一、选择题
1.(优质试题·滨州)如图,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,OA>OC,
∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M,连接OM.下列结论:①AC =BD;②∠AMB=40°;③OM平分∠BOC;④MO平分∠BMC.其中正确的个数为()
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】B
【解析】∵∠AOB=∠COD,∴∠AOC=∠BOD,又∵OA=OB,OC=OD,∴△AOC ≌△BOD,∴AC=BD,故①正确;∵△AOC≌△BOD,∴∠MAO=∠MBO,如图,设OA与BD相交于N,又∵∠ANM=∠BNO,∴∠AMB=∠AOB=40°,故②正确;如图,过点O分别作AC和BD的垂线,垂足分别是E,F,∵△AOC≌△BOD,AC=BD,∴OE=OF,∴MO平分∠BMC,故④正确;在△AOC中,∵OA>OC,∴∠ACO>∠OAC,∵△AOC≌△BOD,∴∠OAC=∠OBD,∴∠ACO>∠OBM,在△OCM 和△OBM中,∠ACO>∠OBM,∠OMC=∠OMB,∴∠COM<∠BOM,故③错误,所以①②④正确.故选B.
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二、填空题
16.(优质试题·嘉兴)如图,一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上,边AC与EF重合,AC=12cm.当点E从点A出发沿AC方向滑动时,点F 同时从点C出发沿射线BC方向滑动.当点E从点A滑动到点C时,点D运动的路径长为cm;连接BD,则△ABD的面积最大值为cm2.
【答案】24-
【解析】∵AC=12cm,∠A=30°,∠DEF=45°,
∴BC=4cm,AB=8cm,ED=DF=6cm,
如图,当点E沿AC方向下滑时,得△E'D'F',过点D'作D'N⊥AC于点N,作D'M ⊥BC于点M,
∴∠MD'N=90°,且∠E'D'F'=90°,
∴∠E'D'N=∠F'D'M,且∠D'NE'=∠D'MF'=90°,E'D'=D'F',
∴△D'NE'≌△D'MF'(AAS),
∴D'N=D'M,且D'N⊥AC,D'M⊥CM,
∴CD'平分∠ACM,
即点E沿AC方向下滑时,点D'在射线CD上移动,
∴当E'D'⊥AC时,DD'值最大,最大值=ED﹣CD=(12﹣6)cm,
∴当点E从点A滑动到点C时,点D运动的路径长=2×(12﹣6)=(24﹣12)cm.
如图,连接BD',AD',
∵S△AD'B=S△ABC+S△AD'C﹣S△BD'C,
∴S △AD'B=BC×AC+×AC×D'N﹣×BC×D'M=24+(12﹣4)×D'N,
当E'D'⊥AC时,S△AD'B有最大值,
∴S △AD'B最大值=24+(12﹣4)×6=(24+36﹣12)cm2.
故答案为:(24﹣12),(24+36﹣12).
18.(优质试题·株洲)如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,在直线x =1处放置
反光镜I ,在y 轴处放置一个有缺口的挡板II ,缺口为线段AB ,其中点A(0,1),点B 在点A 上方,且AB =1,在直线x =﹣1处放置一个挡板III ,从点O 发出的光线经反光镜I 反射后,通过缺口AB 照射在挡板III 上,则落在挡板III 上的光线的长度为.
第18题 【答案】32
【解析】如图,落在挡板III 上的光线的长度为MN 的长度,对应的反光镜I 的边界点分别为点P 和点Q ,根据光线的折射,入射角等于反射角可得∠OPF=∠APF,从而证明△APF ≌△OPF ,所以AO=2AF=2OF ,∴AF=12
,同理△AQB ≌△AQO,AB=AO=1,所以NE=2,∵AQ ⊥y 轴,∴PQ=AF=
1
2,
由题意知,△AEM ≌△AQP ,所以ME=PQ=1
2,
所以MN=NE-ME=2-12=3
2.
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三、解答题
23.(优质试题·武汉,23,20分)在△ABC中,∠ABC=90°,AB n
=,M是BC
BC
上一点,连接AM
(1)如图1,若n=1,N是AB延长线上一点,CN与AM垂直,求证:BM=BN (2)过点B作BP⊥AM,P为垂足,连接CP并延长交AB于点Q
①如图2,若n=1,求证:CP BM
=
PQ BQ
②如图3,若M是BC的中点,直接写出tan∠BPQ的值(用含n的式子表示)
【解题过程】
(1)证明:延长AM 交CN 于点H , ∵AM 与CN 垂直,∠ABC =90°,
∴∠BAM +∠N =90°,∠BCN +∠N =90°, ∴∠BAM =∠BCN . ∵n =1,∠ABC =90°, ∴AB =BC ,∠ABC =∠CBN . ∴△ABM ≌△CBN , ∴BM =BN .
(2)①证明:过点C 作CD //BP 交AB 的延长线于点D ,则AM 与CD 垂直. 由(1),得BM =BD .
∵CD //BP ,∴CP DB PQ
BQ
=,即CP BM PQ
BQ
=
②1n
提示:延长PM 到N ,使得MN =PM ,易知△PBM ≌△NCM ,则∠CNM =∠BPM =90°,∵AB n BC
=,BC =2BM ,∴
2AB
n BM
=,设PM =MN =1,则PB =CN =2n ,tan ∠
BPQ =tan ∠NCP =PN CN
=2PM CN =
2
2n =1n
图3
图2
图1
B
M
P
C
P
Q B M
C
M
B A
C
21.(优质试题·益阳)已知,如图,AB =AE ,AB ∥DE ,∠ECB=70°,∠D=110°,求证:△ABC ≌△EAD.
第21题图
【解题过程】证明:由∠ECB=70°得∠ACB=110°. ∵∠D=110°, ∴∠ACB=∠D. ∵AB ∥DE , ∴∠CAB=∠E. 又∵AB=AE , ∴△ABC ≌△EAD.
19.(优质试题·黄冈)如图,ABCD 是正方形,E 是CD 边上任意一点,连接AE ,作BF ⊥AE ,DG ⊥AE ,垂足分别为F ,G.求证:BF -DG =FG.
H
图1
M
B A
C
D
图2
P
Q M
A
C
N
图3
A
Q B
M
P
C
【解题过程】
20.(优质试题安徽)如图,点E 在□ABCD 内部,AF ∥BE ,DF ∥CE. (1)求证:△BCE ≌△ADF ;
(2)设□ABCD 的面积为S ,四边形AEDF 的面积为T ,求T
S
的值.
【解题过程】解:(1)证明:如图1,延长FA 与CB 交于点M ,∵AD ∥BE ,
∴∠FAD=∠M ,又∵AF ∥BE ,∴∠M=∠EBC ,∴∠FAD=∠EBC ,同理得∠FDA=
∠ECB ,
在△BCE 和△ADF 中,∵∠EBC=∠FAD ,BC=AD ,∠ECB=∠FDA ,
∴△BCE ≌△ADF ; ………………4分
E
F C
B A
D