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(完整版)2019年北京市高考数学试卷(理科)含答案

2019年北京市高考数学试卷（理科）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知复数2z i =+，则

(z z =g ) A ．3

B ．5

C ．3

D ．5

2．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3．已知直线l 的参数方程为13,

(24x t t y t =+??=+?

为参数），则点(1,0)到直线l 的距离是( )

A ．15

B ．25

C ．45

D ．65

4．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1

，则( )

A ．222a b =

B ．2234a b =

C ．2a b =

D ．34a b =

5．若x ，y 满足||1x y -?，且1y -…，则3x y +的最大值为( ) A ．7-

B ．1

C ．5

D ．7

6．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足

121252E

m m lg E -=，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =．已知太阳的星等是26.7-，天

狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )

A ．10.110

B ．10.1

C ．10.1lg

D ．10.110- 7．设点A ，B ，C 不共线，则“AB u u u r 与AC u u u r

的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ”的(

)

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

8．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如

图）．给出下列三个结论：

①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是( )

A ．①

B ．②

C ．①②

D ．①②③

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 9．函数2()sin 2f x x =的最小正周期是．

10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =-，510S =-，则5a = ，n S 的最小值为．

11．某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为l ，那么该几何体的体积为．

12．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l m ⊥；②//m α；③l α⊥．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：． 13．设函数()(x x f x e ae a -=+为常数）．若()f x 为奇函数，则a = ；若()f x 是R 上的增函数，则a 的取值范围是．

14．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．

①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15．（13分）在ABC ?中，3a =，2b c -=，1

cos 2

B =-．

（Ⅰ）求b ，c 的值；

（Ⅱ）求sin()B C -的值．

16．（14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AD BC ，

2PA AD CD ===，3BC =．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且1

PF PC =．

（Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAD ；

（Ⅱ）求二面角F AE P --的余弦值；

（Ⅲ）设点G 在PB 上，且2

PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．

17．（13分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅支付金额（元) 支付方式 (0，1000]

(1000，2000]

大于2000

仅使用A 18人 9人 3人仅使用B

10人

14人

1人

（Ⅱ）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；

（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由． 18．（14分）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；

（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线1y =-分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．

19．（13分）已知函数3

21()4

f x x x x =

-+．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为l 的切线方程；

（Ⅱ）当[2x ∈-，4]时，求证：6()x f x x -剟；

（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a R =-+∈，记()F x 在区间[2-，4]上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．

20．（13分）已知数列{}n a ，从中选取第1i 项、第2i 项、?、第m i 项12()m i i i <

列{}n a 的任意一项都是{}n a 的长度为1的递增子列．

（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；

（Ⅱ）已知数列{}n a 的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p q <，求证：00m n a a <；

（Ⅲ）设无穷数列{}n a 的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{}n a 的长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -，且长度为s 末项为21s -的递增子列恰有12s -个(1s =，2，)?，求数列{}n a 的通项公式．

2019年北京市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知复数2z i =+，则(z z =g ) A ．3

B ．5

C ．3

D ．5

【思路分析】直接由2||z z z =g 求解．

【解析】：2z i =+Q ，2222||(21)5z z z ∴==+=g ．故选：D ．【归纳与总结】本题考查复数及其运算性质，是基础的计算题． 2．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解析】：模拟程序的运行，可得 1k =，1s = 2s =

不满足条件3k …，执行循环体，2k =，2s = 不满足条件3k …，执行循环体，3k =，2s = 此时，满足条件3k …，退出循环，输出s 的值为2．故选：B ．

【归纳与总结】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

3．已知直线l 的参数方程为13,

(24x t t y t

=+??=+?为参数），则点(1,0)到直线l 的距离是( )

A ．15

B ．25

C ．45

D ．65

【思路分析】消参数t 化参数方程为普通方程，再由点到直线的距离公式求解．

【解析】：由13(24x t

t y t

=+??=+?为参数），消去t ，可得4320x y -+=．

则点(1,0)到直线l 的距离是226

4(3)

d =

=+-．故选：D ．

【归纳与总结】本题考查参数方程化普通方程，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．

4．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1

，则( )

A ．222a b =

B ．2234a b =

C ．2a b =

D ．34a b =

【思路分析】由椭圆离心率及隐含条件222a b c =+得答案．

【解析】：由题意，12

c a =，得2214c a =，则22214a b a -=，

22244a b a ∴-=，即2234a b =．

故选：B ．

【归纳与总结】本题考查椭圆的简单性质，熟记隐含条件是关键，是基础题． 5．若x ，y 满足||1x y -?，且1y -…，则3x y +的最大值为( ) A ．7-

B ．1

C ．5

D ．7

【思路分析】由约束条件作出可行域，令3z x y =+，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解析】：由||11x y

y -??-?

?…作出可行域如图，

联立1

10y x y =-??+-=?

，解得(2,1)A -，

令3z x y =+，化为3y x z =-+，

由图可知，当直线3y x z =-+过点A 时，z 有最大值为3215?-=．故选：C ．

【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 6．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足

121252E

m m lg E -=，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =．已知太阳的星等是26.7-，天

狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．10.110

B ．10.1

C ．10.1lg

D ．10.110-

【思路分析】把已知熟记代入1212

52E

m m lg E -=，化简后利用对数的运算性质求解．

【解析】：设太阳的星等是126.7m =-，天狼星的星等是2 1.45m =-，

由题意可得：12

51.45(

26.7)2E

lg E ---=，

∴1250.510.15E lg E ==，则10.11210E E =．

故选：A ．

【归纳与总结】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．

7．设点A ，B ，C 不共线，则“AB u u u r 与AC u u u r

的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ”的(

)

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【思路分析】“AB u u u r 与AC u u u r

的夹角为锐角” ? “||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ”，“ ||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ”

? “AB u u u r 与AC u u u r

的夹角为锐角”，由此能求出结果．【解析】：点A ，B ，C 不共线，

“AB u u u r 与AC u u u r

的夹角为锐角” ? “||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ”，

“||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ” ? “AB u u u r 与AC u u u r

的夹角为锐角”，

∴设点A ，B ，C 不共线，则“AB u u u r 与AC u u u r

的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ”的充分必要条件．故选：C ．

【归纳与总结】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．

8．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：

①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是( )

A ．①

B ．②

C ．①②

D ．①②③

【思路分析】将x 换成x -方程不变，所以图形关于y 轴对称，根据对称性讨论y 轴右边的图形可得．

【解析】：将x 换成x -方程不变，所以图形关于y 轴对称，当0x =时，代入得21y =，1y ∴=±，即曲线经过(0,1)，(0,1)-；

当0x >时，方程变为2210y xy x -+-=，所以△224(1)0x x =--…

，解得(0x ∈，23

]，

所以x 只能取整数1，当1x =时，20y y -=，解得0y =或1y =，即曲线经过(1,0)，(1,1)，

根据对称性可得曲线还经过(1,0)-，(1,1)-，故曲线一共经过6个整点，故①正确．

当0x >时，由2

1x y xy +=+得2222

x y x y xy ++-=?，（当x y =时取等），

222x y ∴+?，∴222x y +?，即曲线C 上y 轴右边的点到原点的距离不超过2，根据对称性可得：曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2；故②正确．

在x 轴上图形面积大于矩形面积122=?=，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积1

2112

=??=，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于213+=，故③错误．故选：C ．

【归纳与总结】本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9．函数2()sin 2f x x =的最小正周期是 2π

．

【思路分析】用二倍角公式可得11

()cos(4)22

f x x =-+，然后用周期公式求出周期即可．

【解析】：2()sin (2)f x x =Q ，

11()cos(4)22f x x ∴=-+，()f x ∴的周期2T π=，故答案为：2

．

【归纳与总结】本题考查了三角函数的图象与性质，关键是合理使用二倍角公式，属基础题． 10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =-，510S =-，则5a = 0 ，n S 的最小值为．

【思路分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，能求出14a =-，1d =，由此能求出5a 的n S 的最小值．

【解析】：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =-，510S =-，

∴11354

5102

a d a d +=-????+=-??，解得14a =-，1d =，5144410a a d ∴=+=-+?=， 21(1)(1)1981

4()22228

n n n n n S na d n n --=+=-+=--，

4n ∴=或5n =时，n S 取最小值为4510S S ==-．故答案为：0，10-．

【归纳与总结】本题考查等差数列的第5项的求法，考查等差数列的前n 项和的最小值的求

法，考查等差数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．

11．某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为l ，那么该几何体的体积为 40 ．

【思路分析】由三视图还原原几何体，然后利用一个长方体与一个棱柱的体积作和求解．【解析】：由三视图还原原几何体如图，

该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱，

则该几何体的体积1

422(24)24402

V =??++??=．

故答案为：40．

【归纳与总结】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 12．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l m ⊥；②//m α；③l α⊥．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：若l α⊥，l m ⊥，则//m α ．

【思路分析】由l ，m 是平面α外的两条不同直线，利用线面平行的判定定理得若l α⊥，l m ⊥，则//m α．

【解析】：由l ，m 是平面α外的两条不同直线，知：

由线面平行的判定定理得：若l α⊥，l m ⊥，则//m α．故答案为：若l α⊥，l m ⊥，则//m α．【归纳与总结】本题考查满足条件的真命题的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．

13．设函数()(x x f x e ae a -=+为常数）．若()f x 为奇函数，则a = 1- ；若()f x 是R 上

的增函数，则a 的取值范围是．

【思路分析】对于第一空：由奇函数的定义可得()()f x f x -=-，即()x x x x e ae e ae --+=-+，变形可得分析可得a 的值，即可得答案；

对于第二空：求出函数的导数，由函数的导数与单调性的关系分析可得()f x 的导数

()0x x f x e ae -'=-…在R 上恒成立，变形可得：2x a e ?恒成立，据此分析可得答案．【解析】：根据题意，函数()x x f x e ae -=+，

若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，即()x x x x e ae e ae --+=-+，变形可得1a =-，函数()x x f x e ae -=+，导数()x x f x e ae -'=-

若()f x 是R 上的增函数，则()f x 的导数()0x x f x e ae -'=-…

在R 上恒成立，变形可得：2x a e ?恒成立，分析可得0a ?，即a 的取值范围为(-∞，0]；故答案为：1-，(-∞，0]．

【归纳与总结】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是理解函数的奇偶性与单调性的定义，属于基础题．

①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 130 元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为．

【思路分析】①由题意可得顾客一次购买的总金额，减去x ，可得所求值；

②在促销活动中，设订单总金额为m 元，可得()80%70%m x m -??…，解不等式，结合恒成立思想，可得x 的最大值．

【解析】：①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得6080140+=（元)，即有顾客需要支付14010130-=（元)； ②在促销活动中，设订单总金额为m 元，可得()80%70%m x m -??…，

即有8

x ?，

由题意可得120m …，可得120

158

x =?，

则x 的最大值为15元．故答案为：130，15

【归纳与总结】本题考查不等式在实际问题的应用，考查化简运算能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15．（13分）在ABC ?中，3a =，2b c -=，1

cos 2

B =-．

（Ⅰ）求b ，c 的值；

（Ⅱ）求sin()B C -的值．

【思路分析】（Ⅰ）利用余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，代入已知条件即可得到关于b 的方程，解方程即可；

（Ⅱ）sin()sin cos cos sin B C B C B C -=-，根据正弦定理可求出sin C ，然后求出cos C ，代入即可得解．

【解析】：（Ⅰ）3a =Q ，2b c -=，1cos 2

B =-．

∴由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-219(2)23(2)()2

b b =+--??-?-，

7b ∴=，25c b ∴=-=；

（Ⅱ）在ABC ?中，1

cos 2

B =-Q ，3sin B ∴=，

由正弦定理有：

sin sin c b

C B

，∴3

5sin 532sin 7c B C b ?

===， b c >Q ，B C ∴>，C ∴为锐角，11

cos 14C ∴=，

sin()sin cos cos sin B C B C B C ∴-=-311153()142=?--?43

．【归纳与总结】本题考查了正弦定理余弦定理和两角差的正弦公式，属基础题．

16．（14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AD BC ，

2PA AD CD ===，3BC =．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且1

PF PC =．

（Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAD ；

（Ⅱ）求二面角F AE P --的余弦值；

（Ⅲ）设点G 在PB 上，且2

PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．

【思路分析】（Ⅰ）推导出PA CD ⊥，AD CD ⊥，由此能证明CD ⊥平面PAD ．

（Ⅱ）以A 为原点，在平面ABCD 内过A 作CD 的平行线为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F AE P --的余弦值．

（Ⅲ）求出4(3AG =u u u r ，0，2)3

，平面AEF 的法向量(1m =r ，1，1)-，4220333m AG =-=≠u u u

r r g ，

从而直线AG 不在平面AEF 内．

【解答】证明：（Ⅰ）PA ⊥Q 平面ABCD ，PA CD ∴⊥， AD CD ⊥Q ，PA AD A =I ，

CD ∴⊥平面PAD ．

解：（Ⅱ）以A为原点，在平面ABCD内过A作CD的平行线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

A，0，0)，(1

E，0，1)，

(

F，

，4)

，(0

P，0，2)，

AE=

u u u r

，0，1)，224

(,,)

333

AF=

u u u r

，

平面AEP的法向量(1

n=r，0，0)，

设平面AEF的法向量(

m x

=r，y，)z，

则

224

333

m AE x z

m AF x y z

?=+=

=++=

u u u r

，取1

x=，得(1

r，1，1)-，

设二面角F AE P

--的平面角为θ，则||3

cos

||||3

m n

θ===

r r

．

∴二面角F AE P

--的余弦值为

3．

（Ⅲ）直线AG不在平面AEF内，理由如下：

Q点G在PB上，且

=．

(

∴，0，

)

，

∴

(

AG=

u u u r

，0，2)

，

Q平面AEF的法向量(1

r，1，1)-，

422

333

m AG=-=≠

u u u r

g，

故直线AG不在平面AEF内．

【归纳与总结】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查直线是否在已知平面内的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．

17．（13分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅

支付金额（元)(0，1000](1000，2000]大于2000

（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；

（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．

【思路分析】（Ⅰ）从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，从而A，B两种支付方式都使用的人数有40人，由此能求出从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率．

（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，则X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望()

E X．

（Ⅲ）从样本仅使用A的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支付金额大于2000元，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元的概率为

3 3 3 30

1 4060

==，不能认为认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．

【解析】：（Ⅰ）由题意得：

从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，

A，B两种支付方式都不使用的有5人，

仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，

∴，B两种支付方式都使用的人数有：1005302540

---=，

∴从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率

0.4

100

p==．

（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，

则X的可能取值为0，1，2，

样本仅使用A的学生有30人，其中支付金额在(0，1000]的有18人，超过1000元的有12人，

样本仅使用B的学生有25人，其中支付金额在(0，1000]的有10人，超过1000元的有15人，

18101806

(0)

302575025

P X==?==，

1815121039013(1)3025302575025P X ==

?+?==， 12151806

(2)302575025

P X ==?==

，

数学期望()0121252525

E X =?+?+?=．

（Ⅲ）不能认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，

理由如下：

从样本仅使用A 的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支付金额大于2000元，

随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元的概率为333301

4060

C p C ==，

虽然概率较小，但发生的可能性为

4060

．故不能认为认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．

【归纳与总结】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题． 18．（14分）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；

【思路分析】（Ⅰ）代入点(2,1)-，解方程可得p ，求得抛物线的方程和准线方程；（Ⅱ）抛物线24x y =-的焦点为(0,1)F -，设直线方程为1y kx =-，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及直线的斜率和方程，求得A ，B 的坐标，可得AB 为直径的圆方程，可令0x =，解方程，即可得到所求定点．

【解析】：（Ⅰ）抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-．可得42p =，即2p =，可得抛物线C 的方程为24x y =-，准线方程为1y =；（Ⅱ）证明：抛物线24x y =-的焦点为(0,1)F -，

设直线方程为1y kx =-，联立抛物线方程，可得2440x kx +-=，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，

可得124x x k +=-，124x x =-，

直线OM 的方程为11y y x x =，即14x

y x =-，

直线ON 的方程为22y y x x =，即24

y x =-，

可得14(

A x ，1)-，2

(B x ，1)-，可得AB 的中点的横坐标为121142()224

k x x -+==-g ，

即有AB 为直径的圆心为(2,1)k -，

半径为12||144||222AB x x =-==，可得圆的方程为222(2)(1)4(1)x k y k -++=+，化为224(1)4x kx y -++=，由0x =，可得1y =或3-．

则以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点(0,1)，(0,3)-．

【归纳与总结】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆方程的求法，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

19．（13分）已知函数321

()4

f x x x x =-+．

（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为l 的切线方程；（Ⅱ）当[2x ∈-，4]时，求证：6()x f x x -剟；

（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a R =-+∈，记()F x 在区间[2-，4]上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．

【思路分析】（Ⅰ）求导数()f x '，由()1f x '=求得切点，即可得点斜式方程；

（Ⅱ）把所证不等式转化为6()0f x x --剟，再令()()g x f x x =-，利用导数研究()g x 在[2-，4]的单调性和极值点即可得证；

（Ⅲ）先把()F x 化为|()|g x a -，再利用（Ⅱ）的结论，引进函数()||h t t a =-，结合绝对值函数的对称性，单调性，通过对称轴t a =与3-的关系分析即可．

【解析】：（Ⅰ）23

()214f x x x '=-+，

由()1f x '=得8

()03x x -=，

得128

0,3x x ==．

又(0)0f =，88

()327f =，

y x ∴=和88

273

y x -=-，

即y x =和64

y x =-；

（Ⅱ）证明：欲证6()x f x x -剟，只需证6()0f x x --剟，

令321

()()4

g x f x x x x =-=-，[2x ∈-，4]，

则2338

()2()443

g x x x x x '=-=-，

可知()g x '在[2-，0]为正，在8(0,)3为负，在8

[,4]3为正，

()g x ∴在[2-，0]递增，在[0，8]3递减，在8

[,4]3递增，

又(2)6g -=-，(0)0g =，864

()6327

g =->-，g （4）0=，

6()0g x ∴-剟，

6()x f x x ∴-剟；

（Ⅲ）由（Ⅱ）可得， ()|()()|F x f x x a =-+ |()|f x x a =-- |()|g x a =-

Q 在[2-，4]上，6()0g x -剟，

令()t g x =，()||h t t a =-，

则问题转化为当[6t ∈-，0]时，()h t 的最大值M （a ）的问题了，

①当3a -?时，M （a ）(0)||h a a ===-，

此时3a -…

，当3a =-时，M （a ）取得最小值3； ②当3a -…时，M （a ）(6)|6||6|h a a =-=--=+，

63a +Q …，M ∴（a ）6a =+，

也是3a =-时，M （a ）最小为3．综上，当M （a ）取最小值时a 的值为3-．

【归纳与总结】此题考查了导数的综合应用，构造法，转化法，数形结合法等，难度较大． 20．（13分）已知数列{}n a ，从中选取第1i 项、第2i 项、?、第m i 项12()m i i i <

列{}n a 的任意一项都是{}n a 的长度为1的递增子列．

（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；

（Ⅱ）已知数列{}n a 的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p q <，求证：00m n a a <；

【思路分析】()1I ，3，5，6．答案不唯一．

()II 考虑长度为q 的递增子列的前p 项可以组成长度为p 的一个递增子列，可得0n a >该数列的第p 项0m a …

，即可证明结论． ()III 考虑21s -与2s 这一组数在数列中的位置．若{}n a 中有2s ，在2s 在21s -之后，则必

然在长度为1s +，且末项为2s 的递增子列，这与长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -矛盾，可得2s 必在21s -之前．继续考虑末项为21s +的长度为1s +的递增子列．因此对于数列21n -，2n ，由于2n 在21n -之前，可得研究递增子列时，不可同时取2n 与21n -，即可得出：递增子列最多有2s 个．由题意，这s 组数列对全部存在于原数列中，并且全在21s +之前．可得2，1，4，3，6，5，??，是唯一构造．【解析】：()1I ，3，5，6．

()II 证明：考虑长度为q 的递增子列的前p 项可以组成长度为p 的一个递增子列， ∴0n a >该数列的第p 项0m a …

， ∴00m n a a <．

()III 解：考虑21s -与2s 这一组数在数列中的位置．

若{}n a 中有2s ，在2s 在21s -之后，则必然在长度为1s +，且末项为2s 的递增子列，这与长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -矛盾，2s ∴必在21s -之前．继续考虑末项为21s +的长度为1s +的递增子列．

Q 对于数列21n -，2n ，由于2n 在21n -之前，∴研究递增子列时，不可同时取2n 与21n -，

Q 对于1至2s 的所有整数，研究长度为1s +的递增子列时，第1项是1与2二选1，第2

项是3与4二选1，??，第s 项是21s -与2s 二选1，

故递增子列最多有2s 个．由题意，这s 组数列对全部存在于原数列中，并且全在21s +之前．

2∴，1，4，3，6，5，?

?，是唯一构造．即221k a k =-，212k a k -=，*k N ∈．

【归纳与总结】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力，属于难题．

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