相似三角形性质与判定复习

相似三角形复习

【知识要点】

1、相似三角形的定义

三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．

2、相似三角形的判定方法

1.两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种图形之一：

2. 两个角对应相等的两个三角形__________．

3. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．

4. 三边对应成比例的两个三角形___________．

性质：

?

?

?

?

?

?

?

比的平方

、对应面积比等于相似

比

、对应周长比等于相似

、对应边成比例

、对应角相等

4

3

2

1

判定：

?

?

?

?

?

、三边对应成比例

夹角相等

、两边对应成比例，且

、两角对应相等

3

2

1

1.相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。当相似比等于1时，这两个三角形不仅形状相同，而且

大小也相同，这样的三角形我们就称为全等三角形。全等三角形是相似三角形的特例。

2.相似三角形的判定：①两角对应相等，两三角形相似。

②两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。

③三边对应成比例，两三角形相似。

3.相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等。

②相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例。

③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

F

E D C B

A 【典型例题】

1、如图在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在长为1的小正方形顶点上．

（1）填空：∠ABC=______，BC=_______．

（2）判定△ABC 与△DEF 是否相似？

2、如图所示，D 、E 两点分别在△ABC 两条边上，且DE 与BC 不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，

使得△ADE ∽△ABC ．并证明

3、如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，DE=DF ，∠EDF =∠A ．

（1）求证：

BC AB EF DE =．(2)证明：BDE ?与EFC ?相似。

4、已知，如图，CD 是Rt ABC ?斜边上的中线，DE AB ⊥交BC 于F ，交AC 的延长线于E ，

说明：⑴ ADE ?∽FDB ?； ⑵DF DE CD ?=2．

5、已知：如图，□AB C D 中E 为AD 的中点，AF ：AB =1：6，EF 与AC 交于M 。求：AM ：AC 。

A D

B F

【随堂训练】

1.

如图，若

AB

AE

= ，则△AEF∽△ABC，理由是 .

2.在△ABC与△DEF中，已知AB=3，BC=2，DE=6，EF=4，再补充条件∠=∠，就可以判定△ABC∽△DEF .

3.如图，AD=6，AE=8，EC=4，则当BD= 时，△ADE∽△ACB.

4.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且

3

2

=

=

AB

AD

AC

AE

，若DE=4㎝，则BC= ㎝.

5.D是△ABC边AB上一点，要使△ACD∽△ABC，则还须具备的条件是（）

A.AC：CD=AB：BC

B.CD：AD=BC：AC

C. CD22

6.判断题：

（1）相似三角形的对应角相等( )

（2）相似三角形的高的比等于相似比( )

（3）相似三角形的对应角平分线的比等于相似比( )

（4）△ABC和△A1B1C1的中线AD：A1D1=k,则AB: A1B1=k( )

7.已知：如图，在ABC

△中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于D、E，

:1:3

AD AB=．若2

DE=，则BC=_________．

8.下列判断正确的是（）

A.两个直角三角形相似

B.两个相似三角形一定全等

C.凡等边三角形都相似

D.所有等腰三角形都相似

9、如图△ABC中，DE∥BC，AE=1，AC=2，则S△ADE：S△ABC=（）

A、1：2

B、1：3

C、1：4

D、1：9

10．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，且有下列条件：（1）∠B＋∠DAC＝90°；（2）∠B＝∠DAC；

（3）

AD

CD

＝

AB

AC

；（4）AB2＝BD·BC其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有（）

A、3个

B、2个

C、1个

D、0个

题10 题11 题12

11．如图，将△ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论中错误的是（）

A、AE⊥AF

B、EF︰AF＝2︰1

C、AF2＝FH·FE

D、FB︰FC＝HB︰EC

F

B

A

第1题

C

E

第3题

B

D

E

A

C

第4题

B

D E

A

C

7、9图

A

C

D

B第五题

12．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（）

A、△ABE的周长＋△CDE的周长＝△BCE的周

B、△ABE的面积＋△CDE的面积＝△BCE的面积

C、△ABE∽△DEC

D、△ABE∽△EBC

13．ACD

?∽ABC

?，则下列各式成立的是（）

A、AB

AD

AC?

=

2B、DB

AD

CD?

=

2C、BC

AB

CD

AC:

:=D、AC

BC

AD

CD:

:=

14.下列五类图形．①两个矩形；②两个等腰三角形；③两个等边三角形；④两个正方形；⑤两个菱形。其中两个图形一定相似的是( )

A．四组 B．三组 C．两组 D．一组

二、填空题

1．已知，在△ABC中，AB＝AC＝27，D在AC上，且BD＝BC＝18，DE∥BC交AB于E，则DE＝_______．

2．如图，□ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AF＝

2

1

FD，EF交AC于G，则AG︰AC＝______．

题2 题3

3．如图，已知△ABC，P是AB上一点，连结CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加条件______（只要写出一种合适的条件）．

4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF＝4，则DE的长等于________．

题4 题5

5．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝8，BC＝10，则梯形ABCD面积是_________．

6.两个相似三角形对应高的比为 1∶3，则它们的相似比为；对应中线的比为；对应角平分线的比为；周长比为；面积比为；

7．在菱形ABCD和菱形A′B′C′D′中，∠A=∠A′=60°，若AB∶A′B′=1∶3，则BD∶A′C′=________．

三、解答题

1、如图，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，若S△CAD=3S△ABD，求AB∶AC

2、如图，ΔABC中，BD是角平分线，过D作DE∥AB交BC于点E，AB=5cm，BE=3cm，求EC的长.

A B C D E

3.如图，AO ⊥OD ，点B 、C 在OD 上，且OA=OB=BC=CD ，求证：△ABC ∽△DBA 。

4.梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别为AB 、CD 上的一点，且梯形AEFD ∽梯形EBCF ，若AD=8，BC=18，试求AE ：EB 的值。

5．已知在△ABC 中，△ABC ∽ADE ，DE ∥BC ，如果

23=DB AD ，AE=15，求AC 和EC 的长 。

相似三角形提高练习

一、选择题

4. 如图，在ABC △中，5AB AC ==，6BC =，点M 为BC 的中点，MN AC ⊥于点N ，则MN 等

于（ ）

A ．

65 B ．95 C ．125 D ．165

5. 如图，ABC △中，CD AB ⊥于D ，一定能确定ABC △为直角三角形的条件的个数是（ ）

①1A ∠=∠，②CD DB AD CD =，③290B ∠+∠=°，④345BC AC AB =∶∶∶∶， A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

3.在△ABC 中，AB =12，AC =10，BC =9，AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为( )

A ．9.5

B ．10.5

C ．11

D ．15.5

A

O B C D A B C

D E

F

`1 2 3

4.如图，在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）

A.22cm

B.24cm

C. 28cm

D. 216cm

5.如图，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ， 则DO

AO 等于（ ） A ．352 B ．31 C ．32 D ．21

6.一张等腰三角形纸片，底边长cm 15，底边上的高长22．5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )

A ．第4张

B ．第5张 C.第6张 D ．第7张

7.某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=30㎝，AB=50㎝，依次裁下宽为1㎝的矩形纸条a 1、a 2、a 3…，若使裁得的矩形纸条的长都不小于5㎝，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )

A.24

B.25

C.26

D.27

4 5 6 7

8.如图，在Rt ABC

△中，90

ACB

∠=°，3

BC=，4

AC=，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（）

A．

3

2

B．

7

6

C．

25

6

D．2

9.如图所示，已知点E F

、分别是ABC

△中AC AB

、边的中点，BE CF

、相交于点G，2

FG=，则CF 的长为（）

A．4 B．4.5 C．5 D．6

8 9

二、填空题

1、如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△

2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是．

2、如图，Rt ABC

△中，90

ACB

∠=°，直线EF BD

∥，交AB于点E，交AC于点G，交AD于点F，若1

3

AEG EBCG

S S

=

△四边形

，则

CF

AD

=．

3、将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是．

A

F E

C

B