2010届高三数学总复习专题突破训练:概率
一、选择题
1、(2009揭阳)已知函数:c bx x x f ++=2)(,其中:40,40≤≤≤≤c b ,记函数)
(x f 满足条件:(2)12(2)4
f f ≤??
-≤?为事件为A ,则事件A 发生的概率为( )C
A .
14
B . 58
C . 12
D .
38
2、(2009广东五校)如图所示,在一个边长为1的正方形A O B C 内,曲线2y x =和曲线
y x =
围成一个叶形图
(阴影部分),向正方形A O B C 内随
机投一点(该点落在正方形A O B C 内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是( )B (A )12
(B )13 (C )
14
(D )
16
3、(2009番禺)设,(0,1)a b ∈,则关于x 的方程220x ax b ++=在(,)-∞+∞上有两个零点的概率为( )B A.
14
B.
13
C.
12
D.
23
4、(2009惠州)若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标,则点P 落在圆2
2
16x y += 内的概率为( )B A .
736
B .
29
C .
16
D .
14
二、解答题
1、(2009广州海珠)某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动. (Ⅰ)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率;
(Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高
150元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为m 的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是
2
1,请问:商场应将每次中奖奖金数额m
最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利?
2、(2009广州(一)某同学如图所示的圆形靶投掷飞镖,飞镖落在靶外(环数记为0)的概率为0.1,飞镖落在靶内的各个点是椭机的.已知圆形靶中三个圆为同心圆,半径分别为30cm 、20cm 、10cm ,飞镖落在不同区域的环数如图中标示.设这位同学投掷一次一次得到的环数这个随机变量x ,求x 的分布列及数学期望.
3、(2009广东揭阳)甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,
面试合格者可正式签约,甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为12
,乙、丙面试合格的概率都是13
,且
面试是否合格互不影响.求: (1)至少有1人面试合格的概率; (2)签约人数 的分布列和数学期望.
4、(2009珠海期末)某俱乐部举行迎圣诞活动,每位会员交50元活动费,可享受20元的消费,并参加一次游戏:掷两颗正方体骰子,点数之和为12点获一等奖,奖价值为a 元的奖品;点数之和为11或10点获二等奖,奖价值为100元的奖品;点数之和为9或8点获三等奖,奖价值为30元的奖品;点数之和小于8点的不得奖。求: (1)同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率; (2)如该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利,求a 的值。
5、(2009广东六校一)在某次乒乓球比赛中,甲、乙、丙三名选手进行单循环赛(即每两个比赛一场),共比赛三场.若这三人在以往的相互比赛中,甲胜乙的概率为3
1,甲胜丙的
概率为
4
1,乙胜丙的概率为
3
1.
(Ⅰ)求甲获第一、丙获第二、乙获第三的概率;
(Ⅱ)若每场比赛胜者得1分,负者得0分,设在此次比赛中甲得分数为X ,求E X .
6、(2009朝阳一中)某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会,共邀请50名一线教师参
加,使用不同版本教材的教师人数如下表所示:
010
98
版本 人教A 版
人教B 版
苏教版 北师大版
人数
20
15
5
10
(1)从这50名教师中随机选出2名,求2人所使用版本相同的概率;
(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言,设使用人教A 版的教师人数为ξ,求随机
变量ξ的变分布列和数学期望。
7、(2009中山一中)交5元钱,可以参加一次抽奖。一袋中有同样大小的球10个,其中有8个标有1元,
2个标有5元,摸奖者只能从中任取2个球,他所得奖励是所抽2球标的钱数之和ξ。 (I )求ξ的概率分布列; (II )求抽奖人获利的数学期望。
8、(2009广东深圳)甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格.
(Ⅰ)求甲、乙两人考试均合格的概率;
(Ⅱ)求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望.
祥细答案
1、解: (Ⅰ)从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品一共有3
7C 种选法,.选出的3种商品中没有日用商品的选法有34C 种, ……1分. 所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为35
31137
34=
-
=C
C P .……4分
(Ⅱ)顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量,设为X,其所有可能值为0, m ,2m ,3m .……6分
X=0时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖,所以(),81212103
03=???
?????? ??==C X P ……7分
同理可得(),8321212
1
1
3
=??
?
?????? ??==C m X P ……8分
(),83212121
22
3
=??
?
?????? ??==C m X P ……9分
().81212130
333
=??
?
?????? ??==C m X P ……10分
于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是
m m m m EX 5.18
138
328
38
10=?
+?
+?
+?
=.……12分
要使促销方案对商场有利,应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额,因此应有
1505.1≤m ,所以100≤m ,……13分.
故商场应将中奖奖金数额最高定为100元,才能使促销方案对商场有利. ……14分
2、解: 由题意可知,飞镖落在靶内各个区域的概率与它们的面积成正比,而与它们的质
量和形状无关。
由圆的半径值可得到三个同心圆的半径之比为3:2:1,面积比为9:4:1
所以8环区域、9环区域、10环区域的面积比为5:3:1 ………3分 则掷得8环、9环、10环的概率分别设为5k ,3k ,k 根据离散型随机变量分布列的性质有0.1+5k+3k+k=1
解得k=0.1 ………6分 得到离散型随机变量x 的分布列为
x 0
8 9 10 P
0.1
0.5
0.3
0.1
………9分
Ex=0×0.1+8×0.5+9×0.3+10×0.1=7.7 ………12分 3、解: 用A ,B ,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A ,B ,C 相互独立,
且11(),()()2
3
P A P B P C =
==
.------------------------------------------------------2分
(1)至少有1人面试合格的概率是
12271()1()()()1.2339
P A B C P A P B P C -=-=-
??=----------------------4分
(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.----------------------------------------------------------5分 ∵ (0)()()()P P ABC P A BC P A BC ξ==++
=()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++ =
1121211224.2332332339
??+??+??=---------------------------6分
(1)()()()P P A B C P A B C P A B C
ξ==++ =()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++ =
1211121224.2332332339
??+??+??=--------------------------------7分
11
1
1
(2)()()()().23
318
P P A B C P A P B P C ξ====
??=---------------------8分 1
1
11
(3)()()()().2
33
18
P P A B C P A P B P C ξ====
??=----------------------9分 ∴ξ的分布列是
ξ 0
1
2
3
()P ξ
49
49
118
118
--------10分
ξ的期望4411130123.9
9
18
18
18
E ξ=?+?+?
+?=----------------------------------------12分
4、解:(1)设掷两颗正方体骰子所得的点数记为(x ,y ),其中1,6x y ≤≤, 则获一等奖只有(6,6)一种可能,其概率为:1
116636
?
=; …………2分
获二等奖共有(6,5)、(5,6)、(4,6)、(6,4)、(5,5)共5种可能,其概率为:536
;
…………5分 设事件A 表示“同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖”,则有: P (A )=1
2
31525(
)36
36
15552
C ?
?=
; …………6分
(2)设俱乐部在游戏环节收益为ξ元,则ξ的可能取值为30a -,70-,0,30,…7分 其分布列为:
则:E ξ=1517310(30)(70)03036
36
4
12
36
a a --?
+-?
+?
+?
=
; …………11分
由E ξ=0得:a=310,即一等奖可设价值为310 元的奖品。 …………12分 5、解:(Ⅰ)设甲获第一、丙获第二、乙获第三为事件A ,
则;18
1324131)(=??=
A P ··········································································· 6分
(Ⅱ)X 可能的取值为.2,1,0
231
(0)342
P X ==
?=,
13125
(1)344312
P X ==?+?=,
111(2)3412
P X ==?=, ··········································································· 12分 X 0
1
2
p
2
1
12
5 12
1
15170122
12
12
12
E X =?
+?
+?
=
······························································· 14分
6、解:(1)从50名教师随机选出2名的方法数为.12252
50=C
ξ 30-a -70 0 30
p 136 536 14 712
选出2人使用版本相同的方法数为.3502
1025215220=+++C C C C
故2人使用版本相同的概率为:
.7
21225
350==
P …………………………5分
(2)∵17
3C
C )0(2
35
2
15=
=
=ξP , 119
60C
C )1(235
1
15220=
=
=C P ξ
119
38C
C )2(235
2
20=
=
=ξP
∴ξ的分布列为
………………10分
∴7
8119
1362119
381119
600173==
?+
?+
?=
ξE ……………………12分
7、解(I )2,6,10ξ= ……………………………………………………2分
2
8210
28(2)45
C p C
ξ==
=
,11
82210
16(6)45
C C p C
ξ==
=
,2
2210
1(10)45
C p C
ξ==
=
……8分
所以ξ的概率分布列为:
………………………10分
(II )由(I )知,2816118261045
45
45
5
E ξ=?
+?
+?
=
………………………12分
所以抽奖人获利的数学期望为:5 1.4E ξ-=-元。 ………………………14分 8、解:(Ⅰ)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ,则
P(A)=
3
10
3
6
1
42
6C C C C +=
3
2120
2060=
+,P(B)=
15
1412056563
103
8
1228=
+=
+C C C C . ………3分
因为事件A 、B 相互独立,
∴甲、乙两人考试均合格的概率为 ()214283
15
45
P A B ?=?
=
……………………5分
答:甲、乙两人考试均合格的概率为
2845
. …………………………6分
(Ⅱ)依题意,ξ=0,1,2,3,………………7分
ξ
1 2 P
17
3
119
60
119
38
ξ
2
6 10 p
2845
1645
145
3
43101(0)30C p C
ξ===
, 1
2
64310
3(1)10
C C P C
ξ===,
2
1
643
10
1(2)2
C C P C ξ==
=
, 3
6
3
10
1(3)6
C P C ξ==
= ……………………………9分
甲答对试题数ξ的概率分布如下:
ξ 0 1 2 3
P
301
103
21 61 甲答对试题数ξ的数学期望
E ξ=5
961321210
3130
10=?
+?
+?
+?
. ……………………12分
高三数学选择题专题训练(一) 1.已知集合{}1),(≤+=y x y x P ,{ }1),(22≤+=y x y x Q ,则有 ( ) A .Q P ?≠ B .Q P = C .P Q P = D .Q Q P = 2.函数11)(+-=x x e e x f 的反函数是( ) A .)11( 11)(1<<-+-=-x x x Ln x f B .)11(11)(1-<>+-=-x x x x Ln x f 或 C .)11( 11)(1 <<--+=-x x x Ln x f D .)11(11)(1-<>-+=-x x x x Ln x f 或 3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,369-=S ,10413-=S ,等比数列{}n b 中,55a b =,77a b =, 则6b 的值 ( ) A .24 B .24- C .24± D .无法确定 4.若α、β是两个不重合的平面, 、m 是两条不重合的直线,则α∥β的一个充分而非必要 条件是 ( ) A . αα??m 且 ∥β m ∥β B .βα??m 且 ∥m C .βα⊥⊥m 且 ∥m D . ∥α m ∥β 且 ∥m 5.已知n n n x a x a a x x x +++=++++++ 102)1()1()1(,若n a a a n -=+++-509121,则n 的 值 ( ) A .7 B .8 C .9 D .10 6.已知O ,A ,M ,B 为平面上四点,则)1(λλ-+=,)2,1(∈λ,则( ) A .点M 在线段A B 上 B .点B 在线段AM 上 C .点A 在线段BM 上 D .O ,A ,M ,B 四点共线 7.若A 为抛物线24 1x y = 的顶点,过抛物线焦点的直线交抛物线于B 、C 两点,则AC AB ?等于 ( ) A .31- B .3- C .3 D .43- 8.用四种不同颜色给正方体1111D C B A ABCD -的六个面涂色,要求相邻两个面涂不同的颜色, 则共有涂色方法 ( ) A .24种 B .72种 C .96种 D .48种 9.若函数x x a y 2cos 2sin -=的图象关于直线π8 7=x 对称,那么a 的值 ( ) A .2 B .2- C .1 D .1-
一.解答题(共30小题) 1.(2012?上海)已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足.(1)设c n=3n+6,{a n}是公差为3的等差数列.当b1=1时,求b2、b3的值; (2)设,.求正整数k,使得对一切n∈N*,均有b n≥b k; (3)设,.当b1=1时,求数列{b n}的通项公式. 2.(2011?重庆)设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2,a3=a2+4. (Ⅰ)求{a n}的通项公式; ( (Ⅱ)设{b n}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{a n+b n}的前n项和S n. 3.(2011?重庆)设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n(n∈N*). (Ⅰ)若a1,S2,﹣2a2成等比数列,求S2和a3. (Ⅱ)求证:对k≥3有0≤a k≤. 4.(2011?浙江)已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a(a∈R)设数列的前n 项和为S n,且,,成等比数列. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式及S n; ` (Ⅱ)记A n=+++…+,B n=++…+,当a≥2时,试比较A n与B n的大小. 5.(2011?上海)已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6,b n=2n+7(n∈N*).将集合{x|x=a n,n∈N*}∪{x|x=b n,n∈N*}中的元素从小到大依次排列,构成数列c1,c2,
(1)写出c1,c2,c3,c4; (2)求证:在数列{c n}中,但不在数列{b n}中的项恰为a2,a4,…,a2n,…; (3)求数列{c n}的通项公式. 6.(2011?辽宁)已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=﹣10 * (I)求数列{a n}的通项公式; (II)求数列{}的前n项和. 7.(2011?江西)(1)已知两个等比数列{a n},{b n},满足a1=a(a>0),b1﹣a1=1,b2﹣a2=2,b3﹣a3=3,若数列{a n}唯一,求a的值; (2)是否存在两个等比数列{a n},{b n},使得b1﹣a1,b2﹣a2,b3﹣a3.b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在,求{a n},{b n}的通项公式;若不存在,说明理由. 8.(2011?湖北)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5. (I)求数列{b n}的通项公式; ] (II)数列{b n}的前n项和为S n,求证:数列{S n+}是等比数列. 9.(2011?广东)设b>0,数列{a n}满足a1=b,a n=(n≥2) (1)求数列{a n}的通项公式; (4)证明:对于一切正整数n,2a n≤b n+1+1.
高中数学《概率与统计》教学设计 课题:1.3抽样方法 教学目的:1理解什么是系统抽样 2.会用系统抽样从总体中抽取样 教学重点:系统抽样的概念及如何用系统抽样获取样本 教学难点:与简单随机抽样一样,系统抽样也属于等概率抽样,这是本节课的一个难点;当总体中的个体数不能被样本容量整除时,可先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体,使剩下的个体数能被样本容量整除,然后再按系统抽样进行,这时在整个抽样过程中每个个体被抽取的概率仍然是相等的.这是本节课的又一难点授课类型:新授课 课时安排:1课时 教具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.在统计学里,我们把所要考察对象的全体叫做总体,其中的每一个考察对象叫做个体,从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本,样本中个体的数目叫做样本的容量.总体中所有个体的平均数叫做总体平均数,样本中所有个体的平均数叫做样本平均数. 2.简单随机抽样:设一个总体的个体数为N.如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样 3.⑴用简单随机抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本时,每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为 N 1;在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为N n;⑵简单随机抽样的特点是,逐个抽取,且各个个体被抽到的概率相等;⑶简单随机抽样方法,体现了抽样的客观性与公平性,是其他更复杂抽样方法的基础. 4.抽签法:先将总体中的所有个体(共有N个编号(号码可从1到N,并把号码写在形状、大小相同的号签上(号签可用小球、卡片、纸条等制作,然后将这些号签放在同一个箱子里,进行均匀搅拌,抽签时每次从中抽一个号签,连续抽取n次,就得到一个容量为n的样本适用范围:总体的个体数不多时
高三数学小题训练(10) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分;共50分. 1.已知函数x b x a x f cos sin )(-=(a 、b 为常数,0≠a ,R x ∈)在4 π =x 处取 得最小值,则函数)4 3( x f y -=π 是( ) A .偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B .偶函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 C .奇函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 D .奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 2.已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ?? -???? 上的最小值是2-,则ω的最小值等于 ( ) (A )23 (B )3 2 (C )2 (D )3 3.将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π?? =- ??? 平移,平移后的图象如图所示,则平移后的图象所对应函数的解析式是( ) A .sin()6y x π =+ B .sin()6y x π =- C .sin(2)3y x π=+ D .sin(2)3 y x π =- 4.设0a >,对于函数()sin (0)sin x a f x x x π+= <<,下列结论正确的是( ) A .有最大值而无最小值 B .有最小值而无最大值 C .有最大值且有最小值 D .既无最大值又无最小值 5.已知1,3,.0,OA OB OAOB ===点C 在AOC ∠30o =。 设(,)OC mOA nOB m n R =+∈,则 m n 等于 ( )
(A ) 1 3 (B )3 (C )33 (D 3 6.与向量a =71,,22b ?? = ??? ?? ? ??27,21的夹解相等,且模为1的向量是 ( ) (A) ???- ??53,54 (B) ???- ??53,54或?? ? ??-53,54 (C )???- ??31,322 (D )???- ??31,3 22或??? ??-31,322 7.如图,已知正六边形123456PP P P P P ,下列向量的数量积中最大的是( ) (A )1213,PP PP (B )1214,PP PP (C )1215,PP PP (D ) 1216,PP PP 8.如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值,则( ) A .111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B .111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C .111A B C ?是钝角三角形,222A B C ?是锐角三角形 D .111A B C ?是锐角三角形,222A B C ?是钝角三角形 9.已知不等式1 ()()9a x y x y ++≥对任意正实数,x y 恒成立,则正实数a 的最小值为 ( ) (A)8 (B)6 (C )4 (D )2 10.若a ,b ,c >0且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为 ( ) (A )3-1 (B) 3+1 (C) 23+2 (D) 23-2 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 11.cos 43cos77sin 43cos167o o o o +的值为 12.已知βα,??? ??∈ππ,43,sin(βα+)=-,53 sin ,13124=??? ??-πβ则os ??? ? ? +4πα=___.
11 12 13 3 5 7 2 2 4 6 9 1 5 5 7 图1 统计与概率专题 一、知识点 1、随机抽样:系统抽样、简单随机抽样、分层抽样 1、用简单随机抽样从100名学生(男生25人)中抽选20人进行评教,某男生被抽到的概率是( ) A . 1001 B .251 C .5 1 D . 5 1 2、为了解1200名学生对学校教改试验的意见,打算从中抽取一个容量为30的样本,考虑采用系统抽样,则分段的间隔k 为( ) A .40 B .30 C .20 D .12 3、某单位有职工160人,其中业务员有104人,管理人员32人,后勤服务人员24人,现用分层抽样法从中抽取一容量为20的样本,则抽取管理人员( ) A .3人 B .4人 C .7人 D .12人 2、古典概型与几何概型 1、一枚硬币连掷3次,只有一次出现正面的概率是( ) A .83 B .32 C .31 D .4 1 2、如图所示,在正方形区域任意投掷一枚钉子,假设区域内每一点被投中的可能性相等,那么钉子投进阴影区域的概率为____________. 3、线性回归方程 用最小二乘法求线性回归方程系数公式1 2 211 ???n i i i n i x y nx y b a y bx x nx ==-==--∑∑,. 二、巩固练习 1、随机抽取某中学12位高三同学,调查他们春节期间购书费用(单位:元),获得数据的茎叶图如图1, 这12位同学购书的平均费用是( ) A.125元 B.5.125元 C.126元 D.5.126元 2、200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示,时速在[50,60) 的汽车大约有( ) A .30辆 B . 40辆 C .60辆 D .80辆 3、某校有高级教师26人,中级教师104人,其他教师若干人.为了了解该校教师 的工资收入情况,若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查,已知从其 他教师中共抽取了16人,则该校共有教师 ______人. 4、执行下边的程序框图,若0.8p =,则输出的n = . 0.04 0.030.020.01频率 组距时速8070605040开始 10n S ==, S p 是 输入p 结束 输出n 12n S S =+ 否 1n n =+ (第12题图)