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一种有限变形情况下高聚物本构模型

刘亢，翁国飞

宁波大学工学院，浙江宁波(315211)

E-mail ：liukang2000@https://www.wendangku.net/doc/0f19381682.html,

摘要：本文提出了一种有限变形下的高聚物粘塑性本构模型。认为高聚物网结构节点滑移的应变率和宏观应变率是相关的，同时还假设节点的滑移并不导致能量耗散，因此可以用热力学的方法得到有限变形的本构方程。与传统的有限变形本构理论不同，本文用了一种新的途径来建立本构关系。随后用该本构模型对一种高聚物材料进行剪切变形的数值模拟并与实验结果进行对比和分析。

关键词：本构模型，有限变形，简单剪切中图分类号：o33; o34; o63

1. 引言

高聚物通常被看成是一个等效的由交联组成的网状结构。在加载过程中，网结构的节点会相对其初始位置产生滑移。关于如何处理高聚物节点的滑移一直存在许多的争议。本文假设高聚物网结构节点滑移的应变率和宏观应变率是相关的，同时还假设节点的滑移并不导致能量耗散，因此可以用热力学的方法得到有限变形的本构方程。在经典的有限变形本构研究里，有限变形通常被分解成弹性和塑性两部分，这两部分分别通过各自的控制方程来描述。现有的有限弹塑性的率型本构方程一般基于变形率的弹塑性和分解，但是变形率的这种分解与Lee [1]的变形梯度乘积分解并不一致。关于变形的弹塑性分解存在许多争议，至今还没有澄清。本文将提出一种新的方法对高聚物在有限变形下的粘塑性本构关系进行研究。

2. 一种有限变形情况下高聚物本构模型

2.1 高聚物网结构节点滑移方程

由于等效网状结构的变形所导致的节点的滑移是与其无应力下的位置有关的，所以自然可以假设节点滑移变形的变形率

D 与大变形的变形率D 是成比例关系的[2]。

()()()P D t t D t φ= （1）

此时的比例系数φ是关于右Cauchy-Green 伸长张量

e C 的第一第二主不变量12,I I 的函数。

方程（1）的优点在于它是线性的，而且包括了一个可调整的函数，并满足了材料的不可压缩性的条件。但是（1）的不足之处是它不满足客观条件。如果考虑到有转动的情况，（1）就不能用于建立p

D D 和的关系了。

为了使（1）适用于新的本构模型的计算，我们建议对（1）进行转化。这里我们可以把

变形率D 写成

110ln ln lim

n n n t V V D t ++?→?=? （2）

其中

n V 为左伸长张量

把（2）代人（1）我们可得

11ln ln ()(ln ln )

pn pn n n V V t V V φ++?=? （3）

其中

V 为

D 对应的左伸长张。

再把伸长张量V 化成标准形式的对角阵方程可变为以下形式

11ln ln ()(ln ln )

pn pn n n V V t V V λλλλφ++?=? （4）

式中

V λ是左伸长张量的特征值组成的对角矩阵。

2.2比例系数φ的确定

通过近似实验数据可以定义φ函数为[2]

[1exp(a φ=? （5）

方程（5）有两个可调整的参数a 和ε。其中的1I 为右Cauchy-Green 伸长张量的第一主不变

量。

2.3应力-应变方程

可以通过热力学的一些理论，建立高聚物的应力-应变关系[2]。由于之前我们假设了节点的滑移不导致网结构内部的耗散，所以我们可以得到

[]()()1()()

e t p t I G t B t φΣ=?+? （6）

这里()p t 为静水压力。I 为单位张量。()e B t 为弹性部分左变形张量。

2.4本构关系

为了更好的模拟高聚物的有限变形行为，本文将引入了一种新的途径[3]来建立本构关系。

考虑一个弹塑性变形过程

123I V F F λ→→→????从0t 时刻到1t 时刻是弹性变形，

此后

是弹塑性变形，这里的下标1，2，3分别表示

123,,t t t 时刻。

将左伸长张量和变形梯度分解成以下形式

T E E V R V R λ=?? (7)

i Ei i Li F R V R λΤ

=?? (1,2,3)i = （8）E R 和L

R 是正交张量矩阵

变形率分解成

111111()()22

1()2

T T T T T E E E L L L L E

a b

D L L F F F F

R V V R R V R R V V R R V R D D λλλλλλ?????=

+=?+?=???+???+????=+ (9) 显然1V V λλ?? 是对角阵，

11T T L L L L V R R V V R R V λλλλ?????+??? 是对角元都为零的对称阵。假设变形梯度是对角矩阵的变形产生对角应力矩阵，1t

时刻的应力可以写作

1123(1)(1)(1)t λσσσσ????=??

???? (10)

可以发现应力

1t λσ关于变形率b D 的功率为零。我们假设这部分变形率b D 不影响从1t 到2

t 时刻过程中的应力，那么

L R 的改变不会导致应力的改变，即2t 时刻的应力与L R 无关，根据本构关系的客观性原理，

2t 时刻的应力可以写作

2222T

t E E R R λσσ=?? (11)

类似的，在子过程

12222E L V F R V R λλ→=??中，塑性变形应变率是对角矩阵。b D 与塑

性变形无关。另外，如果这子过程是纯弹性，变形率的一部分b D 不影响应力。因此，我们

认为这个弹塑性过程中

b D 不影响应力。在12V F λ→中，应力变化是1t λσ到222E E R R λσ??,

应力主向完全相同于弹性情况。

下面来分析2t 时刻以后的应力计算。2t 时刻的变形梯度分解成下面形式的弹性和塑性部

分

22222222()()

E L E e p L

F R V R R V V R λλλΤΤ=??=?? (12)

变形

22E e R V λ?相当于产生应力222T

E E R R λσ??的弹性变形梯度，那么22p L V R λΤ

?被看做永久变形的度量。3t

时刻的变形梯度可以分解成下面形式

333333322()()

T E L E b L b p L F R V R R V R V R λλλΤΤ

=??=???? （13）

我们假设弹塑性变形体中途卸载再按原途径返回将具有与它一直加载一样的应力响应。弹性特性可以以初始构型或中间无应力的构型来参考。这里我们取2t 时刻的中间无应

力构型来作为参考分析紧接着的一个子过程。因此从

2t 到3t 时刻这子过程的变形梯度变化

可以表示为从

222E L R V R λΤ??到333T

E b L b R V R λ??，和上一个子过程分析一样，这一子过程的

应力从222E E R R λσ??到333T

E b b

E b R R λσ??。控制方程可以用（6）。类似的，3t

时刻的变形梯度分解成

3333333()()

E b b L b E b be bp L b R V R R V V R λλλΤΤ

??=?? (14)

式中，变形33E b be R V λ?是产生应力

333T

E b b E b R R λσ??的弹性变形梯度。上式代人（13）得 3333333322()()()

E L E b be bp L b p L

F R V R R V V R V R λλλλΤΤΤ

=??=???? （15）

这里3322()()

bp L b p L V R V R λλΤΤ

???被看成3t

时刻的塑性变形度量。以后子过程也作上面类似处

理，主应力的控制方程和应力的主向构成了完整的有限弹塑性变形的本构关系。这里我们将这种方法用于高聚物的粘塑性分析。

3. 简单剪切计算

计算过程中存在三个待定的参数G ,a ，ε。为了确定这三个参数，需要通过对某特定的高聚物材料进行简单剪切实验来确定[2]，实验材料是填充不同数量的短玻璃纤维的聚碳酸酯材料。玻璃纤维的含量为

0.4M v M =

（16）其中

1M 是混入的高浓度玻璃纤维聚碳酸酯的质量。M 是样品总的质量。

通过对实验结果分析可以看出G ,ε与v 近视呈线性关系，因此可以建立线性公式

01,G G G v =+ 01,v εεε=+ （17）

其中

,m m G ε（m=1，0）可以由最小平方法对实验数据分析求得。

由于实验加载速率足够高所以可以假设1a =，计算的结果与实验数据做比较，对不

同的试件实验测得剪切应力和k 的关系如下：

图1 v=0wt%的试件剪切应力与应变的关系圆圈表示实验数据，实线表示数值计算结果

图2 v=0wt%的试件剪切应力与应变的关系圆圈表示实验数据，实线表示数值计算结果

图3 v=10wt%的试件剪切应力与应变的关系圆圈表示实验数据，实线表示数值计算结果

图4 v=15wt%的试件剪切应力与应变的关系圆圈表示实验数据，实线表示数值计算结果

图5 v=20wt%的试件剪切应力与应变的关系圆圈表示实验数据，实线表示数值计算结果

4.结论

从图1-5我们可以看出，在小应变情况下新的本构模型计算出来的结果与实验结果基本吻合，这说明这种本构模型还是能比较真实的反应高聚物的力学性能的，而且应力-应变的曲线明显不是直线，这说明节点滑移是确实存在的。

参考文献

[1]Lee.,E.H.. Elastic-plastic deformations at finite strains, ［J］. Appl. Mech, 1969,36:1-6

[2]Drozdov,A.D.,AL-Mulla,A., Gupta, R.K. A constitutive model for the viscoplastic behavior of rubbery polymers at finite strains ［J］. Acta Mechanica ,2003,164:139-160.

[3]Shen,Li-Jun. Constitutive relations for isotropic or kinemacti c hardening at finite elastic-plastic deformations ［J］Int.J.of Solids and Structures,2006,43:5613-5627.

A constitutive model for polymers at finite deformations

Liu Kang, Weng Guofei

The Faculty of Engineering, Ningbo University, Ningbo (315211)

Abstract

In this thesis, a new constitutive model is derived for the viscoplastic behavior of rubbery polymers at finite strains. The sliding of junctions between chains is associated with the strain rate (not stress) for macro-deformation. The sliding process is supposed not to induce internal dissipation in the network. Constitutive equations are developed by using the laws of thermodynamics.Different from conventional constitutive theory,a new way is applied to build up the constitutive relations of polymers. The current constitutive model is applied to study simple shear of an incompressible medium. Keywords: constitutive model, finite deformation, simple shear

2013数学建模——古塔的变形

承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：5339 所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）日期： 2013 年 09 月 16 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

古塔的变形数学模型摘要: 本文是研究关于古塔变形类型以及变形分析的模型，用Matlab画出古塔的三维结构可以看出它是近似于正八边形的形状。因此，问题一我们用每层各个测量点坐标的平均值作为塔每层的中心坐标，再用中心坐标的三个坐标值分别对时间t做回归来得到确定古塔各层中心位置的通用方法。对于问题二，我们分别研究该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况，通过建立数学模型来确定变形的程度。首先，用各层中心点坐标的z坐标值与其相应点的x,y坐标值做多元线性回归。然后得到的回归方程所表示的回归平面与z轴正方向的夹角就可以表示古塔的倾斜程度大小。最后根据各层中心的分布和变化趋势方向，确定古塔的倾斜方向。用古塔各层中心点进行平面拟合，从效果上观察，较为精确地反映了实例中的问题，由此也说明了我们所建模型的合理性。古塔的倾斜变形必然会导致在同一层中，测点存在高程的绝对差h，如果古塔只存在倾斜变形的话，每层的h值会相等；如果古塔存在倾斜变形的同时也存在弯曲变形的话，则每层的h值会发生改变。所以相邻两层的高程绝对差的变化量，表示古塔每层弯曲程度大小。再根据每层出现高程绝对差h的两个测量点的连线，确定每层弯曲方向。古塔的扭曲变形，首先每层选取两对相同的对测量点，并做连线。然后通过每层对测量点的连线，分别与第一层相同对测量点的连线所成的角度的平均值来衡量古塔的扭曲情况。对于该塔的变形趋势的研究，将倾斜指标、弯曲指标、扭曲指标对时间的回归。再用得到的回归方程预测未来几年的数据，结合用excel画出的图来预测古塔在未来时间里的变形趋势。关键字：线性回归变化趋势拟合预测

大坝变形预测模型的研究

岩土工程技术000405 岩土工程技术 GEOTECHNICAL ENGINEERING TECHNIQUE 2000 No.4 P.204-207 大坝变形预测模型的研究陆付民　任德记　何薪基【摘要】1998年8月，为了减轻长江中下游的防洪压力，清江隔河岩水库蓄水一度超过正常蓄水位3m 多。以清江隔河岩大坝部分监测点的变形观测数据为例，详细介绍了大坝变形预测模型的建立方法，且运用一个实例验证了该方法的有效性。【关键词】大坝；变形；预测；监测点【分类号】TB22TU198.2 Research of Deformation Forecast models of Dam 【 Abstract】 In order to lessen the pressure of flood prevention of middle and down stream in Yangtze River , water level of Qingjiang Geheyan was more than 3 meters higher than normal water level in some times in August , 1998 . The method to establish deformation forecast models of dam is introduced in detail by taking deformation observation datum of some monitor points of Qingjiang Geheyan dam.Finally , the effectiveness of this method is verified by a practical example . 【 Keyword】 dam;deformation;forecast;monitor points 作者简介：陆付民，1964年生，男，汉族，湖北云梦人，工学硕士，副教授。现主要从事水利水电工程测量研究。陆付民（武汉水利电力大学宜昌校区，宜昌443002）任德记（武汉水利电力大学宜昌校区，宜昌443002）何薪基（武汉水利电力大学宜昌校区，宜昌443002）参考文献 1，张启锐.实用回归分析.北京:地质出版社，1988.20～33 2，陆付民.建筑物水平位移变形数据处理方法.武测科技，1992(2)：32～39 3，陆付民.鲜水河区域垂直变形分析初探.勘察科学技术，1993(3)：51～54 4，陆付民.大坝水平变形监测网观测方案的优化设计.大坝观测与土工测试，1996(3)：32～35 5，何薪基，任德记，陆付民等.清江隔河岩库区重要滑坡预测模型的探讨.长江科学院院报，1998 (5）：39～43 6，He Xinji Lu Fumin Ren Deji. Applications of Regression Added Weights and Parameters Optimun in landslides Deformation Analysis.'97 NORTH－ EAST ASIA SYMPOSIUM AND FIELD WORKSHOP ON LANDSLIDE AND DEBRIS FLOW (17－ 23 July,1997,Yichang－ Chongqing). 69～ 76 7，J Van Mierlo.A Testing Procedure for Analysing Geodetic Deformation Measurement.Bonn, 1978.24～ 36 收稿日期： 2000－ 07－ 10 file:///E|/qk/ytgcjs/ytgc2000/0004/000405.htm2010-3-23 13:22:58

古塔的变形模型

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、我网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：sm063 所属学校（请填写完整的全名）：山东现代职业学院参赛队员(打印并签名) ：1. 马昱轩 2. 李倩 3. 梁帅健指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：宋祖芳日期：2013年 9月 16 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：sm06303

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

古塔的变形模型摘要某古塔是我国重点保护文物,已有上千年历史。由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生诸如倾斜、弯曲、扭曲等各种变形。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。基于附件1提供的4次观测数据：对于问题1，1986年和1996年的观测数据中都缺少13层一个点的数据（因MATLA B程序中用的是循环语句，所以计算时赋予0值），其它各层均给出8个点的观测值，为使所得数据更具真实性，确定古塔各层中心位置的方法更具适用性，本文将每层所给8点构成的图形看做不规则八边形，用中垂线求交点法求得古塔各层中心坐标。对于问题2，结合问题1的分析，采用垂直投影法[1]求古塔的倾斜度，根据所得数据，分析古塔的倾斜程度（因1986年和1996年13层赋予值后所得数据偏差较大，为使所得数据更具真实性，所以本问题起1986年和1996年13层数据予以舍弃）；弯曲是建立在二维平面上的一条曲线，通过截取古塔过x轴、z轴的界面，求出每层古塔的倾斜度，从而分析得出古塔塔身在x轴、z轴的界面的弯曲程度。同理，也可分析y轴、z轴的界面的弯曲程度；扭曲同样是采用垂直投影法[1]求古塔每层的倾斜度，建立三维立体空间，根据所得数据，分析古塔塔身的扭曲程度。对于问题3，利用问题1、2所得数据，进行合理的分析与猜想，进而分析出古塔塔身的倾斜、弯曲、扭曲等变化趋势。本文的模型解决了题目给出的问题，计算过程中充分尊重观测数据，给出更符合实际的结果。本文所得结果大部分由图表给出，结合图像，较为直观地表现出古塔变形情况。结果表明，采用MATLAB数学软件可得出可靠结论。关键词：古塔变形监测MATLAB垂直投影法倾斜度

变形监测采用哪个等级

变形监测采用哪个等级,主要按下列方法确定。(1)以高层建筑阶段平均变形量为依据;(2)以某些固定值为依据;(3)以高层建筑最小变形值为依据;(4)以预估变形量或变形速度为依据;(5)以地基允许变形值为依据。在实际监测中,通常根据高层建筑的地基允许变形值来推算,高层建筑的地基允许变形值一般是由设计单位给定的或者由相应的建筑规范规定的。地基允许变形值包括沉降量、沉降差、倾斜和局部倾斜四种。根据《建筑地基基础设计规范(GBJ7-89)》规定，常用的高层建筑地基允许变形值，可以求出相应的允许变形量，根据实际情况取其就得到应该采用的测量精度。由此可进一步确定采用的观测手段、仪器设备等，也为监测网网形的设计和优化提供参考。经过广大测量科技工作者和工程技术人员近30年的共同努力，在变形监测领域取得了丰硕的理论研究成果，并发挥了实用效益。以我国为例：①利用地球物理大地测量反演论，于1993年准确地预测了1996年发生在丽江大地震。②1985年6月12日长江三峡新滩大滑坡的成功预报，确保灾害损失减少到了最低限度。它不仅使滑坡区内457户1371人在活泼前夕全部安全撤离，无一伤亡，而且使正在险区长江上下游航行的11艘客货轮船及时避险，免遭灾害。为国家减少直接经济损失8700万元，被誉为我国滑坡预报研究史上的奇迹。③隔河岩大坝外观变形GPS自动化监测系统在1998年长江流域抗洪峰中所发挥的巨大作用，确保了安全度汛，避免了荆江大堤灾难性分洪。科学、准确、及时地分析和预报工程及工程建筑物的变形情况，对工程建筑物id施工和运营管理极为重要，这一工作术语变形监测的范畴。由于变形监测涉及到测量、工程地质、水文、结构力学、地球物理、计算机科学等诸多学科的知识，因此，它是一项跨学科的研究，并正向着边缘科学发展。也已经成为测量工作者和其他学科专家合作的研究领域。神经网络的研究始于20世纪40年代。半个多世纪以来，它经历了一条由兴起到衰退、又由衰退到兴盛的曲折发展过程，这一发展过程大致可以分为四个阶段： 1. 初始发展阶段: 1943年，心理学家W.S.McCulloch和数学家W.Pitts在研究生物神经元的基础上提出了一种简单的人工神经元模型，即后来所谓的“M-P模型”，虽然M-P模型过于简单，且只能完成一些简单的逻辑运算，但它的出现开创了神经网络研究的先河，并为以后的研究提供了依据；1949年心理学家D.O.Hebb发表了论著《行为自组织》提出了Hebb学习律；1957年，F.Rosenblatt提出了著名的感知器模型，这是一个真正的人工智能网络，它确立了从系统角度研究神经网络的基础；1960年，B.Widrow和M.E.Hoff提出了自适应线性单元网络，同时还提出了Widrow-Hoff学习算法，即后来的LMS算法。［１］栾元重，曹丁涛，徐乐年，等．变形观测与动态预报［Ｍ］．北京：气象出版社，２００１．［２］陈永奇，吴子安，吴中如．变形监测分析与预报［Ｍ］．北京：测绘出版社，１９９７．［３］韩力群．人工神经网络教程［Ｍ］．北京：北京邮电大学出版社，２００６．［４］徐晖，李钢．基于Ｍａｔｌａｂ的ＢＰ神经网络在大坝观测数据处理中的应用［Ｊ］．武汉大学学报，２００５（３）：５０－５３．［５］陈昱．基于组合人工神经网络的隧道变形预测模型应

2013年全国大学生高教杯数学建模C题古塔变形论文

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：长春工业大学参赛队员 (打印并签名) ：1. 武太彬 2. 贾光辉 3. 牛文正指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：李纯净（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）日期： 2013 年 9 月_16_日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

考虑温度影响的重塑非饱和膨胀土非线性本构模型

第28卷第9期岩土力学 V ol.28 No.9 2007年9月 Rock and Soil Mechanics Sep. 2007 收稿日期：2005-08-22 修改稿收到日期：2006-01-06 基金项目：国家自然科学基金（No. 10372115）。作者简介：谢云，女，1977年生，博士，主要从事非饱和土方面的研究。E-mail:xieyun_717@https://www.wendangku.net/doc/0f19381682.html, 文章编号：1000－7598－(2007) 09－1937－06 考虑温度影响的重塑非饱和膨胀土非线性本构模型谢云1, 2，陈正汉1，李刚1, 2 （1.后勤工程学院军事建筑工程系，重庆 400041；2.空军第五空防工程处，南京 211100.）摘要：以非饱和土的非线性模型为基础，通过对土性参数的修正和考虑温度本身引起的土的变形，建立了考虑温度效应的重塑非饱和膨胀土的本构模型。该模型包括土骨架的本构关系和水量变化的本构关系两个方面，涉及18个参数，都可用非饱和土三轴试验确定。共做了13个重塑非饱和膨胀土温控三轴试验，分析了温度对土的强度和变形的影响，研究了模型参数的变化规律。关键词：非线性模型；非饱和膨胀土；温控三轴试验中图分类号：TU 411 文献标识码：A Thermo-nonlinear model for unsaturated expansive soils XIE Yun 1， 2 , CHEN Zheng-han 1, LI Gang 1， 2 (1.Department of Architectural Engineering, Logistical Engineering University of PLA, Chongqing 400041, China 2.No.5 Air Defense Engineering Department of PLA Air Force, Nanjing211100,China; ) Abstract: Based on the nonlinear model for unsaturated soils , a thermo-nonlinear model for unsaturated expansive soils is presented through modifying the parameters and taking account of thermal effects on deformation of soils. The model consists of two aspects, i.e. the deformation of soil skeleton and the water volume change of unsaturated soils. Total of 18 parameters are involved in this model. All the parameters can be determined using laboratory tests. A series of controlled temperature triaxial tests have been conducted; test results of reconstituted unsaturated bentonite clay are presented. The controlled temperatures are 15℃, 30℃, 45℃ and 60℃ and the thermal effects on shear strength and Young’s tangent modulus are discussed. The research results show that the specimens with higher temperatures show higher shear strengths and Young’s tangent modulus. The formulas of shear strength and Young’s tangent modulus taking account of temperature are proposed. Key words: unsaturated expansive clay; thermo-nonlinear model; temperature-controlled triaxial test. 1 引言膨胀土是一种非饱和土，有很多学者对非饱和膨胀土的变形与强度特性进行过研究，建立了各种模型 [1-5] 。因为非线性模型的参数的确定相对容易，且模型易用于数值分析中。因此，非线性模型在岩土工程中得到了广泛应用。杨代泉[6]提出一个非饱和土的非线性弹性模型，考虑因素较全面，但其参数测定较困难。陈正汉、周海清、Fredlund [7]则给出了另一个非线性模型，该模型考虑了土骨架变形和水体积变形；当吸力为0时退化为Duncan-Chang 模型；可预测不排水三轴试验中的吸力变化；模型参数可由控制吸力的三轴试验和收缩试验来确定，并研究了参数的确定方法及其变化规律，该模型具有较大的实用价值。温度对土的特性影响是岩土工程领域一个重要的课题，在核废料深层掩埋、垃圾填埋场中的土工问题及西部大开发所面临的冻土领域日益引起重视。膨胀土是目前国际上公认的处治高水平放射性废弃物的有效工程屏障之一，受到了加拿大、美国、西班牙等国学者的关注；2005年9月，在同济大学召开了高水平放射性废弃物处置中的工程屏障国际学术会议。由于高水平放射性废物在很长时间内产生高温，使膨胀土工程屏障长期处于100℃左右高温的工作环境，因而必须研究膨胀土的热力学特性和相应的本构关系。我国学者武文华[8]利用Romero 对 Boom 土的吸力-含水率试验结果，引用

沉降监测中几种预测模型的建立总结

沉降监测中几种预测模型的建立总结要：通过现场监测及时掌握工程进展状况和环境变化，对工程的安全稳定具有十分重要的意义，尤其是沉降监测的实时处理与预警。本文结合某工程实际沉降监测数据建立起了几种预测模型，并对其发展趋势进行了预测。关键词：监测；沉降；预测；模型 1 引言随着建筑行业的发展，各种工程建筑的规模越来越大，对工程的精密控制要求也越来越高，因为一旦发生某种疏忽，对工程的打击将是致命的。为了及时发现工程中的不稳定因素，我们必须实时了解周边土体以及建筑物的沉降变化，以便及时采取补救措施，确保施工过程的稳定安全，减少和避免不必要的损失[1]。在工程中，通过对资料的研究和分析，确定监测项目及监测实施方法，并建立相应预测模型，通过将监测数据与预测值作比较，既可以判断上一步施工工艺和施工参数是否符合或达到预期要求，同时又能实现对下一步的施工工艺和施工进度控制，从而切实实现信息化施工[2]。因此，建立起预测模型，以便进行控制和检查，对沉降监测是相当重要的。目前，用于变形监测的预报模型主要有回归分析模型、时间序列模型（AR）、灰色系统预测模型（GM）、Kalman 滤波模型和人工神经网络模型等，各种预测方法有其优缺点。本文通过结合某工程的实测沉降数据，分别用回归分析中的对数曲线模型、时间序列模型（AR）、灰色系统预测模型（GM）对其沉降进行了预测，并对建立起来的三个模型进行了精度分析与比较。

2 监测数据处理在监测施工中，由于观测设备各种故障或人为读数误差，观测数据中往往会混入一些无效数据，这些数据不能客观地反映出变化情况。因此，为避免错误的发生，在数据分析前，最好先进行粗差的检测和剔除。如果一组观测值若混有粗差值而没有被剔除，则将影响最后分析预测结果。为了得到精度更高的结果，我们必须对观测值进行正确的取舍，剔除观测数据中的粗差。一般的数据取舍原则有莱依达原则、格拉布斯准则、t检验准则、肖维勒准则以及狄克逊准则等[3]。本文采用格拉布斯准则对数据进行粗差的剔除。格拉布斯准则是在未知总体标准差情况下，对正态样本或接近正态样本异常值的一种判别方法。下面以某工程中特征点W137沉降数据为例，采用格拉布斯准则去除数据中的粗差。沉降数据见表1。格拉布斯准则计算步骤如下[4]。（1）首先计算平均值（2）根据公式计算对应的残差，结果见表2。（3）根据公式计算（4）判断异常数据，将按大小排列 3 三种沉降预测模型 3.1 对数曲线模型[5] 对数曲线法就是把实测沉降历时曲线看成是沉降随时间缓慢增加的对数曲线，对数曲线的方程为式中，t 为时间；为t 时刻的沉降；a、b 为待定系数。

2020数学建模-古塔的变形

2013数学建模-古塔的变形

承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）日期： 2013 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

非线性本构关系

第二章材料本构关系 §2.1本构关系的概念本构关系：应力与应变关系或内力与变形关系结构的力学分析，必须满足三类基本方程: （1）力学平衡方程:结构的整体或局部、静力荷载或动力荷载作用下的分析、精确分析或近似分析都必须满足；（2）变形协调方程:根据结构的变形特点、边界条件和计算精度等，可精确地或近似地满足；（3）本构关系:是连接平衡方程和变形协调方程的纽带，具体表达形式有：材料的应力-应变关系，截面的弯矩-曲率关系，轴力-变形（伸长、缩短）关系，扭矩-转角关系，等等。所有结构（不同材料、不同结构形式和体系）的力学平衡方程和变形协调方程原则上相同、数学形式相近，但本构关系差别很大。有弹性、弹塑性、与时间相关的粘弹性、粘塑性，与温度相关的热弹性、热塑性，考虑材料损伤的本构关系，考虑环境对材料耐久性影响的本构关系，等等。正确、合理的本构关系是可靠的分析结果的必要条件。混凝土结构非线性分析的复杂性在于：钢筋混凝土---复杂的本构关系：有限元法---结构非线性分析的工具：非线性全过程分析---解决目前结构分析与结构设计理论矛盾的途径： §2.2 一般材料本构关系分类

1．线弹性 (a) 线性本构关系； (b) 非线性弹性本构关系图2-1 线弹性与非线性弹性本构关系比较在加载、卸载中，应力与应变呈线性关系：}]{[}{εσD = （图2-1a ）适用于混凝土开裂前的应力-应变关系。 2．非线性弹性在加载、卸载中，应力与应变呈非线性弹性关系。即应力与应变有一一对应关系，卸载沿加载路径返回，没有残余变形（图2-1b ）。 }{)]([}{εεσD = 或 }{)]([}{εσσD = 适用于单调加载情况结构力学性能的模拟分析。 3．弹塑性图2 – 2 弹塑性本构关系(a)典型弹塑性；(b)理想弹塑性；(c)线性强化；(d)刚塑性

基于DGM(1,1)模型的变形监测数据分析

基于GM （1,1）和DGM （1,1）模型的变形监测数据处理与分析郭亚荣（山东科技大学资源与土木工程系，山东泰安，271000）摘要：本文以济南路上国奥城项目为例，采用了灰色系统理论中的GM （1,1）和DGM （1,1）模型以及Excel 的相关函数功能，对累积沉降量的时间变化曲线进行了预测，证明了模型在变形监测中的有效性和预测的精确性，为提高信息预测的精度和自动化有着积极的意义。关键词：灰色系统，DGM （1,1），GM （1,1），变形监测，数据处理 0 引入近些年来，人类对变形监测的重要性逐渐有了深刻地认识，在工程施工与运营期间在建筑物周围布设了监测网并进行了重复的周期性观测，积累了变形观测数据。但由于条件的限制与人为的疏忽，观测资料的保存、分析及利用还不很完善，又因为观测数据自身所隐含的形变信息不能直接获得，所以必须对观测资料做仔细地分析与挖掘，才能更好地对变形做出正确的预测。因此对观测数据做出正确分析和处理、建立合理的预报模型是十分必要的。本文基于GM （1,1）和DGM （1,1）两个模型，以济南鲁商国奥城项目为例进行了相关的数据处理与分析。 1 理论介绍 1.1 GM （1,1）模型 GM （1，1）模型的动态模型为： b k az k x =+)()()1()0( 1）含义为一阶的一个变量的模型； 2）a 称为发展系数，因为a 的大小及符号，反映了) 0(x (及) 1(x )的发展态势。 3） b 为灰作用量，因为b 的内涵为系统的作用量，然而b 不是可以直接观测的，是通过计算得到的，是等效的作用量，是具有灰的信息覆盖的作用量，故称灰作用量。 4）)() 1(k z 的序列 )()1(k z =（)2()1(z ，)3()1(z ，...，)()1(n z ） )()1(k z =0.5)()1(k x +0.5)1()1(-k x 称为白化背景值序列。基于每个白化背景值)()1(k z 都是)()1(k x 与)1() 1(-k x 的平均值，故记)1(z 为

钢筋应力-应变非线性本构模型

Steel Material Models Steel_1: Bilinear Steel Model with Isotropic Strain Hardening INPUT Steel_1, matID f E b y ,, a a a a 1234 ,,, Definitions: f y : yield strength (Fig. 11) E : Young’s modulus (Fig. 11) b E E p = : strain hardening ratio (Fig. 11) a 1 : isotropic hardening parameter, increase of compression yield envelope as proportion of yield strength after a plastic strain of a y 2 A a 2 : isotropic hardening parameter (see explanation under a 1 ) a 3 : isotropic hardening parameter, increase of tension yield envelope as proportion of yield strength after a plastic strain of a y 4 A a 4 : isotropic hardening parameter (see explanation under a 3 )

00.0020.0040.0060.008 020 406080 STRAIN [in/in] S T R E S S [k s i ] f y Figure 11. Material Parameters of Monotonic Envelope of Steel_1 Model Figure 12. Hysteretic Behavior of Steel_1 Model w/o Isotropic Hardening

变形观测数据分析预测中建模方法浅析

变形观测数据分析预测中建模方法浅析作者:小杨帮忙标签：社会2011-05-03 10:21 星期二晴本文来自中国月期刊网（https://www.wendangku.net/doc/0f19381682.html,）如需转载请注明来源。摘要：变形观测在监测方法、精度要求、数据处理等方面有其自身的特点。本文结合实践对如何根据观测数据进行简要分析并建立模型，分别运用最小二乘多项式拟合法和ARMA 模型对同一批变形观测数据进行建模预测，根据模型预测的结果与实际数据的比较来分析出这两种建模方法之间的特点与适用范围。并结合自己的实际经验提出了自己的一些合理化建议。关键词：数据分析时间序列拟合插值连续精度评定 0 引言在地质水文条件复杂地区或者城市重要地段施工时，有必要在整个施工阶段对结构体进行必要的位移监测，以获得被测结构体变形的基本数据，并通过对观测数据的变形分析建立数学模型来预测其未来的变化情况，从而起到指导生产、合理安排各种相关作业、增加安全系数的作用。在变形观测中，现场采集的观测数据无论是按时间顺序排列还是按空间位置顺序排列，数据之间都存在一定的统计相关性，对具有这种统计特性的变形观测数据的分析与处理，经常采用时序分析法对观测数据进行分析，以建立形变结构的动态变形预测模型，从而对其变形趋势进行预测.最小二乘曲线拟合法无疑是经常使用的方法之一，另外自回归滑动平均模型（简称ARMA模型）也是一种典型的建模方法。 1.最小二乘多项式曲线拟合法在变形监测数据分析过程中，对变形观测采集到的数据，我们可按照变化量和时间建立一组数据。最小二乘多项式曲线拟合法就是通过已知的N组离散数据点来找到的一条近似逼近曲线，把这组离散数据线性化表示出来，从而在一定程度上根据函数表达式来推测某一未知点对应的变量，是数据分析上常用的方法。其基本原理如下：已知N组数据，求这N组数据的m-1次最小二乘拟合多项式：（m≤n），假设是正交多项式的线性组合，即有，其中，，，由此可得，进一步即可得到最终的拟合多项式。在实际操作中，我们可以用MATLAB软件中的polyfit函数来求得多项式各项的系数{ai},在阶次的选择上，可以从m=1开始，级数逐次升高，并进行精度评定，每增一组数据就拟合一次多项式，并估计出多项式各项的系数，计算出拟合的残差的平方和，并将残差平方和作统计检验。曲线拟合时并不是要求所有数据点都严格在近似曲线上，但要求偏差要尽可能的小，其拟合精度可用公式来评定。实例:广州中船龙穴造船基地沿海防护围堤监测点(D9-2A)施工期170天的累计水平位移观测数据如下表: 日期日期累计时间(d) 累计位移(mm) 日期累计时间(d) 累计位移(mm) 日期累计时间(d) 累计位移(mm) 5月1日0 0 6月30日60 -62 8月30日121 96

古塔变形

古塔变形摘要本文主要通过对倾斜、弯曲、扭曲三个角度研究，来分析古塔的变形趋势。针对问题一，由于观测数据缺失现象，本文先进行数据的预处理，再采用空间圆的拟合方法，建立空间球体和斜平面所组成的方程组来求解。同时结合运用MATLAB软件，计算出4次测量的古塔各层中心坐标，并以列表形式给出。针对问题二，本文假设古塔的第一层是水平的，首先过古塔的塔顶的中心点作第一层的垂线，作出射影，构建直角三角形，得到射影和垂线的比值作为衡量古塔倾斜程度的指标。发现随着年份增加，古塔倾斜程度越大，但1986年—1996年、2009年—2011年的变化幅度不大，1996年—2009年的变化幅度较大。对于研究弯曲度，将各层的中心连线向X-Z平面及Y-Z平面进行投影，分别比较两者的方差得出向X-Z平面投影的研究价值更大。通过曲线拟合求得4年曲线对应的方程，利用曲率公式求得曲线上各点的曲率值来分析古塔的弯曲程度，得出从1968年到1996年，各层的曲率有增长趋势，从1996年-2011年各层的曲率逐渐递减。最后，将相邻两层的中心连线投影到第一层中，得到的夹角大小来确定古塔的扭曲情况，得到各年各层的扭曲率不存在明显的递变规律。针对问题三，本文从倾斜、弯曲、扭曲三个方面采用灰色预测模型GM(1,1) 进行拟合与预测，并得出各因素相对于各层的时间响应函数，经检验得出扭曲程度最容易预测，其次是倾斜程度，而弯曲程度不易预测。关键词：古塔变形；空间圆拟合；投影；灰色预测模型GM(1,1)

一．问题重述塔，作为一种古代高层建筑，不但标志着古代人们征服自然的胜利，同时也记录了当时的历史和工艺。塔的挺拔高耸的姿态，对佛寺组群甚至城市轮廓面貌都起着一定的美化作用，也成为今天的地标性建筑。塔采用多种结构，也有变化多端的造型，在中国建筑史上独树一帜，是我国古代优秀的文化遗产。但是这类建筑物由于长细比大、重心高，且由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响等。因此对地基要求非常高，因而许多古塔都产生了不同程度的倾斜。特别是砖石结构的古塔，自重大、强度低，一旦倾斜，往往造成倾斜一侧地基应力集中，又进一步加速了建筑物的倾斜。虽然塔身的倾斜在美学上营造了一种缺憾美，但在古建筑的保护中应该遵循‘保护第一”的原则。因此，对于倾斜古塔的纠偏应该慎重，在保证安全的前提下，应尽量保持其原貌。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以致定必要的保护措施。我国目前对于倾斜古塔的保护通常采用扶正纠偏的方法，而对古塔的研究也大多集中于如何扶正以及在非倾斜状态下结构性能的分析上。某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。根据4次观测数据，进行分析 1. 给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。 2. 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。 3. 分析该塔的变形趋势。二．问题假设 1.假设古塔的塔体是完全刚性的； 2.假设观测点均具有代表性； 3.假设古塔第一层是水平的； 4.假设观测方法正确且测量仪器精度较高；三．符号说明 ()c b a ,,：空间球体的球心坐标； i ：表示塔的层数； ??: 第i 层的中心位置相对第一层水平偏移的距离 H ?: 第i 层到下一层平面的距离； 1→i α：第i 层塔与底层塔形成的倾斜度； ),,(i i i z y x ：表示第i 层的中心位置坐标；：相邻两个中心位置点向量； 'z ：曲线拟合函数一阶求导； ''z ：曲线拟合函数二阶求导； 1→n θ: 第向量与第向量的角度；

动态灰色预测模型及其在变形监测中的应用

XX大学课程名称《变形监测数据处理》2015年5月11日

评语

动态灰色预测模型及其在变形监测中的应用 1. 引言：在现代测量工程的实践和科学研究活动中，变形监测占有十分重要的地位。科学、实时、准确地分析和预报建筑物、构筑物的变形有着很重要的意义[5]。灰色系统理论是20世纪80年代，由中国华中理工大学邓聚龙教授首先提出并创立的一门新兴学科，它是基于数学理论的系统工程学科。主要解决一些包含未知因素的特殊领域的问题，它广泛应用于农业、地质、气象等学科[1]。灰色模型是一种研究所需原始信息量少、计算简单以及预测精度较高的方法,主要通过对部分已知信息的生成,开发,提取有价值的信息,实现对系统运行行为,演化规律的正确描述和有效监控[6]。现常用的是灰色预测模型GM(1, 1),但是该模型只是从静态的角度考虑未来时刻的状态,并未把未来可能影响系统状态的因素加入进去,可称之为静态模型。对于一个系统而言,随着时间的推移,系统受干扰的因素不断变化,系统状态也在不断变化。这时若直接套用GM(1,1)模型进行长期预测,一方面预测精度不断降低,另一方面模型未能反映出系统的变化,其预测可信度很小。因此,必须充分引入已知信息来反映系统的变化和状态,或在无已知信息的情况下,用灰色信息来淡化灰平面的灰度,这种模型由于及时地引入了新的已知信息或灰色信息,能够比较准确地反映系统的变化状况,故称之为动态灰色预测模型[8]。因此,较普通的静态灰色模型来说,动态的新息模型和灰数模型在作长期预测时具有更高的优越性[6]。本文对原有的GM(1, 1)模型进行了改进,在选择求解时采用最新的数据,再采用动态GM(1, 1)模型来进行求解,这样预测所得到的数据与真实数据之间产生了更大的联系。 2. 灰色预测模型的建立 2.1 灰色GM （1，1）模型设非负离散数列为： ()()()()()()(){} 00001,2,x x x x n = N 为数列长度。对()0 x 进行一次累加生成，即可得到一个生成序列 ()()()()()()(){} 11111,2,x x x x n = ，对此生成序列进行一阶微分方程

古塔变形分析

古塔变形的分析摘要：文物部门需要适时的对古塔进行观测，了解各种变形量，以制订必要的保护措施。附件1给出了对古塔的四次测量数据，是每层八个测量点的三个坐标值，但1986年和1996年对塔的第13层的测量点5的数据值是缺失的，为了对塔的变形进行准确的分析研究，我们首先应用MATLAB7.0工具箱的数据拟合功能，取1986年和1996年每层观测点5的测量数据x 和y 坐标值，用这些已知数据值对第13层的测量点5的x 和y 坐标值进行二次曲线拟合，假设塔的每层高度是相同的，用第13层的z 的平均值来预测点5的z 坐标，则1986年和1996年第13层点5的坐标分别是x=567.992，y=519.727，z=52.83429和x=567.992，y=519.737，z=52.83 对所给测量点坐标应用MATLAB7.0做3维线图，直观看出测量点在每层为均匀分布的8个点，各层为正八边形，且随着楼层的增高每层边长逐渐减小，可以推测该古塔为上小下大的八角塔。进一步通过对测量得到的各层的相邻两点间的坐标值应用空间两点间的距离公式：221221221)()()(z z y y x x d -+-+-=计算边长，每层边长近似相等，可以进一步看出该古塔是一个八角形塔。对第一问：因为该塔是一个正八边形塔，对于中心坐标我们认为是每层的中心，就是该层的坐标中心位置，我们取各层8个测量点坐标的平均值作为该层的平均值，并计算出了该塔每层的中心坐标。对第二问：以第一层中心坐标为起始点向上一层的中心坐标做向量计算各向量与X 、Y 、Z 轴的夹角来判断古塔的倾斜、弯曲、扭曲，根据4次各层中心向量与X 、Y 、Z 轴的夹角的变化我们得出1986和1996年塔的倾斜、弯曲、扭曲等变形情况不明显，2009和2011年情况基本相同，但是在第5层到第7层发生扭曲，第8到11层发生弯曲、扭曲，第12到13层发生倾斜，最后倾向于X 轴。对于第三问：由第二问的分析情况可以得出该塔发生扭曲、弯曲、倾斜等情况，所以该塔会随着时间的推移第12到13层会发生倾倒。关键词：曲线拟合；空间两点间距离公式；空间物体几何中心；MATLAB7.0；空间向量方向角

古塔模型

古塔变形问题摘要文物是国家不可再生的文化资源，为了更好地加强对历史文物和国家重要文化遗产的保护，提出具体的保护措施和实施方案，所以分析古建筑的变形情况和变化趋势尤为重要。本文主要研究国家重点保护文物---古塔的变形情况及变形趋势。对于问题一：本文运用空间直线方程求解缺失数据，然后将古塔的每一层看做正八边形，将中心看做重心进行求解。对于问题二：本文运用了投影分析等方法求解出倾斜、弯曲、扭曲的情况。、对于问题三：由于古塔的变形是长时间积累作用，将各种形变对时间做回归拟合，并进行了验证，在此基础上推测出未来几年的变化情况。最后为保护古塔，在古塔产生各种变形程度和预测的基础上给管理部门提出了合理建议，为古塔保护做了基础性准备工作，可供以后古塔的纠偏加固工程参考。一、问题重述由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了四次观测。请你们根据附录1提供的4次观测数据，讨论以下问题： 1.给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。 2.分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。 3.分析该塔的变形趋势。二、问题分析 2．1问题一的分析：

问题一是关于几何图形中心的计算问题，由附录1数据可知，该塔是八边形，在此我们假设其为正八边形。于是我们首先需要进行的工作是数据补缺，我们利用空间直线方程的求解，计算出了缺失的数据。然后，我们将古塔的中心假设为正八边形的重心进行求解。 2.2问题二的分析：问题二要求我们利用题目所给的测量数据和问题一求解出的数据，建立模型来度量模型的各种变形程度，要求分别针对古塔的倾斜、弯曲、扭曲进行分析，找到能充分描绘他们的数学量，然后找到计算这些数学量的方法。针对古塔倾斜情况的分析，我们从古塔底面的中心到顶部的有效中心（可能是塔尖或者较高的某层中心）的向量与竖直方向的夹角，作为古塔的倾斜角。这里关键是建立模型求古塔底面的中心坐标。针对古塔弯曲情况分析，假设古塔各层中心和塔尖在同一平面内，其连线为平面内一条曲线，用该曲线的弯曲程度描述古塔的弯曲程度。针对古塔扭曲情况的分析，用各层相对第1层的水平旋转角来描述其扭曲情况，找出其旋转角与高度的变化关系，用古塔的最大旋转角度作为反映古塔扭曲情况的扭曲角。 2.3问题三的分析：以问题2的结果为基础，分析数据间的变化关系，由于古塔的变形是长时间积累作用，将各种形变对时间做回归拟合，并进行了验证，在此基础上推测出未来几年的变化情况。三、模型假设 1、将古塔每一层都看做正八边形，并把其重心看做中心。 2、古塔每一层的1、2角的连线均平行。 3、古塔底面中心位于空间直角坐标系的xoy坐标面内。 4、古塔每层中心在同一个平面内。 5、古塔底面中心位于空间直角坐标系的xoy坐标面内。四、符号说明 1、() ,, M x y z：表示第i层第j个角的坐标。 i j j j