最新一元二次方程知识点总结

一元二次方程

1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次

方程。

2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关

于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2

ax 叫做二

次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系

数；c 叫做常数项。

3.一元二次方程的解法

(1)直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平

方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平

方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

(2)配方法:配方法的理论根据是完全平方公式2

22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看

做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项

的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式

(3)公式法:公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方

法。一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b a

ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的

系数为b ，常数项的系数为c

(4)因式分解法:因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单

易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的

是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形

式

4.一元二次方程根的判别式:一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元

二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”

来表示，即ac b 42

-=?

I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

II 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；

III 当△<0时，一元二次方程没有实数根

5.一元二次方程根与系数的关系

如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a

b x x -=+21，a

c x x =21。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

6.生活中的随机事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，① 必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ② 不可能事件发生的概率为0,即P （不可能事件）=0；

③ 如果A 为不确定事件，那么0

7. 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：

① 理论计算又分为如下两种情况：

第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率;

第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的

概率.

一．旋转

1、定义:把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中

心，转动的角叫做旋转角。

2、性质

（1）对应点到旋转中心的距离相等。

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

（3）旋转前、后图形全等。

二、中心对称

1、定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形

互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

2、性质：（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

3、中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来

的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它

的对称中心。

三、坐标系中对称点的特征

1、关于原点对称的点的特征：两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点

P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）

2、关于x轴对称的点的特征：两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的

符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，

-y）

3、关于y轴对称的点的特征：两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的

符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，

y）

一、圆的定义：1、在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一

个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”

二、与圆有关的定义：

（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）；经过圆心的弦叫做

直径。（如图中的CD）；直径等于半径的2倍。

（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“⌒”表示，以A，B

为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。大于半圆的弧叫做优弧（多

用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）

三、垂径定理及其推论

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为：

过圆心

垂直于弦

直径平分弦知二推三

平分弦所对的优弧

平分弦所对的劣弧

四、圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆是以圆心为对称中心的

中心对称图形。

五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

六、圆周角定理及其推论

1、圆周角:顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。七、点和圆的位置关系:设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：

dr?点P在⊙O外。

八、过三点的圆: 不在同一直线上的三个点确定一个圆。

三角形的外接圆:经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

三角形的外心:三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这

个三角形的外心。

圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）:圆内接四边形对角互补。

九、反证法：先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设

不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。

十、直线与圆的位置关系：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，

时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；

（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点

（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

（4）如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么

直线l与⊙O相交?dr。

十一、切线的判定和性质

1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

2、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

十二、切线长定理

1、切线长:在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的

切线长。

2、切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连

线平分两条切线的夹角。

十三、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做

三角形的内心。

十四、圆和圆的位置关系：1、如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为

外离和内含两种。

如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。 如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

2、圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

3、圆和圆位置关系的性质与判定：设两圆的半径分别为R 和r ，圆心距为d ，那么 两圆外离?d>R+r ；两圆外切?d=R+r ；两圆相交?R-r

两圆内切?d=R-r （R>r ）；两圆内含?dr ）。

4、两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 十五、正多边形和圆

1、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2、正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接

正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

十六、与正多边形有关的概念

1、正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

2、正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

3、正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边

心距。

4、中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 十七、正多边形的对称性

1、正多边形的轴对称性：正多边形都是轴对称图形。一个正n 边形共有n 条对称轴，

每条对称轴都通过正n 边形的中心。

2、正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是

正多边形的中心。

3、正多边形的画法：先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

十八、弧长和扇形面积

1、弧长公式：n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180r n l π=

2、扇形面积公式：lR R n S 2

13602==π扇；其中n 是扇形的圆心角度数，R 是扇形的半径，l 是扇形的弧长。

3、圆锥的侧面积：rl r l S ππ=?=22

1；其中l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的地面半径。 补充：（此处为大纲要求外的知识，但对开发学生智力，改善学生数学思维模式有很大帮助）

1、相交弦定理

⊙O 中，弦AB 与弦CD 相交与点E ，则AE ?BE=CE ?DE

2、弦切角定理

弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。

弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。

即：∠BAC=∠ADC

3、切割线定理

PA 为⊙O 切线，PBC 为⊙O 割线，

则PC PB PA ?=2

宾语从

句： 在句子中起

宾语作用的从句叫做宾语从句。通俗的

说就是一个句子做另一个句子的宾语.

主要跟在及物动词和介词之后。一般由“引导词＋主语＋谓语＋其它”构成，其语序是陈述句语序。

如何判断：

1．可以从整个句式看,宾语从句只能放在主句谓语动词之后。

2．从引导词看。if 充当宾语从句的连接词时，相当于whether ，词义为“是否”，when 充当宾语从句的连接词时，意为“什么时候”。

3．从时态看。if 和when 作连接词时，引导宾语从句要注意：从句的谓语动词的时态应根据主句的时态作相应的变化。

所以宾语从句的三大要素：时态 语序 引导词

前世今生：

I know you . you are right.→I know you are right. /I know