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安徽省六安市舒城中学等差数列高考真题复习百度文库

一、等差数列选择题

1．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211,

n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则

n a =（）

A ．21n -

B ．43n -

C ．54n -

D ．n

2．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（） A ．161

B ．155

C ．141

D ．139

3．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（） A ．200

B ．100

C ．90

D ．80

4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足

122527

n n

a a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（）

A ．6-

B ．2-

C ．1-

D ．0

5．设数列{}n a 的前n 项和2

1n S n =+. 则8a 的值为（）．

A ．65

B ．16

C ．15

D ．14 6．已知数列{}n a 为等差数列，2628a a +=，5943a a +=，则10a =（） A ．29

B ．38

C ．40

D ．58

7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921

a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（） A ．21

B ．20

C ．19

D ．19或20

8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若936S S =，则6

12S

S =（） A ．

B ．

83 C ．

143

D ．

103

9．数列{}n a 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大21

，则该数列的项数是（） A ．8

B ．4

C ．12

D ．16

10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（） A ．60

B ．120

C ．160

D ．240

11．已知{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且100S =，下列式子正确的是（）

A ．450a a +=

B ．560a a +=

C ．670a a +=

D ．890a a +=

12．已知数列{}n a 的前项和2

21n S n =+，n *∈N ，则5a =（）

A ．20

B ．17

C ．18

D ．19 13．在等差数列{a n }中，已知a 5=3，a 9=6，则a 13=（）

A ．9

B ．12

C ．15

D ．18 14．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，前n 项和为n S ，若425S a =，则9

S a =（） A ．9

B ．5

C ．1

D ．

15．已知数列{}n a 满足25111,,25

a a a ==且

*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，则*n N ∈时，使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是（） A ．19

B ．20

C ．21

D ．22

16．已知递减的等差数列{}n a 满足22

19a a =，则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =（）

A ．4或5

B ．5或6

C ．4

D ．5

17．已知数列{}n a 中，12(2)n n a a n --=≥，且11a =，则这个数列的第10项为（） A ．18

B ．19

C ．20

D ．21

18．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若542S S =，248a a +=，则5a 等于（） A ．6

B ．7

C ．8

D ．10

19．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23

，且

11112n n n x x x -++=(n ≥2)，则x n 等于（） A ．(

)n －1

B ．(

)n C ．

n + D ．

n + 20．已知数列{}n a 中，132a =

，且满足()*

1112,22

n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*

n N ∈，都有

n a n

≥成立，则实数λ的最小值是（） A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

二、多选题21．题目文件丢失！

22．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（） A ．0,2,n n a n ?=?

为奇数

为偶数

B ．1(1)1n n a -=-+

C ．2sin

n n a π

= D ．cos(1)1n a n π=-+

23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（）

A ．2d =-

B ．122a =

C ．3430a a +=

D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值

24．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（） A ．0d <

B ．10a <

C ．当5n =时n S 最小

D ．0n S >时n 的最小值为8

25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15

0,20,a a a 则（）

A ．80a <

B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值

C ．49S S =

D ．满足0n S >的n 的最大值为12

26．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的

是（） A ．110S =

B ．10n n S S -=（110n ≤≤）

C ．当110S >时，5n S S ≥

D ．当110S <时，5n S S ≥

27．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（）

A ．1d =-

B ．413a a =

C ．n S 的最大值为8S

D ．使得0n S >的最大整数15n =

28．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且3201911

111

a a e e +≤++，则（） A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥ B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤ C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T > D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T <

29．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =

D ．当8n ≥时，0n a <

30．在数列{}n a 中，若22*

1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数

列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（）

A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列

B ．{(1)}n -是等方差数列

C ．若{}n a 是等方差数列，则{}(

,kn a k N

k ∈为常数)也是等方差数列

D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、等差数列选择题 1．A 【分析】

由已知等式分别求出数列的前三项，由2132a a a =+列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案．【详解】

11a =，()()1211n n n a a tn a ++=+,

令1n =，则()()121211a a t a +=+，解得21a t =-

令2n =，则()()2322121a a t a +=+，即()2

311t a t -=-，若1t =，则20,1a d ==，

与已知矛盾，故解得31a t =+

{}n a 等差数列，2132a a a ∴=+，即()2111t t -=++，解得4t =

则公差212d a a =-=，所以()1121n a a n d n =+-=-. 故选：A 2．B 【分析】

画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】

所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图：

由图可得：3612107y x y -=??-=? ，解得155

48x y =??=?

3．C 【分析】

先求得1a ，然后求得10S . 【详解】

依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=?=. 故选：C 4．A 【分析】转化条件为

122527

n n a a

n n +-=--，由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--，求得满足0n a ≤的项后即可得解.

【详解】因为

122527

n n a a n n +-=--，所以122527n n

a a n n +-

=--，又1127a =--，所以数列27n a n ??

??-??

是以1-为首项，公差为2的等差数列，所以

()1212327

a n n n =-+-=--，所以()()2327n a n n =--，令()()23270n a n n =--≤，解得

3722

n ≤≤，所以230,0a a <<，其余各项均大于0，所以()

()()3123min

13316p q S S a a S S =-=+=?-+--?=-.

故选：A. 【点睛】

解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项，即可得解. 5．C 【分析】

利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差，然后求解8a . 【详解】

由2

1n S n =+得，12a =，()2

111n S n -=-+，

所以()2

21121n n n a S S n n n -=-=--=-，

所以2,121,2

n n a n n =?=?-≥?，故828115a =?-=.

故选：C.

本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可. 6．A 【分析】

根据等差中项的性质，求出414a =，再求10a ; 【详解】

因为{}n a 为等差数列，所以264228a a a +==, ∴414a =.由59410a a a a +=+43=,得1029a =, 故选：A. 7．B 【分析】由题得出1392

a d =-，则2202n d

S n dn =-，利用二次函数的性质即可求解.

【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，

由

111019

a a =得11102119a a =，则()()112110199a d a d +=+，解得1392

a d =-

，10a <，0d ∴>，

()211+2022n n n d

S na d n dn -∴==-，对称轴为20n =，开口向上，

∴当20n =时，n S 最小.

故选：B. 【点睛】

方法点睛：求等差数列前n 项和最值，由于等差数列

()2111+222n n n d d S na d n a n -?

?==+- ??

?是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在

对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 8．D 【分析】

由等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】

已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，∴3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，所以()()633962S S S S S ?-=+-，且

6S S =，化简解得633S S =.

又

()()()96631292S S S S S S ?-=-+-，∴31210S S =，从而

126103

S S =. 故选：D 【点睛】思路点睛：

（1）利用等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，

（2）()()633962S S S S S ?-=+-，且9

6S S =，化简解得633S S =，（3）()()()96631292S S S S S S ?-=-+-，化简解得31210S S =. 9．A 【分析】

设项数为2n ，由题意可得()21

212

n d -?=，及6S S nd -==奇偶可求解．【详解】

设等差数列{}n a 的项数为2n ，末项比首项大

212

， ()212121;2

n a a n d ∴-=-?=① 24S =奇，30S =偶，

30246S S nd ∴-=-==奇偶②．

由①②，可得3

d =，4n =，即项数是8，故选：A. 10．B 【分析】

根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()

11515815152

a a S a +==，从而可得出结果.

【详解】

解：由题可知，2938a a a +=+，

由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，故()1158

158151521515812022

a a a S a +?=

===?=. 故选：B.

11．B 【分析】

由100S =可计算出1100a a +=，再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项. 【详解】

由等差数列的求和公式可得()

110101002

a a S +=

=，1100a a ∴+=，由等差数列的基本性质可得561100a a a a +=+=. 故选：B. 12．C 【分析】

根据题中条件，由554a S S =-，即可得出结果．【详解】

因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈，所以22554(251)(241)18a S S =-=?+-?+=．故选：C ． 13．A 【分析】

在等差数列{a n }中，利用等差中项由95132a a a =+求解. 【详解】

在等差数列{a n }中，a 5=3，a 9=6，所以95132a a a =+，

所以139522639a a a =-=?-=，故选：A 14．B 【分析】

由已知条件，结合等差数列通项公式得1a d =，即可求9

S a . 【详解】

4123425S a a a a a =+++=，即有13424a a a a ++=，得1a d =，

∴1999()

452

a a S d ?+=

=，99a d =，且0d ≠， ∴9

5S a =. 故选：B 15．B 【分析】

由等差数列的性质可得数列1n a ??

为等差数列，再由等差数列的通项公式可得1n n a ，进

而可得1

n a n

=，再结合基本不等式即可得解. 【详解】

因为*

121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，所以12

211n n n a a a ++=+，所以数列1n a ??

????

为等差数列，设其公差为d ，

由25111,25

a a a ==可得25112,115a a a ==?，所以11

1145d a d a a ?+=????+=???，解得1111

a d ?=???=?，

所以

()1111n n d n a a =+-=，所以1n a n

=，

所以不等式100n n a a +≥即100

n a n

+≥对任意的*n N ∈恒成立，

又10020n n +

≥=，当且仅当10n =时，等号成立，所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选：B. 【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用. 16．A 【分析】

由22

19a a =，可得14a d =-，从而得2922

n d d S n n =

-，然后利用二次函数的性质求其最值即可【详解】

解：设递减的等差数列{}n a 的公差为d （0d <），

因为2219a a =，所以22

11(8)a a d =+，化简得14a d =-，

所以221(1)9422222

n n n d d d d

S na d dn n n n n -=+=-+-=-，对称轴为92

n =

，

因为n ∈+N ，

<，所以当4n =或5n =时，n S 取最大值，故选：A 17．B 【分析】

由已知判断出数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得

10a .

【详解】

()122n n a a n --=≥，且11a =，

∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，

通项公式为()12121n a n n =+-=-，

10210119a ∴=?-=，

故选：B. 18．D 【分析】

由等差数列的通项公式及前n 项和公式求出1a 和d ，即可求得5a . 【详解】

解：设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则由542S S =，248a a +=，

得：111154435242238a d a d a d a d ???

?+=+ ??

?+++=?????

，

即

{

1132024

a d a d +-+=，解得：

{

123

a d =-=，

51424310a a d ∴=+=-+?=.

故选：D. 19．C 【分析】由已知可得数列1n x ??????是等差数列，求出数列1n x ??

????

的通项公式，进而得出答案．【详解】

由已知可得数列1n x ??

????

是等差数列，且121131,2x x ==，故公差12d =

则

()1111122n n n x +=+-?=，故21

n x n =+ 故选：C 20．A 【分析】将11122

n n n a a -=

+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出2

2n n n a +=，从而得

出()

22n n n λ+≥，求出()max

22n

n n +??????的最值，即可得出答案. 【详解】因为2n ≥时，111

n n n a a -=

+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{

}

n a 是首项为3公差为1的等差数列，故22n

n a n =+，从而2

n n n a +=

. 又因为n a n λ

≥恒成立，即()22n

n n λ+≥恒成立，所以()max 22n n n λ+??≥????. 由()()()

()()()()

*121322,221122n n n

n n n n n n n n n n n +-?+++≥??∈≥?

+-+?≥??N 得2n = 所以()()2

max

2222222n n n +?+??

==????，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A

二、多选题 21．无

22．BD 【分析】

根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】

解：因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，选项A ：不符合题设；

选项B ：0

1(1)12,a =-+=1

2(1)10,a =-+=

23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；

选项C ：，12sin

2,2

a π

==22sin 0,a π==

332sin

a π

==-不符合题设；选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=

3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.

故选：BD. 【点睛】

本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 23．AC 【分析】

先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】

解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.

所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-?=，所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】

本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：

（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；

（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定； 24．BD 【分析】

由题意可知0d >，由已知条件753a a =可得出13a d =-，可判断出AB 选项的正误，求出n S 关于d 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】

由于等差数列{}n a 是递增数列，则0d >，A 选项错误；

753a a =，则()11634a d a d +=+，可得130a d =-<，B 选项正确；

()()()22

171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -??

--??=+=-+==--?? ??

?????，

当3n =或4时，n S 最小，C 选项错误；令0n S >，可得270n n ->，解得0n <或7n >.

n N *∈，所以，满足0n S >时n 的最小值为8，D 选项正确.

故选：BD. 25．ACD 【分析】

由题可得16a d =-，0d <，21322

n d d S n n =

-，求出80a d =<可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出49,S S 可判断C ；令213022

n d d

S n n =->，解出即可判断D. 【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，则()5111122+4++100a a a d a d +==，解得16a d =-，

10a >，0d ∴<，且()21113+

222

n n n d d S na d n n -==-，对于A ，

81+7670a a d d d d ==-+=<，故A 正确；

对于B ，21322n d d S n n =

-的对称轴为13

n =，开口向下，故6n =或7时，n S 取得最大值，故B 错误；

对于C ，4131648261822d d S d d d =?-

?=-=-，9138191822

d d

S d =?-?=-，故49S S =，故C 正确；

对于D ，令213022

n d d

S n n =->，解得013n <<，故n 的最大值为12，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】

方法点睛：由于等差数列()2111+

222n n n d d S na d n a n -?

?==+- ??

?是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 26．BC 【分析】设公差d 不为零,由38a a =，解得192

a d =-，然后逐项判断.

【详解】设公差d 不为零, 因为

38a a =，

所以1127a d a d +=+，即1127a d a d +=--，解得192

a d =-，

11191111551155022S a d d d d ??

=+=?-+=≠ ???

，故A 错误；

()()()()()()221101110910,10102222

n n n n n n d

d na d n n n a n n S S d ----=+

=-=-+=-，故B 正确；若11191111551155022S a d d d d ??

=+=?-

+=> ???

，解得0d >，

()()2

2510525222

n d d d n n S n S =

-=--≥，故C 正确；D 错误；故选：BC 27．BCD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得1

15d a =-??=?，再逐

项判断即可得解. 【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，

由题意，11154111051122

a d a d a ???

=+???=?，所以1215d a =-??=?，故A 错误；所以1131439,129a a d a d a =+==+=-，所以413a a =，故B 正确；因为()()2

211168642

n n n a n d n n n S -=+

=-+=--+，

所以当且仅当8n =时，n S 取最大值，故C 正确；要使()2

8640n S n =--+>，则16n <且n N +∈，所以使得0n S >的最大整数15n =，故D 正确. 故选：BCD. 28．AC 【分析】将

3201911111a a e e +≤++变形为320191111

01212

a a e e -+-≤++，构造函数

()11

f x e =

-+，利用函数单调性可得320190a a +≥，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项【详解】由

3201911111a a e e +≤++，可得32019111101212a a e e -+-≤++，令()11

x f x e =-+， ()()1111101111

x x x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++，

所以()1112

x f x e =

-+是奇函数，且在R 上单调递减，所以320190a a +≥，所以当数列{}n a 为等差数列时，()

320192*********

a a S +=

≥；

当数列{}n a 为等比数列时，且3a ，1011a ，2019a 同号，所以3a ，1011a ，2019a 均大于零，故()2021

202110110T a =>.

故选：AC 【点睛】

本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题 29．AD 【分析】

利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确. 【详解】

因为67S S <，所以7670S S a -=> ，因为78S S >，所以8780S S a -=<，所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<，所以{}n a 是递减数列，

故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；

10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，

所以310S S ≠，故选项C 不正确；

当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确；故选：AD 【点睛】

本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题. 30．BCD 【分析】

根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可.

【详解】

对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，

则12222

(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}

n a 不是等方差数列，故A 错误；

对于B ，数列

(){}1n

-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，

{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；

对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，，2k a ，

数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，

，

()(

)()()

2222222212132221k k k k k k k k a

a a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加得()()()()

222

2221

221k k

k k k k k k a

a a a a a a a kp +++++--+-+-+

+-=，222k k a a kp ∴-=，

()

221kn k n a a kp +∴-=，{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确；对于D ，

{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+

{}n a 是等方差数列，

()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，22

10n n a a --=是常数，故D 正确.

故选：BCD. 【点睛】

本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题.