分数阶傅立叶变换在线性调频信号侦察中的基本理论及应用

电子科技大学

硕士学位论文

分数阶傅立叶变换在线性调频信号侦察中的基本理论及应用

姓名：汪玲

申请学位级别：硕士

专业：通信与信息系统

指导教师：陈天麒

2002.3.1

摘要

／

～ｆ在实际应用中的信号，如通信信号、某些雷达信号、地震波、声纳等，都

是非平稳信号，传统的Ｆｏｕｒｉｅｒ分析方法和理论使用的是时域或频域的全局性的

变换，不能表述信号的时频域性质，即不能表述不同时间与不同频率之间的对

应关系，而这种性质恰恰是非平稳信号最重要和最关键的性质，于是人们研究

和提出了一系列新的信号分析方法和理论，如短时Ｆｏｕｒｉｅｒ变换、时频分析、Ｏａｂｏｒ

变换、小波变换、Ｒａｄｏｎ．Ｗｉｇｎｅｒ变换、分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换等。分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ

变换是基于坐标轴旋转的思想提出的，在本质上是一种全局性的一维线性变换，

不能直接表征信号的局部特性，但是，如果用分数阶变换轴Ｕ，ｖ构成平面（ｕ，

Ｖ）来表征信号，也可以用分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换对信号进行时频分析，并且由于它／是线性变换，可有效地去除了二次变换中的交叉项，这是其突出的优点之一。ｙ本文以非平稳随机信号中的ＬＦＭ信号为研究对象，研究其侦察处理技术。

对以下几个方面进行了探索，取得了一些有价值的结果：

建立了分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换在实现滤波与干扰分离中的应用模型。

提出了分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换在雷达信号检测中检测频率的方法。

建立阵列信号模型，提出了基于ＴＬＳ—ＥＳＰＲ／Ｔ算法和ＭＵＳＩＣ算法的雷达信号二维到达角的估计算法。

提出了空域欠采样条件下的到达角估计的算法。

提出了时域欠采样条件下的频率估计方法。

算法警Ｍ翻ＵＳ：ＩＣ婴№喊液瓤觥激瓢Ｄｏ脯讯时絮罔蹦Ｔ算法、算法、

ＡＢＳＴＲＡＣＴ

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ｓａｍｐｌｉｎｇ．

Ｋｅｙｗｏｒｄ：ｆｒａｃｔｉｏｎａｌＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ｔｈｅｏｐｔｉｃａｌｆｉｌｔｅｒ，ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆＤＯＡｓｐａｔｉａｌ－ｔｅｍｐｏｒａｌｓｕｂ－Ｎｙｑｕｉｓｔｓａｍｐｌｉｎｇ，ＥＳＰＲＩＴａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ＭＵＳＩＣａｌｇｏｒｉｔｈｍ

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独创性声明

本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。

签名：渣硷日期：动Ｄ扫年ｊ月中日

关于论文使用授权的说明

本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。

（保密的学位论文在解密后应遵守此规定）签名：涉垮聊签名鳞

日期：年月日

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第一章绪论

１．１研究背景和意义

在现代战争中，特别是二十世纪九十年代发生的几起局部战争表明：无线电电子技术已经从早期的辅助和保障作用发展为涉及整个作战行动的重要因素，其范围包括：战区的监视与警戒，多兵种协同作战的联系和指挥，新式武器的导航、引导和控制等，这些都越来越多地依赖于军事电子装备的性能。

信息的战争的基础，贯穿于整个作战过程，而电磁波是信息传递、获取和使用的主要媒介，谁掌握了电磁（含光电）频谱的主导权，谁就获得了战场信息的主要通道，谁就掌握了战争主动权。电磁频谱的产生和利用又是与无线电设备密切相关的，无线电设备的性能不仅对作战的效果具有决定性的影响，而且敌对双方的电磁活动本身就携带或反映了几乎全部军事战略或战场的军事和技术情报，因而针对电磁信息所展开的截获和反截获、破坏与反破坏斗争就成为现代战争中一个意义重大、地位突出的的领域，从而导致电子战的产生和发展。

电子对抗是电子战的一个分支，电子对抗是指在电子战中，被用以截获敌方无线电电子设备的电磁信息，通过分析、处理获得军事、技术情报，并阻止敌方无线电电子设备获取有用和正确的信息，削弱或破坏敌方武器系统的效能和威力的一切技术和战术手段的总称。

电子对抗中，雷达的对抗又是其中的一个重要环节。在现代陆、海、空作战中，广泛地使用着各种类型的雷达，担负着目标的探测、跟踪、导航和火炮、导弹的制导和控制任务。因此，担任突防任务的作战序列若不具备雷达对抗能力，将无法保障自身的生存和发挥自身的战斗力，这就需要雷达对抗设备及时地发现雷达的照射，快速地测量雷达信号参数和识别威胁性信号，并及时做出反应或实施干扰或硬打击。对雷达信号的截获并估计信号的参数是对抗设备作出反应的前提，这一工作通常由雷达侦察设备来完成。

雷达侦察设备可以截获、分析、识别和定位作战区内雷达的电磁辐射信号，通过分析可以了解战场上的电磁势态和敌方作战序列，为作战指挥提供直接情报支援和决策依据。但由于侦察接收机设备面临的是未知信号环境，甚至遇到的电磁信号是专门设计以避免被截获的低截获概率（ＬＰＩ）雷达信号。随着电子战信号密度的日益密集，信号形式复杂繁多，利用的电磁频谱日益拓宽，信号

第～章绪论

参数灵活多变，传统体制的由一套测频系统和一套阵列测向系统组成的雷达侦察设备，不仅在结构上日益复杂，而且在性能上也受到限制，难以满足现代电子战的技术要求。因此，迫切需要采用新方法、新概念设计结构紧凑、功能强大、适应现代战争需要的新体制的雷达侦察设备。基于时空二维谱估计技术的测频测向一体化雷达侦察设备是其中典型代表之一。

雷达侦察设备在性能指标上必须适应信号环境的要求，因此必须对其所面临信号环境和可预期的发展变化有一个清晰的了解。现代电子战侦察设备面临的信号环境有如下特点：

１、辐射源数量日益增加，信号密度急速增大；

２、辐射源种类多，雷达体制多样。除常规脉冲体制雷达外，还有许多特殊体制雷达，如脉冲多普勒（ＰＤ）雷达、脉冲压缩（ＰＣ）雷达、合成孔径雷达（ＳＡＲ）、频率捷变（ＦＡ）雷达及连续波（ｃｗ）雷达等。

３、辐射波形复杂多变。为了提高雷达系统性能，提高反截获和反侦察能力和抗干扰能力，雷达侦察设备大多采用了复杂的波形和变化的参数设计。

４、辐射源覆盖空域扩大，涉及陆海空天整个空间。

５、辐射源工作频段不断扩展，如Ｏ．１～１００ＧＨｚ。毫米波雷达和红外、激光设备已经开始投入使用。

面对如此高密集、复杂、多变和各种雷达体制交叠的信号环境，要对每一个信号进行截获并获取参数估计，对雷达侦察设备提出了更高的要求，如：１、要求雷达具有近似实时的响应。侦察接收机截获到一个雷达脉冲后，一般要求必须在几个∥５内给出参数估计结果。

２、覆盖的频率范围由接收机的使用场合不同会有所不同，通常划分为多个子频段，并混频到一个公共基带输出。测频范围要求到达０．１～１００ＧＨｚ，或２－１８ＧＨｚ。

３、要求可以处理同时到达的信号。如果同一时刻有一个以上的信号到达，要求侦察设备能给出所有信号的相关信息。可测量的初级参数包括：脉冲幅度（ＰＡ）、脉冲宽度（ＰＷ）、到达时间（ＴＯＡ）、载频（ＲＦ）、到达角（ＤＯＡ）等。

４、要求侦察设备有高灵敏度和动态范围。测频精度应小于５ＭＨｚ；瞬时测向范围为全向或半全向；测向精度小于３度。

阵列信号处理是现代信号处理的一个重要分支，其本质是利用空间分散排列的传感器阵列和多通道接收机来获取信号的时域空域等多维信息，从而达到

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检测信号和提取其参数的目的。迄今为止，阵列信号处理的应用范围已经涉及雷达、声纳、导航地震勘探等领域，利用专门设计的阵列信号处理算法具有的多信号处理能力、提取参数的高分辩力、高精度和高抗干扰能力，为雷达信号的侦察提供了强有力的手段。由于实际应用中的信号如雪达信号、通信信号、等，许多都是非平稳信号，传统的Ｆｏｕｒｉｅｒ分析相关算法已不能表述信号的时频域性质，为此，近年来相继了出现一系列新的信号分析理论和方法来分析处理非平稳信号。本文就是基于其中的一种时频分析方法：分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换，来对雷达信号中的典型信号线性调频进行分析处理的。将阵列信号处理技术与分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换相结合，为雷达信号的侦察处理提供了提出了一系列新方法、新技术，具有重要的实际应用价值。

１．２相关技术的发展和研究现状

在信号处理的许多应用中，有用的信息必须从一个在宽带噪声中观测的低秩向量过程中抽取，而数据矩阵的奇异值分解或协方差矩阵的特征值分解可用来分析低秩信息。特别地，利用奇异值或特征值的大小，可以将数据矩阵或协方差矩阵的特征子空间分为信号子空间和噪声子空间，从而分析信号参数，即特征子空间分析方法。阵列信号处理的基本理论目前在许多方面都趋于成熟，产生了大量可以利用和借鉴的信号处理算法，典型的算法有：ＭＵＳＩＣ算法【１”、ＥＳＰＲＩＴ算法［１６，１７１、予空间拟合算法Ｌ１８，１９１等等。阵列信号多维参数估计技术是阵列信号处理技术领域的一个重要组成部分，通常研究的二维参数估计包括：频率．频率估计、方向．方向估计、频率．方向估计、方向－极化估计等。

众多二维谱估计方法中，一些是业已成熟的一维谱估计方法的推广，一些则是直接针对二维谱提出的方法。Ｍ．Ｗａｘ，Ｔ．Ｊ．Ｓｈａｎ和Ｔ．Ｋａｉｌａｔｈｔ”】提出的二维ＭＵＳＩＣ，算法源于一维ＭＵＳＩＣ方法，原理上均借助观测矩阵的特征分解，构造相互正交的信号子空间和噪声子空间，得Ｎ－－维谱，从而估计信号的频率和到达方向。该算法具有性能稳定和分辩率高是特点，但是其参数估计过程是基于频率和方向二维搜索的，如果要求分辨率高，则在频率和方向二维平面上搜索的网格数就必须密集，计算量大。为了增强算法的实用性，Ｌ．ＺＯＵ和Ｌ．Ｙｉｎｌ２０】、Ｌ．Ｙｉｎ和Ｑ．Ｙｉｎｌ２”分别提出了频率和方向估计的二维ＭＵＳＩＣ算法分维实现方法，降低了搜索过程的运算量。Ｍ．Ｄ．Ｚｏｌｔｏｗｓｋｉ和Ｃ．Ｐ．Ｍａｔｈｅｗｓｔ２２１提出的基于阵元输出延时、波束空间ＥＳＰＲＩＴ、ＰＲＯ—ＥＳＰＲＩＴ和整数搜索算法的信号频率和二维到

第一章绪论

达角的估计算法，有较强是实用性。

以上文献提出的算法大都是基于假设信号是平稳或局部平稳的，而实际应用中的信号如雷达信号、通信信号、地震波、声纳等，许多都是非平稳信号。传统的Ｆｏｕｒｉｅｒ分析使用的是时域或频域全局性的变换，不能表述信号的时频域性质，而这种性质恰恰是非平稳信号最重要和最关键的性质，于是人们研究和提出了一系列新的信号分析理论：短时Ｆｏｕｒｉｅｒ变换、时频分析、Ｇａｂｏｒ变换、小波变换、Ｒａｄｏｎ．Ｗｉｇｎｅｒ变换、分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换、线调频小波变换、循环平稳信号分析、调幅．调频信号分析１１１．”１等。

Ｋｏｅｉｎｇ和Ｐｏｔｔｅｒ等人提出的短时Ｆｏｕｒｉｅｒ分析，是假定非平稳信号ｓ（ｆ）在分析窗函数ｇ（Ｏ的一个短时时间间隔内是平稳（或伪平稳）的，并移动分析窗函数，使ｓ（ｕ）ｇ（ｕ—ｆ）在不同时刻有限时间宽度内来观察分析非平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。这种方法概念清晰、直观，但主要缺陷是：对于某一特定的时刻，只是对其附近窗口内的信号作分析，若选择的ｇ（Ｏ较窄（时间分辨率高），则频率分辨率低；反之，如果为了提高频率分辨率使ｇ（Ｏ变宽，伪平稳假设的近似程度会受到限制。许多信号的谱分量变化快而且不规则，以致难于找到一个合适的短时窗函数ｇ（ｔ），能够使信号在其时间宽度内平稳性的假设，而又不使窗宽过窄。

以Ｇａｂｏｒ、Ｖｉｌｌｅ、Ｐａｇｅ等人的研究工作为开端，提出了时频分析方法。其基本思想是设计时间和频率的联合函数，用它同时描述信号在不同时间和频率的能量密度或强度。典型分布有：Ｐａｇｅ分布、Ｗｉｇｎｅｒ．Ｖｉｌｌｅ分布、Ｃｈｏｉ－Ｗｉｌｌｉａｍｓ分布等。

Ｍｏｒｌｅｔ于８０年代初提出了小波分析，其基本思想是将频率域的表征改为另一个域（如尺度域），而用联合的时间和尺度平面来描述信号。

线性调频（ＬＦＭ）信号是一种有着特殊意义的非平稳信号，常用来衡量时频分析方法是否有效。在雷达等探测系统中，当目标作等加速运动时，其回波即为ＬＦＭ信号：对空间线性阵列，若信号源位于近场，则沿阵列分布的信号也近似为ＬＦＭ信号。由于理想的ＬＦＭ信号的Ｗｉｇｎｅｒ分布为直线冲激函数，有限长ＬＦＭ信号的Ｗｉｇｎｅｒ分布呈背鳝状，所以利用Ｗｉｇｎｅｒ分布研究ＬＦＭ信号十分有利。但多分量的Ｗｉｇｎｅｒ分布存在比较严重的交叉项。在时频面上，对不同的频率值如果沿时间轴作积分，便得到信号的功率谱；对不同的时间值平行于频率轴作积分，则此边缘积分给出信号的瞬时功率。推而广之，将时频（ｔ—ｆ）

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坐标旋转口角度得到新的直角坐标“一ｖ后，以不同Ｕ值沿平行于ｖ的直线上的积分，即称为Ｒａｄｏｎ变换。根据ＬＦＭ信号Ｗｉｇｎｅｒ分布的特点，如果把Ｒａｄｏｎ变换用于Ｗｉｇｎｅｒ分布的时频平面，直线积分可以有效地平滑掉交叉项，即称为Ｒａｄｏｎ?Ｗｉｇｎｅｒ变换。

分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换也是基于坐标轴旋转的思想提出的。借用时频平面的概念，以时间和频率分别为横轴和纵轴，则普通的Ｆｏｕｒｉｅｒ变换可看作是时间信号Ｊ（ｆ）逆时针旋转，『／２的线性变换，以疗／２的非整数倍旋转Ｋｔ）的Ｆｏｕｒｉｅｒ变换就称为ｓ（ｆ）的分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换，对应的时间．频率（ｔ，ｆ）轴就变为（ｕ，ｖ）轴。分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换在本质上是一对一维线性变换，不能直接表征信号的局部特性，但是，如果用分数阶变换轴ｕ，ｖ构成平面（ｕ，ｖ）来表征信号，也可以用分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换对信号进行时频分析，并且由于它是线性变换，有效地去除了Ｗｉｇｎｅｒ－Ｖｉｌｌｅ分布等二次变换中的交叉项。

１．３本文的主要工作和章节安拌

基于前面的讨论，本文将阵列信号处理和时频分析方法相结合，即将分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的时频分析方法和基于ＥＳＰＲＩＴ算法、ＭＵＳＩＣ算法的阵列信号处理方法相结合，估计非平稳信号的频率和角度参数，本文主要对线性调频信号进行了研究分析。

主要创新之处：

ｌ、基于最小二乘法理论，提出了利用分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换实现线性调频信号与高斯白噪声、线性调频信号与经线性调频后的高斯白噪声分离的滤波方法。

２、提出了基于分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的线性调频信号的频率检测理论和方法。

３、提出了基于分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的ＴＬＳ－ＥＳＰＲＩＴ算法和基于Ｌ型平面阵的时频域下的ＭＵＳＩＣ算法，估计空间线性调频信号的频率参数和方位角。

４、提出了时空欠采样条件下频率参数和到达角的估计方法。

章节安排：

第二章是本文的理论基础，介绍时频分析方法和分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的概念、相关性质及其实现方法。

第三章是分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换在实现滤波与干扰分离中的应用。对于时不变平稳随机信号，线性最优滤波器为最小均方误差理论下的维纳滤波器。而当信

第一章绪论

号为时变非平稳时，信号与干扰有很强的时频耦合，其Ｆｏｕｒ把ｒ分布在时域和频域均有重叠，难于在时域或频域得到较好的滤波和干扰分离效果，分数阶Ｆｏｕｒ把ｒ变换具有去除时频耦合的特性，选择合适的旋转角度，可在分数Ｆｏｕｒ缸ｒ域获得较好的滤波和干扰分离效果。

第四章是分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换在雷达信号检测中检测频率参数的应用。借助解线调方法，对于调频斜率为ｍ和初始频率为峨的线性调频信号，选择适当的旋转角度参数，其对应分数阶Ｆｏｕｒ招ｒ变换会在参数（ｍ，ｃｏｏ）处出现尖峰，从而估计线性调频信号的频率参数。

第五章建立阵列信号模型，提出了基于ＴＬＳ．ＥＳＰＲＩＴ算法和ＭＵＳＩＣ算法的雷达信号二维到达角的估计方法。传统的阵列信号处理方法如ＥＳＰＲＩＴ算法、ＭＵＳＩＣ算法等，大都是针对平稳随机信号而言的，无法处理非平稳信号的参数估计。由于分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换可以看作信号在时频域泐，ｔ）内将时频坐标系统进行适当角度（如口角）的旋转，从而在新的时频坐标系统中重新描述信号时频特性。例如，对于线性调频信号，当坐标系统作适当旋转后，新坐标轴ｕ轴与原调频特性平行时，在新的时频坐标系统（“，ｖ）内，信号的频率就是时不变的，可看作平稳信号。因此，可以在新的时频域内应用ＴＬＳ．ＥＳＰＲＩＴ算法和ＭＵＳＩＣ算法等，估计信号调频参量和到达角参数。

第六章、七章是时空域欠采样条件下的频率和角度估计。在信号处理中，为了将宽带接收机接收的信号数字化，由Ｎｙｑｕｉｓｔ采样定理可知，对于１ＧＨｚ带宽的接收机，需要有至少２ＧＨｚ采样频率的模数转换器（ＡＤＣ）与之匹配，为了能以较小的量化误差来将信号数字化，ＡＤＣ还需要有尽可能多的数据位数，要同时到达以上两个技术指标，在目前十分困难，只能以时域欠采样方案进行频率估计，由此带来的频率模糊问题。利用ＭＵＳＩＣ或ＥＳＰＲＩＴ算法进行信号到达角的估计方法中，若采用满足空间采样定理的阵元间距配置ｄ≤＾／２，则满足频率高端要求时，必然导致频率低端的阵元耦合的严重加剧，造成到达角估计精度和分辨率的降低；而若满足信号频率低端的阵元配置要求，则在频率高端会产生严重的相位模糊，出现栅瓣，从而产生测角模糊。此外在实际应用中，天线阵元其本身的口径在物理安装上的困难将导致阵元配置无法满足空域采样定理，由此带来了阵列测向中角度估计的模糊问题。本文提出了相关解模糊算法来实现频率和方向角的解模糊。

第八章是全文总结。

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第二章分数阶傅立叶变换及其性质和实现

信号分析的目的是通过对某些信号进行变换，从该信号抽取有关的信息。对于信号的统计特性随时问变化的时变信号、非平稳信号，由于传统的Ｆｏｕｒｉｅｒ分析是使用的一种全局性的时域或频域变换，建立了从时域到频域或频域到时域的联系，但它并没有将时域和频域组合成一个域，特别是局部时域的时间信息在频域是得不到的，或局部频域的频率信息的时域内是得不到的，即没有建立起局部时域与局部频域之间的一一对应关系。谱ｚ（，）只是显示任一频率，包含在信号ｘ（ｆ）内的总的强度，通常不能提供有关谱分量的时间局域化信息，无法表述信号的时频域性质，不能表示某种频率分量发生在哪些时间，而这种性质恰恰是非平稳信号的最根本和最关键的性质。时频分析的基本思想就是设计时间和频率的联合函数，用它描述信号在不同时间和频率的能量密度或强度。分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换是借用时频面的概念，以时间和频率分别为横轴和纵轴，旋转一定的角度进行的一种线性变换。当信号和干扰在时域和／或频域有很强的耦合时，传统的滤波和干扰分离方法难于在时域或频域得到很好的滤波和干扰分离结果，分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换具有去除时频耦合的特性，选择适合的旋转角度，可以在分数阶域获得好的滤波和干扰分离效果。

２．１时频分析基本概念

在大量的科学和工程问题中，信号的统计量对研究和分析信号起着极其重要的作用，常用的统计量有一阶统计量（均值）、二阶统计量（相关函数或功率ｉ着密度），此外还有三阶、四阶统计量等。对于各阶统计量与时间无关的信号称为平稳信号，而某阶统计量随时间改变的信号则称为非平稳信号。最常见的非平稳信号是自相关函数或功率谱密度随时间变换的信号。

分析和处理平稳信号最常用和最主要的方法是Ｆｏｕｒｉｅｒ分析，Ｆｏｕｒｉｅｒ变换建立了信号整个时域与整个频域的对应关系，如图２－１所示，其中：

ｚ（，）＝Ｉｘ（ｔ）ｅ一，２神出（２．１）

ｘ（ｆ）＝ｐ（／）ｅ俐ａｔ＂（２．２）

第二章分数阶傅立叶变换及其性质和实现

其中，图（ａ）当ｐ＝０．０５时，ｘ（ｆ）的分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换近似为矩形谱，接近于即零旋转。图（ｃ）当『ｌ时，即为ｘ（ｔ）Ｆｏｕｒｉｅｒ变换，为ｓｉｎｅ函数。图（ｂ）和（ｄ）是ｐ＝０．５和ｐ＝１．５时ｚ（ｆ）的分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换。当Ｐ从０．０５到１．９５连续变换时，ｘ（ｆ）的分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换如图２－５所示。

图２－５方波ｘ（ｔ）的分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换随Ｐ值变化时的幅值变化

Ｐｊ０时，Ｆｘ（ｔ）趋向于ｚ（ｆ）本身，

ｐ＝１时，Ｆｘ（ｔ）为ｚ（ｆ）的Ｆｏｕｒｉｅｒ变换，为ｓｉｎｃ函数。

２．３分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的典型性质

（１）线性性

分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换为线性变换，满足叠加原理：若Ｆ，，（ｆ）和Ｆ，ｇ（ｆ）分别是原函数ｆ（ｔ）和ｇ（ｔ）的Ｐ阶分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换，则有

Ｆ’【ｃｌｆ（ｔ）＋ｅ２９（ｔ）】＝ｑＦ’ｆ（ｔ）＋ｃ２Ｆ９９（ｔ）（２－１６）证明：Ｆ’【ｃ－，（ｆ）＋ｃ２９（ｆ）】＝』二（ｃ。，（ｆ）＋ｃ２９（ｔ））Ｋ，（ｔ，ｕ）ｄｔ

（２）旋转相加性证明：＝ｆ。Ｃｌｆ（ｔ）］Ｃｆ，ｐ（ｔ，”）ｄｔ＋ｃ：ｇ（ｔ）Ｋｐ（ｔ，“）硪

５ｃｉＦ’，（ｆ）＋ｃ２Ｆ９９（ｆ）

ＦＰＦｑ＝Ｆｐ＋ｑ

证毕。

（２．１７）