证明三点共线问题的方法

证明三点共线问题的方法

1、利用梅涅劳斯定理的逆定理

例1、如图1，圆内接ΔABC 为不等边三角形，过点A 、B 、C 分别作圆的切线依次交直线BC 、CA 、AB 于1A 、1B 、1C ，求证：1A 、1B 、1C 三点共线。

解：记,,BC a CA b AB c ===，易知1111AC C

CC B S AC C B S ??=

又易证1

1

AC C CC B ?? .则112

2

2AC C CC B S AC b S CB a

????== ???.

同理12121212,BA c CB a A C b B A c ==.故111222

1112221AC BA CB b c a C B A C B A a b c

??=??=.

由梅涅劳斯定理的逆定理，知1A 、1B 、1C 三点共线。

2、利用四点共圆（在圆内，主要由角相等或互补得到共线）

例2 、如图，以锐角ΔABC 的一边BC 为直径作⊙O ，过点A 作⊙O 的两条切线，切点为M 、N ，点H 是ΔABC 的垂心.求证：M 、H 、N 三点共线。(96中国奥数

证明：射线AH 交BC 于D ，显然AD 为高。

记AB 与⊙O 的交点为E ，易知C 、H 、E 三点共线。 联结OM 、ON 、DM 、DN 、MH 、NH ，

易知090AMO ANO ADO ∠=∠=∠=，

∴A 、M 、O 、D 、N 五点共圆，更有A 、M 、D 、N 四点共圆， 此时，0+180AND ∠∠=AMD

因为2AM AE AB AH AD =?=?（B 、D 、H 、E 四点共圆），

即

AM AD

AH AM

=

；又MAH DAM ∠=∠，所以AMH ADM ?? ，故AHM AMD ∠=∠ 同理，AHN AND ∠=∠。

因为0180AHM AHN AMD AND ∠+∠=∠+∠=，所以，M 、H 、N 三点共线。

3、利用面积法

如果S

S EMN

FMN

=??，点E 、F 位于直线MN 的异侧，则直线MN 平分线段EF ，即M 、N 与

EF 的中点三点共线。

A

B

C

C 1

B 1A 1

例3 、如图，延长凸四边形ABCD 的边AB 、DC 交于点E ，延长边AD 、BC 交于点F ，又 M 、N 、L 分别是AC 、BD 、EF 的中点，求证：M 、N 、L 三点共线。 证明：设BC 的中点为O ，辅助线如图所示， 由//,//OM AE ON DE 可知， 点O 必在EMN ?内，此时，

S S S S EMN OMN OME ONE =++????

O O O B MN MB NC MN BCN S S S S S ?????=++=+

B B B

C 11111

()()()22224

MD BCD MC DMC A ADC ABCD S S S S S S S ??????=+=+=?+=四边形 同理，1

4

FMN S S ?=四边形ABCD 。

因此S

S EMN

FMN

=??。此时，直线MN 平分EF ，即M 、N 、L 三点共线。

注：利用梅涅劳斯定理的逆定理也可证明此题。 4、利用同一法

尽管同一法是一种间接证法，但它却是一各很有用的证法，观察例4后，你会感到，同一法在证明三点共线问题时，也有其用武之地。 例4 、如图4(a)，凸四边形ABCD 的四边皆与⊙O 相切，切点分别为P 、M 、Q 、N ，设PQ 与 MN 交于S ，证明：A 、S 、C 三点共线。 证明：如图4(b)，令PQ 与AC 交于/

S

易证//APS CQS ∠∠与互补。

而//AS P CS Q ∠=∠，则

//////

sin sin sin sin AS APS CQS S C

AP AS P CS Q CQ

∠∠===∠∠， 故//AS AP S C CQ =。再令MN 与AC 交于//S 。同理可得////AS AM S C CN

= 但AP AM CQ CN =，所以//////AS AS S C S C =。利用合比性质得，///

AS AS AC AC

=。 因此，///AS AS =，可断定/S 与//S 必重合于点S ，故A 、S 、C 三点共线。

注：观察本题图形,显然还可证得B 、S 、D 三点共线；换言之，AC 、BD 、PQ 、MN 四线共点。

E

(b)

(a)

B

5、利用位似形的性质

如果ABC ?与///A B C ?是两个位似三角形，点O 为位似中心，那么不仅A 、/A 、O ；B 、

/B 、O ；C 、/C 、O 分别三点共线，而且ABC ?、///A B C ?的两个对应点与位似中心O 也三

点共线，位似形的这种性质，对于证明三点共线，颇为有用。

例5、如图,ABC ?内部的三个等圆⊙1O 、⊙2O 、⊙3O 两两相交且都经过点P ，其中每两个圆都与ABC ?的一边相切,已知O 、I 分别是ABC ?的外心、内心，证明：I 、P 、O 三点共线。 证明：联结12O O 、13O O 、23O O

12//O O AB 、23//O O BC 、13//O O 可断定ABC ?与123O O O ?且易知ABC ?的内心I 因为⊙1O 、⊙2O 、⊙3O 为等圆， 即123PO PO PO ==,

所以点P 是123O O O

?的外心。又点O 是的外心，故P 、O 两点是两个位似三角形的对应点，利用位似形的性质，即得I 、P 、O 三点共线。

6、 利用反证法

有的几何题利用直接证法很难，而用反证法却能很快达到预期目的。

例6、如图，梯形ABCD 中、DC//AB ，对形内的三点1P 、2P 、3P ，如果到四边距离之和皆相等，那么，1P 、2P 、3P 三点共线，试证之。 证明：先看12P P 、两点，

设直线12PP 分别交AD 、BC 于M 、N ，

11PE BC ⊥于1E ，22P E BC ⊥于2E ， 11PF AD ⊥于1F ，22P

F AD ⊥于2F 。 因为DC//AB ，则点1P 到AB 、CD 的距离之和等于点2P 到AB 、CD 的距离之和。由已知可得

/

B

11112222PE PF P E P F +=+。过点1P 作AD 的平行线、过点2P 作BC 的平行线得交点P （由于

AD 与BC 不平行）。记1PP 交22P F 于G ，2P P 交11PE 于H 。 观察上式有11222211PE P E P F PF -=-。所以，1

2PH P G =。 因为12PPP ?有两条高12PH P G =，所以，12PPP ?是等腰三角形，则1221PPP PP P ∠=∠。 故1221DMN PPP PP P CNM ∠=∠=∠=∠。

再用反证法证明点3P 一定在12PP 上：假设点3P 不在12PP 上，联结13PP 并延长分别交AD 、BC 于//M N 、，易知点//M N 、在MN 的异侧；因为点1P 到AD 、BC 的距离之和等于点3P 到AD 、BC 的距离之和，由上述证明过程知必有////DM N CN M ∠=∠。

事实上，观察图形只能得到////DM N DMN CNM CN M ∠>∠=∠>∠，矛盾，这说明点3P 必在12PP 上，即MN 上，因此1P 、2P 、3P 三点共线。

7、 用塞瓦定量的逆定理

变三点共线为三线共点，利用塞瓦定理的逆定理，在圆内接凸六边形ABCDEF 中，若

AB CD EF BC DE FA ??=??，则AD 、BE 、CF 三线共点；反之亦然，利用这个结果来证明某

些三点共线问题，可立竿见影。

例7、如图7，凸四边形ABCD 内接于圆，延长AD 、BC 交于点P ，作PE 、PF 切圆于E 、F ，又AC 与BD 交于K ，证明：E 、K 、F 三点共线。 解：联结AE 、ED 、CF 、FB 得凸六边形ABFCDE 。 欲证E 、K 、F 三点共线，即AC 、BD 、EF 三线共点， 只须证AB FC DE BF CD EA ??=??。

注意到,,PAB PCD PFC PBF PDE PEA ?????? 。

则

,,AB PA FC PC DE PE

CD PC BF PF EA PA ===

。又PE=PF ， 则1AB FC DE PA PC PE CD BF EA PC PF PA ??=??=。 故AB FC DE BF CD EA ??=??。

因此，AC 、BD 、EF 三线共点，即E 、K 、F 三点共线。

证明三点共线问题的方法

证明三点共线问题的方法 1、利用梅涅劳斯定理的逆定理 例1、如图1，圆内接ΔABC 为不等边三角形，过点A 、B 、C 分别作圆的切线依次交直线BC 、CA 、AB 于1A 、1B 、1C ，求证：1A 、1B 、1C 三点共线。 解：记,,BC a CA b AB c ===，易知1111AC C CC B S AC C B S ??= 又易证1 1 AC C CC B ?? .则112 2 2AC C CC B S AC b S CB a ????== ???. 同理12121212,BA c CB a A C b B A c ==.故111222 1112221AC BA CB b c a C B A C B A a b c ??=??=. 由梅涅劳斯定理的逆定理，知1A 、1B 、1C 三点共线。 2、利用四点共圆（在圆内，主要由角相等或互补得到共线） 例2 、如图，以锐角ΔABC 的一边BC 为直径作⊙O ，过点A 作⊙O 的两条切线，切点为M 、N ，点H 是ΔABC 的垂心.求证：M 、H 、N 三点共线。(96中国奥数 证明：射线AH 交BC 于D ，显然AD 为高。 记AB 与⊙O 的交点为E ，易知C 、H 、E 三点共线。 联结OM 、ON 、DM 、DN 、MH 、NH ， 易知090AMO ANO ADO ∠=∠=∠=， ∴A 、M 、O 、D 、N 五点共圆，更有A 、M 、D 、N 四点共圆， 此时，0+180AND ∠∠=AMD 因为2AM AE AB AH AD =?=?（B 、D 、H 、E 四点共圆）， 即 AM AD AH AM = ；又MAH DAM ∠=∠，所以AMH ADM ?? ，故AHM AMD ∠=∠ 同理，AHN AND ∠=∠。 因为0180AHM AHN AMD AND ∠+∠=∠+∠=，所以，M 、H 、N 三点共线。 3、利用面积法 如果S S EMN FMN =??，点E 、F 位于直线MN 的异侧，则直线MN 平分线段EF ，即M 、N 与 EF 的中点三点共线。 A B C C 1 B 1A 1

点共线与三线共点的证明方法

三点共线与三线共点的证明方法 公理 1.若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1.经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面； 推论2.经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3.经过两条平行直线有且只有一个平面。 公理 3.若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 例1.如图，在四面体ABCD中作截图PQR， PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K．求证M、N、 K三点共线． 由题意可知，M、N、K分别在直线PQ、

RQ 、RP 上，根据公理1可知M 、N 、K 在平面PQR 上，同理，M 、N 、K 分别在直线CB 、DB 、DC 上，可知M 、N 、K 在平面BCD 上，根据公理3可知M 、N 、K 在平面PQR 与平面BCD 的公共直线上，所以M 、N 、K 三点共线． 例2.已知长方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为1AA 与AB 的中点，求证：1 D M 、DA 、CN 三线共点． 由M 、N 分别为1AA 与AB 的中点知1//MN A B 且112MN A B =，又1A B 与1D C 平行且相等，所以1//MN D C 且112MN D C =，根据推论3可知M 、N 、C 、1D 四点共面，且1D M 与CN 相交，若1D M 与CN 的交点为K ，则点K 既在平面11ADD A 上又在平面ABCD 上，所以点K 在平面11ADD A 与平面ABCD 的交线DA 上，故1 D M 、DA 、CN 三线交于点K ，即三线共点． 从上面例子可以看出，证明三线共点

三点共线与三线共点的证明办法

三点共线与三线共点的证明方法 公理1.若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1.经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面； 推论2.经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3.经过两条平行直线有且只有一个平面。 公理3.若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 例1.如图，在四面体ABCD 中作截图PQR ，PQ 、CB 的延长线交于M ，RQ 、DB 的延长线交于N ，RP 、DC 的延长线交于K ．求证M 、N 、K 三点共线． 由题意可知，M 、N 、K 分别在直线PQ 、RQ 、RP 上，根据公理1可知M 、N 、K 在平面PQR 上，同理，M 、N 、K 分别在直线CB 、 DB 、DC 上，可知M 、N 、K 在平面BCD 上， 根据公理3可知M 、N 、K 在平面PQR 与平面BCD 的公共直线上，所以M 、N 、K 三点共线． 例2.已知长方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为1AA 与AB 的中点，求证：1D M 、DA 、CN 三线共点． 由M 、N 分别为1AA 与AB 的中点知1//MN A B 且112MN A B =，又1A B 与1D C 平行且相等，所以1//MN D C 且112MN D C =，根据推论3可知M 、N 、C 、1D 四点共面，且1D M 与CN 相交，若1D M 与CN 的交点为K ，则点K 既在平面11ADD A 上又在平面ABCD 上，所以点K 在平面11 ADD A

与平面ABCD的交线DA上，故 D M、DA、CN三线交于点K，即三线 1 共点． 从上面例子可以看出，证明三线共点的步骤就是，先说明两线交于一点，再证明此交点在另一线上，把三线共点的证明转化为三点共线的证明，而证明三点共线只需要证明三点均在两个相交的平面上，也就是在两个平面的交线上。

向量法证明三点共线的又一方法及应用

向量法证明三点共线的又一方法及应用 蒋李萍 201１年１0月2４日 平面向量既具有数量特征,又具有图形特征，学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力. 下面就一道习题的应用探究为例进行说明. 原题 已知OB λOA μOC =+，其中1λμ+=. 求证:A 、B 、C 三点共线 思路:通过向量共线(如AB k AC =)得三点共线. 证明:如图,由1λμ+=得1λμ=-,则 (1)OB λOA μOC μOA μOC =+=-+ ∴()OB OA μOC OA -=- ∴AB μAC = ∴A 、B 、C 三点共线. 思考：１. 此题揭示了证明三点共线的又一向量方法，点O 具有灵活性; ２. 反之也成立(证明略):若A 、B 、C 三点共线,则存在唯一实数对λ、μ，满 足OB λOA μOC =+,且1λμ+=．揭示了三点共线的又一个性质; 3. 特别地,12λμ== 时,1 ()2 OB OA OC =+，点B 为AC 的中点,揭示了OAC 中线OB 的一个向量公式,应用广泛． 应用举例: 例1 如图，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且1 3 BN BD =. 利用向量法证明：M 、N 、C 三点共线. 思路分析：选择点B ，只须证明BN λBM μBC =+,且1λμ+=. 证明:由已知BD BA BC =+,又点N 在BD 上,且1 3 BN BD = ,得 1111()3333BN BD BA BC BA BC ==+=+ 又点M 是AB 的中点, 1 2BM BA ∴=,即2BA BM = 21 33BN BM BC ∴=+ 而21133 += ∴M 、N 、C 三点共线． D A B C M N

(完整版)平面向量中“三点共线定理”妙用

平面向量中“三点共线定理”妙用 对平面内任意的两个向量b a b b a //),0(, 的充要条件是：存在唯一的实数 ，使b a 由该定理可以得到平面内三点共线定理： 三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点 的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB u u u v u v u u u v 且1x y 。 特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y 当点P 在线段AB 之外时，0xy 笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点 共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。 例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若 1200OB a OA a OC u u u r u u u r u u u r ，且A 、B 、C 三点共线， （设直线不过点O ），则S 200=（ ） A ．100 B ．101 C ．200 D ．201 解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200() 1002 a a S ,故选A 。 点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。 例2 已知P 是ABC 的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP .,，则y x 4 1 的最小值是 解：Q 点P 落在ABC V 的边BC 上 B ，P,C 三点共线 AP xAB yAC u u u r u u u r u u u r Q 1x y 且x>0,y>0 14141444()1()()145y x y x x y x y x y x y x y x y 　 Q x>0,y>040,0y x x y 由基本不等式可知：4424y x y x x y x y ，取等号时

初中数学竞赛：证明三点共线

初中数学竞赛：证明三点共线 【内容提要】 1.要证明A，B，C三点在同一直线上， 常用方法有：①连结AB，BC证明∠ABC是平角 ②连结AB，AC证明AB，AC重合 ③连结AB，BC，AC证明AB＋BC＝AC ④连结并延长AB证明延长线经过点C 2.证明三点共线常用的定理有： ①过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行 ②经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 ③三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 ④梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半 ⑤两圆相切，切点在连心线上 ⑥轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上 【例题】 例1.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，点P是形内的任一点，PM⊥AB， PN⊥CD 求证：M，N，P三点在同一直线上 ∵AB∥CD，∴EF∥CD ∠1＋∠2＝180 ，∠3＋∠4＝180 ∵PM⊥AB，PN⊥CD ∴∠1＝90 ，∠3＝90 ∴∠1＋∠3＝180 ∴M，N，P三点在同一直线上 例2.求证：平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点，三点在同一直线上 已知：平行四边形ABCD中，M，N分别是AD和BC的中点，O是AC和BD的交点

求证：M ，O ，N 三点在同一直线上 证明一：连结MO ，NO ∵MO ，NO 分别是△DAB 和△CAB 的中位线 ∴MO ∥AB ，NO ∥AB 根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行 ∴ M ，O ，N 三点在同一直线上 证明二：连结MO 并延长交BC 于N ， ∵MO 是△DAB 的中位线 ∴MO ∥AB 在△CAB 中 ∵AO ＝OC ，ON ， ∥AB ∴BN ， ＝N ， C ，即N ， 是BC 的中点 ∵N 也是BC 的中点， ∴点N ，和点N 重合 ∴ M ，O ，N 三点在同一直线上 例3.已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＋∠B ＝90 ，M ，N 分别是AB 和CD 的中点，BC ，AD 的延长线相交于P 求证：M ，N ，P 三点在同一直线上 证明：∵∠A ＋∠B ＝90 ， ∠APB ＝Rt ∠ 连结PM ，PN 根据直角三角形斜边中线性质 PM ＝MA ＝MB ，PN ＝DN ＝DC ∴∠MPB ＝∠B ，∠NPC ＝∠B ∴PM 和PN 重合 ∴M ，N ，P 三点在同一直线上 ,

向量证明三线共点与三点共线问题.doc

用向量证明三线共点与三点共线问题 山东徐鹏 三线共点、三点共线是几何中经常遇到的问题，直接证明往往很困难，用向量法解决则 简捷得多． 证明A、 B、 C 三点共线，只要证明AB 与AC 共线即可，即证明AB AC ．证明三线共点一般须证两线交点在第三条直线上． 例 1．证明：若向量OA 、OB 、OC 的终点A、B、C 共线，则存在实数、，且1， A B C O 图1 使得OC OA OB ；反之，也成立． 的终点 A 、 B 、 C 共线，则证明：如图 1 ，若OA 、OB 、 OC AB BC BC m AB BC OC OB AB OB OA OC OB m(OB OA) OC mOA (1 m)OB m, 1 m, , ,且1, OC OA OB OC OA OB 1, 1 OC OA (1 )OB OC OB OA OB BC BA BC和 BA OA OB OC 例 2．证明：三角形的三条中线交于一点． 证明：如图 2，D、E、F 分别是ABC三边上的中

C D E G A F B 图２ 点． 设 CA a, CB b, AD BE G．设 AG AD, BG BE ．则 AG AB BG (b a) BE (b a) ( BC 1 CA) b a ( 1 a b) 1 ( 2 1 b) 2 1 b 1）a (1 )b ，又 AG AD (AC CD) ( a a 2 2 2 1 1 2 2 3 所以解得 1 2 1 2 3 则 CG CA AG a 2 AD a 2 ( a 1 b) 1 a 1 b 1 1 3 2 3 2 3 3 CF a b，所以 CG CF ，所以G在中线CF上，所以三角形三条中线交于一点． 2 2 3

三点共线经典题型

三点共线经典题型 例1如图△ABC，D是△ABC内的一点，延长BA至点E，延长DC至点F，使得AE=CF，G，H，M分别为BD，AC，EF的中点，如果G，H，M三点共线，求证：AB=CD． 分析 由三角形的中位线得，MS∥AE，MS=0.5AE，HS∥CF，HS=0.5CF 由已知得HS=SM，从而得出∠SHM=∠SMH，则得出∠TGH=∠THG，GT=TH，最后不难看出AB=CD． 解答： 证明：取BC中点T，AF的中点S，连接GT，HT，HS，SM， ∵GHM分别为BD，AC，EF的中点， ∴MS∥AE，MS=0.5AE，HS∥CF，HS=0.5CF ∵GT∥CD，HT∥AB，GT=0.5CD，HT=0.5AB， ∴GT∥HS，HT∥SM ∴∠SHM=∠TGH，∠SMH=∠THG， ∴∠TGH=∠THG， ∴GT=TH，

∴AB=CD． 例2如图，已知菱形ABCD，∠B=60°，△ADC内一点M满足∠AMC=120°，若直线BA与CM交于点P，直线BC与AM交于点Q，求证：P，D，Q三点共线． 资料个人收集整理，勿做商业用途 分析 求证：P，D，Q三点共线就是证明平角的问题，可以求证∠PDA+∠ADC+∠CDQ=180°，根据△PAC∽△AMC，△AMC∽△ACQ，可以得出∠PAD=∠DCQ=60°；进而证明△PAD∽△DCQ，得出∠APD=∠CDQ，则结论可证资料个人收集整理，勿做商业用途 解答连接PD，DQ， 由已知∠PAC=120°，∠QCA=120°， ∴△PAC∽△AMC，△AMC∽△ACQ．资料个人收集整理，勿做商业用途 ∴PA/AM=AC/MC,AC/AM=QC/MC ∴AC2=PA?QC，又AC=AD=DC． ∴PA/DC=AD/QC，又∠PAD=∠DCQ=60°， ∴△PAD∽△DCQ，∴∠APD=∠CDQ． 资料个人收集整理，勿做商业用途 ∴∠PDA+∠ADC+∠CDQ=180°，

点共线问题的证明方法

一、点共线问题 证明点共线，常常采用以下两种方法：①转化为证明这些点是某两个平面的公共点，然后根据公理3证得这些点都在这两个平面的交线上；②证明多点共线问题时，通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点都在这条直线上． 1．如图1，正方体1111ABCD A BC D -中，1AC 与截面1DBC 交O 点，AC BD ，交M 点，求证：1C O M ，，三点共线． 证明：连结11AC ，1C ∈ 平面11A ACC ，且1C ∈平面1DBC ， 1C ∴是平面11A ACC 与平面1DBC 的公共点． 又M AC M ∈∴∈ ， 平面11A ACC ． M BD M ∈∴∈ ，平面1DBC ． M ∴也是平面11A ACC 与平面1DBC 的公共点． 1C M ∴是平面11A ACC 与平面1DBC 的交线．O 为1AC 与截面1DBC 的交点， O ∴∈平面11A ACC O ∈，平面1DBC ，即O 也是两平面的公共点． 1O C M ∈∴，即1C M O ，，三点共线． 2．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定共线（在同一条直线上）． 分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线． 证明 ∵ AB//CD ， AB ，CD 确定一个平面β． 又∵AB ∩α＝E ，AB β，∴ E ∈α，E ∈β， 即 E 为平面α与β的一个公共点． 同理可证F ，G ，H 均为平面α与β的公共点． ∵ 两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， ∴ E ，F ，G ，H 四点必定共线． 点 评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．

向量法证明三点共线的又一方法及应用 -

向量法证明三点共线的又一方法及应用 平面向量既具有数量特征，又具有图形特征,学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力. 下面就一道习题的应用探究为例进行说明. 原题 已知OB λOA μOC =+u u u r u u u r u u u r ，其中1λμ+=. 求证：A 、B 、C 三点共线 思路：通过向量共线(如AB k AC =u u u r u u u r )得三点共线. 证明：如图,由1λμ+=得1λμ=-,则 (1)OB λOA μOC μOA μOC =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴()OB OA μOC OA -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ∴AB μAC =u u u r u u u r ∴A 、B 、C 三点共线. 思考：1. 此题揭示了证明三点共线的又一向量方法,点O 具有灵活性； 2. 反之也成立（证明略）：若A 、B 、C 三点共线，则存在唯一实数对λ、μ，满 足OB λOA μOC =+u u u r u u u r u u u r ,且1λμ+=.揭示了三点贡献的又一个性质； 3. 特别地，12λμ==时，1()2 OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r ，点B 为AC u u u r 的中点，揭示了OAC V 中线OB 的一个向量公式，应用广泛. 应用举例 例 1 如图，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且13 BN BD =. 利用向量法证明：M 、N 、C 三点共线. 思路分析：选择点B ，只须证明 BN λBM μBC =+u u u r u u u u r u u u r ,且1λμ+=. D A B C M N

向量证明三线共点与三点共线问题

用向量证明三线共点与三点共线问题 山东 徐鹏 三线共点、三点共线是几何中经常遇到的问题，直接证明往往很困难，用向量法解决则简捷得多． 证明A 、B 、C 三点共线，只要证明AB 与AC 共线即可，即证明AC AB λ=．证明三线共点一般须证两线交点在第三条直线上． 例1． 证明：若向量OA 、OB 、OC 的终点A 、B 、C 共线，则存在实数λ、μ， 且1=+μλ，使得OB OA OC μλ+=；反之，也成立． 证明：如图1，若OA 、OB 、OC 的终点A 、B 、C 共线，则AB //BC ,故存在实数m,使得AB m BC =，又OB OC BC -=，OA OB AB -=，故)(OA OB m OB OC -=-， OB m OA m OC )1(++-=．令,1,m m +=-=μλ则存在,1,,=+μλμλ且使得 OB OA OC μλ+=． 若OB OA OC μλ+=，其中,1=+μλ则λμ-=1，OB OA OC )1(λλ-+=．从而有OC －OB ＝λ(OA －OB )，即BA BC λ=．又因为BA BC 和有公共点B,所以A 、B 、C 三点共线，即向量OA 、OB 、OC 的终点A 、B 、C 共线. 例2． 证明：三角形的三条中线交于一点． 证明：如图2，D 、E 、F 分别是ABC ?三边上的中 A O B C 图1

点． 设BE BG AD AG G BE AD b CB a CA μ===?==,,,．设．则 =-+-=++-=+-=+=)2 1( )2 1()()(b a a b CA BC a b BE a b BG AB AG μμμ b a )1(1(2 1μμ-+-），又b a b a CD AC AD AG λλλλλ2 1)2 1()(+-=+-=+== ?????? ? ==??????? -=-=-323 2121121μλμλμλ解得 所以 则b a b a a AD a AG CA CG 3131)21(323 2+ = + -+=+ =+= b a CF 2 121+ = ，所以CF CG 3 2=，所以G 在中线CF 上，所以三角形三条中线交于一点． A B C E D F 图２ G

证明三点共线的几种方法

证明三点共线的几种方法 贵阳市三十九中学 李明 在高中数学学习中，许多同学感觉到对所学的基本概念，基本公式已经理解,熟练。但解题时却力不从心，无从入手。究其原因：是学生缺乏对解题策略的探究。所以,多种方法解题,是可以帮助学生消化基础知识,优化思维素质,提高分析问题和解决问题能力的。 现就人教版高中第二册(上)第87页第3题的多种解法如下: 题目:证明三点A (-2,12),B(1,3),C (4,-6)在同一条直线上。 一、用解析法解题: 解(1): ∵两点确定一条直线, ∴直线AB 的斜率K AB =Y B -Y A X B -X A = -3 直线AC 的斜率K AC = Y C -Y A X C -X A = -3 ∵K AB = K AC 则直线AB,AC 平行,两直线共起点A 点, ∴直线AB,AC 重合, ∴A,B,C 三点共线。 解(2): 由直线方程的两点式求得直线AB 的方程:3x+y -6=0 把点C 坐标代入直线AB 的方程，得: 3×4-6-6=0 ∵C 点在直线AB 上, ∴A,B,C 三点共线。 解(3): 直线夹角为0来证明三点共线 直线AB 的斜率K AB = Y B -Y A X B -X A = -3 直线AC 的斜率K AC = Y C -Y A X C -X A = -3 设直线AB 与直线AC 的的夹角为 θ，则 tan θ=|K AB -K AC 1+ K AB ?K AC |= 0 又∵0≤θ<1800 ∴θ=0 ∴A,B,C 三点共线。 解（4）的面积为0证明三点共线 ∵直线AB 的方程为:3x+y-6=0 ∴点C （4，-6）到直线AB 的距离d= |3×4-6-6| 32+12 = 0 又∵|AB|=（3-12）2+（1+2）2 =310

三点共线,线共点

第三讲 点共线、线共点 在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。 1. 点共线的证明 点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。n (n ≥4)点共线可转化为三点共线。 例1 如图，设线段AB 的中点为C ，以AC 和CB 为对角线作平行四边形AECD ， BFCG 。又作平行四边形CFHD ，CGKE 。求证：H ，C ，K 三点共线。 证 连AK ，DG ，HB 。 由题意，AD EC KG ，知四边形AKGD 是平行四边形，于是AK DG 。同样可证AK HB 。四边形AHBK 是平行四边形， 其对角线AB ，KH 互相平分。而C 是AB 中点，线段KH 过C 点，故K ，C ，H 三点共线。 A B C D E F H K G

例2 如图所示，菱形ABCD 中，∠A =120 O 为△ABC 外接圆，M 为其上 一点，连接MC 交AB 于E ，AM 交CB 延长线于F 。求证：D ，E ，F 三点共线。 证 如图，连AC ，DF ，DE 。 因为M 在 O 上， 则∠AMC =60°=∠ABC =∠ACB ， 有△AMC ∽△ACF ，得 CD CF CA CF MA MC = =。 又因为∠AMC =BAC ，所以△AMC ∽△EAC ，得 AE AD AE AC MA MC = =。 所以 AE AD CD CF = ，又∠BAD =∠BCD =120°，知△CFD ∽ △ADE 。所以∠ADE =∠DFB 。因为AD ∥BC ，所以∠ADF =∠DFB =∠ADE ，于是F ， E ，D 三点共线。 例3 四边形ABCD 内接于圆，其边AB 与DC 的延长线交于点P ，AD 与BC 的延长线交于点Q 。由Q 作该圆的两条 切线QE 和QF ，切 点分别为E ，F 。求证：P ，E ，F 三点共线。 证 如图。 连接PQ ，并在PQ 上取一点M ，使得 B ， C ，M ，P 四点共圆，连CM ，PF 。设PF 与圆的另一交点为E ’， C E (E ')A B D F P M Q G

(完整word版)高中数学例题：利用平面向量基本定理证明三点共线问题

高中数学例题：利用平面向量基本定理证明三点共线问题 例3．设OA u u u r 、OB uuu r 、OP uuu r 是三个有共同起点的不共线向量，求证： 它们的终点A 、B 、P 共线，当且仅当存在实数m 、n 使m+n=1且OP mOA nOB ==u u u r u u u r u u u r ． 【思路点拨】本题包含两个问题：（1）A 、B 、P 共线?m+n=1，且OP mOA nOB ==u u u r u u u r u u u r 成立；（2）上述条件成立?A 、B 、P 三点共线． 【证明】（1）由三点共线?m 、n 满足的条件． 若A 、B 、P 三点共线，则AP u u u r 与AB u u u r 共线，由向量共线的条件知存 在实数λ使AP AB λ=u u u r u u u r ，即()OP OA OB OA λ-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴(1)OP OA OB λλ=-+u u u r u u u r u u u r ． 令1m λ=-，n=λ，则OP mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r 且m+n=1． （2）由m 、n 满足m+n=1?A 、B 、P 三点共线． 若OP mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r 且m+n=1，则(1)OP mOA m OB =+-u u u r u u u r u u u r ． 则()OP OB m OA OB -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，即BP mBA =u u u r u u u r ． ∴BP u u u r 与BA u u u r 共线，∴A 、B 、P 三点共线． 由（1）（2）可知，原命题是成立的． 【总结升华】 本例题的结论在做选择题和填空题时，可作为定理使用，这也是证明三点共线的方法之一． 举一反三： 【变式1】设e 1，e 2是平面内的一组基底，如果124AB e e =-u u u r ， 12BC e e =+u u u r ，1269CD e e =-u u u r ，求证：A ，C ，D 三点共线． 【解析】 因为1212121(4)()233AC AB BC e e e e e e CD =+=-++=-=u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以AC u u u r 与CD uuu r 共线．

三点共线与三线共点的证明方法之欧阳光明创编

三点共线与三线共点的证明方法 欧阳光明（2021.03.07） 公理 1.若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1.经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面； 推论2.经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3.经过两条平行直线有且只有一个平面。 公理 3.若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 例 1.如图，在四面体ABCD 中作截图PQR ，PQ 、CB 的延长线交于M ，RQ 、DB 的延长线交于N ，RP 、DC 的延长线交于K ．求证M 、N 、K 三点共线． 由题意可知，M 、N 、K 分别在直线PQ 、RQ 、RP 上，根据公理1可知M 、N 、K 在平面PQR 上，同理，M 、N 、K 分别在直线CB 、DB 、DC 上，可知M 、N 、K 在平面BCD 上，根据公理3可知M 、N 、K 在平面PQR 与平面BCD 的公共直线上，所以M 、N 、K 三点共线． 例 2.已知长方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为1AA 与AB 的中点，求证：1D M 、DA 、CN 三线共点． 由M 、N 分别为1AA 与AB 的中点知1//MN A B 且 112MN A B =，又1A B 与1D C 平行且相等，所以1//MN D C 且112MN D C =，根据推论 3可

知M 、N 、C 、1D 四点共面，且1D M 与CN 相交，若1D M 与CN 的交点为K ，则点K 既在平面11ADD A 上又在平面ABCD 上，所以点K 在平面11ADD A 与平面ABCD 的交线DA 上，故1D M 、DA 、CN 三线交于点K ，即三线共点． 从上面例子可以看出，证明三线共点的步骤就是，先说明两线交于一点，再证明此交点在另一线上，把三线共点的证明转化为三点共线的证明，而证明三点共线只需要证明三点均在两个相交的平面上，也就是在两个平面的交线上。

三点共线问题的一个重要结论及应用

三点共线问题的一个重要结论及应用 一．命题及证明 命题 已知非零向量OA 、OP 、OB 满足OP mOA nOB =+，若1m n +=(m n R ∈，， 0)mn ≠且，则点A 、P 、B 共线，且P 分AB 所成的比为m n = λ． 证明：∵OP mOA nOB =+，1=+n m ，0mn ≠， ∴ 1n OP OA OB m m =+， ∴m n n OP OA OB m m +=+， ∴()n OP OA OB OP m -=-， 即n AP PB m =． ∴ 点A 、P 、B 共线，且P 分AB 所成的比为m n =λ． 下面思考其逆命题，即 逆命题 若点A 、P 、B 共线，且P 分AB 所成的比为λ，则有且只有一对非零实数m n ，，使得OP mOA nOB =+，且1=+n m （O 为平面上不同于A 、P 、B 的一点）．文档来自于网 络搜索 证明：∵ 点A 、P 、B 共线，设 01AP PB λλλ=≠≠-（且）， ∴()OP OA OB OP λ-=-， ∴()1OP OA OB λλ+=+， ∴111OP OA OB λ λλ= +++． 令111m n λλλ == ++，，则有OP mOA nOB =+，且1=+n m ，m n =λ． 于是，综上可得 结论 三点A 、P 、B 共线的充要条件是存在实数m n 、满足1=+n m ，且使得 OP mOA nOB =+．（O 为平面上不同于A 、P 、B 的一点）． 特别地，当12m n == 时，1 ()2 OP OA OB =+，点P 是线段AB 的中点；当0m =或0n =时，点P 与点B 或A 重合． 二．结论的应用 例１．（1）已知点Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线，Ｏ在直线ＡＢ外，设, , OA a OB b OC c ===，且存在实数m 使30ma b c -+=，则点Ａ分BC 所成的比为（ ） Ａ．3 Ｂ．－3 Ｃ． 31 Ｄ．31 - 解：∵30ma b c -+=，∴1 33 m OB OA OC =+．

证明三点共线方法举要

证明三点共线方法举要 四川省广元市宝轮中学 唐明友 有些数学问题要求你证三点共线，或者过程中需要你证三点共线，不少同学觉得无从下手，茫然失措，有些同学甚至想当然地把这三点看成在一条直线上，显然有失严密性，造成解题不完整或失误。本文介绍证明三点共线的若干种方法，希望对你有所帮助。 一.运用平角的定义证三点共线 例1.已知：在△ABC 的边AC 、BC 的外侧作等边△ACE 、等边△BCD ，这两个三角形的外接圆相交于另一点O ，求证：点A 、O 、D 三点共线。 证明：连接OA 、OC 、OD ， ∵四边形AOCE 内接于圆，∴∠2＋∠E=1800 又△ACE 和△BCD 都是等边三角形，∴∠E=600，∠3=600 ∴∠2=1800－∠E=1800－600=1200， ∵∠1=∠3=600, ∴∠1＋∠2=1800 ∴点A 、O 、D 三点共线。 二.运用“过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线”证三点共线 例2.已知：AD 是△ABC 中∠CAB 的外角平分线，过C 作C D ⊥AD 于D ，点E 、F 分别为AC 、BC 的中点，求证：D 、E 、F 三点共线。 证明:连接DE 、EF ∵DE 是R t △ADC 斜边上的中线， ∴DE=AE=EC ，∴∠2=∠3 ∵AD 平分∠CAX ，∴∠1=∠2 ∴∠1=∠3，∴DE ∥AB 又∵EF 是△ABC 的中位线 ∴E F ∥AB ∴ D 、E 、F 三点共线。 三.运用“过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”证三点共线 例3.如图，直线DA 、DC 、CB 分别切⊙O 于点A 、 E 、B ，AD ∥BC ，AD=2,BC=4，求⊙O 的直径。 解：连接OA 、OB ，过D 作D F ⊥BC 于F ∵DA 、DC 、CB 均是⊙O 的切线 ∴OA ⊥AD,OB ⊥BC,DE=DA=2,CE=CB=4 又∵AD ∥BC ，∴OA ⊥BC 根据OB ⊥BC ，OA ⊥BC ，可知点A 、O 、B 三点共线， 即AB 是直径， 在R t △DFC 中，DF=22CF DC -=2226-=42

通过一道题目看三点共线的常用证明方法(论文)

通过一道题目看三点共线问题的常用证明方法 (陕西师范大学附中 张锦川 王全 710061) 题目：如图,已知AB 是半圆O 的直径,,CA CD 是该半圆的切线,,A D 为切点,DE 垂直AB 于点E ,且F 为DE 中点,求证:,,B F C 三点共线. 三点共线是平面几何中的典型问题，证法灵活多样，对于学生逻辑思维的锻炼及几何感觉的培养大有裨益.常见的证明方法有：利用角的关系证明、利用梅涅劳斯定理的逆定理证明、利用塞瓦定理的逆定理证明、利用向量共线证明、利用解析法证明、利用同一法证明等.下面，笔者拟使用这些方法对本题进行证明： 思路一、利用角的关系证明： 解法1：通过证EBF ABC ∠=∠来证点,,B F C 共线. 证明：连接,,,OC OD AD BD , 由已知可得OC AD ⊥，又BD AD ⊥,∴ OC ∥BD ， 易知OAC BED ??,则 AC ED OA BE =，即212 AC EF BE AB =. 故 AC EF AB BE = ,即tan tan ABC EBF ∠=∠, 从而可得ABC EBF ∠=∠,故点,,B F C 共线. 思路二、利用梅涅劳斯定理的逆定理证明： 解法2：通过梅涅劳斯定理的逆定理证点,,B F H 共线来证明点,,B F C 共线. 证明：同解法1得AC EF AB EB =,即EF AB BE AC ?=?. 故 1DH AB EF DH AB DF AB EF AB HA BE FD HA BE AC BE BE AC ??=?=?=?=. 故点,,B F H 共线,从而可得点,,B F C 共线. F E D O A B C C F E O A B D H C F E O A B D

2019数学竞赛平面几何讲座5讲第3讲点共线、线共点语文

数学竞赛平面几何讲座5讲(第3讲点共线、线 共点) 以下是查字典数学网为您推荐的数学竞赛平面几何讲座5讲(第3讲点共线、线共点)，希望本篇文章对您学习有所帮助。 数学竞赛平面几何讲座5讲(第3讲点共线、线共点) 1. 点共线的证明 点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线;证明两点的连线必过第三点;证明三点组成的三角形面积为零等。n(n4)点共线可转化为三点共线。 例1 如图，设线段AB的中点为C，以AC和CB为对角线作平行四边形AECD，BFCG。又作平行四边形CFHD，CGKE。求证：H，C，K三点共线。 证连AK，DG，HB。 由题意，AD EC KG，知四边形AKGD是平行四边形，于是AK DG。同样可证AK HB。四边形AHBK是平行四边形，其对角线AB，KH互相平分。而C是AB中点，线段KH过C点，故K，C，H 三点共线。 例2 如图所示，菱形ABCD中，A=120， O为△ABC外接圆，M为其上一点，连接MC交AB于E，AM交CB延长线于F。求证：D，E，F三点共线。 证如图，连AC，DF，DE。

因为M在 O上， 则AMC=60ABC=ACB， 有△AMC∽△ACF，得 又因为AMC=BAC，所以△AMC∽△EAC，得 所以，又BAD=BCD=120，知△CFD∽ △ADE。所以ADE=DFB。因为AD∥BC，所以ADF=DFB=ADE，于是F，E，D三点共线。 例3 四边形ABCD内接于圆，其边AB与DC的延长线交于点P，AD与BC的延长线交于点Q。由Q作该圆的两条切线QE 和QF，切点分别为E，F。求证：P，E，F三点共线。 证如图。 连接PQ，并在PQ上取一点M，使得 B，C，M，P四点共圆，连CM，PF。设PF与圆的另一交点为E，并作QG丄PF，垂足为G。易如 QE2=QMQP=QCQB ① PMC=ABC=PDQ。 从而C，D，Q，M四点共圆，于是 PMPQ=PCPD ② 由①，②得 PMPQ+QMPQ=PCPD+QCQB， 即PQ2=QCQB+PCPD。 易知PDPC=PEPF，又QF2=QCQB，有

三点共线与三线共点的证明方法

三点共线与三线共点的证明方法 公理1.若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1.经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面； 推论2.经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3.经过两条平行直线有且只有一个平面。 公理3.若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 例1.如图，在四面体ABCD 中作截图PQR ，PQ 、CB 的延长线交于M ，RQ 、DB 的延长线交于N ，RP 、DC 的延长线交于K ．求证M 、N 、K 三点共线． 由题意可知，M 、N 、K 分别在直线PQ 、RQ 、RP 上，根据公理1可知M 、N 、K 在平面PQR 上，同理，M 、N 、K 分别在直线CB 、DB 、DC 上，可知M 、N 、K 在平面BCD 上，根据公理3可知M 、N 、K 在平面PQR 与平面BCD 的公共直线上，所以M 、N 、K 三点共线． 例2.已知长方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为1AA 与AB 的中点， 求证：1D M 、DA 、CN 三线共点． 由M 、N 分别为1AA 与AB 的中点知1//MN A B 且112MN A B = ，又1A B 与1D C 平行且相等，所以1//MN D C 且112 MN D C =，根据推论3可知M 、N 、C 、1D 四点共面，且1D M 与CN 相交，若1D M 与CN 的交点为K ，则点K 既在平面11ADD A 上又在平面ABCD 上，所以点K 在平面11ADD A 与平面ABCD 的交线DA 上，故1D M 、DA 、CN 三线交于点K ，即三线共点． 从上面例子可以看出，证明三线共点的步骤就是，先说明两线交于一点，再证明此交点在另一线上，把三线共点的证明转化为三点共线的证明，而证明三点共线只需要证明三点均在两个相交的平面上，也就是在两个平面的交线上。

证明三点共线问题的方法

证明三点共线问题的方法 令狐采学 1、利用梅涅劳斯定理的逆定理 例1、如图1，圆内接ΔABC 为不等边三角形，过点A 、B 、C 分别作圆的切线依次交直线BC 、CA 、AB 于1 A 、1 B 、1 C ，求证：1 A 、 1B 、1C 三点共线。 解：记,,BC a CA b AB c === ，易知1111AC C CC B S AC C B S ??= 又易证1 1 AC C CC B ??.则112 2 2 AC C CC B S AC b S CB a ????== ???. 同理 1212 1212,BA c CB a A C b B A c ==.故111222 1112221AC BA CB b c a C B A C B A a b c ??=??=. 由梅涅劳斯定理的逆定理，知1A 、1B 、1C 三点共线。 2、利用四点共圆（在圆内，主要由角相等或互补得到共线） 例2 、如图，以锐角ΔABC 的一边BC ⊙O，过点A 作⊙O 的两条切线，切点为M 点H 是ΔABC 的垂心.求证：M 、H 、N 三点 A B C C 1 B 1A 1

共线。(96中国奥数) 证明：射线AH 交BC 于D ，显然AD 为高。 记AB 与⊙O 的交点为E ，易知C 、H 、E 三点共线。 联结OM 、ON 、DM 、DN 、MH 、NH ， 易知090AMO ANO ADO ∠=∠=∠=， ∴A、M 、O 、D 、N 五点共圆，更有A 、M 、D 、N 四点共圆， 此时，0+180AND ∠∠=AMD 因为2AM AE AB AH AD =?=?（B 、D 、H 、E 四点共圆）， 即 AM AD AH AM =；又MAH DAM ∠=∠，所以AMH ADM ??， 故AHM AMD ∠=∠ 同理，AHN AND ∠=∠。 因为0180AHM AHN AMD AND ∠+∠=∠+∠=，所以，M 、H 、N 三点共线。 3、利用面积法 如果S S EMN FMN =??，点E 、F 位于直线MN 的异侧， 则直线MN 平分线段EF ，即M 、N 与EF 的中点三点共线。 例3 、如图，延长凸四边形 ABCD 的边AB 、DC 交