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高考数学双曲线

第51讲双曲线

1．双曲线的定义

平面内与两个定点F 1，F 2的__距离的差的绝对值__等于常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做__双曲线的焦点__，两焦点间的距离叫做__双曲线的焦距__．

集合P ＝{}M ||| ||MF 1－||MF 2＝2a ，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0. (1)当__a ＜c __时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当__a ＝c __时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当__a ＞c __时，点P 不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质

x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R

y ≤－a 或y ≥a ，x ∈R

3．常用结论(1)双曲线的焦点到渐近线x a 2－y b 2＝0(a ＞0，b ＞0)的距离为b .如右图△OFH

是分别以边a ，b ，c 为边长的直角三角形．

(2)如下图：

x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) x 2a 2－y 2

2＝1(a ＞0，b ＞0) 则有：P 1，P 2两点坐标都为????c ，b 2

a ，即||FP 1＝||FP 2＝b

1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．

(1)平面内到点F 1 (0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × )

(3)方程x 2m －y 2

＝

1(mn

＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )

(4)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y

n ＝

0.( √ )

解析 (1)错误．由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部． (2)错误．因为||||MF 1－||MF 2＝8＝||F 1F 2，表示的轨迹为两条射线．

(3)错误．当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x 轴上的双曲线，而m ＜0，n ＜0时则表示焦点在y 轴上的双曲线．

(4)正确．因为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，即x 2a 2－y 2

b 2＝0，所以当λ

＞0时，x 2λm 2－y 2λn 2＝1(m ＞0，n ＞0)的渐近线方程为x 2λm 2－y 2λn 2＝0，即x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y

n ＝0，

同理当λ＜0时，仍成立，故结论正确．

2．过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若||PQ ＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( C )

A ．28

B ．14－82

C ．14＋82

D ．8 2

解析由双曲线定义知，

||PF 2－||PF 1＝42，||QF 2－||QF 1＝42，

∴||PF 2＋||QF 2－(||PF 1＋||QF 1)＝8 2. 又||PF 1＋||QF 1＝||PQ ＝7， ∴||PF 2＋||QF 2＝7＋8 2. ∴△PF 2Q 的周长为14＋8 2.

3．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( C ) A ．2 B ．22 C ．4

D ．4 2

解析双曲线2x 2

－y 2

＝8的标准方程为x 24－y 2

8＝1，所以实轴长2a ＝4，故选C ．

4．设双曲线x 2a 2－y 2

9＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( C )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

解析双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为x a ±y

3＝0.

整理得3x ±ay ＝0，故a ＝2，故选C ．

5．(2017·北京卷)若双曲线x 2

－y 2

＝1的离心率为3，则实数m ＝__2__.

解析由双曲线的标准方程可知a 2＝1，b 2＝m ，所以a ＝1，c ＝1＋m ，所以1＋m

＝3，解得m ＝2.

一双曲线的定义及其标准方程

双曲线的定义和标准方程中的注意点

(1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时，通常考虑利用双曲线的定义．

(2)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的一支．

(3)求双曲线方程时一是标准形式的判断；二是注意a ，b ，c 的关系易错易混．【例1】 (1)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于3

2，则C 的方程

是( B )

A ．x 24－y 2

5＝1

B ．x 24－y 2

5＝1

C ．x 22－y 2

＝1

D ．x 22－y 2

＝1

(2)设F 1，F 2是双曲线x 2

－y 2

24＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3||PF 1＝4||PF 2，

则△PF 1F 2的面积等于( C )

A ．42

B ．83

C ．24

D ．48

(3)已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 2

4＝1的左、右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲

线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( C )

A ．37＋4

B ．37－4

C ．37－25

D ．37＋2 5

解析 (1)由曲线C 的右焦点为F (3,0)，知c ＝3，

由离心率e ＝32，知c a ＝3

2，则a ＝2，故b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，

所以双曲线C 的方程为x 24－y 2

＝1.

(2)双曲线的实轴长为2，焦距为||F 1F 2＝2×5＝10.据题意和双曲线的定义知2＝||PF 1－

||PF 2＝4

3||PF 2－||PF 2＝13

||PF 2，

∴||PF 2＝6，||PF 1＝8，

∴||PF 12＋||PF 22＝||F 1F 22，∴PF 1⊥PF 2. ∴S △PF 1F 2＝12||PF 1·||PF 2＝1

×6×8＝24. (3)|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ，要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝37，

∴|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ＝37－2 5.

二双曲线的几何性质及其应用

双曲线中一些几何量的求解方法

(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．

(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．

(3)求双曲线的方程．依据题设条件求出a ，b 的值或依据双曲线的定义求双曲线的方程． (4)求双曲线的焦点(焦距)、实(虚)轴的长．依题设条件及a ，b ，c 之间的关系求解．【例2】 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为5

2，则C 的渐近线方程

为( C )

A ．y ＝±1

B ．y ＝±1

C ．y ＝±1

D ．y ＝±x

(2)(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4

所截得的弦长为2，则C 的离心率为( A )

A ．2

B ．3

C ．2

D ．233

(3)若双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)右顶点为A ，过其左焦点F 作x 轴的垂线交双曲线于M ，

N 两点，且MA →·NA →

>0，则该双曲线的离心率的取值范围为( B )

A ．(2，＋∞)

B ．(1,2)

C ．????32，＋∞

D ．???

?1，3

2 解析 (1)∵e ＝c a ＝5

，

∴e 2

＝c 2a 2＝a 2＋b 2

a 2＝54，

∴a 2＝4b 2，b a ＝12，∴渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±1

x .

(2)依题意，双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为bx －ay ＝0.因为直线

bx －ay ＝0被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，所以

|2b |b 2＋a 2

＝4－1，所以3a 2＋3b 2＝4b 2

，

所以3a 2＝b 2

，所以e ＝

1＋b 2

2＝1＋3＝2.故选A ． (3)由题意，可得M ????－c ，b 2

a ，N ????－c ，－b

a ，A (a,0)， ∴MA →＝??

??a ＋c ，－b 2a ，NA →＝????a ＋c ，b 2a .

∵MA →·NA →＞0，∴(a ＋c )2－b 4

a 2＞0，∴a ＋c －

b 2a

＞0，

∴2a 2＋ac －c 2＞0，即e 2－e －2＜0，又∵e ＞1，解得1＜e ＜2，故选B ．

三直线与双曲线的位置关系

直线与双曲线的位置关系的解决方法

(1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程联立，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系，整体代入．

(2)与中点有关的问题常用点差法．

(3)根据直线的斜率与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．

【例3】若双曲线E ：x 2a 2－y 2

＝1(a ＞0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的

右支交于A ，B 两点．

(1)求k 的取值范围；

(2)若||AB ＝63，点C 是双曲线上一点，且OC →＝m (OA →＋OB →

)，求k ，m 的值．解析 (1)由?????

c a ＝2，a 2＝c 2－1，

得????

a 2＝1，c 2＝2.

故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由?

????

y ＝kx －1，

x 2－y 2＝1，

得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.①

因为直线与双曲线右支交于A ，B 两点，故?????

－2k 1－k 2>0且－21－k 2>0，Δ＝(2k )2－4(1－k 2)×(－2)＞0，

即???

k ＞1，－2＜k ＜2，

所以1＜k ＜2，即k 的取值范围是(1，2)． (2)由①得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2

k 2－1

，

∴||AB ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2

(1＋k 2)(2－k 2)

(k 2－1)2

＝63，

整理得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝5

4，

又1＜k ＜2，∴k ＝

，∴x 1＋x 2＝45， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8，

设C (x 3，y 3)，由OC →＝m (OA →＋OB →

)，得 (x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(45m,8m )，

∵点C 是双曲线上一点，∴80m 2－64m 2＝1，得m ＝±1

4，

故k ＝

52，m ＝±14

1．已知l 是双曲线C ：x 22－y 2

4＝1的一条渐近线，点P 是l 上的一点，F 1，F 2是C 的两

个焦点，若PF 1→·PF 2→

＝0，则点P 到x 轴的距离为( C )

A ．23

B ．2

C ．2

D ．263

解析 F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，则可设P (x 0，2x 0)，由PF 1→·PF 2

→

＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，

故P 到x 轴的距离为2||x 0＝2，故选C ．

2．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于两点A ，

B ，若△OAB 的面积为

13bc

，则双曲线的离心率为( D ) A ．5

2 B ．5

3 C ．

D ．

133

解析由题意可求得||AB ＝2bc a ，所以S △OAB ＝12×2bc a ×c ＝13bc 3，整理得c a ＝13

3，即e

＝

，故选D ．

3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，

若||PF 1＋||PF 2＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程为( B )

A ．x ±2y ＝0

B ．2x ±y ＝0

C ．x ±2y ＝0

D ．2x ±y ＝0

解析由题意不妨设||PF 1－||PF 2＝2a ，∵||PF 1＋||PF 2＝6a ，∴||PF 1＝4a ，||PF 2＝2a ，∵

||F 1F 2＝2c ＞2a ，∴△PF 1F 2最小内角为∠PF 1F 2＝30°，在△PF 1F 2中，由余弦定理得4a 2＝

4c 2＋16a 2－2×2c ×4a ×cos 30°，解得c ＝3a ，∴b ＝2a ，故双曲线的渐近线方程为y ＝±

b a x ＝±2x ，即2x ±y ＝0，故选B ．

4．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b

为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为

. 解析双曲线的右顶点为A (a,0)，一条渐近线的方程为y ＝b

a x ，

即bx －ay ＝0，圆心A 到此渐近线的距离d ＝|ba －a ×0|b 2＋a 2

＝ab

c ，

因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·cos30°＝ab c ，即3b 2＝ab

c ，

所以e ＝

＝23

易错点求曲线方程时，忽略定义的应用

错因分析：不能利用平面几何知识和双曲线定义解题，使解题无从入手．

【例1】已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程为________．

解析如图，

||AD ＝||AE ＝8，||BF ＝||BE ＝2，||CD ＝||CF .

所以||CA －||CB ＝8－2＝6.

根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 2

9－

y 2

＝1(x ＞3)．答案 x 29－y 2

＝1(x >3)

【跟踪训练1】 (2016·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2

b 2＝1的左，右焦点，点

M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝1

，则E 的离心率为( A )

A ．2

B ．32

C ．3

D ．2

解析由MF 1⊥x 轴上，得M ????－c ，b 2

a ，∴|MF 1|＝

b 2

a ，由双曲线的定义可得|MF 2|＝2a ＋|MF 1|＝2a ＋

b 2

a ，

又sin ∠MF 2F 1＝|MF 1|

|MF 2|＝

b 2a

2a ＋

b 2a

＝

，化简得a ＝b ， ∴e ＝ 2.故选A ．

课时达标第51讲

[解密考纲]对双曲线的定义、标准方程及几何性质的考查，通常与平面向量、解三角形方程或不等式综合在一起，以选择题、填空题形式出现，或在解答题中以第一问作考查的第一步．

一、选择题

1．已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线

的离心率等于5，则该双曲线的方程为( D )

A ．5x 2

－4

y 2＝1

B ．x 25－y 2

4＝1

C ．y 25－x 2

＝1

D ．5x 2－5

y 2＝1

解析 ∵抛物线y 2＝4x 的焦点为 F (1,0)，∴c ＝1，∴e ＝c a ＝1a ＝5，得a 2＝1

5，b 2＝c 2－

a 2＝45，则双曲线的方程为5x 2－5

y 2＝1，故选D ．

2．已知实数1，m,9成等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2

＝1的离心率为( C )

A ．6

B ．2

C ．

或2 D ．

或 3 解析根据条件可知m 2＝9，∴m ＝±3.当m ＝3时，e ＝c a ＝6

3；当m ＝－3 时，e ＝2，

故选C ．

3．双曲线x 2

2－2y 2＝1的渐近线与圆x 2＋(y ＋a )2＝1相切，则正实数a ＝( C )

A ．17

4 B ．17 C ．

D ． 5

解析 ∵双曲线x 22－2y 2＝1的渐近线方程为y ＝±1

2x ，圆心为(0，－a )，半径为1，∴由渐

近线和圆相切，得|2a |5

＝1，解得a ＝5

4．若实数k 满足0

9＝1的( D )

A ．离心率相等

B ．虚半轴长相等

C ．实半轴长相等

D ．焦距相等

解析因为0

9－k ＝1的实半轴长为5，

虚半轴长为9－k ，焦距为225＋(9－k )＝234－k ，离心率为34－k 5，双曲线x 225－k －y 2

9＝

1的实半轴长为25－k ，虚半轴长为3，焦距为2(25－k )＋9＝234－k ，离心率为34－k

25－k

，故两曲线只有焦距相等．故选D ．

5．(2017·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F

和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( B )

A ．x 24－y 2

4＝1

B ．x 28－y 2

8＝1

C ．x 24－y 2

＝1

D ．x 28－y 2

＝1

解析由e ＝2知，双曲线为等轴双曲线，则其渐近线方程为y ＝±x ，由P (0,4)知左焦点F 的坐标为(－4,0)，所以c ＝4，则a 2

＝b 2

＝c 2

＝8.故选B ．

6．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1，C 1与C 2

的离心率之积为

，则C 2的渐近线方程为( A ) A ．x ±2y ＝0 B ．2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0

解析由已知得1－????b a 2

·1＋????b a 2＝32，解得b a ＝12

，故选A ．二、填空题

7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线l ：x ＋3y ＝0垂直，C 的

一个焦点到直线l 的距离为1，则C 的方程为__x 2

－y 2

＝1__.

解析 ∵双曲线的一条渐近线与直线l ：x ＋3y ＝0垂直， ∴双曲线的渐近线的斜率为3，即b

＝ 3.①

由题意知双曲线的焦点在x 轴上，可设双曲线的一个焦点坐标为(c,0)，根据点到直线的距离公式，得|c |

＝1，

∴c ＝2，即a 2＋b 2＝4.② 联立①②，解得a 2＝1，b 2＝3 ， ∴双曲线的标准方程为x 2

－y 2

＝1.

8．若双曲线x 2

－y 2

2＝1(b >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个公共点，则双

曲线离心率的取值范围是__(1,2]__．

解析双曲线的渐近线方程为y ＝±bx ，则有|0－2|

1＋b

2≥1，解得b 2

≤3，则e 2

＝c 2

a 2＝1＋

b 2≤4，所以1

9．(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点

为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为__y ＝±2

x __.

解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p

2，

由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p

＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .

高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条技巧归纳总结

高考数学双曲线

第51讲双曲线 1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的__距离的差的绝对值__等于常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做__双曲线的焦点__，两焦点间的距离叫做__双曲线的焦距__．集合P ＝{}M ||| ||MF 1－||MF 2＝2a ，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0. (1)当__a ＜c __时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当__a ＝c __时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当__a ＞c __时，点P 不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R y ≤－a 或y ≥a ，x ∈R

3．常用结论(1)双曲线的焦点到渐近线x a 2－y b 2＝0(a ＞0，b ＞0)的距离为b .如右图△OFH 是分别以边a ，b ，c 为边长的直角三角形． (2)如下图： x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0) 则有：P 1，P 2两点坐标都为????c ，b 2 a ，即||FP 1＝||FP 2＝b 2 a . 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)平面内到点F 1 (0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × ) (3)方程x 2m －y 2 n ＝ 1(mn ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × ) (4)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y n ＝ 0.( √ ) 解析 (1)错误．由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部． (2)错误．因为||||MF 1－||MF 2＝8＝||F 1F 2，表示的轨迹为两条射线． (3)错误．当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x 轴上的双曲线，而m ＜0，n ＜0时则表示焦点在y 轴上的双曲线．

高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条经典法则

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）高三数学备课组椭圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-，即0 202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2 的直线方程是00221x x y y a b -=. 7. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122 t 2 F PF S b co γ ?=. 8. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和 A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.

高中数学解析几何专题之椭圆汇总解析版

圆锥曲线第1讲椭圆【知识要点】一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义：平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2（ 2 12F F a >）的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作a 2）大于这两个定点之间的距离 2 1F F （记作c 2），否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下：（ⅰ）当c a 22>时，点的轨迹是椭圆；（ⅱ）当c a 22=时，点的轨迹是线段21F F ；（ⅲ）当c a 22<时，点的轨迹不存在。注2：若用M 表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为 a MF MF 221=+（c a 22>， c F F 221=），即 2 121F F MF MF >+. 注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件： a MF MF 221=+千万不可忘记。 2. 椭圆的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （10<>b a ）；（2）焦点在y 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是122 22=+b x a y （0>>b a ）.

注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴，主要看长半轴跟谁走。长半轴跟x 走，椭圆的焦点在x 轴；长半轴跟y 走，椭圆的焦点在y 轴。（1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设其方程为12222=+b y a x （0>>b a ）或122 22=+b x a y （0>>b a ）；若题目未指明椭圆的焦点究竟是在x 轴上还是y 轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 12 2=+ny mx （0>m ，0>n ，且n m ≠）. 三、椭圆的性质以标准方程122 22=+b y a x （0>>b a ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。（1）范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-；（2）对称性：关于x 轴、y 轴轴对称，关于坐标原点中心对称；（3）顶点：左右顶点分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ；上下顶点分别为),0(1b B ，),0(2b B -；（4）长轴长为a 2，短轴长为b 2，焦距为c 2；（5）长半轴a 、短半轴b 、半焦距c 之间的关系为2 2 2 c b a +=；（6）准线方程：c a x 2 ± =；（7）焦准距：c b 2 ；（8）离心率： a c e = 且10<

高考数学双曲线

2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》双曲线 1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，P点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程 x2 a2－ y2 b2＝1 (a>0，b>0) y2 a2－ x2 b2＝1 (a>0，b>0) 图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝± b a x y＝± a b x 离心率e＝ c a，e∈(1，＋∞)，其中c＝a 2＋b2 实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 概念方法微思考

1．平面内与两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数2a 的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示不一定．当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在；当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线． 2．方程Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是什么？提示若A >0，B <0，表示焦点在x 轴上的双曲线；若A <0，B >0，表示焦点在y 轴上的双曲线．所以Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是AB <0. 3．与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a ，b 只限制a >0，b >0，二者没有大小要求，若a >b >0，a ＝b >0,0b >0时，10时， e ＝2(亦称等轴双曲线)，当0 2. 题组一思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × ) (3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y n ＝0.( √ ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ ) (5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22 ＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ ) 题组二教材改编 2．若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B ．5 C. 2 D ．2 答案 A 解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±y b ＝0，即bx ±ay ＝0，