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6.函数的单调性

2.基本初等函数的单调性：

（1）一次函数f （x ）＝kx ＋b ：当_________，f （x ）单调递增；当_________，f （x ）单调递减.

（2）二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c ：当a>0时，f （x ）在区间_________上是增函数，在区间_________上是减函数；当a<0时，f （x ）在区间_________上是增函数，在区间_________上是减函数.

（3）反比例函数x

k )x (f =：k>0时，f （x ）在区间______________上是______函数 k<0时，f （x ）在区间______________上是______函数

（4）指数函数y ＝a x ：当_________，f （x ）单调递增；当_________，f （x ）单调递减.

（5）对数函数y ＝log a x ：当_________，f （x ）在区间_________上单调递增；

当_________，f （x ）在区间_________上单调递减.

3.复合函数y ＝f ［)x (?］的单调性：若y ＝f （μ）和μ＝)x (?在相应的区间内具有相同的单调性，则y ＝f ［)x (?］在这个区间上是__________；若y ＝f （μ）和μ＝)x (?在相应的区间内具有相反的单调性，则y ＝f ［)x (?］在这个区间上是__________.

4.增减函数的性质：

（1）增（减）函数＋增（减）函数为_________函数；

（2）增（减）函数－减（增）函数为_________函数；

（3）y ＝f （x ）与y ＝kf （x ）（k ≠0），当k>0时，增减性_________；当k<0时，增减性_________；

（4）当f （x ）恒为正或恒为负时，)

x (f 1y =与y ＝f （x ）的单调性_________. 【基础知识检测】

1.函数y ＝x ＋x

1的递增区间是__________.

2.函数1

x 11y --= （） A.在（－1，＋∞）上单调递增 B.在（－1，＋∞）上单调递减

C.在（1，＋∞）上单调递增

D.在（1，＋∞）上单调递减

3.函数y ＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)是单调函数的充要条件是（）

A.b≥0

B.b≤0

C.b>0

D.b<0

4.已知函数y ＝f （x ）是定义在（－∞，＋∞）上的增函数，则方程f （x ）＝0的根（）

A.有且只有一个

B.有2个

C.至多有1个

D.有2个以上

【典型例题探究】

例1.求证：f （x ）＝－x 3＋1在（－∞，＋∞）上是减函数.

例2. 指出函数)x 2x (log )x (f 2

21-=的单调区间.

例3.已知奇函数)x (f 是定义在)2,2(-上的减函数，若0)1m 2(f )1m (f >-+-，求实数m 的取值范围.

例4.设函数f （x ）＝x 3＋bx 2＋cx （x ∈R ），已知g （x ）＝f （x ）－f ˊ（x ）是奇函数.

（1）求b 、c 的值（2）求g （x ）的单调区间.

【巩固练习】

A 组

1.若函数f(x)=1

21x +, 则该函数在(-∞,+∞)上是 ( ) A. 单调递减无最小值 B. 单调递减有最小值

C. 单调递增无最大值

D. 单调递增有最大值

2.函数f （x ）（x ∈R ）的图像如图，则函数

g （x ）＝f （log a x ）（0＜a ＜1）的单调递减区间是 A.]21,0[ B. ]1,a [ C.),21

()0,(+∞-∞ D. ]1a ,a [+ 3.设函数f （x ）＝log a ｜x ｜在（－∞，0）上是单调递增，则f （a ＋1）与f （2）的大小关系是

（）

A. f （a ＋1）＝f （2）

B. f （a ＋1）

C. f （a ＋1）>f （2）

D. 不确定

4.有下列四个命题：

（1）y ＝2x 2＋x ＋1在（0，＋∞）上不是增函数；

（2）函数1

x 1y +=在（－∞，－1）∪（－1，＋∞）上是减函数；（3）函数2x x 45y ---=的单调递增区间为[－2，＋∞)；

（4）已知f （x ）在R 上增函数，若a ＋b ＞0,则f （a ）＋f （b ）＞f （－a ）＋f （－b ），其中正确命题的序号是__________________.

5.函数3x 2x y 2-+=的单调减区间是________________.

6.函数y ＝－（x －3）｜x ｜的递增区间是_______________.

7.证明:x 1x )x (f +=

在（0，1］上是减函数.

B 组

1.设函数f(x)=,a

ax x c 22

++其中a 为实数. (1)若f(x)的定义域为R,求a 的取值范围; (2)当f(x)的定义域为R 时，求f(x)的单调递减区间.

2.定义在R 上的函数y ＝f （x ），f （0）≠0，当x ＞0时，f （x ）＞1，且对任意的a 、b ∈R ，有 f （a ＋b ）＝f （a ）·f （b ）.

（1）证明：f （0）＝1；（2）证明：对任意的x ∈R ，恒有f （x ）＞0

（3）证明：f （x ）在R 上是增函数；（4）若f （x ）·f （2x －x 2）＞1，求x 的取值范围.

6、函数之函数的单调性(教师版)

6、函数之函数的单调性函数单调性的相关知识点：一：函数的单调性的定义。（设函数)(x f y = 的定义域为 I ）。 1.增函数：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 2121x x x x <，且、。当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,那么称函数)(x f 在区间D 上是增函数。相应的区间D 为函数)(x f 的单调递增区间。 2.减函数：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 2121x x x x <，且、。当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,那么称函数)(x f 在区间D 上是减函数。相应的区间D 为函数)(x f 的单调递减区间。 3.单调性：如果一个函数)(x f 在某个区间上是增函数或是减函数，就说这个函数)(x f 在这个区间上具有单调性，或者说函数在区间上是单调的。二：证明或判断单调性的方法与步骤。 1. 定义法：（1）取值。（2）作差变形。（3）定号。（4）下结论。 2. 导数法：（1）求导。（2）判断导函数f ′(x )的符号。若f ′(x ) > 0，则函数为增函数。若f ′(x ) < 0，则函数为减函数。 3. 图像法：主要用来判断。三：函数单调性的有关性质。若函数)()(x g x f 、在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质。 1. 函数C x f x f +)()(与具有相同的单调性。 2. 函数)()(x af x f 与，当0>a 时，具有相同的单调性，当0

调性。 3. 当函数)(x f 恒不等于0时。函数 )() (1 x f x f 与具有相反的单调性。 4. 当函数0)(≥x f 时。函数)()(x f x f 与具有相同的单调性。 5. 若)(),(x g x f 均为某个区间上的增（减）函数，则：)()(x g x f +为某个区间上的增（减）函数。 6. 若)(),(x g x f 均为某个区间上的增（减）函数，则)()(x g x f ?：当两者都恒大于零时，是增（减）函数；当两者都恒小于零时，是减（增）函数。 7. 奇函数在原点的两侧具有相同的单调性，偶函数在原点的两侧具有相反的单调性。 8. 互为反函数的两个函数具有相同的单调性。 9. 若)(x f 在区间D 上为增函数，且D x x ∈21,。则：()[]0 ) ()()3(0)()()()2() ()(12 12121212121>-->-?-?