利用算术平方根的双重非负数性巧解题

双重非负数性 利用二次根式中的算术平方根的双重非负数性[

)a 0≥

有a 00≥]巧解题

例1.x y 、

6y =-，求1x y -的值？

分析：根据式子有13x 03x 10

-≥??-≥?，从中可求得x 的值，进一步求得y 的值，使问题得以解决. 略解：根据题意可知：13x 03x 10-≥??-≥?

解得：1x 3=；把1x 3=

6y -有：

6y -，解得：y 6= 所以1

11x y 636183--??=?=?= ???.

例2.

已知：2a 12a =，求20151ab 2?? ???的值？

分析：

2a 2a 10-+=

()2a 10-=，利用非负数

的性质可求得a b 、的值.

略解：

2a 2a 10-+= ，进一步可得

()2

a 10-=

0，()2a 10-≥ ∴ (

)2a 100?-=?= ∴a 10a b 10-=??++=? 解得：a 1b 2=??=-? ∴()()20152015201511ab 121122????=??-=-=- ???????

.

例3.

分析：

本题显得比较抽象，似乎难以找到突破口，但题中有二次根式这一重要特点，所以抓23a 0-≥，可求得a 0=.

略解：23a 0-≥，可得a 0≤ ；又∵a 0≥ ∴a 0=

∴原式

32106=+++=.

点评：二次根式的算术平方根的双重非负数性是属于考试中的高频考点，这个知识点容易与其它知识点联姻构成有一定含金量的综合题，而双重非负数性在其中扮演的往往是关键角色，上面的几道例题就是要抓住算术平方根及其被开方数都是非负数的破题；比如很多同学对于例3这类题不知从何入手，但只要抓住本题是二次根式构建的，从被开方数是非负数这点入手，就可以隐藏在其中的a 的值挖出来，从而使问题得以解决.

追踪练习：

1.

已知y

= 2.

已知a 40-=,化简并求22222

a a

b a ab b a b +-+-的值？ 3.若2m 6m 9-

+xy 的值？

4.

5.

已知2014a a -=，试求2a 2014-的值？

郑宗平 2015/3/16

平方根习题精选含问题详解

13.1平方根习题精选 班级：：学号 1．正数a的平方根是( ) A．B．±C．? D．±a 2．下列五个命题：①只有正数才有平方根；②?2是4的平方根；③5的平方根是；④±都是3的平方根；⑤(?2)2的平方根是?2；其中正确的命题是( ) A．①②③B．③④⑤C．③④D．②④ 3．若= 2.291，= 7.246，那么= ( ) A．22.91 B．72.46 C．229.1 D．724.6 4．一个自然数的算术平方根是a，则下一个自然数的算术平方根是( ) A．a+1 B．a2+1 C．+1 D． 5．下列命题中，正确的个数有( ) ①1的平方根是1 ；②1是1的算术平方根；③(?1)2的平方根是?1；④0的算术平方根是它本身 A．1个B．2个C．3个D．4个 6．若= 2.449，= 7.746，= 244.9，= 0.7746，则x、y的值分别为( ) A．x = 60000，y = 0.6 B．x = 600，y = 0.6 C．x = 6000，y = 0.06 D．x = 60000，y = 0.06 二、填空题 1．①若m的平方根是±3，则m =______；②若5x+4的平方根是±1，则x =______ 2．要做一个面积为π米2的圆形桌面，那么它的半径应该是______ 3．在下列各数中，?2，(?3)2，?32，，?(?1)，有平方根的数的个数为：______ 4．在?和之间的整数是____________ 5．若的算术平方根是3，则a =________ 三、求解题 1．求下列各式中x的值 ①x2 = 361；②81x2?49 = 0；③49(x2+1) = 50；④(3x?1)2 = (?5)2

《平方根》典型例题及练习54022

1、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根式）， 2、算术平方根： 3、平方根的性质： （1）一个正数有 个平方根，它们 ；（2）0 平方根，它是 ；（3） 没有平方根． 4、重要公式： （1）=2)(a （2）{==a a 2 5、平方表： 6.正数有_____________个立方根, 0有__________个立方根,负数有__________个立方根,立方根也叫做_______________. 7.一个正方体的棱长扩大3倍,则它的体积扩大_____________. 8.若一个数的立方根等于数的算术平方根,则这个数是_____________. 9. 0的立方根是___________.(-1)2005的立方根是______________.18 2726的立方根是________. 例1、判断下列说法正确的个数为（ ） ① -5是-25的算术平方根； ② 6是()26-的算术平方根； ③ 0的算术平方根是0； ④ 0.01是0.1的算术平方根； ⑤ 一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根． A ．0 个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 例2、36的平方根是（ ） A 、6 B 、6± C 、 6 D 、 6± 例3、下列各式中，哪些有意义？ （1）5 （2）2- （3）4- （4）2)3(- （5）310- 例4、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ） A ．()1+a B ．()1+±a C ．12+a D ．12+±a 算数平方根及平方根练习题 一、选择题 1．下列说法中正确的是（ ）

平方根练习测试题

平方根测试 一、选择题（30分） 1、下列叙述正确的是（） A．如果a存在平方根，则a>0 B ．=±4 C ．是5的一个平方根D．5的平方根是 2、“的平方根是”用数学式表示为（） A ． B ． C ． D ． 3、已知正方形的边长为a，面积为S，则（） A ． B ． C ． D ． 4、下列说法正确的是（） A．一个数的平方根一定是两个 B．一个正数的平方根一定是它的算术平方根 C．一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数 D．一个数的正的平方根是算术平方根 5、一个正数的算术平方根为m，则比这个数大2的数的算术平方根是（） A ． B ．C．m2＋2D．m＋2 6、如果a是b的一个平方根，则b的算术平方根是（） A．a B．－a C．±a D．|a| 7、若x＜2，化简的正确结果是（） A．－1B．1 C．2x－5D．5－2x 8、数a 在数轴上表示如图所示，则化简的结果是（） A．－1B．1－2a C．1D．2a－1 9、的算术平方根是（） A．－4B．4 C．2D．－2 10、下列说法中正确的有（）： ①3是9的平方根；②9的平方根是3；③4是8的正的平方根；④-8是64的负的平方根。 A．1个B．2个C．3个D．4个 二、解答题（30分） 11．9的算术平方根是，16的算术平方根是； 12．若x 为一个两位整数，则的取值范围是________。 13．一个正数有个平方根，0有个平方根，负数平方根. 14．一个数的平方等于49，则这个数是

15．16的算术平方根是 ，平方根是 16．一个负数的平方等于81，则这个负数是 17．如果一个数的算术平方根是5，则这个数是 ，它的平方根是 18．当_______x 时， x -11有意义； 19．若14+a 有意义，则a 能取的最小整数为 20．若a 的平方根是±5，则a = 。 21．利用平方根、立方根来解下列方程．（10分） （1）（2x-1）2-169=0； （2）4（3x+1）2-1=0； 22、求下列各式的值. （6分） 23．探究题（7分） （1）若 ； ，则 ________， ________，________，________。 （2）若； ，则 ________， ________， 24．求下列各式中的值。（9分） （1）26 （2）2 )6(- （3）2)6( （4）－2 6 （5）±2 )6(- （6）－0 （7 （8 （9 25、（8分） ，求

算术平方根练习题(2)

算术平方根练习 一、选择题： 1. 81的算术平方根是（ ） A ．9± B ．9 C ．-9 D ．3 2. 已知正方形的边长为 a ，面积为 S ，下列说法中：①a S =；②S a =； ③S 是a 的算术平方根；④a 是S 的算术平方根。正确的是（ ） A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④ 3. 如果5.1=y ，那么y 的值是（ ） A ．2.25 B ．22.5 C ．2.55 D ．25.5 4. 计算()22-的结果是（ ） A ．-2 B ．2 C ．4 D ．-4 5. 下列各式中正确的是（ ） A ．525±= B ． ()662-=- C ．()222-= D ．()332=- 二、填空题： 1. 一个数的算术平方根是25，这个数是________。 2. 算术平方根等于它本身的数有______________。 3. 81的算术平方根是__________。 4. 144=_______；4925=________；=-01.0________；002 5.0=_______。 5. ()=2196_________；()=-28_________；256 169-=___________。 三、解答题： 1. 求下列各数的算术平方根：

(1) 3.24 (2) 12149 (3) 100001 2. 求下列各式的值： (1) 144 169- (2) 0625.0 (3) 1692254-+ 3. 回答下列问题： (1) ()2 5-有没有算数平方根？如果没有，说明理由；如果有，写出它的算术平方根。 (2) 3-是()2 3-的算术平方根吗？如果不是，请写出它的算术平方根。 4. 用长3cm 、宽2.5cm 的邮票30枚，拼成一个正方形，则这个正方形的边长是多少？

平方根练习题(通用)

（八年级数学A）第十三章实数（一）——平方根 班别姓名学号 一、学习目标： 二、新课学习 环节一：新课引入： 1、在下列正方形中，已知面积，，请写出正方形的边长。 s =4 s = 9 a = a = 2、在下列正方形中，已知面积，你会写出正方形的边长吗？ s =3 s = 5 a = a = 问题：一个正方形的面积是5，那么它的边长是多少？ 为了解决问题，我们引入一种新的符号表示，为， 环节二：新课

125= 2读作“根号5”或“根号下5”或“二次根号5”。 3、试一试：2=2 ，2 =3 = =7， = =9 环节三：探索 请用两种方法表示“面积为9的正方形的边长” （1）可以表示为 ，（2）也可以表示为 ， 即： = = 环节三：练习题 A 组 1、写出并熟记1——20的平方： （1）21= ；22= ；23= ；24= ；25= ； 26= ；27= ；28= ；29= ；210= ； （2）211= ；212= ；213= ；214= ；215= ； 216= ；217= ；218= ；219= ；220= ； 2、写出下列结果：（注意，将根号内的数，写成两个相同的乘数） = = ；= = ；= = ； = = ；= = ；= = ； = = ；= = ；= = ； = = ；= = = = ；== = ；

4、填空： 25 ==5的算术平方根。其中5叫做； ，叫做。 5==a，a会小于0吗？ a可能是负数吗？ 0，∴ a 0 ∴ a 注意：负数没有算术平方根。 练习：A组 1、用符号表示下列语句： （1）91的算术平方根用根号表示为：； （2）26的算术平方根用根号表示为：； （3）6的算术平方根用根号表示为：； （4）10的算术平方根用根号表示为：； 2、求出下列各数的算术平方根： （1）9的算术平方根；= = ； （2）4的算术平方根；解： （3）36的算术平方根是；解： （4）81的算术平方根是；解： （5）6的算术平方根是；解： （6）2的算术平方根是；解： 3、判断下列各数，哪些有算术平方根，哪些没有： 22 ------- 0.2,9,81,(2),2,(4),2,

绝对值和平方的非负性专题练习(学生版)

绝对值与平方的非负性专题练习 一、选择题 1、有理数的绝对值一定是（）． A. 正数 B. 整数 C. 自然数 D. 正数或零 2、下列代数式中，值一定是正数的是（）． A. x2 B. |-x+1| C. （-x）2+2 D. -x2+1 3、设a是有理数，则下列各式的值一定为正数的是（）． A. a2 B. |a| C. a+1 D. a2+1 4、若（a-2）2+|b+3|=0，则（a+b）2014的值是（）． A. 0 B. 1 C. -1 D. 2014 5、若|a-2013|+（b+1）2012=0，则b4的值为（）． A. -1 B. 1 C. -2013 D. 2013 6、若|m+3|+（n-2）2=0，则m n的值为（）． A. 6 B. -6 C. 9 D. -9 7、a为任何有理数，则下列代数式中，正确的有（）． ①-a＜a；②a2≥0；③a≤a2；④a＞1 a ；⑤|a|≥a． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8、当式子（2x-1）2+2取最小值时，x等于（）． A. 2 B. -2 C. 0.5 D. -0.5 二、填空题 9、整式（2x-4）2-1的最小值是______． 10、若|m|=-|n-7|，则m+n=______． 11、已知（a-3）2与|b-1|互为相反数，则式子a2+b2的值为______． 12、已知z-|y+2|的最大值为8，y+z=______． 13、-（a-b）2的最大值是______；当其取最大值时，a与b的关系是______． 14、代数式15-|x+y|的最大值是______，当此代数式取最大值时，x与y的关系是______． 15、已知|a+2|+（b-3）2=0，则a-b=______． 16、已知5|3a+4|+|4b+3|=-|c+1|，a-b+c的值为______． 17、如果m、n为整数，且|m-2|+|m-n|=1，那么m+n的值为______．

(完整版)算术平方根练习题(2)

6.1 平方根 第1课时算术平方根 要点感知1一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的__________,记作“__________”,读作“__________”,a叫做__________. 预习练习1-1(2014·枣庄)2的算术平方根是( ) A.±2 B.2 C.±4 D.4 要点感知2 规定：0的算术平方根为__________. 预习练习2-1 若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是( ) A.1 B.-1 C.0 D.0或1 要点感知3被开方数越大,对应的算术平方根也__________. 预习练习3-1比较大小：6__________7，4__________15. 知识点1 算术平方根 1.若x是64的算术平方根，则x=( ) A.8 B.-8 C.64 D.-64 2.(2013·南充)0.49的算术平方根的相反数是( ) A.0.7 B.-0.7 C.±0.7 D.0 3.(-2)2的算术平方根是( ) A.2 B.±2 C.-2 D.2 4.下列各数没有算术平方根的是( ) A.0 B.-1 C.10 D.102 5.求下列各数的算术平方根： (1)144；(2)1；(3)16 25 ；(4)0.008 1；(5)0. 6.求下列各数的算术平方根. (1)0.062 5；(2)(-3)2；(3)225 121 ；(4)108. 知识点2 估算算术平方根 7.(2014·安徽)设n为正整数，且n65n+1，则n的值为( )

A.5 B.6 C.7 D.8 8.(2013·枣庄)估计6+1的值在( ) A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间 9.某公司要设计一块面积为10平方米的正方形广告牌，公司在设计广告时，必须知道这个正方形的边长.这个正方形的边长是多少？估计边长的值(结果精确到十分位). 知识点3 用科学计算器求一个正数的算术平方根 10.用计算器比较23+1与3.4的大小正确的是( ) A.23+1=3.4 B.23+1>3.4 C.23+1<3.4 D.不能确定 11.我们可以利用计算器求一个正数a的平方根，其操作方法的顺序进行按键输入：.小明按键输入 显示的结果为4，则他按键输入后显示的结果为__________. 12.用计算器求下列各式的值（精确到0.001）： (1)800；(2)0.58；(3)2401. 13.(2014·百色)100( ) A.100 B.10 C.10 D.±10 14.(2014·台州)30( ) A.4 B.5 C.6 D.7 15.(2013·东营16( ) A.±4 B.4 C.±2 D.2 16.下列说法中：①一个数的算术平方根一定是正数；②100的算术平方根是10,100；③(-6)2的算术平方根是6；④a2的算术平方根是a.正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 17.已知a、b为两个连续的整数，且28

平方根测试题及答案

平方根测试题及答案 平方根测试题及答案 (一)基础测试： 填空题：(每题3分，共30分) (1)121的算术平方根是;0.25的算术平方根是. (2)100的算术平方根是;0.81的算术平方根是; 0.0081的算术平方根是. (3)的相反数是____________，绝对值是_________________. (4)若有意义,则___________. (5)若4a+1的算术平方根是5，则a的.算术平方根是______. (6)小明房间的面积为10.8平方米，房间地面恰由120块相同的正方形地砖铺成，则每块地砖的边长是______米. (7)已知和|y-|互为相反数，则x=____,y=__.(8)的算术平方根的相反数是_____. (9)一个自然数的算术平方根是a，则下一个自然数的算术平方根是______. (10)一个自然数的平方是b,那么比这个自然数大1的数是______. 选择题：(每题3分，共9分) (1)下列各式计算正确的是( ) A.=±6 B.=-5 C.=-8 D.=10 (2)下列各式无意义的是( )

A.- B. C. D. (3)数2、、3的大小关系是( ) A.3 2 B. 3 2 C.2 3 D.3 2 (二)能力测试：(每小题6分，共24分) 1.比较大小：(1);(2). 2.写出所有符合下列条件的数： (1)大于小于的所有整数;(2)绝对值小于的所有整数. (三)拓展测试：(6分) 观察： 猜想等于什么，并通过计算验证你的猜想。 答案： (一)基础测试： 填空题 (1)11，0.5(2)10，0.9，0.09(3)，

(完整版)算术平方根随堂练习题

算术平方根练习 一、选择题： 1. 81的算术平方根是（ ） A ．9± B ．9 C ．-9 D ．3 2.下列说话正确的是（ ） A 、（－1）2是1的算术平方根 B 、－1是1的算术平方根 C 、（－2）2的算术平方根是－2 D 、一个数的算术平方根等于它本身，这个数是 3. 如果5.1=y ，那么y 的值是（ ） A ．2.25 B ．22.5 C ．2.55 D ．25.5 4. 计算()22-的结果是（ ） A ．-2 B ．2 C ．4 D ．-4 5. 下列各式中正确的是（ ） A ．525±= B ． ()662-=- C ．()222-= D ．()332=- 二、填空题： 1. 一个数的算术平方根是25，这个数是________。 2. 算术平方根等于它本身的数有______________。 3. 81的算术平方根是__________。 4. 144=_______；4925=________；=-01.0________；002 5.0=_______。 5. ()=2196_________；()=-28_________；256 169-=___________。 6. 当______m 时，m -3有意义； 7．已知0)3(122=++-b a ，则=3 2ab ； 8．21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________．

9．12+x 的算术平方根是2，则x ＝________． 10.算术平方根等于它本身的数有________ 11．设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ ） 三、解答题： 1. 求下列各数的算术平方根 (1) 3.24 (2) 12149 (3) 100001 2. 求下列各式的值 (1)144 169- (2) 1692254-+ (3)108 （4）75 3. 若2+a +︱b-1︳=0,求（a+b ）2007 。 4. 若︱3x-y-1︳和42-+y x 互为相反数，求x+4y 的算术平方根。

平方根练习题

第16章《数的开方》单元测试卷 一、选择题（每小题2分，共30分） 1、25的平方根是（ ） A 、5 B 、–5 C 、5± D 、5± 2、2 )3(-的算术平方根是（ ） A 、9 B 、–3 C 、3± D 、3 3．-8的立方根是（ ） A ．±2 B ．-2 C ．2 D ．不存在 4、下列叙述正确的是（ ） A 、0.4的平方根是2.0± B 、3 2）（-- 的立方根不存在 C 、6±是36的算术平方根 D 、–27的立方根是–3 5、下列等式中，错误的是（ ） A 、864±=± B 、 15 11 225121±= C 、62163-=- D 、1.0001.03-=- 6、如果x -2有意义，则x 的取值范围是（ ） A 、2≥x B 、2x 7、化简1|21|+-的结果是（ ） A 、22- B 、22+ C 、2 D 、2 8、下列各式比较大小正确的是（ ） A 、32-<- B 、6 6 55->- C 、14.3-<-π D 、310->- 9、若0

11．下列各数：3.141592 ，- 3 ，0.16 ，0.01 ，–π，0.1010010001…， 22 7， 3 5 ， 0.2 ，8 中无理数的个数是（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 12．a=15，则实数a在数轴上对应的点的大致位置是（） A． B． C． D． 13．一个正数的算术平方根是a，那么比这个正数大2的数的算术平方根是（） A．a2+2 B．±a2+2 C．a2+2 D．a+2 14．下列说法正确的是（） A．27的立方根是3，记作27=3 B．-25的算术平方根是5 C．a的立方根是± a D．正数a的算术平方根是 a 15．有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④-17是17的平方根，其中正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 1．把-1.6、- 2 π 、3 2、2 3、0从小到大排列（）． （A）-1.6＜- 2 π ＜0＜3 2＜2 3（B）-1.6＜- 2 π ＜0＜2 3＜3 2 （C）- 2 π ＜-1.6＜0＜2 3＜3 2（D）- 2 π ＜-1.6＜0＜3 2＜2 3 2．下列各式中错误的是（）． （A）6.0 36 .0± = ±（B）6.0 36 .0=（C）2.1 44 .1- = -（D）2.1 44 .1± = 3．若()2 27.0 - = x，则= x（）． （A）-0.7 （B）±0.7 （C）0.7 （D）0.49 4．36的平方根是（）．（A）6 （B）±6 （C）6（D）6 ±5．一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是（）． （A） 1 （B） 0 （C） -1 （D）1，-1或0 7．下列说法中，正确的是（）． （Ａ）27的立方根是3，记作27=3 （B）-25的算术平方根是5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5

最新(文章)算术平方根的双重非负性

算术平方根的双重非负性 一般地，如果一个正数x 的平方根等于 a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。0的算术平方根是0。其中算术平方根有一个非常重要的性质，就是它的双重非负性，即①被开方数0≥a ；②0≥a 。这一性质在解题中有着极其广泛应用，以下举例说明。 一、利用非负性①被开方数0≥a 例1 x 为何值时，下列各式有意义。 ⑴x -； ⑵x x +-1； ⑶ 14+x ； ⑷12+x ； ⑸11 2--x 解：⑴当0≥-x ，即0≤x ，x -有意义； ⑵当01≥-x 且0≥x ，即10≤≤x 时，x x +-1有意义； ⑶当01>+x ，即1->x 时，14 +x 有意义 ； ⑷当012≥+x ，即x 取任意实数时，12+x 有意义； ⑸当012>--x ，即(),012>+-x 012<+x 时，11 2--x 有意义，但 无论x 取任何数，12+x 都不会是负数，故原式无意义。 评注：对于⑶、⑸这样的式子，除了应用被开方数0≥a 的性质外，还要注意分母不能为0。 例2 若x 、y 满足42112=+-+-y x x ，则xy 的值为 。 解：由被开方数0≥a 得， 021,012≥-≥-x x 2 1,21≤≥ x x 所以2 1=x 把2 1=x 代入等式得4=y 故2421=?=xy ，应填2。

评注：这里应用了被开方数0≥a ，而x x 2112--与是相反数，互为相反数的只有0，所以012=-x 。可以解出x 、y 值。 例3 比较x -5与()3 6-x 的大小。 解：由被开方数0≥a 得 5,05≤≥-x x 因此，06<-x ，()063 <-x 所以x -5>()3 6-x 评注：本题看起来无从下手，其实隐含着被开方数0≥a 这一条件，应用这一条件可以求出x 的取值范围，然后依据x 的取值范围计算比较大小。 二、利用非负性②0≥a 例4 21++a 的最小值是 ，此时a 的取值是 。 解：因为01≥+a 所以221≥++a 当a+1=0，即a=-1时取等号。 故应填2、-1。 评注：本题利用非负性②0≥a ，因为是求最小值，所以当0=a 是有最小值。 例5 若92+-y x 与105+x 互为相反数，求x 、y 的值。 解：因为92+-y x 与105+x 互为相反数 所以010592=+++-x y x 又因为092≥+-y x ；0105≥+x 即? ??=+=+-0105092x y x 解得?? ???=-=272y x

算术平方根的双重非负性

算术平方根的双重非负性 算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即a x= 2，那么这个正数x就叫做a 的算术平方根，记为“a”，读作“根号a”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即0 0=. 算术平方根定义中的两层含义： a中的a是一个非负数，即0 a≥，a的算术平方根a也是一个非负数， ≥．这就是算术平方根的双重非负性． 例题：已知x，y为有理数，且x－1＋3(y－2)2＝0，求x－y的值．解析：算术平方根和完全平方式都具有非负性，即 ≥，a2≥0， 由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x 和y的值，进而求得答案． ()2 0,20 y ≥-≥，且x－1＋3(y－2)2＝0 ∴x-1=0，y-2=0. ∴x=1,y=2 ∴x－y＝1－2＝－1. 方法总结：算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性，即 ≥，|a|≥0，a2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.巩固练习： 1.若|x－2|+3 - y=0,则xy=______. 2.已知()0 2 3 2 2 12 = + + + + -z y x，求x+y+z的值.

3. △ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ，b 满足04412=+-+-b b a ，求c 的取值范 围． 参考答案： 1. xy =6 2. 解：因为21-x ≥0，()22+y ≥0，2 3+z ≥0，且()0232212=++++-z y x ， 所以21- x =0，()22+y =0，23+z =0， 解得21=x ，2-=y ，2 3-=z ， 所以x +y +z = 3-． 3. 解：由04412=+-+-b b a ，可得0)2(12=-+-b a ， 因为 1-a ≥0，2)2(-b ≥0， 所以1-a =0，2)2(-b =0， 所以a = 1，b = 2， 由三角形三边关系定理有：b- a < c < b +a ，即1 < c < 3．

《平方根》典型例题及练习

七年级数学《平方根》典型例题及练习 【知识要点】 1、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数x就叫做a的平方 根（也叫做二次方根式）， 2、算术平方根： 3、平方根的性质： （1）一个正数有个平方根，它们； （2）0 平方根，它是； （3）没有平方根． 4、重要公式： （1）=2) (a（2）{= =a a2

5、平方表： 【典型例题】 例1、判断下列说法正确的个数为（） ①-5是-25的算术平方根； ②6是()26-的算术平方根； ③0的算术平方根是0； ④是的算术平方根； ⑤一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根． A．0 个 B．1个 C．2个 D．3个 例2、36的平方根是（） A、6 B、6 ± C、6 D、6 ± 例3、下列各式中，哪些有意义 （1）5（2）2 -（3）4-（4）2)3(-（5）3 10- 例4、一个自然数的算术平方根是a，则下一个自然数的算术平方根是（） A．()1+a B．()1+ ±a C．1 2+ a D．1 2+ ±a

例5、求下列各式中的x ： （1）0252=-x （2）4(x+1)2-169=0 【巩固练习】 一、选择题 1． 9的算术平方根是（ ） A ．-3 B ．3 C ．±3 D ．81 2．下列计算正确的是（ ） A ±2 B 636=± D.992-=- 3．下列说法中正确的是（ ） A ．9的平方根是3 B 平方根是±2 4． 64的平方根是（ ） A ．±8 B ．±4 C ．±2 D 5． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ） A ．4 B ．18 C ．-14 D ．14 6．下列结论正确的是（ ）

文章算术平方根的双重非负性

文章算术平方根的双重 非负性 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

算术平方根的双重非负性 一般地，如果一个正数x 的平方根等于 a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。0的算术平方根是0。其中算术平方根有一个非常重要的性质，就是它的双重非负性，即①被开方数0≥a ；②0≥a 。这一性质在解题中有着极其广泛应用，以下举例说明。 一、利用非负性①被开方数0≥a 例1x 为何值时，下列各式有意义。 ⑴x -；⑵x x +-1；⑶ 14+x ； ⑷12+x ；⑸11 2--x 解：⑴当0≥-x ，即0≤x ，x -有意义； ⑵当01≥-x 且0≥x ，即10≤≤x 时，x x +-1有意义； ⑶当01>+x ，即1->x 时，14 +x 有意义； ⑷当012≥+x ，即x 取任意实数时，12+x 有意义； ⑸当012>--x ，即(),012>+-x 012<+x 时，11 2--x 有意义，但 无论x 取任何数，12+x 都不会是负数，故原式无意义。 评注：对于⑶、⑸这样的式子，除了应用被开方数0≥a 的性质外，还要注意分母不能为0。 例2若x 、y 满足42112=+-+-y x x ，则xy 的值为。 解：由被开方数0≥a 得，

所以21= x 把21= x 代入等式得4=y 故242 1=?=xy ，应填2。 评注：这里应用了被开方数0≥a ，而x x 2112--与是相反数，互为相反数的只有0，所以012=-x 。可以解出x 、y 值。 例3比较x -5与()3 6-x 的大小。 解：由被开方数0≥a 得 因此，06<-x ，()063 <-x 所以x -5>()3 6-x 评注：本题看起来无从下手，其实隐含着被开方数0≥a 这一条件，应用这一条件可以求出x 的取值范围，然后依据x 的取值范围计算比较大小。 二、利用非负性②0≥a 例421++a 的最小值是，此时a 的取值是。 解：因为01≥+a 所以221≥++a 当a+1=0，即a=-1时取等号。 故应填2、-1。 评注：本题利用非负性②0≥a ，因为是求最小值，所以当0=a 是有最小值。 例5若92+-y x 与105+x 互为相反数，求x 、y 的值。 解：因为92+-y x 与105+x 互为相反数 所以010592=+++-x y x

《平方根》典型例题及练习

《平方根》典型例题及练习

平方根练习题 1、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根式），算术平方根 2、平方根的性质：（1）一个正数有 个平方根，它们 （2）0的平方根 是 ；（3） 没有平方根． 3、重要公式： （1）=2 )( a （2）{==a a 2 4、平方表： 5.正数有_____________个立方根, 0有__________个立方根,负数有__________个立方根,立方根也叫做_______________. 6.一个正方体的棱长扩大3倍,则它的体积扩大_____________. 7.若一个数的立方根等于数的算术平方根,则这个数是_____________. 8. 0的立方根是___________.(-1)2005的立方根是______________.1827 26 的立方根是________. 例1、判断下列说法正确的个数为（ ） ① -5是-25的算术平方根； ② 6是()26-的算术平方根； ③ 0的算术平方根是0；

④ 0.01是0.1的算术平方根； ⑤ 一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根． A ．0 个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 例2、 36的平方根是（ ） A 、6 B 、6± C 、 6 D 、 6± 例3、下列各式中，哪些有意义？ （1） 5 （2）2- （3）4- （4） 2 )3(- （5） 310- 例4、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ） A ．()1+a B ．()1+±a C ．1 2+a D ．12+± a 强化训练 一、选择题 1．下列说法中正确的是（ ） A ．9的平方根是3 B 4 2 2． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ） A ．4 B ．18 C ．-14 D ．14 3．下列结论正确的是（ ） A 6)6(2-=-- B 9)3(2=- C 16)16(2±=- D 25 1625162 =? ?? ? ? ?-- 4．以下语句及写成式子正确的是（ ） A 、7是49的算术平方根，即749±= B 、 7是2 )7(-的平方根，即 7)7(2=- C 、7±是49的平方根， 即7 49=± D 、7±是49的平方根，即749±= 5．下列说法：(1)3±是9的平方根；(2)9的平方根是3±；(3)3是9的平方根； (4)9的平方根是3，其中正确的有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．4个 6．下列说法正确的是（ ） A ．任何数的平方根都有两个 B ．只有正数才有平方根

巧用算术平方根的非负性求值

巧用算术平方根的非负性求值 数学中的求值题类型颇多，下面例谈巧用算术平方根的非负性求值。 例1 已知：（1－2a ）2+2-b =0，求（ab ）b 的值。 分析：清楚完全平方数和算术平方根的非负性是解这类题的关键。 解：∵（1－2a ）2≥0，2-b ≥0且（1－2a ）2+2-b =0 ∴1－2a =0，b －2=0 ∴a =21，b =2 ∴（ab ）b =（21 ×2）2=1 点评：若干个非负数的和为零，则它们分别为零 例2 已知3+-b a 与5-+b a 互为相反数，求a 2+b 2的值。 分析：利用绝对值的非负性和算术平方根的非负性解题 解：∵3+-b a 与5-+b a 互为相反数 ∴3+-b a +5-+b a =0 又3+-b a ≥0，5-+b a ≥0 ∴a －b +3=0且a +b －5=0，解方程即可求得：a =1，b =4 ∴a 2+b 2=12+42=17 点评：如果两个非负数互为相反数，则这两个非负数分别为零 例3 若m ＜0，n ＜0，求2)1(m -+（n -）2的值 分析：运用公式2a =a 解题 解：∵m ＜0 ∴2)1(m -=－m ； ∵n ＜0，∴（n -）2=－n ∴2)1(m -+（n -）2=－m +（－n ）=－m －n 点评：2a =a 中，注意a 的取值范围。

例4 △ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a 、b 满足1-a +b 2－4b +4=0，求c 的取值范围。 分析：要清楚完全平方数和算术平方根的非负性及三角形的性质。 解：由1-a +b 2－4b +4=0，可得1-a +（b －2）2=0 ∵1-a ≥0，（b －2）2≥0 ∴1-a =0，（b －2）2=0 ∴a =1，b =2 由三角形三边关系定理有：b －a ＜c ＜b +a 即1＜c ＜3 点评：此处除用到算术平方根和完全平方数的非负性外，还利用了三角形边的关系。 例5：已知实数，满足等式132--y x +（x －2y +2）4 =0，求2x －53y 的平方根。 分析：利用算术平方根的非负性及完全平方数的非负性解题。 解：∵132--y x ≥0，（x －2y +2）4≥0且132--y x +（x －2y +2）4=0 ∴2x －3y －1=0，x －2y +2=0 解上二方程组成的方程组，得? ??==58y x ∴2x －53y =2×8－53 ×5=13 ∴2x －53y 的平方根为±13 点评：已知等式中含有偶次根式要考滤被开方数大于等于零；含有偶次方幂 要考滤偶次方幂大于等于零。

《平方根》典型例题及练习

平方根练习题 1、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根式），算术平方根 2、平方根的性质：（1）一个正数有 个平方根，它们 （2）0的平方根是 ；（3） 没有平方根． 3、重要公式： （1）=2 )( a （2）{==a a 2 4、平方表： 5.正数有_____________个立方根, 0有__________个立方根,负数有__________个立方根,立方根也叫做_______________. 6.一个正方体的棱长扩大3倍,则它的体积扩大_____________. 7.若一个数的立方根等于数的算术平方根,则这个数是_____________. 8. 0的立方根是___________.(-1)2005的立方根是______________.1827 26 的立方根是________. 例1、判断下列说法正确的个数为（ ） ① -5是-25的算术平方根； ② 6是()26-的算术平方根； ③ 0的算术平方根是0； 12= 62= 112= 162= 22= 72= 122= 252= 32= 82= 132= ... 42= 92= 142= ... 52= 102= 152= ...

④ 0.01是0.1的算术平方根； ⑤ 一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根． A ．0 个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 例2、 36的平方根是（ ） A 、6 B 、6± C 、 6 D 、 6± 例3、下列各式中，哪些有意义？ （1） 5 （2）2- （3）4- （4） 2 )3(- （5） 310- 例4、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ） A ．()1+a B ．()1+±a C ．1 2+a D ．12+± a 强化训练 一、选择题 1．下列说法中正确的是（ ） A ．9的平方根是3 B ． 16的算术平方根是±2 C. 16的算术平方根是 4 D. 16的平方根是±2 2． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ） A ．4 B ．18 C ．-14 D ．14 3．下列结论正确的是（ ） A 6)6(2-=-- B 9)3(2=- C 16)16(2±=- D 2516 25162 =??? ? ??- - 4．以下语句及写成式子正确的是（ ） A 、7是49的算术平方根，即749±= B 、 7是2)7(-的平方根，即 7)7(2=- C 、7±是49的平方根，即7 49=± D 、7±是49的平方根，即749±= 5．下列说法：(1)3±是9的平方根；(2)9的平方根是3±；(3)3是9的平方根； (4)9的平方根是3，其中正确的有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．4个 6．下列说法正确的是（ ） A ．任何数的平方根都有两个 B ．只有正数才有平方根

七年级平方根练习题

_______ ． 8 ． 25 的算术平方根是 _________ ． 9．49 的算术平方根是 ________ ．］11．62的平方根是 _____ 12 ．0.0196 的算术平方根是 _______ ． 13 ．4 的算术平方根是 14 ．64 的算术平方根是 _______ ．15 ．36 的平方根是 _____ 0.1010010001 ?各数中，属于有理数的有 __________ ；属于无理数的有 40 ．把下列各数中的无理数填在表示无理数集合的大括号里： 41 ．绝对值最小的实数是 一）填空 1． 16 的平方根是 初一平方根练习题 3．49 的平方根是 5 ． 4 的平方根 是 7 ． 81 的平方根 是 18 ．4 的平方根是 , 4 的算术平方根是 19 ．256 的平方根是 9 的平方根是 __ 4.41 的算术平方根是 37 ．与数轴上的点一一对应的数是 ．38 ． 统称整数；有理数和无理数统称 无理数集合： { }

44 ．无限不循环小数叫做 ______ 数． 45 ．在实数范围内分解因式： 2x 3+x 2-6x-3= ________ （二）选择 46 ．36 的平方根是 [ ] A ． 2360 ； B ．236 C ． 23.6 ； D ．2.36 ． 59 ．数轴上全部的点表示的数是 [ ]A ．自然数 B ．整数； C ．实数； D ．无理数； E ．有理数． 60 ．和数轴上的点成一一对应关系的数是 [ ]A ．无理数； B ．有理数； C ．实数； D ．自然数． 61 ．数轴上全部的点表示的数是 [ ]A ．有理数； B ．无理数； C ．实数． 63 ．和数轴上的点是一一对应的数是 [ ]A ．自然数； B ．整数； C ．有理数； D ．实数． A ．1 个； B ．2 个； C ．3 个； D ．5 个． 65 ．不论 x ，y 为什么实数， x 2+y 2+40-2x+12y 的值总是 [ ]A ．正数； B ．负数； C ．0； D ．非负数． 数为 [ ] A ．1； B ．是一个无理数； C ．3 ； D ．无法确定． A ．n 为正整数， a 为实数； B ．n 为正整数， a 为非负数； C ．n 为奇数， a 为实数； D ．n 为偶数， a 为非 48 ．在实数范围内，数 0 ， A ． 1 个； B ．2 个； 7， -81 C ． （-5） 2中， 个； 有平方根的有 个． D ．4 A ． 50 51 A ． 52 A ． 53 -36 ； B ．36 ； ．下列语句中，正确的是 ．0 是 [ ] 最小的有理数； B ．绝对值最小的实数； ．以下四种命题，正确的命题是 0 是自然数； B ． 0 是正数； ．和数轴上 的点一一对应的数为 C ． ±6； D ．± 36 ． C ．最小的自然数； ] D ．最小的整数． C ．0 [ 是无理数； D ． 0 [ 是整数． ] D ．实数． [ ] D ．不存在这样的 数． 整数； B ．有理数； C ．无理数； ．和数轴上的点一一对应的数是 有理数； B ．无理数； C ． ．全体小数所在的集合是 分数集合； B ．有理数集合； ．下 列三个命题：（ 1 ）两个无理数的和一定是无理数；（ 2） （3）一个有理数与一个无理数的和一定是无理数．其中真命题是 A ．（ 1），（ 2） A ． 54 A ． 55 A ． 56 和（ 3 ） 实数； [ C ．无理数集合； D ． B ．（ 1）和（ 3）；C ．只有（1） 实数集合． 两个无理数的积一定是无理 数； [ ] ； D ．只有（ 3 ）． A ．4； B ． 3； C ．6； D ．5． 数是 A ．2； B ．3 ； C ．4； D ．5．