椭圆的标准方程与性质
椭圆的标准方程与性质
教学目标：
1 了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
2 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
高考相关点：
在高考中所占分数：13分
考查出题方式：解答题的形式，而且考查方式很固定，涉及到的知识点有：求曲线方程，弦长，面积，对称关系，范围问题，存在性问题。
涉及到的基础知识
1．引入椭圆的定义
在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|=2c)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
有以下3种情况
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
题型总结
类型一 椭圆的定义及其应用
例1：如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．圆
【解析】根据CD 是线段MF 的垂直平分线.可推断出
,进而可以知道结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P 的轨迹
【答案】根据题意知,CD 是线段MF 的垂直平分线.
,
(定值),又显然
,
根据椭圆的定义可推断
出点P 轨迹是以F 、O 两点为焦点的椭圆.所以A 选项是正确的
练习１：已知F 1，F 2是椭圆C ：22
221x y a b +=(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆
C 上的一点，且
PF →
1⊥2PF u u u r ，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．
【解析】由题意的面积∴故答案为：【答案】3
练习2：已知F1，F2是椭圆x2
16＋
y2
9＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，
B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为() A．6 B．5 C．4 D．3
【解析】由椭圆方程知，椭圆的长轴，则周长为16，故第三边长为6.所以正确答案为A.
【答案】A
类型二求椭圆的标准方程
例2：在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴
上，离心率为
2
2
.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么
椭圆C的方程为________．
【解析】设椭圆方程为x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a >b>0)，
由e＝
2
2
，知
c
a
＝
2
2
，故
b2
a2
＝
1
2
.
由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a ＝16，故a＝4.
∴b2＝8，∴椭圆C的方程为x2
16
＋
y2
8
＝1.
【答案】x2
16
＋
y2
8
＝1
练习1：设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2
b2
＝1(0 的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________． 【答案】x2+3y2/2=1 类型三椭圆的几何性质 例3：如图，在平面直角坐标系xOy中，A 1，A 2 ，B 1 ，B 2 为椭圆 ()22 2210x y a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为________． 【解析】直线A 1B 2的方程为x －a ＋y b ＝1，直线B1F 的方程为x c ＋y －b ＝1，二者 联立， 得T( 2ac a －c ，b （a ＋c ） a －c )， 则M(ac a －c ，b （a ＋c ）2（a －c ）)在椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a>b>0)上， ∴22 22 ()1()4() c a c a c a c ++=--， c 2＋10ac －3a 2＝0，e 2＋10e －3＝0，解得e ＝27－5. 【答案】27－5 练习1：已知A 、B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞ 0)的公共顶点．P 是双曲线上的动点，M 是椭圆上的动点(P 、M 都异于A 、B )，且满足AP →＋BP →＝λ(AM →＋BM →)，其中λ∈R ，设直线AP 、BP 、AM 、BM 的斜率分别记为 k 1 、k2、k3、k4，k1＋k2＝5，则k3＋k4＝________． 【解析】设出点P、M的坐标，代入双曲线和椭圆的方程，再利用已知满足 及其斜率的计算公式即可求出． 【答案】∵A，B是椭圆和双曲线 的公共顶点，∴（不妨设）A（-a，0），B（a，0）．设P（x1，y1），M（x2，y2）， ∵，其中λ∈R， ∴（x1+a，y1）+（x1-a，y1）=λ[（x2+a，y2）+（x2-a，y2）]，化为x1y2=x2y1．∵P、M都异于A、B，∴y1≠0，y2≠0．∴．由k1+k2==5，化为，（*）又 ∵，∴，代入（*）化为．k3+k4= =，又，∴，∴k3+k4== =-5．故答案为-5． 类型四直线与椭圆的位置关系 例4：(2014·四川卷)已知椭圆C：x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－2， 0)，离心率为 6 3 . (1)求椭圆C的标准方程； (2)设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积． 【解析】（1）根据已知条件求得和的值，于是可得的值，即得到椭圆 的标准方程； （2）设出点坐标和直线和的方程，将其与椭圆方程联立，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据边角关系得到平行四边形底边的长和对应的高，代入面积的表达式即可得到结论。 【答案】（1）由已知可得，，，所以。又由，解得，所以椭圆的标准方程是。 （2）设点的坐标为，则直线的斜率。当时，直线的斜率，直线的方程是。当时，直线的方程是，也符合的形式。设，，将直线的方程与椭圆的方程联立，得。消去，得 。其判别式， 所以， ， 。因为四边形 是平行四边形，所以 ，即 。 所以 ，解得 。此时，四边形 的面积 。 练习1：(2014·陕西卷)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为1 2，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)． (1)求椭圆的方程； (2)若直线l ：y ＝－1 2x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB||CD|＝53 4，求直线l 的方程． 【解析】（1）根据椭圆上的一点和离心率建立方程，求出椭圆方程中的参数。 （2）根据圆心到直线的距离求出的长度，建立直线和椭圆的方程组求出 的长度，根据 和 的关系求出 。 【答案】由题设知解得，，，所以椭圆的方程为。 （2）由题设，以为直径的圆的方程为，所以圆心到直线的距离，由得。所以 。 设，，由得。由求根公式可得，。所以 ， 由得，解得，满足。所以直线的方程为或。 类型五圆锥曲线上点的对称问题 例5：椭圆E经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离 心率e＝1 2 ，其中∠F1AF2的平分线所在的直线l的方程为y＝2x－1. (1)求椭圆E的方程； (2)在椭圆上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由 【解析】（1）由定义法代入即可得答案。（2）假设存在直线，先设出直线方程代入，与椭圆方程联立后得到矛盾，即可。 【答案】 （1）设椭圆E的方程为+=1, 由e=,即=,a=2c,得b2=a2-c2=3c2. ∴椭圆方程具有形式+=1. 将A(2,3) 代入上式, 得+=1,解得c=2, ∴椭圆E的方程为+=1. （2）解法一:假设存在这样的两个不同的点B(x1,y1)和C(x2,y2), ∵BC⊥l,∴k BC==-. 设BC的中点为M(x0,y0),则x0=,y0=, 由于M在l上, 故2x0-y0-1=0.① 又B,C在椭圆上,所以有+=1与+=1. 两式相减,得+=0, 即+=0. 将该式写为·+··=0, 并将直线BC的斜率kBC和线段BC 的中点表示代入该表达式中, 得x0-y0=0,即3x0-2y0=0.② ①×2-②得x0=2,y0=3,即BC的中点为点A, 而这是不可能的. ∴不存在满足题设条件的点B和C. 解法二:假设存在B(x1,y1),C(x2,y2)两点关于直线l对称,则l⊥BC,∴k BC=-. 设直线BC的方程为y=-x+m,将其代入椭圆方程+=1, 得一元二次方程3x2+4=48, 即x 2-mx+m 2-12=0. 则x 1与x 2是该方程的两个根. 由韦达定理得x 1+x 2=m, 于是y 1+y 2=-(x 1+x 2)+2m=, ∴B,C 的中点坐标为. 又线段BC 的中点在直线y=2x-1上, ∴=m-1,得m=4. 即B,C 的中点坐标为(2,3),与点A 重合,矛盾. ∴不存在满足题设条件的相异两点. 练习1：(2014·湖南)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ， b(a a ＝________. 【解析】由题可得C(,2a a -),F(,2 a b b +),因为C,F 在抛物线上,代入抛物线可得 1b a =,1。 1 下一讲讲解范围，面积类型的题。 随堂检测 1.（2015年高考福建卷）已知椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的 一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于 4 5 ，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．(0, 2 B ．3(0,]4 C ．[ 2 D ．3[,1)4 【答案】A 2.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________． 【答案】x 218＋y 2 9 ＝1 3.椭圆T ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆T 的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________． 【答案】3－1 4．已知双曲线x 2 －y 2 3 ＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2 → 的最小值为__________ 【答案】-2 5.(2014·包头测试与评估)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1的左顶点为A ，左焦点为F ，点P 为该椭 圆上任意一点；若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e ＝1 2 ，则AP →·FP →的取值范围是 ________． 【答案】[0,12] 6.已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，上顶点为A ，P 为C 1上任一点，MN 是圆C 2：x 2 ＋(y －3)2 ＝1的一条直径，与AF 平行且在y 轴上的截距为3－2的直线l 恰好与圆C 2相切． (1)求椭圆C 1的离心率； (2)若PM →·PN → 的最大值为49，求椭圆C 1的方程． 【答案】（1)由题意可知直线l的方程为bx＋cy－(3－ )c＝0，因为直线l与圆C2：x2＋(y－3)2＝1 相切，所以d＝＝1，即a2＝2c2，从而e＝ . (2)设P(x，y)，圆C2的圆心记为C2，则 ＋＝1(c>0)，又 · ＝(＋ )·( 椭圆的标准方程与性质 教学目标： １了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用; 2 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 高考相关点: 在高考中所占分数:13分 考查出题方式:解答题的形式，而且考查方式很固定，涉及到的知识点有:求曲线方程,弦长,面积，对称关系，范围问题,存在性问题。 涉及到的基础知识 1．引入椭圆的定义 在平面内与两定点Ｆ１，Ｆ２的距离的和等于常数(大于|F1F２|=2c）的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P={M||MF1｜＋|ＭF2|＝2a｝，｜F1F2|＝２c,其中a＞0,c>０,且a,c为常数： 有以下３种情况 (１）若a＞c,则集合P为椭圆； (2）若a＝c，则集合P为线段； (3)若a 标准方程x2 ａ2 +＼ｆ（y２,ｂ2）＝1 （a>ｂ>0) ＼f(y2，a2）＋错误!=1 (a>ｂ>０) 图形 性质范围 －a≤x≤a -b≤y≤b -b≤ｘ≤b -a≤ｙ≤a 对称性对称轴:坐标轴;对称中心：原点 顶点 A1(-a,0),A２(a,０） Ｂ1(０,-b）,B2(0,b) A１(0，－a),A２(0，a) B1(－ｂ,0),B2(b,0）轴长轴A1A2的长为2ａ;短轴B1B2的长为2b 焦距｜F１Ｆ２|=2c 离心率ｅ=错误!∈(０，1） ａ，b，c的关系c2=a2-b2题型总结 类型一椭圆的定义及其应用 例1：如图所示，一圆形纸片的圆心为Ｏ，F是圆内一定点,M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与Ｆ重合,然后抹平纸片,折痕为ＣD，设CＤ与OM交于点P,则点P的轨迹是( ) A.椭圆? B.双曲线 C.抛物线 D.圆 【解析】根据CD是线段MF的垂直平分线.可推断出,进而可以知道 结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹【答案】根据题意知，CD是线段MF的垂直平分线．,(定值）,又显然，根 据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以Ｆ、O两点为焦点的椭圆.所以A选项是正确的 练习1：已知Ｆ1,F２是椭圆C： 22 22 1 x y a b +=(a>b＞0)的两个焦点，P为椭圆C 上的一点,且 错误! 1⊥2 PF，若△PF1F２的面积为9,则ｂ＝____＿_＿_． 【解析】由题意的面积∴故答案为: 【答案】３ 练习2：已知F1，Ｆ２是椭圆错误!+错误!=１的两焦点，过点F２的直线交椭圆于A，B两点,在△AF1Ｂ中,若有两边之和是10，则第三边的长度为() A．6?B.5 Ｃ．4 D．3 第12讲 解析几何初步（1） 模块一、椭圆的定义及标准方程 考点1椭圆的定义 1.平面内到两个定点的距离的和等于常数2a （大于12F F ）的点的轨迹叫椭圆．定点1F ，2F 叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距（2c ）. 2.已知B ，C 是两个定点，6BC =，且ABC ?的周长等于16，则顶点A 在 上运动. A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆 3.设M 是圆2F ：22(1)16x y -+=上的任意一点，点1F (1,0)-是一定点，作1MF 的垂直平分线，交2MF 于P ，则点P 的轨迹为 . 4.设圆22(1)16x y -+=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B -且与x 轴不重合，交圆A 于C 、D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于M ，则点M 的轨迹为 . 考点2椭圆的标准方程 考法1焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：122 22=+b y a x （0a b >>），（222c a b =-）. 1.椭圆C ：164 1002 2=+y x 的焦点在 轴上，焦点坐标为 ， ，焦距为 . 2.已知4a =，3b =，焦点在x 轴上，则椭圆的标准方程为 . 3.已知4a =，3c =，焦点在x 轴上，则椭圆的标准方程为 . 4.（2015·广东卷·文科）已知椭圆22 2125x y m +=（0m >）的左焦点为1(4,0)F -， 则m = A ．9 B ．4 C ．3 D ．2 5.（2015·广东卷·文科）已知椭圆22 2125x y m +=（0m >）的左焦点为1(4,0)F -， 则m = A ．9 B ．4 C ．3 D ．2 6.（2020·北京卷）已知椭圆C ：22 221x y a b +=过点(2,1)A --，且2a b =．则椭圆 C 的方程为 . 考法2焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：方程为22 221y x a b +=（0a b >>）. 1.椭圆C ：125 92 2=+y x 的焦点在 轴上，焦点坐标为 ， ，焦距为 . 2.（2002·全国卷）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k . 3.如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 A.(0,)+∞ B.(0,2) C.(1,)+∞ D.(0,1) 4.（2009·陕西卷·文理科）“0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点3 椭圆定义的应用 1.椭圆C ： 136 1002 2=+y x 上一点P 到焦点1F 的距离等于6，则点P 到另一焦点2F 的距离是 ． 2.已知椭圆C ：22 16410 x y + =的焦点为1F 、2F ，直线l 过椭圆的焦点1F ，且与椭圆交于A B 、两点，则2ABF ?的周长为 . 3.已知椭圆C ：22 192 x y + =的焦点分别为1F 、2F ，点M 在椭圆上，若14MF =,则2MF = ，21F MF ∠= . 6.（2009·上海卷）已知椭圆C ：22 221x y a b +=（0a b >>）的焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上的一点，且120PF PF ?=，若三角形12PF F ?的面积为9，则b = A.3 B.6 C.9 D.12 模块二、椭圆的简单性质 椭圆的标准方程及其几何性质 1. 椭圆定义： （1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在; 当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10< 椭圆的标准方程及其几何性质 欧阳光明（2021.03.07） 1. 椭圆定义： （1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数 |)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的 焦点. 当21212F F a PF PF >=+时,P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时,P 的轨迹不存在; 当2 12 12F F a PF PF ==+时,P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10< 当12222 >+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当1 2 2 22=+b y a x 时,点P 在椭圆上; 4.直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆相交0>??;直线与椭圆相切0=??;直线与椭圆相离 0 课题：§2.1.1椭圆的定义及其标准方程 鹿城中学田光海 一、教案背景： 1.面向对象：高中二年级学生 2.学科：数学 3.课时：2课时 4.教学内容：高中新课程标准教科书《数学》北师大版选修1-1第二章圆锥曲线与方程§2.1.1椭圆及其标准方程 二. 教材分析 本节课是圆锥曲线的第一课时，它是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。因此这节课有承前启后的作用，是本章的重点内容之一。 1. 教法分析 结合生活经验观察发现、启发引导、探究合作。在学生的生活体验、直观感知、知识储备的基础上，引导学生逐步建构概念，为学生数学思想方法的形成打下基础。利用多媒体课件,精心构建学生自主探究的教学平台,启发引导学生观察,想象,思考,实践,从而发现规律、突破学生认知上的困难，让学生体验问题解决的思维过程，获得知识,体验成功。主要采用探究实践、启发与讲练相结合。 2. 学法分析 从知识上看，学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步的认识。 从学生现有的学习能力看，通过一年多的学习，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。 从学生的学习心理上看，学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给椭圆以数学描述? 如何“定性”“定量”地描述椭圆是学生关注的问题，也是学习的重点问题。他们渴望将感性认识理性化，渴望通过自己动手作图、观察来辨析和完善概念，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。 3.教学目标 知识与技能：掌握椭圆的定义；理解椭圆标准方程的推导过程，掌握椭圆标准方程的两种形式，会运用待定系数法求椭圆的标准方程。 过程与方法：经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，逐步提高学生的观察、分析、归纳、类比、概括能力；通过椭圆标准方程的推导，进一步掌握求曲线方程的一般方法——坐标法，并渗透数形结合、等价转化的数学思想方法。 情感、态度与价值观：通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣，提高学生审美情趣，培养学生勇于探索的精神。 【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大全 (一)椭圆的定义及椭圆的标准方程： ●椭圆定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数 )2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦 点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：①若)(2121 F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； ②若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形 (二)椭圆的简单几何性： ●标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。 标准方程 122 22=+b y a x )0(>>b a 12 2 22=+b x a y )0(>>b a 图形 性质 焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤， b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴长 长轴长12A A ,12A A =a 2，短轴长12B B ,12B B =b 2 离心率 ①(01)c e e a = << ，②21()b e a =-③2 22b a c -= （离心率越大，椭圆越扁） 1.方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中 a 最大且a 2= b 2+ c 2. 2.方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是：ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠ B 。A ＞B 时，焦点在y 轴上，A ＜B 时，焦点在x 轴上。 (三)焦点三角形的面积公式：122tan 2 PF F S b θ ?=如图： ●椭圆标准方程为:122 22=+b y a x )0(>>b a ，椭圆焦点三角形：设P 为椭圆上任意一点， 12,F F 为焦点且∠12F PF θ=，则△12F PF 为焦点三角形，其面积为122tan 2 PF F S b θ ?=。 (四)通径 ：如图：通径长 2 2b MN a = ●椭圆标准方程:122 22=+b y a x )0(>>b a ， (五)点与椭圆的位置关系： （1）点00(,)P x y 在椭圆外?22 00 221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上?220220b y a x +＝1； （3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< (六)直线与椭圆的位置关系： ●设直线l 的方程为：Ax+By+C=0，椭圆122 22=+b y a x （a ﹥b ﹥0），联立组成方程 组，消去y(或x)利用判别式△的符号来确定： （1）相交：0?>?直线与椭圆相交；（2）相切：0?=?直线与椭圆相切； M N F x y 椭圆及其标准方程 一、教学目标 (一)知识目标 1、使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及推导； 2、掌握焦点、焦点位置与方程关系、焦距； (二)能力目标 通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力； (三)学科渗透目标 通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力 二、教材分析 1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程． (解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较．) 2．难点：椭圆的标准方程的推导． (解决办法：推导分4步完成，每步讲解，关键步骤加以补充说明．) 3．疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因． (解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．) 三、教学过程 （一）创设情境，引入概念 1、动画演示，描绘出椭圆轨迹图形。 2、实验演示。 思考：椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？ （二）实验探究，形成概念 1、动手实验：学生分组动手画出椭圆。 实验探究： 保持绳长不变，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有什么变化？ 思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？ 2、概括椭圆定义 引导学生概括椭圆定义 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 距离的和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫椭圆。 教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。 思考：焦点为21,F F 的椭圆上任一点M ，有什么性质？ 令椭圆上任一点M ，则有)22(22121F F c a a MF MF =>=+ （三）研讨探究，推导方程 1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是什么？ M 2 F 1F 《椭圆及其标准方程》（第一课时）教学设计 一、教学内容分析 教材选自人教A版《普通高中课程标准实验教科书》数学选修2-1.《椭圆及其标准方程》是继学习圆以后运用“曲线与方程”思想解决二次曲线问题的又一实例。椭圆的标准方程是圆锥曲线方程研究的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用。一方面，它是对前面所学的运用“代数方法研究几何问题”的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质和双曲线、抛物线的基础；另一方面，教科书以椭圆作为学习圆锥曲线的开始和重点，并依此来介绍求圆锥曲线方程和利用方程讨论几何性质的一般方法，为我们后面研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和方法。因此本节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容。 椭圆是通过描述椭圆形成过程进行定义的，作为椭圆本质属性的揭示和椭圆方 程建立的基石，这是本节课的一个教学重点；而坐标法是解析几何中的重要数学方法，椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例，让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程，并通过探究得到椭圆的标准方程，有利于培养学生观察分析、抽象概括的能力。 学生对“曲线与方程”的内在联系仅在“圆的方程”一节中有过一次感性认识，并未真正有所感受。通过本节学习，学生一方面认识到椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法，学习双曲线、抛物线奠定了基础。 根据以上分析，确定本课时的教学难点和教学重点分别是： 教学重点：掌握椭圆的定义及标准方程，体会坐标法的应用。 教学难点：椭圆概念的深入理解及选择不同的坐标系推导椭圆的标准方程。 二、学生学情分析 在学习本节课前，学生已经学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的思想方法有了一些了解和运用的经验，对坐标法研究几何问题也有了初步的认识。因此，学生已经具备探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力。而本节课要求学生通过自己动手亲自作出椭圆并且还要 椭圆的定义、标准方程及性质(一) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1、椭圆的焦距（） A．2 B． C． D． 2、是定点，，动点M满足，则点M的轨迹是（） A．椭圆 B．圆 C．线段 D．直线 3、若椭圆的两个焦点分别为，且椭圆过点则椭圆的方程为（）A． B． C． D． 4、方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（） A． B． C． D．（0,1） 5、过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一焦点构成的周长是（） A． B．2 C． D．1 6、已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（） A．或 B． C．或 D． 7、已知，则曲线有（） A．相同的短轴 B．相同的焦点 C．相同的离心率 D．相同的长轴 8、椭圆的焦点，P为椭圆上的一点，已知，则的面积为（） A．9 B．12 C．10 D．8 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．) 9、椭圆的离心率为，则= . 10、设是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则*的最大值为 . 11、椭圆的焦点分别是，点在椭圆上.如果线段的中点在轴上，那么是倍. 12、已知圆及点，为圆上一点，的垂直平分线交于于，则点的轨迹方程为 . 三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 13、如果点在运动的过程中，总满足关系式，点的轨迹是什么曲线?写出它的方程. 14、点到定点的距离和它到定直线的距离的比是，求点的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形. 15、已知点是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1，求点的坐标. 椭圆的定义及其标准方程 教学课题椭圆及其标准方程 所属学科数学课时安排1课时年级高二 所选教材 《普通高中课程标准实验教科书数学》人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心编著选修2-1第二章第二节《椭圆及其标准方程》 教学目标 1.知识与技能 理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义及其标准方程，能够准确的推导出椭圆的标准方程。 2.过程与方法 通过椭圆标准方程的推导，能运用坐标法解决简单的几何问题；通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想。 3.情感态度和价值观 感受数学在其他领域的广泛运用，培养对数学的热爱。 教学重难点 重点：椭圆的定义，椭圆的标准方程的推导。 难点：对椭圆定义的理解，椭圆标准方程的推导。 学情分析 本节课是圆锥曲线的第一课时。它是在学生学习了直线和圆的方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础。因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容。 从知识上看，学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步的认识。 从学生现有的学习能力看，通过一年多的实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。 从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给椭圆以数学描述？如何“定性”“定量”地描述椭圆是学生关注的问题，也是学习的重点问题。他们渴望将感性认识理性化，渴望通过自己动手作图、观察、辨析和完善概念，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。 因此，本节课关注的重点：知识上是椭圆的定义和标准方程；从学生的情感态度上，关注学生的全方位参与，特别是思维起点和思维发展点。 教学方法 探究式教学法，通过教师引导学生自主探究、合作学习完成本节课的学习，是学生在获得知识的同时能够掌握学习方法，提高自主学习能力。 教学过程 1.联系实际、引入课题 火腿是受到大家广泛喜爱的一种食品，在食用时我们有时我们会把它切成片吃，那么不知道大家有没有发现切火腿也是一门学问，我们都知道火腿具有轴对称性，当我们垂直于火腿的轴线切下去时，截面曲线为圆；倾斜一定角度之后，截面曲线就变成了另外的一种曲线，这是一种我们没有研究过的曲线，现在我们把火腿近似的看成一个圆柱，用截面去截圆锥，所得到的截面曲线就是我们切火腿时形成的截面曲线——椭圆，今天我们就来学习椭圆及其标准方程。 （说明：从生活实际出发，引发对于椭圆的思考，培养学生从生活中发现数学问题的能力，同时激发学生的学习激情。） 2.回顾复习，温故知新 在之前的学习中我们已经认识了圆，研究了圆的定义、标准方程、和其他几何性质。那么请大家回忆圆的定义是什么？其标准方程是什么？求曲线方程的方法步骤是什么？（请同学复述圆的定义、其标准方程、曲线方程的推导方法，如果学生复述有困难，需教师引导学生进行回顾） 圆的定义：平面内到定点的距离等于常数r（r>0）的点的轨迹叫做圆。 圆的标准方程：（x-a）2+(y-b)2=r2，圆心O（a，b），半径r。 圆的标准方程的推导过程：（建设限代化） （1）建系设点， 【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大 （一）椭圆的定义及椭圆的标准方程： ?椭圆定义：平面内一个动点P 到两个定点F 1、 F 2的距离之和等于常数 （二）椭圆的简单几何性： ?标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。 2 2 x 2 y 2 =1 (a b O) a b (PF 1 + PF 2 =2a ■ F1F 2）,这个动点P 的轨迹叫椭圆?这两个定点叫椭圆的 焦 点，两焦点的距离叫作椭圆的 焦距. 注意：①若（PF 1 + |PF 2 |=F I F 2），则动点P 的轨迹为线段F 1F 2 ； ②若（PF 1 + PF ^<|F 1F 2 ），则动点P 的轨迹无图形 2 2 y 2 X 2 =1 (a ■ b ■ O) a b 图形 性质 焦占 八焦距 范围 F i (-c,O)，F 2(C ,0) F I (O,-C )，F 2(0,C ) F 1F 2 =2C F 1 F 2 = 2c x^b, | y| 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 标准方程 (_a,0) , (0,-b) (0,-a), (_b,0) 顶点 ?椭圆标准方程为 =1 (a b - 0)，椭圆焦点三角形: 设P 为椭圆上任意一点, F i ,F 2为焦点且/ F 1PF 2 ?，则△ F i PF 2为焦点三角形，其面积为 轴长 长轴长 AA 2, AAj =2a ，短轴长 BB 2, EB 2 =2b 离心率 ① e = C (0cec1)，② e =』1—(b )2 ③ c 2 = a 2_b 2 a V a (离心率越大，椭圆越扁) 【说明】： 1?方程中的两个参数a 与b ,确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点 F i ，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数 a ，b ，c 都大于零，其中 a 最大且 a 2 = b 2+ c 2. 2 2 2.方程Ax By 二C 表示椭圆的充要条件是：ABC 工0,且A ，B ，C 同号，A 2 2 S PF I F 2 = b 2 tan 。 2 (四)通径：如图：通径长 2 2 ?椭圆标准方程：笃? — =1 a 2 b 2 (五)点与椭圆的位置关系： C 1) 点 P(x o ,y o )在椭圆外= a b a b x =1； 1． 知识与技能目标： 掌握椭圆的定义和标准方程；明确焦点、焦距的概念；理解椭圆标准方程的推导． 2． 过程与方法目标： 通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程；体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力． 3． 情感态度与价值观目标： 通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神． 【要点梳理】 要点一：椭圆的定义 平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的集合叫椭圆．这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距． 要点诠释： （1）1F 、2F 是椭圆上不同的两个顶点； （2）若P 是椭圆上任意一点，则12PF PF +=常数； （3）当 常数12F F > 时，轨迹为椭圆； 当 常数=12F F ，则轨迹为线段12F F ； 当 常数12F F <，则轨迹不存在． 要点二：椭圆的标准方程 1． 椭圆的标准方程 学生/课程 年级 高一年级 学科 授课教师 江老师 日期 8.25 时段 核心内容 椭圆及其标准方程（第14讲） 要点诠释： 1． 这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2． 在椭圆的两种标准方程中，都有0a b >>和222c a b =-； 3． 椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为(,0)c ，(,0)c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,)c ，(0,)c -； 4． 在两种标准方程中，∵a 2＞b 2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 2． 标准方程的推导： 由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程． 如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简． 以焦点在x 轴上的方程22 221x y a b +=(0)a b >>为例． (1)建系 建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的． 以两个定点1F ，2F 所在直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)． 当焦点在x 轴上时， 22 221x y a b +=(0)a b >>，其中222c a b =-； 当焦点在y 轴上时，22 221y x a b +=(0)a b >>，其中222c a b =-． 课题：12.4椭圆的基本性质（二课时） 教学目标： 1、掌握椭圆的对称性，顶点，范围等几何性质. 2、能根据椭圆的几何性质对椭圆方程进行讨论，在此基础上会画椭圆的图形． 3、学会判断直线与椭圆的位置，能够解决直线与椭圆相交时的弦长问题，中点问题等. 4、在对椭圆几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化，学会分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；培养探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心. 教学重点：椭圆的几何性质及初步运用 教学难点：直线与椭圆相交时的弦长问题和中点问题 教学过程： 一．课前准备： 1、 知识回忆 （1） 椭圆和圆的概念 （2） 椭圆的标准方程 2、课前练习 1) 圆的定义： 到一定点的距离等于______的图形的轨迹。 椭圆的定义： _______________________________的图形的轨迹。 2) 椭圆的标准方程： 1。焦点在x 轴上____________（ ） 2。焦点在y 轴上____________（ ） 若125 162 2=+y x ，则椭圆的长轴长________短半轴长__________，焦点为____________，顶点坐标为__________，焦距为______________ 二．教学过程设计 一、引入课题 “曲线与方程”是解析几何中最重要最基本的内容其中有两类基本问题：一是由曲线求方程，二是由方程画曲线．前面由椭圆定义推导出椭圆的标准方程属于第一类问题，本节课将研究第二类问题，由椭圆方程画椭圆图形，为使列表描点更准确，避免盲目性，有必要先对椭圆的范围、对称性、顶点进行讨论. 二、讲授新课 （一） 对称性 问题1：观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的对称性？ x -代x 后方程不变，说明椭圆关于y 轴对称； y -代y 后方程不变，说明椭圆曲线关于x 轴对称； x -、y -代x ，y 后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称； 问题2：从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？ 以把x 换成－x 为例，如图在曲线的方程中，把x 换 课题：椭圆标准方程与几何性质复习（1） 课时：11 课型：复习课 一．复习目标：熟练掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质及重要结论．二．知识要点： 1、椭圆及标准方程：标准方程有两种，注意焦点在坐标轴上位置的确定；有时标准 方程可以改写为=1；标准方程有时可以用待定系数法求得。 2、椭圆中的四线：两对坐标轴，两对准线；六点：两个焦点，四个顶点； 3、弦长公式：|AB|= 4、椭圆中的点对焦点的张角的变化情况： 5、点代作差结论： 6、焦点三角形的面积：tan 7、特殊的焦点弦：通径= 8、椭圆中的最值问题： （1）、椭圆上的点到椭圆外的直线距离有最大值和最小值； （2）、椭圆上的点到椭圆内的点及椭圆的焦点的距离之和有最大值和最小值； （3）、A为椭圆内的点，F为椭圆的一个焦点，M是椭圆上动点，则存在M，使得|MA|+|MF|有最小值； （4）、A为椭圆内的点，F为椭圆的一个焦点，M是椭圆上动点，则存在M，使得|MA|-|MF|最大； 9、椭圆的焦半径 左：= a+e = a-e 10、有关椭圆中向量的最值问题P是椭圆上的点，则 (1)、||||=(a+e)( a-e)=. (2)、| |:(| |==++2=+ +2||||()=+4-2()=4+. (3)、+（或+）. (4)、=||||()=-()=-+. 三、椭圆精典题型： 1、已知椭圆=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为 A.2 B.3 C.4 D.5 2、 椭圆22 12516 x y +=的一个焦点为F,O 是坐标原点,点P 在椭圆上,且||4PF =,M 是线段PF 的中点,则||OM =___________; 3、 在平面直角坐标系中,已知顶点和,顶点在椭圆上,则____. 4、 椭圆22 14 x y m +=的焦距为2,则m 的值等于（ ） A.5或 5、 已知方程22 212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆,则m 的取值范围是 ( ) A.2m >或1m <- B. 2m >- C.12m -<< D. 2m >或21m -<<- 6、 “0m n >>”是“方程22 1mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 7、 椭圆122 22=+n y m x )0,0(>>n m 的一个焦点坐标是(2,0), 且椭圆的离心率2 1=e , 则椭圆的标准方程为 ( ) A.1161222=+y x B.1121622=+y x C.164482 2=+y x D.148 6422=+y x 8、已知椭圆22 221x y a b +=有两个顶点在直线22x y +=上,则此椭圆的焦点坐标是( ) A.(0) B.(0, C.(0) D.(0, 椭圆的标准方程与几何性质 高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆ 典例在线 （1）已知椭圆24x +2 2 y =1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|=2，则12PF F △的面积是 A B ．2 C ． D （2）已知F 1，F 2分别是椭圆E :22x a +221y b =(0a b >>)的左、右焦点，点(1)在椭圆 上，且点(1-，0)到直线PF 2P (1-，4-)，则椭圆的标准方程为 A ．x 2 +2 4 y =1 B ．24x +y 2 =1 C ．x 2 +2 2 y =1 D ．22 x +y 2 =1 （3）已知椭圆22x a +2 2y b =1(0a b >>)的左、右焦点分别为F 1(c -，0)，F 2(c ，0)，若椭圆上 存在点P ，使1221 sin sin a c PF F PF F ∠∠=，则该椭圆离心率的取值范围为 A ．(01-) B ．，1) C ．(0) D ．1-，1) 【参考答案】（1）A ；（2）D ；（3）D ． 【试题解析】（1）由椭圆的方程可知a =2，c ，且|PF 1|+|PF 2|=2a =4，又|PF 1|－|PF 2|=2， 所以|PF 1|=3，|PF 2|=1．又|F 1F 2|=2c =|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2 ，即12PF F △为直 角三角形，所以12122||11 12 |2|PF F S F F PF = =?=△．故选A ． （3）根据正弦定理得 2112 21 sin sin PF PF PF F PF F ∠∠= ，又 1221 sin sin a c PF F PF F ∠∠=可得 21 a c PF PF =，即12 PF c PF a = =e ， 所 以 |PF 1|=e|PF 2| ． 又 |PF 1|+|PF 2|=e|PF 2|+|PF 2|=|PF 2|·(e+1)=2a ，所以|PF 2|= 21 a e +．因为a －c <|PF 2| 椭圆及其标准方程》说课稿 今天我说课的题目是《椭圆及其标准方程》，内容选自人教版高二数学第八章第一节，本节课共分两个课时，我说的是第一课时． 下面我从六个方面来说说对这节课的分析和设计： 一、教学背景分析 二、教学目标设计 三、教法学法设计 四、教学媒体设计 五、教学过程设计 六、教学评价设计 一、教学背景分析 （一）教材地位分析：《椭圆及其标准方程》是继学习圆以后运用“曲线与方程”思想解决二次曲线问题的又一实例，从知识上说，本节课是对坐标法研究几何问题的又一次实际运用，同时也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为进一步研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础，因此本节课起到了承上启下的重要作用． （二）重点、难点分析：本节课的重点是椭圆的定义及其标准方程，标准方程的推导是本节课的难点，要突破这一难点，关键是引导学生正确选择去根式的策略．（三）学情分析：在学习本节课前，学生已经学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的思想方法有了一些了解和运用的经验，对坐标法研究几何问题也有了初步的认识，因此，学生已经具备探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力，但由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅，并且还受到高二这一年龄段学习心理和认知结构的影响，在学习过程中难免会有些困难．如：由于学生对运用坐标法解决几何问题掌握还不够，因此从研究圆到椭圆，学生思维上会存在障碍． 二、教学目标设计 （一）知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程；会根据条件写出椭圆的标准方程；通过对椭圆标准方程的探求，再次熟悉求曲线方程的一般方法． （二）能力目标：学生通过动手画椭圆、分组讨论探究椭圆定义、推导椭圆标准方程等过程，提高动手能力、合作学习能力和运用知识解决实际问题的能力．（三）情感目标：在形成知识、提高能力的过程中，激发学生学习数学的兴趣，提高学生的审美情趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神． 三、教法学法设计 （一）教学方法设计：为了更好地培养学生自主学习能力，提高学生的综合素质，我主要采用探究式教学方法．一方面我通过设置情境、问题诱导充分发挥主导作用；另一方面学生通过对我提供的素材进行直观观察一动手操作一讨论探究T归纳抽象T总结规律的过程充分体现主体地位. （二）学法指导：新课标的理念倡导“以人为本” ，强调“以学生发展为核心”．因此本节课给学生提供以下4种机会：1．提供观察、思考的机会：用亲切的语言鼓励学生观察并用学生自己的语言进行归纳．2．提供操作、尝试、合作的机会：鼓励学生大胆利用资源，发现问题，讨论问题，解决问题．3．提供表 达、交流的机会：鼓励学生敢想敢说，设置问题促使学生愿想愿说．4．提供成 功的机会：赞赏学生提出的问题，让学生在课堂中能更多地体验成功的乐趣． 椭圆的标准方程 一、教材分析 1、地位及作用 圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用。同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材。 推导椭圆的标准方程的方法对双曲线、抛物线方程的推导具有直接的类比作用，为学习双曲线、抛物线内容提供了基本模式和理论基础。因此本节课具有承前启后的作用，是本章的重点内容。 2、教学内容与教材处理 椭圆的标准方程共两课时，第一课时所研究的是椭圆标准方程的建立及其简单运用，涉及的数学方法有观察、比较、归纳、猜想、推理验证等，我将以课堂教学的组织者、引导者、合作者的身份，组织学生动手实验、归纳猜想、推理验证，引导学生逐个突破难点，自主完成问题，使学生通过各种数学活动，掌握各种数学基本技能，初步学会从数学角度去观察事物和思考问题，产生学习数学的愿望和兴趣。 3、教学目标 根据教学大纲和学生已有的认知基础,我将本节课的教学目标确定如下： 1.知识目标 ①建立直角坐标系，根据椭圆的定义建立椭圆的标准方程， ②能根据已知条件求椭圆的标准方程， ③进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法，体会数形结合的数学思想。 2.能力目标 ①让学生感知数学知识与实际生活的密切联系，培养解决实际问题的能力， ②培养学生的观察能力、归纳能力、探索发现能力， ③提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。 3.情感目标 ①亲身经历椭圆标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶， ②通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨， ③养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。 4、重点难点 基于以上分析，我将本课的教学重点、难点确定为： ①重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法， ②难点：椭圆的标准方程的推导。 二、教法设计 在教法上，主要采用探究性教学法和启发式教学法。以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习。探究性学习就是充分利用了青少年学生富有创造性和好奇心，敢想敢为，对新事物具有浓厚的兴趣的特点。让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件，自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题。 三、学法设计 １椭圆的标准方程与性质
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