习回顾下列内容，并思考：从中可以归结出哪些观点？ 片断1 数学2第三章中直线与方程的章头语： ……通过代数运算研究几何图形性质的方法，它是解析几何中最基本的研究方法。 ……建立直线方程.然后通过方程,研究直线的有关性质……. 片断2 第四章 圆与方程的章头语 ……建立圆的方程.通过圆的方程,研究直线与圆、圆与圆的位置关系. 片断3 数学2中第97页的思考栏目 （1）平面直角系中的每一条直线都可以用一个关于、的二元一次方程来表示吗？ （2）每一个关于、的二元一次方程都能表示一条直线吗？ (二)概念导入 1．通过投影呈现上述片断，让学生回答从中可以得出哪些主要信息? (从上述片断中可以提炼出观点:①解析几何主要是通过方程来研究几何问题;②二元一次方程和直线间具有一一对应关系;③片断3也提供了建立方程和曲线联系的途径;④更一般的,可以先建立曲线的方程，通

7.5曲线和方程(三)

7.5曲线和方程（三） 班级 学号 姓名 一、 课堂目标： 进一步掌握已知曲线求方程的方法和步骤 二、要点回顾： 1、 求曲线的方程的一般步骤是： （1） 建立_________的坐标系，用______________________表示曲线上任意一点的坐标 （2） 写出适合条件P 的点M 的集合P=_________________ （3） 用_________表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0 （4） 化方程f(x,y)=0为___________形式 （5） 证明已化简后的方程的解为坐标的点都是_______________上的点 2、求曲线方程的五个步骤中，哪几步是可以省略的_________________ 三、 目标训练： 1、 到直线01=+-y x 的距离等于42的动点P 的轨迹方程是 （ ） A. 09=+-y x B. 07=+-y x C. 0709=--=+-y x y x 或 D. 07=-+y x 2、 方程12=+y x 表示的图形围成的面积等于 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 3、 若ABC ?的顶点B 、C 的坐标分别是（0，0）和（4，0），AB 边上的中线长为3，则顶点A 的轨迹 方程是 （ ） A.()3682 2 =+-y x B. ())0(3682 2 ≠=+-y y x C. ()982 2 =++y x D. ())0(982 2 ≠=+-y y x 4、已知直线L:2x+4y+3=0，P 为L 上的动点，O 为坐标原点，点Q 分线段OP 为1：2两部分，则点Q 的轨迹方程为 （ ） A.2x+4y+1=0 B.2x+4y+3=0 C.2x+4y+2=0 D.x+2y+1=0 5、曲线0),(=y x f 关于直线 x-y-3=0对称的曲线方程为 （ ） A. 0),3(=-y x f B. 0),3(=+x y f C. 0)3,3(=+-x y f D. 0)3,3(=-+x y f 6、已知A(-1,0),B(2,0)，动点P 满足 2 1 = PB PA ，则P 点的轨迹方程是_____________________

2015高考理科数学《曲线与方程》练习题

2015高考理科数学《曲线与方程》练习题 [A组基础演练·能力提升] 一、选择题 1．方程x2－y2＝0对应的图象是( ) 解析：由x2－y2＝0得，y＝x或y＝－x，故选C. 答案：C 2．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( ) A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0 解析：设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0. 答案：D 3．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点的椭圆经过A，B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是( ) A．y2－x2 48 ＝1(y≤－1) B．y2－ x2 48 ＝1(y≥1) C．x2－y2 48 ＝1(x≤－1) D．x2－ y2 48 ＝1(x≥1) 解析：由题意知|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14， 又∵|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|， ∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．又 c＝7，a＝1，b2＝48，∴点F的轨迹方程为y2－x2 48 ＝1(y≤－1)． 答案：A 4．有一动圆P恒过定点F(a,0)(a>0)且与y轴相交于点A、B，若△ABP为正三角形，则点P的轨迹为( )

A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线 解析：设P (x ，y )，动圆P 的半径为R ，由于△ABP 为正三角形， ∴P 到y 轴的距离d ＝32R ，即|x |＝32 R . 而R ＝|PF |＝x －a 2 ＋y 2， ∴|x |＝ 32 ·x －a 2 ＋y 2. 整理得(x ＋3a )2－3y 2＝12a 2， 即 x ＋3a 2 12a 2 －y 2 4a 2＝1. ∴点P 的轨迹为双曲线． 答案：D 5．已知点A (1,0)和圆C ：x 2 ＋y 2 ＝4上一点R ，动点P 满足RA →＝2AP → ，则点P 的轨迹方程为( ) A.? ? ???x －322＋y 2＝1 B.? ? ???x ＋322＋y 2＝1 C ．x 2 ＋? ? ???y －322＝1 D ．x 2 ＋? ? ???y ＋322＝1 解析：设P (x ，y )，R (x 0，y 0)， 则有RA → ＝(1－x 0，－y 0)，AP → ＝(x －1，y )． 又RA →＝2AP → ， ∴?? ? 1－x 0＝2x －1， －y 0＝2y . ∴?? ? x 0＝－2x ＋3，y 0＝－2y . 又R (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， ∴(－2x ＋3)2＋(－2y )2＝4，即? ? ???x －322＋y 2＝1. 答案：A 6．设A 1，A 2是椭圆x 29＋y 2 4 ＝1的长轴两个端点，P 1，P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与 A 2P 2交点的轨迹方程为( ) A.x 29＋y 24＝1 B.y 29＋x 24＝1 C.x 29－y 2 4 ＝1 D.y 29－x 2 4 ＝1

曲线和方程_1

曲线和方程 教学目标（1）了解用坐标法研究几何问题的方法，了解解析几何的基本问题． （2）理解曲线的方程、方程的曲线的概念，能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线交点的概念． （3）通过曲线方程概念的教学，培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点． （4）通过求曲线方程的教学，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生理解解析几何的思想方法． （5）进一步理解数形结合的思想方法． 教学建议教材分析（1）知识结构曲线与方程是在初中轨迹概念和本章直线方程概念之后的解析几何的基本概念，在充分讨论曲线方程概念后，介绍了坐标法和解析几何的思想，以及解析几何的基本问题，即由曲线的已知条件，求曲线方程；通过方程，研究曲线的性质．曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序．前者回答什么是曲线方程，后者解决如何求出曲线方程．至于用曲线方程研究曲

线性质则更在其后，本节不予研究．因此，本节涉及曲线方程概念和求曲线方程两大基本问题．（2）重点、难点分析①本节内容教学的重点是使学生理解曲线方程概念和掌握求曲线方程方法，以及领悟坐标法和解析几何的思想．②本节的难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法．教法建议（1）曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，教学中应从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系．曲线与方程对应关系的基础是点与坐标的对应关系．注意强调曲线方程的完备性和纯粹性．（2）可以结合已经学过的直线方程的知识帮助学生领会坐标法和解析几何的思想，学习解析几何的意义和要解决的问题，为学习求曲线的方程做好逻辑上的和心理上的准备．（3）无论是判断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满足概念中的两条为准则．（4）从集合与对应的观点可以看得更清楚：设表示曲线上适合某种条件的点的集合；表示二元方程的解对应的点的坐标的集合．可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”和“方程的曲线”，即（5）在学习求曲线方程的方法时，应从具体实例出发，引导学生从曲线的几何条件，一步步地、自然而然地过渡到代数方程(曲线的方程)，这

曲线和方程

例1如果命题“坐标满足方程f x, y 0的点都在曲线C上”不正确，那么以下正确的命题是 (A)曲线C上的点的坐标都满足方程f x, y 0 ? (B)坐标满足方程f x, y 0的点有些在C上，有些不在C上. (C)坐标满足方程f x, y 0的点都不在曲线C上. (D)—定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程 f x, y 0 . 分析：原命题是错误的，即坐标满足方程f x, y 0的点不一定都在曲线C上，易知答案为D. 典型例题二 例2说明过点P(5, 1)且平行于x轴的直线|和方程| y 1所代表的曲线之间的关系. 分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可?其中“曲线上的点的坐标都是方程f(x, y) 0的解”，即纯粹性；“以方程的 解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性?这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则. 解：如下图所示，过点P且平行于x轴的直线|的方程为y 1，因而在直线I上的点的坐标都满足y 1，所以直线I上的点都在方程|y 1表示的曲线上?但是以|y 1这个方程的解为坐标的点不会都在直线I上，因此方程|y 1不是直线I的方程，直线I只是方程y 1所表示曲线的一部分. 说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不 都在曲线上，即不满足完备性.

例3说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程 y x 所表示的直线之间的关系. 分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析. 解：方程y x 所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等?但是“到坐标轴距 离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程 y x ，例如点（3,3）到两坐标轴的距离均为 3, 但它不满足方程y x .因此不能说方程y x 就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程， 到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程 y x 所表示的轨迹. 说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上” ，即满足完备性，而“轨迹上的点的 坐标不都满足方程”，即不满足纯粹性.只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才 能叫方程 的曲线. 典型例题四 一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方 也就是由两个方程整理出的关于 x 的一元二次方程的判 别式分别满足 0、 0、 0 . y k(x 2) 4, 解：由 2 x (y 1)2 4. 得(1 k 2)x 2 2k(3 2k)x (3 2k)2 4 0 4k 2(3 2k)2 4(1 k 2)[(3 2k)2 4] 4(4k 2 12k 5) 4(2k 1)(2k 5) .??当 0即 （2k :1)(2k 5) 0，即 1 k 5 时，直线与曲线有两个不同的交点. 2 2 当 0即（2k 1)(2k 5) 0, 即卩 k 1 或k 5时，直线与曲线有一个交点. 2 2 当 0即（2k 1)(2k 5) 0, 即卩 k 1 或k -时，直线与曲线没有公共点. 2 2 说明: 在判断直线与曲线的交点个数时， 由于直线与曲线的方程组成的方程组解的个 数 与由两方程联立所整理出的关于 x （或y ）的一元方程解的个数相同，所以如果上述一元方程 是二次的，便可通过判别式来判断直线与曲线的交点个数， 但如果是两个二次曲线相遇，两 曲线的方程组成的方程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不一定相同， 所 以遇到此类问题时，不要盲目套用上例方法，一定要做到具体问题具体分析. 例4曲线x 2 （y 1）2 4与直线y k （x 2） 4有两个不同的交点，求 k 的取值范 围.有一个交点呢？无交点呢？ 分析：直线与曲线有两个交点、 程组分别有两个解、一个解和无解,