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概率与数理统计复习题及答案

★编号：重科院（）考字第（）号第 1 页

复习题一

一、选择题

1．设随机变量X 的概率密度21

()0

1x x f x x θ-?>=?≤?，则θ=（）。

A ．1 Ｂ.

12 C. -1 Ｄ. 3

2．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现偶数点的条件下出现4点的概率为（）。

A ．12 Ｂ. 23 C. 16 Ｄ. 13

3．设)(~),(~22221221n n χχχχ，2

221,χχ独立，则~2221χχ+（）。

A ．)(~22221n χχχ+ Ｂ. ~2

221χχ+)1(2

-n χ C. 2212~()t n χχ+ Ｄ. ~2221χχ+)(212

n n +χ

4．若随机变量12Y X X =+，且12,X X 相互独立。~(0,1)i X N （1,2i =），则（）。

A ．~(0,1)Y N Ｂ. ~(0,2)Y N C. Y 不服从正态分布Ｄ. ~(1,1)Y N

5．设)4,1(~N X ，则{0 1.6}P X <<=（）。

A ．0.3094 Ｂ. 0.1457 C. 0.3541 Ｄ. 0.2543 二、填空题

1．设有5个元件，其中有2件次品，今从中任取出1件为次品的概率为 2．设,A B 为互不相容的随机事件，()0.1,()0.7,P A P B ==则()P A B =U 3．设()D X =5, ()D Y =8,,X Y 相互独立。则()D X Y +=

4．设随机变量X 的概率密度??

?≤≤=其它

010,

1)(x x f 则{}0.2P X >=

三、计算题

1．设某种灯泡的寿命是随机变量X ，其概率密度函数为 5,0

()0,

0x Be x f x x -?>=?≤?

(1)确定常数B (2)求{0.2}P X > (3)求分布函数()F x 。

2．甲、乙、丙三个工厂生产同一种产品，每个厂的产量分别占总产量的40％，35％，

25％，这三个厂的次品率分别为0.02, 0.04，0.05。现从三个厂生产的一批产品中任取

★编号：重科院（）考字第（）号第 2 页

一件，求恰好取到次品的概率是多少？

3．设连续型随机变量X 的概率密度110()1010x x f x x x +-≤

=-≤≤???

其它，求(),()E X D X 。

4．设二维随机变量(,)X Y 的联合分布密度26

,01

(,)0x y x x f x y ?<<<<=?

?其它

分别求随机变量X 和随机变量Y 的边缘密度函数。

四．证明题

设12345,,,,X X X X X 是来自正态总体的一个样本，总体均值为μ（μ为未知参数）。

证明：1234532

()()1313

T X X X X X =

++++是μ的无偏估计量。一、选择题

（1）A （2）D （3）D （4）B （5）A 二、填空题

（1）0.4 （2）0.8 （3）13 （4）0.8

三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，总计60分） 1、(1)

050

1()0B B 15

x x dx dx e dx ?+∞

+∞

--∞

-∞

=+==?

故B=5 。 (2)510.2

(0.2)50.3679.x P X e dx e +∞

-->=

=≈?

(3)当x<0时,F(x)=0;

当0≥x 时，x

x e dx e dx dx x x F 500

515)()(-∞

-∞

---=+==

???

故?

??<≥-=-0

0,,0

1)(5x x e

x F x

. 2、全概率公式

255354402()()()100100100100100100i i i P A P B P A B ===

?+?+?

∑

0.0345=

★编号：重科院（）考字第（）号第 3 页

3、?

?--++=

0)1()1(dx x x dx x x EX =0

??--++=1

222)1()1(dx x x dx x x EX =

)(22=

-=EX EX DX 4、 ()(,)x f x f x y dy +∞

-∞

2266(),01

x dy x x x ?=-≤≤?=?

?其它 ()(,)y f y f x y dx +∞

-∞

),010y dx y y ?=≤≤?=???

其它四．证明题

证明：因为(),1,2,3,4,5i E X i μ==

所以1234532

()[

()()]1313

E T E X X X X X =++++ 1234532

[()()()][()()]1313

E X E X E X E X E X =++++ (5分)

μ=

复习题二一、选择题

1．如（）成立，则事件A 与B 互为逆事件。（其中Ω为样本空间）

A ．A

B φ= Ｂ. A B =ΩU C. AB A B φ==ΩU 且Ｄ. A 与B 互为对立事件

2．袋中有5个黑球，3个白球，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概

率为（）

A ．

38 Ｂ. 331()()88 C. 435

831()()88

C Ｄ. 485C

3．设随机变量X 的分布律为{},1,2,3,4,515k P X k k ==

=，则15

{}22

P X <<=（）

A ．3/5 Ｂ. 1/5 C. 2/5 Ｄ. 4/5

4．设随机变量(,)X Y 只取下列数组中的值：（0，0）、（-1，1）、（-1，1/3）、（2，0），

★编号：重科院（）考字第（）号第 4 页

且相应的概率依次为1115

,,,244c c c c

.则c 的值为（）

A ．2 Ｂ. 3 C. 4 Ｄ. 5 5．设,X Y 相互独立，(2,5),(3,1)X N Y N ::，则()E XY =（） A ．6 Ｂ. 2 C. 5 Ｄ. 15

二、填空题

1．从数字1，2，3，4，5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位

数是偶数的概率为 2．设()X πλ:,（泊松分布且0λ>），{1}{2}P X P X ===.则{4}P X == 3．2(,)X N μσ:，则

X μ

-: （填分布）

三、计算题

1．甲、乙、丙三人向同一架飞机射击，设甲、乙、丙射中的概率分别为0.4，0.5，

0.7。若只有一个人射中，飞机坠毁的概率为0.2，若两人射中，飞机坠毁的概率为0.6，若三人射中，飞机必坠毁。求飞机坠毁的概率。 2．设随机变量X 在区间[0，1]上服从均匀分布，求：

（1）X Y e =的概率密度函数；（2）2ln Z X =-的概率密度函数

3．一袋中装有12只球。其中2只红球，10只白球。从中取球两次，每次任取一只，考虑两种取球方式：（1）放回抽样（2）不放回抽样。X 表示第一次取出的白球数, Y 表示第二次取出的白球数.试分别就（1）

、（2）两种情况，写出(,)X Y 的联合分布律。

4．把数字1,2,,n L 任意排成一排，如果数字k 恰好出现在第k 个位置上，则称为一个匹配。求匹配数的期望值。

四．证明题

设随机变量,X Y 相互独立，方差(),()D X D Y 存在证明：)()()()()()()(22X D Y E Y D X E Y D X D XY D ++=,

并由此证明)()()(Y D X D XY D ≥

一、选择题

（1）C （2） D （3）B （4）B （5）A 二、填空题

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（1）0.4 （2）2

e - （3）(0,1)N

三、计算题（本大题共计62分）

（1）解：设i A 表示有i 个人射中，1,2,3i =

1()0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36P A =??+??+??= 2()0.40.50.30.40.50.70.60.50.70.41P A =??+??+??= 3()0.40.50.70.14P A =??= ()0.360.20.410.60.1410.458P B =?+?+?= （2）解：(){}{ln }(ln )Y X F y P Y y P X y F y =≤=≤= 11

()(ln )

Y X f y f y y y

== 1y e ≤≤ 2

(){}{}1()z z Z X F z P Z z P X e F e --=≤=≥=-

11()()22

z z z Z X f z f e e e ---== 0z ≤

（3

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（4）设X 表示n 个数字的匹配数，i X 表示第i 个数字的匹配数。即：

()i E X n =，1

()()()1n

i i i E X E X nE X ====∑

四．证明题

22))()(()()()(Y E X E Y E X E XY D -=，

2222222))()(())()(())()(()()()()(Y E X E X E Y E Y E X E Y E X E Y D X D +--=

（2分）

)())(())()(()

))(()(())(())()())(()(()()()(2

222222≥+=-+-=-Y D X E Y E X D Y E Y E X E Y E X E X E Y D X D XY D

故)()()(Y D X D XY D ≥。

复习题三

一、选择题

1．设A B ?，且()0P A ≠，则( )成立

A ．()()()P A

B P A P B =+U Ｂ. ()()()P AB P A P B =

C. ()1P B A = Ｄ. ()()()P A B P A P B -=-

2．设(0,1)X N :，若常数c 满足{}{}P X c P X c ≥=<。则c = ( )

A ．3 Ｂ. 2 C. 1 Ｄ. 以上都不对

3．设X 服从泊松分布33{},0,1,2,!k e P X k k k -===L ()

()

D X

E X =( ) A ．4 Ｂ. 3 C. 2 Ｄ. 1

二、填空题

1．有甲、乙、丙三人,每个人都可能的被分配到四个房间中的任一间去,则三个人

被分配到同一间中的概率为 2．设事件,A B 互不相容,且()0P B ≠,则()P A B =

3．若随机变量X 的分布律为{}m P X m p ==, 1,2,m =L ，则p =

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4．设,X Y 为随机变量,且0.5XY ρ=, ()2D X =, ()8D Y =,则()D X Y +=

三、计算题

1．两批相同产品中各有12件和10件,在每批产品中都有一个废品,今从第一批产品

12件中任意的抽取两件放入第二批中,再从第二批中任取一件,求从第二批中取出的是废品的概率。

2．箱中有8个编号分别为1，2，……,8的同样的球,从中任取3球,以X 表示取出的3球中的最小号码,求X 的分布律。 3．设随机变量(0,1)X N :，求：

（1）令1

12Y X =+

，求(21)E Y -, (21)D Y - （2）求1

Y X =+的密度函数

4．某地区夏天刮台风的概率为0.3,不刮台风的概率为0.7,一家工厂若开工生产,不遇台风,可获利240万元,若开工后遇到台风,则亏损120万元,若不开工,则必定损失60万元,问这个夏季该厂是否应该开工?

第 8 页

5．箱中装有12只开关,其中10只正品,2只次品,从中不放回的抽取两次,每次抽一只,用X 表示第一次取出的次品数, Y 表示第二次取出的次品数,求:

(1)

(,)

X Y 的联合分布律 (2)分别关于

,X Y

的边缘分布律

一、选择题

（1）C （2）D （3）D 二、填空题（1）

116 （2）0 （3）1

（4）14 三、计算题

（1）2正：211212C C ；1正1次：1

212C C

2111111221211212121217

C C C p C C C C =?+?=

（2）

（3）11

()(1)1()122E Y E X E X =+

=+= 111

()(1)()244

D Y D X D

X =+==

(21)2()11E Y E Y -=-= （ (21)4()1D Y D Y -==

(1,)4

Y N ∴?:22(1)()y f y --=

（4）

()13260E X =>，开工

（5）

第 9 页

复习题四

一、选择题

1. 设B A ,满足1)(=B A P ，且()0,()0P A P B >>，则有（）

A ．A 是必然事件Ｂ.

B 是必然事件 C. A B =F I Ｄ. )()(A P B P ≤

2．设2~(2,)X N s ，且6.0}40{=<

A ．0.3 Ｂ.0.4 C. 0.2 Ｄ. 0.5

3．设(),10~,N X (),21~,N Y Y X ,相互独立，令X Y Z 2-=,则~Z （）

A ．)5,2(-N Ｂ. )5,1(N C. )6,1(N Ｄ. )9,2(N

4．设随机变量)1.0,100(~B X ，则方差()D X =( ).

A ．10 Ｂ. 100.1 C. 9 Ｄ. 3

二、填空题

1．从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于 ___________ 2．设随机变量X 服从参数λ=3的泊松分布，则{2}P X ≥=___________ 3．独立地掷一枚均匀的骰子100次，则点数之和的数学期望为________，方差为________ 三、计算题

1．设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为 20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为 10% ,瘦者患高血压病的概率为5%, 试求：

( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率;

( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？ 2．设随机变量X 的概率密度函数为：

+∞<<∞-=-x e x f x

1)(

求：(1)X 的分布函数，（2）{510}P X -<<

第 10 页

3．设12,X X 相互独立，同在区间［0，1］上服从均匀分布，求12min(,)Z X X = 的概率密度函数

4．设随机变量),(Y X 的概率密度为,

01,0(,)0Ax x y x f x y ，

其他

<<<

求：(1) A ；（2）11

{,}22

P X Y ><；（3）()E X Y +

四．证明题

设随机变量X 和Y 相互独立，且方差)(),(),(XY D Y D X D 均存在。证明：)()()(Y D X D XY D ≥

参考答案

一、选择题

1、D ；

2、C ；

3、C ；

4、C ；二、填空题

1、0.3024；

2、3

41--e ；3、350,875/3；

三、计算题

1、(1)10%×20%+82%×10%+8%×5%=0.106; (2)

%87.18106

.0%

20%10=?

2、（1）00110

122()1112

222

x t

x x t x t t x

e dt e x F x e dt e dt e dt e x -∞--∞---∞?=

（2）5

102

1211)5()10(}105{----

=--=<<-e e F F X P 3、101()0x f x ≤≤?=?

?其他00

()0111

x F x x x x

?=≤

22011[1()]201()011

Z x x

x Z F x x x x f x x

∴=--=-≤

??≥?

其他

4、（1）

3,1)(,1),(1

===????

+∞∞-+∞

∞

-A dx Axdy dxdy y x f x ；

第 11 页

（2）169

3}21Y ,21P{X 12

121

0==<>??xdy dx ；

（3）8

))(3(),()()(10

+=+=+???

?+∞∞-+∞

∞

-dx dy y x x dxdy y x f y x Y X E x

四．证明题

22))()(()()()(Y E X E Y E X E XY D -=，

2222222))()(())()(())()(()()()()(Y E X E X E Y E Y E X E Y E X E Y D X D +--=

)())(())()(()

))(()(())(())()())(()(()()()(2

222222≥+=-+-=-Y D X E Y E X D Y E Y E X E Y E X E X E Y D X D XY D

故)()()(Y D X D XY D ≥。

复习题五

一、选择题

1.设)()(,0)(,0)(A P B A P B P A P =>>，则下列说法不正确．．．

的是（） A ．)()(B P A B P = Ｂ. )()(A P B A P = C. AB φ= Ｄ. AB φ≠

2．设离散型随机变量X 的分布律为Λ,2,1,!

3}{===k k A

k X P k 则常数A 应为 ( )

A ．1

e Ｂ. 13

- C. 3e - Ｄ. 3

3．0)(=X D 是1}{==C X P ( C 是常数)的( )

A ．充分条件,但不是必要条件Ｂ. 必要条件，但不是充分条件 C. 充分条件又是必要条件Ｄ. 既非充分条件又非必要条件

4．设两个独立的随机变量2)(,4)(==Y D X D ，则=-)23(Y X D （）

A ．8 Ｂ. 16 C. 28 Ｄ. 44 二、填空题

1．某地区成年人患结核病的概率为0.015，患高血压病的概率为0.08，设这两种病的发生是相互独立的，则该地区内任一成年人同时患有这两种病的概率为___

第 12 页

2．设(5,4)X N :，若d 满足{}(1)P X d >=Φ，则d =______

3．设X 和Y 的相关系数为0.5，且,2)()(,0)()(22====Y E X E Y E X E

则2[()]E X Y +=______。

三、计算题

1．设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为5箱、3箱、2箱，三厂产品的次品率依次为0.1, 0.2, 0.3, 从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件。求：（1）这件产品为正品的概率。（2）若取出的产品为正品，它是甲厂生产的概率是多少？ 2．离散型随机变量X 的取值为－1，1，3，2.0}3{==X P

且它的分布函数为010.311()133

x x F x a x a b

x <-??-≤

≤

求：(1)b a ,；（2）X 的分布律；（3）}21{<≤-X P

3．设某批鸡蛋每只的重量X (以克计)服从N(50，52)分布，

(1)从该批鸡蛋中任取一只，求其重量不足45克的概率

(2)从该批鸡蛋中任取5只，求至少有2只鸡蛋其重量不足45克的概率。

4．设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为

?????≤≤≤≤+=其它0

0,20)(81

),(y x y x y x f

求：（1）数学期望()E X ；（2）方差()D X ；（3）协方差(,)Cov X Y 。

四．证明题

证明：当2~(0,)X N σ

时，有()E X =

参考答案

一、选择题

1、C ；

2、B ；

3、C ；

4、D ；

第 13 页

二、填空题

1、0.0012；

2、3；

3、6；

三、计算题（本大题共计62分）

1、(1)0.5*0.9+0.3*0.8+0.2*0.7=0.83 (2)(0.5*0.9)/0.83=54.22%

2、（1）2.0,8.0==b a ；

（2）

（3）}21{<≤-X P =0.8. 3、（1）1587.08413.01)1(1)5

45(}45{=-=Φ-=-Φ=

5500555

5=--==

-=∑C C C

p k k k k

4、(1)6

)(81)(2

0=+=

??dxdy y x x X E (2) 3611)(,35)(81)(202022==+=??X D dxdy y x x X E (3) 36

)()()(),cov(,34)(81)(2020-=-==+=??Y E X E XY E Y X dxdy y x xy XY E

故拒绝H 0 认为有显著变化。（2分）

四．证明题

2()x E X x e

dx σ-

+∞

-∞

()x x x e

d σσ

σ-

+∞

第 14 页

复习题六

一、选择题

1. 设,A B 为两个随机事件，且B A ?，则下列式子正确的是（） A ．()()P A B P A += B . ()()P AB P A =

C ．(|)()P B A P B =

D . ()()()P B A P B P A -=-

2. 以A 表示事件“甲种产品畅销且乙种产品滞销”，其对立事件A 为（） A ．“甲种产品滞销且乙种产品畅销” B . “甲、乙两种产品均畅销” C ．“甲种产品滞销” D . “甲种产品滞销或乙种产品畅销” 3．设2~(,)X N μσ,那么当σ增大时，{}P X μσ-<将（） A ．增大 B . 减少 C ．不变 D . 增减不定。 4．掷一颗均匀的骰子600次，出现“一点”的次数．．

的均值为（） A ． 50 B . 100 C ．120 D . 150

二、填空题

1．设,,A B C 是三个随机事件。试用,,A B C 分别表示事件：（1）,,A B C 至少有一个发生（2）,,A B C 中恰有一个发生（3）,,A B C 不多于一个发生

2．设随机变量~(2,1)X N ，则{}24P x <<=

3．用二维随机变量,X Y （）的联合概率密度函数(,)f x y 表示．．{},P a X b Y c ≤≤<，即{},P a X b Y c ≤≤<=

4．设~(10,0.6),~(1,2)X N Y N ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -=

三、计算题

1．仓库中有十箱同样规格的产品。已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙

厂生产的，且甲厂，乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为110,115 ,1

20。

班级：姓名：学号：

第 16 页

26()()6

y a y b f y b a π

ππ-?

???≤≤ ?=?-????其他

4．0

()()x E X xf x dx xe dx ∞

∞

--∞

? (4分)

()[]1x

x x E X xde

e dx ∞

∞

---=-

=--=?

复习题七

一、选择题

1．设随机事件A 与B 互不相容，且有()0P A >，()0P B >，则下列关系成立的是( )

A ．A ，

B 相互独立Ｂ。A ，B 不相互独立

C 。A ，B 互为对立事件Ｄ。A ，B 不互为对立事件

2．已知()0.3P A =，()0.5P B =，()0.6P A B =U ，则()P AB =( )

A ．0.15 Ｂ。0.2 C 。0.8 Ｄ。1

3．设随机变量~(1,5)X N -，~(1,2)Y N ，且X 与Y 相互独立，则2X Y -服从( )

A ．(3,1)N - Ｂ。(3,13)N - C 。(3,9)N Ｄ。 (3,1)N

4．设随机变量X 的密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ，且)()(x f x f -=。那么对于任意给定的正数a 都有（）

A ．0

()1()a f a f x dx -=-

Ｂ。0

()()2a F a f x dx -=-?

C 。)()(a F a F -= Ｄ。1)(2)(-=-a F a F 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共计15分）

1．设随机变量123,,X X X 相互独立，其中1X 在[0

上服从均匀分布，2X 服从正态分布(0,4)N ，3X 服从参数为λ=3的泊松分布，记123Y X X X =++，则()D Y =

2．设2~(2,)X N σ，且{24}0.3P X <<=，则{0}P X <= _________ 3．已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝

第 17 页

三、计算题

1．任意将10本书放在书架上。其中有两套书，一套3本，另一套4本。求下列事

件的概率：

（1）一套3本的放在一起；（2）两套书均放在一起；

（3）两套书中至少有一套放在一起。

2．设在独立重复实验中，每次实验成功概率为0.5，问至少需要进行多少次实验，才能使至少成功一次的概率大于0.9

3．设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合概率密度为：,0x 1,0y x

(,)0,k f x y <<<

求：（1）常数k （2） ()E XY .

4．设随机变量X 的密度函数为()x

f x Ae -= ()x -∞<<+∞,求：

(1）系数A ；(2) {}01P X ≤≤；(3) 分布函数)(x F 。

参考答案

一、选择题

（1）B （2） B （3）B （4）B 二、填空题

（1）8 （2）0.2 （3）1 三、计算题

（1）基本事件总数为：10

10A

3838110101

()15A A P A A ==；

345345210

101

()210

A A A P A A ==；两套中至少有一套放在一起：384734546

38473454620A A A A A A A A A +-=

概率为：464610

10202

A A A = （2）实验成功次数服从参数0.5为的n 重二项分布，

第 18 页

原问题等价于{}{}100.50.10n

P X P X 骣÷?<===鳎?÷

÷?桫

，

3.3219n ≥，4n \=

（3）

00(,)112x

f x y dxdy k dydx k ∞∞

-∞-∞

=?=?=??

(,)24

x xyf x y dxdy dx

xydy =

蝌蝌（4）

()1212

x f x dx A e dx A ∞

∞

--∞

=?=?=

? 1

11112222x x e dx e e --=-=-? 0011

(){}

()111

222

x x x x

e dx e x F x P X x

f x dx e dx e dx e x -?

---?

ì??=???=?=í

??+=->????òò

蝌

复习题八

一、选择题

1．设,A B 为两随机事件，且B A ?，则下列式子正确的是（）

A ．()()P A

B P A += Ｂ. ()()P AB P A =

C. ()()P B A P B = Ｄ. ()()()P B A P B P A -=-

2．已知随机变量X 服从二项分布，且() 2.4,() 1.44E X D X ==，则二项分布的参数,n p 的值为（）

A ．4,0.6n p == Ｂ. 6,0.4n p == C. 8,0.3n p == Ｄ.

24,0.1n p ==

3．设),(y x f 是二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数，则dxdy y x f ?

+∞∞-+∞

∞

-),(=（）

A ．0 Ｂ. 1 C. -1 Ｄ. ∞

4．设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为3和2，则随机变量32X Y -的方差是（）

第 19 页

A ．8 Ｂ. 16 C. 28 Ｄ. 35 二、填空题

1．设随机事件,A B 的概率分别为0.4，0.3，且,A B 相互独立。若B 表示B 的对立事件，

那么()P AB =

2．若随机变量X 服从均值为2，方差为2σ的正态分布，且{24}0.3P X <<=，

则{0}P X <= 3．已知随机变量X 的分布律为：

则_______,==DX EX

4．设)(x F 为连续型随机变量X 的分布函数，且6.0)2(=F ，4.0)1(=F

则{12}P X ≤≤=

三、计算题

1．假设有两箱同种零件，第一箱内装50件，其中10件一等品，第二箱内装30件，

其中18件一等品，现从两箱中任意挑选出一箱，然后从该箱中先后随机取两个零件（取出后不放回）。试求：（1）先取出的零件是一等品的概率p 。（2）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率q 。

2．已知随机变量,X Y 的联合概率密度为0,0(,)0

x y e x y f x y --?<<∞<<∞

?其他

，

试求：（1）{}P X Y <，（2）()E XY 。

3．设随机变量X 具有概率密度???

??<<=其它

408

)(x x

x f ，求随机变量12-=X Y 的概率

密度.

4．某电子元件的次品率为0.1，检验员每天检验5次，每次随机地取10个元件进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备。以X 表示一天中调整设备的次数，试求()E X （设各元件是否为次品是相互独立的）

第 20 页

一、选择题

（1）A （2）B （3）B （4）D 二、填空题

（1）0.28 （2）0.2 （3）1.7，1.81 （4）0.2 三、计算题

1．解：引进下列事件{}12i H i i ==被挑出的是第箱，, {}12j A j j ==第次取出的零件是一等品，,

那么 121112113

()();();()255

P H P H P A H P A H ====

（1）111121211132

()()()()()25255

p P A P H P A H P H P A H ==+=?+?=

（2）由条件概率和全概率公式

12211()5110911817

()()0.48557.()22504923029

P A A q P A A P A ??==

=?+?=??

2．解：（1）0

1{}(,)(1)2

x y

y y

x y

P X Y f x y dxdy dy e dx e e dy +∞

+∞

----<<=

=-=??

???，

（2）0

()(,)1x

y E XY xyf x y dxdy xe dx ye dy +∞+∞

+∞

---∞-∞

=??

?。

3．解：设Y 的分布函数为)(y F Y ，由题意

知 )2

()21()12()()(+=+≤=≤-=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y 对上式两端关于y 求导得 32

21161)(+=

?+=

y y y f Y )71(<<-y 综上所述 ??

???<<-+=其它,07

1,321)(y y y f Y

4．解：Y 表示10个元件中的次品数，~(10,0.1)Y B ，

{1}1{1}0.2639P Y P Y >=-≤=

X 表示设备调整次数~(5,0.2639)X B ，()50.2639 1.3195E X =?=

概率论与数理统计试题

07试题一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，总计18分） 1. 设,A B 为随机事件,()()0.7P A P B +=,()0.3P AB =,则() () P AB P AB += 2．10件产品中有4件次品,从中任意取2件,则第2件为次品的概率为 3．设随机变量X 在区间[0,2]上服从均匀分布,则2Y X =的概率密度函数为 4．设随机变量X 的期望()3E X =,方差()5D X =,则期望()2 4E X ??+=? ? 5. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则应用切比雪夫不等式估计得 {} 22P X -≥≤ . 6. 设1234,,,X X X X 是来自正态总体X ~()0,4N 的样本,则当a = 时, ()()22 123422Y a X X a X X =++-~()22χ. 二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共6个小题，每小题3分，总计18分） 1．设,A B 为对立事件, ()01P B <<, 则下列概率值为1的是( ) ~ (A) ()|P A B ; (B) ()|P B A ; (C) () |P A B ; (D) ()P AB 2. 设随机变量X ~()1,1N ,概率密度为()f x ,分布函数()F x ,则下列正确的是( ) (A) {0}{0}P X P X ≤=≥; (B) {1}{1}P X P X ≤=≥; (C) ()()f x f x =-, x R ∈; (D) ()()1F x F x =--, x R ∈ 3. 设()f x 是随机变量X 的概率密度,则一定成立的是( ) (A) ()f x 定义域为[0,1]; (B) ()f x 非负; (C) ()f x 的值域为[0,1]; (D) ()f x 连续 4. 设4{1,1}9P X Y ≤≤= ,5 {1}{1}9 P X P Y ≤=≤=,则{min{,}1}P X Y ≤=( ) (A) 23; (B) 2081; (C) 49; (D) 13 5. 设随机变量(),X Y 的方差()4D X =,()1D Y =,相关系数0.6XY ρ=,则方差 ()32D X Y -= ( ) - (A) 40; (B) 34; (C) ; (D) 6. 设12,,,n X X X 是正态总体X ~() 2,N μσ的样本,其中σ已知,μ未知,则下列不是统计量的是( ) (A) 1max k k n X ≤≤; (B) 1min k k n X ≤≤; (C) X μ-; (D) 1 n k k X σ =∑ 三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共计60分） 1．甲乙丙三个同学同时独立参加考试,不及格的概率分别为: ,,, (1) 求恰有2位同学不及格的概率； (2) 若已知3位同学中有2位不及格,求其中1位是同学乙的概率.

概率论与数理统计期末考试试题及解答

《概率论与数理统计》期末试题一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P Y . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=- 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F =

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

概率论与数理统计试题(A卷)

海南大学信息学院《概率论与数理统计》试题（A卷）得分阅卷教师 1、填空题（每小题3分，共18分） 1，将3个人随机地放入4个房间中，则每个房间至多只有一个人的概率为。 2，设随机变量X服从参数为的泊松分布，且，则。 3，设,，则 4，掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，则其中有一颗为1点的概率为 5，三个人独立破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为1/5，1/3，1/4。此密码被译出的概率为。 6，设X表示掷两颗骰子所得的点数，则EX= 二、单项选择题（每小题3分，共12分）得分阅卷教师 ( )7，设，则 A）=0.5 B）=0.5 C） D） ( )8，设事件A，B互不相容，P（A）=p P(B)=q 则（A）(1-p)q B） pq C） q D） p ( ) 9，则 C= A） 3 B） 2 C） 1 D） 0 ( ) 10，设Cov(X,Y)=0, 则以下结论中正确的为 A）X，Y独立 B）D（X+Y）=D（X）+D（Y） C）D（X－Y）=D（X）－D（Y） D）D（XY）=D（X）×D（Y）得分阅卷教师三，计算题（每小题10分，共60分） 11. 设某种电子元件的寿命X(以小时计)具有以下的概率密度：现有一批此种电子元件（设各电子元件损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少。 12.设随机变量（X，Y）的概率密度为求关于X的边缘概率密度及关于Y边缘概率密度 13.设X为总体X的样本，求的最大似然估计量及矩估计量。

14.一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.2，0.3，0.4，各部件的状态相互独立，求需要调整的部件数X的期望EX和方差DX。 15.有一大批糖果，现从中随机地取16袋，称其重量（以克计） 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量服从正态分布，试求总体标准差的置信水平为0.95的置信区间。（） 16. 设某种电子元件的寿命X(以小时计)服从正态分布均末知，从中随机地抽取16只电子元件，算得平均寿命为241.5小时，修正的样本标准差为98.7259小时，问在显著性水平0.05下，是否可认为电子元件的平均寿命大于225小时？并给出检验过程。（） 17．设有两个口袋，甲口袋中有两个白球，一个黑球，乙口袋中有一个白球，两个黑球。由甲口袋任取一个球放入乙口袋，再从乙口袋中取出一个球，求最后取到白球的概率。

概率论与数理统计综合试题

Ⅱ、综合测试题 s388 概率论与数理统计（经管类）综合试题一（课程代码 4183）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列选项正确的是 ( B ). A. A B A B +=+ B.()A B B A B +-=- C. (A -B )+B =A D. AB AB = 2.设()0,()0P A P B >>，则下列各式中正确的是 ( D ). A.P (A -B )=P (A )-P (B ) B.P (AB )=P (A )P (B ) C. P (A +B )=P (A )+P (B ) D. P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB ) 3.同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是 ( D ). A. 18 B. 16 C. 14 D. 1 2 4.一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1，2，3，4，5顺序的概率为 ( B ). A. 1120 B. 160 C. 15 D. 12 5.设随机事件A ，B 满足B A ?，则下列选项正确的是 ( A ). A.()()()P A B P A P B -=- B. ()()P A B P B += C.(|)()P B A P B = D.()()P AB P A = 6.设随机变量X 的概率密度函数为f (x )，则f (x )一定满足 ( C ). A. 0()1f x ≤≤ B. f (x )连续 C. ()1f x dx +∞-∞ =? D. ()1f +∞= 7.设离散型随机变量X 的分布律为(),1,2,...2k b P X k k ===，且0b >，则参数b 的值为 ( D ). A. 1 2 B. 13 C. 15 D. 1

概率论与数理统计试题库

《概率论与数理统计》试题（1）一、判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理（） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计（）二、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来（1）仅A 发生，B 、C 都不发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生；（3）,,A B C 中不多于两个发生；（4）,,A B C 中恰有两个发生；（5）,,A B C 中至多有一个发生。三、（15分）把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分）已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞，求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ，的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.

概率论与数理统计试题及答案

一.选择题（18分，每题3分） 1.如果1)()(>+B P A P ，则事件A 与B 必定（） )(A 独立；)(B 不独立；)(C 相容；)(D 不相容. 2. 已知人的血型为 O 、A 、B 、AB 的概率分别是0.4；0.3；0.2；0.1。现任选4 人，则4人血型全不相同的概率为：（） )(A 0.0024；)(B 40024.0；)(C 0. 24；)(D 224.0. 3. 设~),(Y X ???<+=., 0,1,/1),(22他其y x y x f π则X 与Y 为（） )(A 独立同分布的随机变量；)(B 独立不同分布的随机变量； )(C 不独立同分布的随机变量；)(D 不独立也不同分布的随机变量. 4. 某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为0.7 5. 则射击次数的数学期望与方差分别为（） )(A 4934与； )(B 16934与； )(C 4941与；(D) 9434与． 5.设321,,X X X 是取自N (,)μ1的样本，以下μ的四个估计量中最有效的是（） )(A 32112110351?X X X ++=μ ；)(B 32129 4 9231?X X X ++=μ ； )(C 321321 6131?X X X ++=μ ；)(D 32141254131?X X X ++=μ． 6. 检验假设222201:10,:10H H σσ≤>时，取统计量)(~10 )(22 2 1 2n X i n i χμχ-=∑=，其拒域为（1.0=α）（） )(A )(21.02n χχ≤；)(B )(21.02n χχ≥；)(C )(205.02n χχ≤；)(D )(2 05.02n χχ≥. 二. 填空题（15分，每题3分） 1. 已知事件A ，B 有概率4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，条件概率3.0)|(=A B P ，则 =?)(B A P ． 2. 设随机变量X 的分布律为? ?? ? ??-+c b a 4.01.02.04321，则常数c b a ,,应满足的条件为. 3.已知二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，试用),(y x F 表示概率

概率论与数理统计(二)试题及答案

概率论与数理统计B 一．单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设事件A 和B 的概率为12 () ,()23 P A P B == 则()P AB 可能为（）(A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/6 2. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（） (A) 12; (B) 225; (C) 4 25 ; (D)以上都不对 3．投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（）(A) 518; (B) 13; (C) 1 2 ; (D)以上都不对 4．某一随机变量的分布函数为()3x x a be F x e += +，(a=0,b=1)则F (0)的值为（）(A) 0.1; (B) 0.5; (C) 0.25; (D)以上都不对 5．一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（） (A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)以上都不对二．填空题（每小题3分，共15分） 1．设A 、B 是相互独立的随机事件，P (A )=0.5, P (B )=0.7, 则()P A B = . 2．设随机变量~(,), ()3, () 1.2B n p E D ξ ξξ==，则n =______. 3．随机变量ξ的期望为() 5E ξ=，标准差为()2σξ=，则2()E ξ=_______. 4．甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_________. 5．设连续型随机变量ξ的概率分布密度为 2 ()22 a f x x x = ++，a 为常数，则P (ξ≥0)=_______. 三．(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率 (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球. 四．(本题10分) 设随机变量ξ的分布密度为 , 03()10, x<0x>3 A x f x x ?? =+???当≤≤当或 (1) 求常数A ; (2) 求P (ξ<1)； (3) 求ξ的数学期望. 五．(本题10分) 设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是 (1) ξ与η是否相互独立? (2) 求ξ η?的分布及()E ξη?；六．(本题10分)有10盒种子，其中1盒发芽率为90％，其他9盒为20％.随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？七．(本题12分) 某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元. 若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止. 若4次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100元. 若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望. 八．(本题12分)某工厂生产的零件废品率为5％，某人要采购一批零件，他希望以95％的概率保证其中有2000个合格品.问他至少应购买多少零件？(注：(1.28)0.90Φ=,(1.65)0.95Φ=) 九．(本题6分)设事件A 、B 、C 相互独立，试证明A B 与 C 相互独立. 某班有50名学生，其中17岁5人，18岁15人，19岁22人，20岁8人，则该班学生年龄的样本均值为________. 十．测量某冶炼炉内的温度，重复测量5次，数据如下（单位：℃）：

概率论与数理统计试题与答案

概率论与数理统计试题与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一一、填空题（本题满分18分，每题3分） 1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。 2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若9 5 )1(= ≥X p ，则=≥)1(Y p 。 3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。 4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。 5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2 χ的样本，则统计量∑==n 1 i i X Y 服从分布。 6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度 =L 。（按下侧分位数）二、选择题（本题满分15分，每题3分） 1、若A 与自身独立，则（） (A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0<