微分方程建模案例

第五章微分方程建模案例

微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学涵。微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建模适用的领域比较广，涉及到生活中的诸多行业，其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。本章主要介绍几个简单的用微分方程建立的模型，让读者一窥方程的应用。下面简要介绍利用方程知识建立数学模型的几种方法：

1．利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型

这就需要我们仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模

型。

例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了题目中隐含的条件——入射角等于反射角来建立微分方程模型的。

2．从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型

我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。例如从几何观点看，曲线 y y(x)上某点的切线斜率即函数y y(x)在该点的导数；力学中的牛顿第二运

动定律：F ma ，其中加速度a 就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间 的一阶导数等等。从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。

例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。对于高空下落的物体， 我们可以利用牛顿第二运动定律建立其微分方程模型，

设物体质量为m ，空气阻 力

系数为k ，在速度不太大的情况下，空气阻力近似与速度的平方成正比；设时 刻t 时物体的下落速度为v ，初始条件：v (o ) 0.由牛顿第二运动定律建立其微

分方程模型:

求解模型可得:

体在地面上的投影面积。根据极限速度求解式子，在m,, 一定时，要求落地速 度w 不是很大时，我们可以确定出s 来，从而设计出保证跳伞者安全的降落伞的 直径大小来

3?利用导数的定义建立微分方程模型

dv m 一 dt

mg kv 2 ? k(exp[2t

由上式可知，当t

其中，阻力系数k

1)

时，物体具有极限速度:

lim v

t

mg

:k ，

s ， 为与物体形状有关的常数,

为介质密度，s 为物

、mg(exp[2t

1)

导数是微积分中的一个重要概念，其定义为

f （x x ） f （x ） 「 y

f （x ） lim

lim -，

x 0 x

x 0 x

商式一y

表示单位自变量的改变量对应的函数改变量，就是函数的瞬时平均变化

x

率，因而其极限值就是函数的变化率。 函数在某点的导数，就是函数在该点的变

化率。由于一切事物都在不停地发展变化，

变化就必然有变化率，也就是变化率

是普遍存在的，因而导数也是普遍存在的。这就很容易将导数与实际联系起来， 建立描述研究对象变化规律的微分方程模型。

例如在考古学中，为了测定某种文物的绝对年龄，我们可以考察其中的放射 性物质（如镭、铀等），已经证明其裂变速度（单位时间裂变的质量，即其变化 率）与其存余量成正比。我们假设时刻t 时该放射性物质的存余量R 是t 的函数, 由裂变规律，我们可以建立微分方程模型

期中k 是一正的比例常数，与放射性物质本身有关。求解该模型，我们解得： R Ce kt ，其中c 是由初始条件确定的常数。从这个关系式出发，我们就可以测 定某文物的绝对年龄。（参考碳定年代法）

另外，在经济学领域中，导数概念有着广泛的应用，将各种函数的导函数（即 函数变化率）称为该函数的边际函数，从而得到经济学中的边际分析理论。

4 ?利用微元法建立微分方程模型

一般的，如果某一实际问题中所求的变量 p 符合下列条件：p 是与一个变量 t 的变化区间［a,b ］有关的量；p 对于区间［a,b ］具有可加性；部分量 p ,的近似值 可表示为 f ( i )

dR

dt

kR

t i 。那么就可以考虑利用微元法来建立微分方程模型，其步骤是：首先根据问题的具体情况，选取一个变量例如t 为自变量，并确定其变化区间［a,b］;在区间［a,b］中随便选取一个任意小的区间并记作［t,t dt ］，求出相应于这个区间的部分量p的近似值。如果p 能近似的标示为［a,b］上的一个连续函数在t处的值f(t)与dt的乘积，我们就把f(t)dt称为量p的微元且记作dp.这样，我们就可以建立起该问题的微分方程模型：

dp f(t)dt.

对于比较简单的模型，两边积分就可以求解该模型。例如在几何上求曲线的弧长、平面图形的面积、旋转曲面的面积、旋转体

体积、空间立体体积; 代数方面求近似值以及流体混合问题; 物理上求变力做功、压力、平均值、静力矩与重心;这些问题都可以先建立他们的微分方程模型，然后求解其模型。

5．熟悉一些经典的微分方程模型，对一些类似的问题，经过稍加改进或直接套用这些模型。

多年来，在各种领域里，人们已经建立起了一些经典的微分方程模型，熟悉这些模型对我们是大有裨益的。

案例1 设警方对司机饮酒后驾车时血液中酒精含量的规定为不超过80% ( mg / ml ) .现有一起交通事故,在事故发生3个小时后,测得司机血液中酒精含量是56%(mg/ml),又过两个小时后，测得其酒精含量降为40%(mg/ml),试判断：事故发生时,司机是否违反了酒精含量的规定?

解模型建立

设x(t)为时刻t 的血液中酒精的浓度，则在时间间隔[t,t t],酒精浓度的改 变量 x x(t) t ，即

x(t t) x(t) kx(t) t

其中k 0为比例常数，式前负号表示浓度随时间的推移是递减的，两边除以t, 并令t 0,则得到

且满足 x(3)

56, x(5) 40 以及 x(0) x 。.

模型求解

容易求得通解为x(t) ce kt ,代入x(0)

X 。,得到

3k *

x °e

56 2k 56 5k

e 5640 x 0e 40

40

将 k 0.17代入得 x 0e

3 0.17

56

故事故发生时，司机血液中的酒精浓度已超出规定.

案例2在凌晨1时警察发现一具尸体，测得尸体温度是29°C ,当时环境温 度是21o C .一小时后尸体温度下降到27o C ,若人的正常体温是37o C ,估计死者的 死亡时间.

解运用牛顿冷却定律T 仃out T)，得到它的通解为

T T out

仃0 T out )

e

,

这里T 0是当t 0时尸体的温度，也就是所求的死亡时间时尸体的温度

，将题目提

供的参数代入

dx dt

kx,

x(t)

x °e

kt

则X o x(0)为所求.又由x(3)

56,x(5) 40,代入 x(0) X 。可得

k 0.17 3 0.17

x 0 56 e 93.25 >80.

21 (37 21)e t 29 21 (37 21)e (t 1} 27

.1 v v ;_2一

sin

---------- 2

， R -

.2(v gh)

g

10m/s ，贝U 41.4 ， R 11.4m .

4在一种溶液中，化学物质A 分解而形成B ，其速度与未转换的A 的

解得

进一步得

0.2877,t /I

2 /V

2.409(h).

这时求得的 t 是死者从死亡起到尸体被发现所经历的时间 ，因此反推回去可

推测死者的死亡时间大约是前一天的夜晚 10:35.

案例3建立铅球掷远模型.不考虑阻力，设铅球初速度为v,出手高度为h ， 出手角度为

(与地面夹角)，建立投掷距离与v,h,

的关系式，并求v,h 一定的

条件下求最佳出手角度.

解在图5-1坐标下铅球运动方程为

x 0， y g ，x(0) 0，y(0) h ，

x(0) vcos ， y(0) vsin

解出x(t), y(t)后，可以得铅球掷远为

2

R —sin g

2

/V - 2 cos

(-in g

2h )Kcos g

这个关系还可表为

2 2 2

R g 2v cos (h

由此计算乎

0,得最佳出手角度和最佳成绩分别为:

1.5m,v 案例 8

16 和 e "z 616 则e

浓度成比例?转换A 的一半用了 20分钟，把B 的浓度y 表示为时间的函数，并 作出图象.

解 记B 的浓度为时间t 的函数y(t)，A 的浓度为x(t). 一、假设

1 . 1mol A 分解后产生nmol B .

2 .容体的体积在反应过程中不变.

、建立模型，求解

有假设知，A 的消耗速度与A 的浓度成比例，故有下列方程成立

其中k 为比例系数.

设反应开始时t 0，A 的浓度为x o ，由题中条件知当t 20 (分)时，A 的

浓度为x(20) 1

-x o .解初值问题

2

dx , kx dt

x(0) X o

得

x(t)

x °e kt .

它应满足

x(20) x °e k 20

￡ x o

解得

1

k

In 2, 20

所以得

dx

dt

kx ，

由于B 的浓度为x 浓度减少量的n 倍，故有

图5-2

案例5车间空气清洁问题

某生产车间有一台机器不断排出CO 2，为了清洁车间里的空气，用一台鼓风 机通入新鲜空气来降低车间空气中的 CO 2含量，那么，上述做法的清洁效果如何 呢？

这一问题是利用平衡原理来建模，即建立其微分方程模型?请注意，平衡原 理在建立微分方程模型时常表现为区间［x,x x ］上的微元形式：某个量在该区间 上的增加量等于该区间段进入量与迁出量的差.

解1 ?问题分析与假设

上述清洁空气的原理是通过鼓风机通入新鲜的空气，其 CO 2含量尽管也有但 较低.新鲜空气与车间空气混合后再由鼓风机排出室外，从而降低

CO 2含量.

为讨论问题方便，假设通入的新鲜空气能与原空气迅速均匀混合，并以相同 风量排出车间?

此问题中的主要变量及参数设为：

x(t)

x °e

t

20

(In 2)

t In 2

y(t) n[X o

x °e 20

] nx o (1

_Lln 2

e 20

).

三、作图（如图

车间体积：V (单位：立方米)，

时间：t (单位：分钟)，

机器产生C02速度：r (单位：立方米/分钟)，

鼓风机风量：K (单位：立方米/分钟)

新鲜空气中CO2含量：m%，

开始时刻车间空气中CO2含量：x%，

t时刻车间空气中CO2含量：X(t)%.

2 .模型建立

考虑时间区间［t,t t］，并利用质量守恒定律：［t,t t］车间空气中CO2含量的“增加”等于［t,t t］时间，通入的新鲜空气中CO2的量加上机器产生的CO2 的量减去鼓风机排出的CO2的量，即

CO2增加量=新鲜空气中含有CO2量+机器产生的CO2量一排出的CO2量数学上表示出来就是

t t

V［x(t t)% x(t)］ Km% t r t t Kx(s)%ds.

其中t 0.于是令t 0,取极限便得

dx

a bx, t 0,

dt

x(0) x o.

Km 100r , K

其中a ,b .

V V

3 .模型求解与分析

此问题是一阶线性非齐次常微分方程的初值问题?解之得

X(t) a (Xo a )exp{ bt} b b

Km 100r Km 100r

K

K (X o K )exp{ V t}，

,则有

4 ?模型的优缺点分析及改进方向:

优点：模型简洁，易于分析和理解，并体现了建立微分方程模型的基本思想, 而且所得到的结果与常识基本一致.

缺点：建立数学模型时所作出的假设过于简单 改进方向:

（1）考虑新鲜空气和车间的空气的混合扩散过程重新建模；

（2 ）若要使得车间空气中的CO 2含量达到一定的指标，确定最优的实施方

案例6某人的食量是10467 （焦/天），其中5038 （焦/天）用于基本的新

代谢（即自动消耗）。在健身训练中，他所消耗的热量大约是

69 （焦/公斤？天）

乘以他的体重（公斤）。假设以脂肪形式贮藏的热量 100%地有效，而1公斤脂 肪含热量

41868 （焦）。试研究此人的体重随时间变化的规律。

解模型分析

这就是t 时刻车间空气中含CO 2的百分比.显然,

Km 100r

X 0,否则CO 2含量只能

K

Km 100r 严x(t)十-

100r m ------- K

这说明了，车间空气中C02的含量最多只能降到 ￥%.由此可见，鼓风机

风量越大（K 越大），新鲜空气中CO 2含量越低

（m 越小），净化效果越好.

在问题中并未出现“变化率”、 （记为W ）关于时间t 的函数。如果我们

把体重W 看作是时间t 的连续可微函数, 我们就能找到一个含有的型微分方程?

dt

模型假设

1.以W （t ）表示t 时刻某人的体重，并设一天开始时人的体重为 W o .

2 .体重的变化是一个渐变的过程。因此可认为 W （t ）是关于t 连续而且充分 光滑的?

3 .体重的变化等于输入与输出之差，其中输入是指扣除了基本新代谢之后 的净食量

吸收；输出就是进行健身训练时的消耗 ?

模型建立

问题中所涉及的时间仅仅是“每天”，由此，对于“每天”

体重的变化=输入-输出?

由于考虑的是体重随时间的变化情况，因此，可得

体重的变化/天=输入/天一输出/天.

代入具体的数值，得

输入/天=10467 （焦/天） 5038 （焦/天）=5429 （焦/天）， 输出/天=69 （焦/公斤？天）W （公斤）=69W （焦/天）

dW 5429 69W 1296 16W dt 41868 10000

导数”这样的关键词，但要寻找的是体重

体重的变化/天=

（公斤/ 天） dW

t 0

dt

考虑单位的匹配，利用

“公斤/天=

41868焦/公斤

，可建立如下微分方程模型

W t o W o

模型求解

用变量分离法求解，模型方程等价于

dW

积分得

从而求得模型解

就描述了此人的体重随时间变化的规律

模型讨论

现在我们再来考虑一下：此人的体重会达到平衡吗

？

W 81.

我们也可以直接由模型方程来回答这个问题。在平衡状态下， W 是不发生变化

的，所以列0 .这就非常直接地给出了

dt

平衡 81

.

至此，问题已基本上得以解决.

案例7、人口预测模型

由于资源的有限性，当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长

，为了得

到人口预测模型，必须首先搞清影响人口增长的因素，而影响人口增长的因素很多 如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多

dt 1296 W t 0 16W W 0

10000 ，

1296 16W

(1296 16t

16W 0)e

10000

，

W 空

16

1296

16t

16W

0 , 10000

e

16

显然由W 的表达式，当t 时，体重有稳定值

因素，如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此，先把问题简化，建立 比较粗糙的模型，再逐步修改，得到较完善的模型?

模型1(马尔萨斯(Malthus )模型)英国人口统计学家马尔萨斯(1766 —1834 )在担任牧师期间，查看了教堂100多年人口出生统计资料，发现人口出 生率是一个常数，于

1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人 口模型，他的基本假设是：

在人口自然增长过程中，净相对增长(出生率与死亡率 之差)是常数，即单位时间人口的增长量与人口成正比，比例系数设为r ,在此假设 下，推导并求解人口随时间变化的数学模型?

解 设时刻t 的人口为N(t)，把N(t)当作连续、可微函数处理(因人口总数 很大，可近似地这样处理，此乃离散变量连续化处理)，据马尔萨斯的假设，在t 到 t t 时间段，人口的增长量为

N(t t) N(t) rN(t) t ,

并设t t o 时刻的人口为N o ,于是

这就是马尔萨斯人口模型，用分离变量法易求出其解为

N(t)

N 0e r(t t0),

此式表明人口以指数规律随时间无限增长?

模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为3.06 109 ,而在以后7年中, 人口总数以每年2%的速度增长，这样t 0

1961,N 0

3.06 109 ,r 0.02,于是

N(t) 3.06 109e 0.02(t 1961).

这个公式非常准确地反映了在1700 — 1961年间世界人口总数.因为,这期间 地球上的人口大约每35年翻一番，而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这 一点）.

但是，后来人们以美国人口为例，用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较 ， 却

dN

dt N(t °)

rN ，

发现有很大的差异，尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时，发现更令人不可思议的问题，如按此模型计算，到2670年，地球上将有36 000亿人口. 如果地球表面全是陆地（事实上，地球表面还有80%被水覆盖），我们也只得互相踩着肩膀站成两层了，这是非常荒谬的，因此,这一模型应该修改.

模型2（逻辑Logistic模型）马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地球上的各种资源只能供一定数量的人生活，随着人口的增加，自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著，如果当人口较少时，人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随人口的增加而减小.因此，应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改.

1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特（Verhulst）弓I入常数N m,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一般说来，一个国家工业化程度越高，它的生活空间就越大，食物就越多，从而N m就越大），并假设将增长率等于r 1 的，即净

N m

增长率随着N（t）的增加而减小，当N（t）N m时,净增长率趋于零，按此假定建立

人口预测模型.

解由韦尔侯斯特假定，马尔萨斯模型应改为

dN

dt

N（t。） N。

上式就是逻辑模型，该方程可分离变量，其解为,

0.02 0.029 1

3.06 109

N m

增函数;

也就是说在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期

，过这一点后，生长的速

率

逐渐变小，并且迟早会达到零，这是减速生长期；

(4)用该模型检验美国从1790年到1950年的人口，发现模型计算的结果

与实际人口在1930年以前都非常吻合，自从1930年以后，误差愈来愈大，一个明 显的原因是在20世纪60年代美国的实际人口数已经突破了 20世纪初所设的极 限人口 .由此可见该模型的缺点之一是 N m 不易确定,事实上,随着一个国家经济的 腾飞，它所拥有的食物就越丰富，N m 的值也就越大；

(5)用逻辑模型来预测世界未来人口总数?某生物学家估计,r 0.029,又当人 口总数为

3.06 109时，人口每年以2%的速率增长，由逻辑模型得

1 dN d N —

r 1 -

N m ；

N(t)

N m 1 e r(t t o

)

F 面，我们对模型作一简要分析?

(1)

,N(t)

N m ,即无论人口的初值如何，人口总数趋向于极限值

N m 时罟

dt

存°这说明N (t )是时间t 的单调递

由于 d 2N dt 2

N N m

誥

N

，所以当N

皿时啤°,豐单 2 ' dt

dt

增；当N

时，嗖 2 dt

罟单减,即人口增长率罟 由增变减'在宁处最大,

N dt N m

从而得N m 9.86 109,

即世界人口总数极限值近100 亿.

值得说明的是：人也是一种生物,因此,上面关于人口模型的讨论,原则上也可以用于在自然环境下单一物种生存着的其他生物,如森林中的树木、池塘中的鱼等,逻辑模型有着广泛的应用.

参考文献

[1] 王高雄.常微分方程.：高等教育，1998.

[2] 周义仓，靳祯，秦军林.常微分方程及其应用.：科学，2003.

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[5] 东北师大学微分方程教研室.常微分方程（第二版）.：高等教育，

2005.

[6] 大学数学力学系.常微分方程.：人民教育，1978.