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第五讲立体几何文科参考答案

第五讲参考答案

第一节空间几何体

例1变式与引申：

(1) 答案:A 解析:设正三棱柱的底边长为a

，则

2a =4a =

，又由24

V a h =

=解得3h =

，所以三棱柱的左视图的面积为3?

=，故选A

(2) 答案:A 解析:由正视图、侧视图可知，体积最小时，底层有3个小正方体，上面有2个，共5个；体积最大时，底层有9个小正方体，上面有2个，共11个，故这个几何体的最大体积与最小体积的差是6.故选A.

例2变式与引申：思路解析：截面过正四面体的两顶点及球心，则必过对棱的中点。

解答：如图5-1-1，ΔABE 为题中的三角形，

由已知得AB=2，

BE=2=

BF=23BE =

==ΔABE

的面积为1122S BE AF =

??==注：解决这类问题的关键是准确分析出组合体的结构特征，发挥自己的空间想象能力，把立体图和截面图对照分析，找出几何体中的数量关系。与球有关的截面问题为了增加图形的直观性，解题时常常画一个截面圆起衬托作用。例3 变式与引申：

解析如图（2）所示，所得的旋转体是两个底面重合的圆锥，高的和为AB=5，而底面半径为

12=?=

AB BC AC DC ∴旋转体的表面积为()，AC BC DC S ππ5

+?=表

图5-1-1

体积为BD CD AD CD V ??+??=

223

31ππ

485512312

ππ=???? ???=

例4变式与引申：

解：如图5-1-2（利用“割”思想）连EF ，

()

11111111111111111112311

333111326

A EBFD A D EF A EF

B F A D E F A EB A D E A EB A D E A EB

V V V V V S C D S C B a

S S a a a -----????=+=+=?+?=+=?=

习题5-1

1.答案：C 由主视图与侧视图可知，是在长方体的左上角去掉了一个小长方体，所以该几何体的俯视图

为答案C

2.答案：20π

解:在ABC ?中2AB AC ==,120BAC ∠=?,

可得BC =,由正弦定理,可得

ABC ?外接圆半径r=2,设此圆圆心为O '，球心为O ，在RT OBO '?

中，易得球半径R ，故此球的

表面积为2

420R ππ=。

3.解：【解析】由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥

V -ABCD ；

(1) ()1

864643

V =

???= (2) 该四棱锥有两个侧面VAD 、VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为

1h = 另两个侧面VAB. VCD 也是全等的等腰三角形，

C B A

D E

F A1 B1

图5-1-2

AB 边上的高为

25h ==

因此11

2(685)402

2S =????=+

4、解：如图5-1-3（Ⅰ）由已知可求得，正方形ABCD 的面积4=S ，

所以，求棱锥ABCD O -的体积3

2431=??=V

（Ⅱ）设线段AC 的中点为E ，连接ME ，

则EMD ∠为异面直线OC 与MD 所成的角（或其补角）

由已知，可得5,3,2===

MD EM DE ，

)5()3()2(=+

DEM ?∴为直角三角形

2tan ==

∠∴EM

EMD ，

所以，异面直线OC 与MD 所成角的大小3

3arctan ．

5.证明：图5-1-4解析（1）证明：由折起的过程可知，PE ⊥EF. 又PE ⊥AE ，AE EF=E ，

∴PE ⊥D 面ACFE. 又PE ?面PEF ，∴面PEF ⊥面ACFE.

（2）由（1）知PE ⊥面ACFE ，则PE 即为四棱锥P —ACFE 的高. 而,6

2621692x x x ，S

S BEF

ABC =?==?? ∴x x V V x V BEF

P ACB P ????

?-??=-===623662131)(2 ,129362????

?-?=x x （0＜x ＜63）.

图5-1-3

图5-1-4

∴,4936)(2???

? ??-?='x x V 所以当0＜x ＜6时，)(x V '＞0，)(x V 单调递增；当6＜x ＜63时，)(x V '＜0，)(x V 单调递减. 因此当6=x 时，)(x V 取得最大值.612

第二节点、直线、平面之间的位置关系

变式与引申1：解：对于//αβ，结合,//,m n αβ⊥则可推得m n ⊥．答案C ．

变式与引申2：解(1) 因为ABCD 为菱形，所以AB=BC ，又60ABC ∠=

，所以AB=BC=AC ，又M 为BC 中点，所以BC AM ⊥ 而PA ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD,所以PA BC ⊥ 又PA AM A = ，所以BC ⊥平面AMN （2

）因为11122AMC S AM CM ?=

?==

又PA ⊥底面,ABCD 2,PA = 所以1AN = 所以，三棱锥N AMC -的体积31=

V AMC S AN ?

?113== (3)存在，取PD 中点E ，连结NE ，EC,AE,因为N ，E 分别为PA ，PD 中点，所以AD NE 2

// 又在菱形ABCD 中，1

CM AD 所以MC NE //，即MCEN 是平行四边形所以， EC NM //，又?EC 平面ACE ，?NM 平面ACE 所以MN //平面ACE ，即在PD 上存在一点E ，使得//NM 平面ACE

，此时1

PE PD ==. 变式与引申3：

解：证明：(1)∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∴侧面与底面垂直，

即平面A 1B 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，又∵AB ⊥BC ，∴A 1B 1⊥B 1C 1，从而A 1B 1⊥平面BB 1C 1C . (2)由题设可知四边形BB 1C 1C 为正方形，∴BC 1⊥B 1C ，

又由(1)可知A 1B 1⊥平面BB 1C 1C ，而BC 1 平面BB 1C 1C ，∴A 1B 1⊥BC 1，

又∵A 1B 1∩B 1C ＝B 1，且A 1B 1 平面A 1B 1C ，B 1C 平面A 1B 1C ，∴BC 1⊥平面A 1B 1C ，而A 1C 平面A 1B 1C ，∴BC 1⊥A 1C .

(3)∵直三棱柱的侧面均为矩形，而D 、E 分别为所在侧面对角线的交点，∴D 为A 1C 的中点，E 为B 1C 的中点，∴DE ∥A 1B 1，而由(1)知，A 1B 1⊥平面BB 1C 1C .∴DE ⊥平面BB 1C 1C .

变式与引申4：证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF 中AD ⊥DF,DF=AD=DC (1)连接DB ，可知B 、N 、D 共线，且AC ⊥DN 又FD ⊥AD FD ⊥CD ，∴FD ⊥面ABCD

∴FD ⊥AC ∴AC ⊥面FDN FDN GN 面? ∴GN ⊥AC

（2）点P 在A 点处

下证：取DC 中点S ，连接AS 、GS 、GA G 是DF 的中点，∴GS//FC,AS//CM ∴面GSA//面FMC GSA GA 面? ∴GA//面FMC 即GP//面FMC

习题5-2

1.答案：（1）（2）解析：（3）条件不充分，推导不出结论（4）少了两“相交”二字

2.解：（1）∵E,F 分别是AB BD ，的中点．

∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，

∵EF ∥?面ACD ，AD ?面ACD ，∴直线EF ∥面ACD ；（2） AD BD ⊥，EF AD ∥，∴EF BD ⊥．

CB CD = ，F 是BD 的中点，CF BD ∴⊥．

又EF CF F =，BD ∴⊥面EFC ，BD ? 面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD ．

3.解

(1)如图5-1-5，在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中

点，∴EF ∥BC .

又BC ∥AD ,∴EF ∥AD ,又∵AD ?平面P AD ,E F ?平面

P AD ,∴EF ∥平面P AD .

(2)连接AE ,AC,EC ,过E 作EG ∥P A 交AB 于点G ,

则BG ⊥平面ABCD ,且EG =

P A . 在△P AB 中，AD =AB ,∠P AB °,BP =2,∴AP =AB

∴S △ABC =

12AB ·BC =12

∴V E-AB C =13S △ABC ·EG =13

=13

. 4.证明：（1）如图5-1-6, 三棱柱ABC —A 1B 1C 1是直棱柱，⊥∴1BB 平面ABC ，

又?CF 平面ABC ， 1BB CF ⊥∴ （2）解：三棱柱ABC —A 1B 1C 1是直棱柱， ⊥∴1BB 平面ABC ，又?AC 平面ABC 1BB AC ⊥∴

?=∠90ACB BC AC ⊥∴.1B BC BB =? ⊥∴AC 平面

ECBB 1 AC S V SCBB ECBB A ?=

∴-113

图

5-1-5

E 是棱CC 1的中点，22

1==

∴AA EC 62)42(21

)(2111+?+?=?+=∴BC BB EC S ECBB

.4263

3111=??=?=∴-AC S V ECBB ECBB A

（3）解：CF//平面AEB 1，证明如下：取AB 1的中点G ，联结EG ，FG G F , 分别是棱AB 、AB 1中点.2

,//11BB FG BB FG =

∴ 又.2

,//11BB EC BB EC =

EC FG EC FG =∴,//∴四边形FGEC 是平行四边形

.//EG CF ∴ 又?CF 平面AEB ，?EG 平面AEB 1，//CF ∴平面AEB 1

5.解：如图5-1-7（1）证明：由已知得：,DE AE DE EC ⊥⊥, DE ABCE ∴⊥面

DE BC ∴⊥, BC CE ⊥又,BC DCE ∴⊥面（2）证明：取AB 中点H ，连接GH ,FH ,

//GH BD ∴， //FH BC , //GH BCD ∴面， //FH BCD 面 //FHG BCD ∴面面, //GF BCD ∴面

（3）分析可知，R 点满足3AR RE =时，BDR BDC ⊥面面证明：取BD 中点Q ，连结DR 、BR 、CR 、CQ 、RQ

容易计算2,2

CD BD CR DR CQ ==

=== 在BDR

中2BR DR BD =

可知RQ =, ∴在CRQ 中,2

CQ RQ CR += ,∴CQ RQ ⊥ 又在CBD 中,,CD CB Q BD CQ BD =∴⊥为中点,

CQ BDR ∴⊥面, BDC BDR ∴⊥面面

第五讲测试题

一、选择题（每小题5分，共50分）

1、B 【解析】可知该几何体为底面边长为2，高为2的正四棱锥，斜高

4+B

2、B 【解析】在四棱锥P －ABCD ，其中底面ABCD

A B

F 图5-1-7

是矩形，PA ⊥底面ABCD ，且AD ＝4，AB ＝3，PA ＝4，如图5-1-8.1

434163

V =

???=，故选B 3、D 【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为

24=3216??=，选D ． 4、D 【解析】∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点，

5、C 【解析】①正确；②,m n 可能异面，不正确；③n 可能在面α内，不正确；④正确，故选C

6、A 【解析】由已知，球O 的直径为22R SC ==，∴表面积为244.R ππ=

7、C 【解析】利用等体积法。如图，有ABCD O ABC O ABD O ACD O BCD V V V V V ----=+++，所以1

ABCD V S R =?

（S 为四面体的表面积），可求得R =

C 8、C 【解析】设底面边长为a ，则高所以体积，

设，则，当y 取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，

此时，故选C.

9:B.解析:由题意知以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体（即两个同底同高同棱长的正

四棱锥），所有棱长均为1，其中每个正四棱锥的高均为

，故正八面体的体积为

212=21=323

V V =???正四棱锥, 故选B.

10、B 【解析】如图建立空间直角坐标系，则(1,1,0)C ，1(0,1D ，可设(,0,0)E x ，

那么

CE E D +1=，再转化到平面直角坐标系中，x 轴上动点(,0)x 到两定点

(0,2),(1,1)M N -的距离和，其最小值为10MN ==，故选B

二、填空题（每小题5分，共25分）

、

【解析】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有ABCD 11222323V h h =????=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时

,max h =

故max 3

V =

12、3【解析】可知点P 在平面ABC 上的射影O 为△ABC 的外心，又可知△ABC 为直角三角形，则点P 为斜边AB 的中点，故P 到平面ABC

的距离PO

13、

92π

【解析】补形法

2R =32

R =，故球O 的体积为92

14、22【解析】||AD AD =u u u r ，222

||||()AD AB BC CD AB BC CD =++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

222222AB BC CD AB BC BC CD CD AB =+++?+?+?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

44400222cos1208=+++++???=o ，

故||AD AD =u u u

=15 、①②③【解析】①②易知正确；棱锥的高为顶点A 到底面BEF 的距离，也就是点A 到面11BDD B 的

，底面BEF

为定值112=，得

11312V ==，故③正确； ④不正确

三、解答题（共75分）

16、如图5-1-9（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，所

以PD ⊥BC 。

由∠BCD=900，得CD ⊥BC ，

又PD DC=D ，PD 、DC ?平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD 。

因为PC ?平面PCD ，故PC ⊥BC 。

（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则：易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等。又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍。由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ，因为PD=DC ，PF=FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F 。易知

DF=

，故点A 到平面PBC

（方法二）体积法：连结AC 。设点A 到平面PBC 的距离为h 。因为AB ∥DC ，∠BCD=900，所以∠ABC=900。

图5-1-9

从而AB=2，BC=1，得ABC ?的面积1ABC S ?=。由PD ⊥平面ABCD 及PD=1，得三棱锥P-ABC 的体积1133

ABC V S PD ?=

?=。因为PD ⊥平面ABCD ，DC ?平面ABCD ，所以PD ⊥DC 。又PD=DC=1

，所以PC =

=。

由PC ⊥BC ，BC=1，得PBC ?

的面积2

PBC S ?=。由A PBC P ABC V V --=，11

PBC S h V ?==

，得h = 故点A 到平面PBC

17、如图5-1-10证明：（Ⅰ）设AC 于BD 交于点G 。因为EF ∥AG,且EF=1，AG=

AG=1

所以四边形AGEF 为平行四边形所以AF ∥EG

因为EG ?平面BDE,AF ?平面BDE, 所以AF ∥平面BDE

（Ⅱ）连接FG 。因为EF ∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG 为菱形。所以CF ⊥EG. 因为四边形ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC.又因为平面ACEF ⊥平面ABCD,且平面ACEF ∩平面ABCD=AC,所以BD ⊥平面ACEF.所以CF ⊥BD.又BD ∩EG=G,所以CF ⊥平面BDE.

18、如图5-1-11解：（Ⅰ）因为侧面BCC 1B 1是菱形，所以11BC C B ⊥ 又已知B BC B A B A C B =?⊥1111,且

所又⊥C B 1平面A 1BC 1，又?C B 1平面AB 1C ，

所以平面⊥C AB 1平面A 1BC 1 .

（Ⅱ）设BC 1交B 1C 于点E ，连结DE ，则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线，因为A 1B//平面B 1CD ，所以A 1B//DE. 又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点. 即A 1D ：DC 1=1.

19.解：（1）由三视图可知，该几何体底面ABCD 为菱形且,60

=∠BAC AB=2，易知PB//DE AEC //平面PB ∴ （2）过O 作OF ⊥PA ，垂足为F

图5-1-10

图5-1-11

在POA ?中，PO PA PF ?=2

∴PF 23=FA

31=FA PF 在菱形ABCD 中 BD ⊥AC 又PO ⊥平面ABCD PO BD ⊥∴ 则BD ⊥平面APO ⊥∴PA 平面BDF

∴当3

=FA PF 时，⊥PA 平面BDF 在POA ?中,过F 作FH//PO 则FH ⊥平面BCD FH=4343=PO 3322

=??=∴?BCD S

3433131=

??=?=∴?-FH S V BCD BDC F

20、解：（I ）证明：取AC 中点F ，连结OF 、FB

AE BD AE BD EA OF EA OF CE O AC F 2

//,21//,,==

∴且又且中点为中点是 ∴F//DB ，OF=DB ∴四边形BDOF 是平行四边形 ∴OD//FB

又?FB 平面MEG ，OD ?平面MEG ∴OD 面ABC 。（II ）当N 是EM 中点时，ON ⊥平面ABDE 。

证明：取EM 中点N ，连结ON 、CM ，∵AC=BC ，M 为AB 中点，∴CM ⊥AB ，又∵面ABDE ⊥面ABC ，面ABDE 面ABC=AB ，CM ?面ABC ， ∴CM ⊥AB ，

∵N 是EM 中点，O 为CE 中点，∴ON//CM ， ∴ON ⊥平面ABDE 。

21、解：（1）设底面对角线交点为G ，则可以通过证明EG ∥FH ，得FH ∥平面EDB ；（2）利用线线、线面的平行与垂直关系，证明FH ⊥平面ABCD ，得FH ⊥BC ，FH ⊥AC ，进而得EG ⊥AC ，AC ⊥平面EDB ；（3）证明BF ⊥平面CDEF ，得BF 为四面体B-DEF 的高，进而求体积.

(1),1//,

//,2

////AC BD G G AC EG GH H BC GH AB EF AB EFGH EG FH EG EDB FH EDB

∴∴?∴证：设与交于点，则为的中点，连，由于为的中点，故

又四边形为平行四边形

，而平面，平面

全国高考文科数学立体几何综合题型汇总

新课标立体几何常考证明题汇总 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点（1）求证：EFGH 是平行四边形（2）若 BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。证明：在ABD ?中，∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1 //,2 EH BD EH BD = 同理，1 //,2 FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。 (2) 90° 30 ° 考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。证明：（1）BC AC CE AB AE BE =??⊥?=? 同理， AD BD DE AB AE BE =? ?⊥?=? 又∵CE DE E ?= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE 又∵AB ?平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定 A H G F E D C B A E D B C

3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，求证： 1//A C 平面BDE 。证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。考点：线面平行的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠=o ,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥ 又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥?=AD ∴⊥面SBC 考点：线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ．证明：（1）连结11A C ，设 11111 A C B D O ?=，连结1AO ∵ 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 ∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO = 11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴? ∥面11AB D ，1C O ?面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D （2）1CC ⊥Q 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又 1111 A C B D ⊥∵， 1111B D A C C ∴⊥面 1 11AC B D ⊥即同理可证 11 A C AD ⊥，又 1111 D B AD D ?= ∴1A C ⊥面11AB D 考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 A E D 1 C B 1 D C B A S D C B A D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C

立体几何文科解答题16个

精品文档。 1欢迎下载 1．如图，在四棱锥P ?ABCD 中，底面ABCD 是正方形．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ．（1）求证：AB//EF ；（2）若PA =AD ，且平面PAD ⊥平面ABCD ，试证明AF ⊥平面PCD . 2．如图，在三棱柱ABC ?A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =CC 1=2，点D 为AB 的中点. （1）证明：AC 1∥平面B 1CD ；（2）求三棱锥A 1?CDB 1的体积. 3．如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（Ⅰ）求证：PA ⊥BD ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积． 4．在三棱锥P ABC -中， PB ⊥底面,90,ABC BCA M ∠=o 为AB 的中点， E 为PC 的中点，点F 在PA 上，且2AF FP =. （1）求证： AC ⊥平面PBC ；（2）求证： //CM 平面BEF ；（3）若2PB BC CA ===，求三棱锥E ABC -的体积 .

试卷第2页，总5页 5．如图，在多面体ABCDFE 中，四边形ADFE 是正方形，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD =AD =1，BC =2，G 为BC 中点，平面ADFE ⊥平面ADCB . (1)证明：AC ⊥BE ； (2)求三棱锥A ?GFC 的体积. 6．如图，在四棱锥P ABCD -中， PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形， 60ABC ∠=o ， 1,PA PB E ==为PC 的中点 . （1）求证： //PA 平面BDE ；（2）求三棱锥P BDE -的体积. 7．如图，四棱锥P ?ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且平面PAC ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA =PC ，AB =2BC =2，∠ABC =60°．（Ⅰ）求证：PB//平面ACE ；

届高三文科数学立体几何专题训练

2015届高三数学（文）立体几何训练题 1、如图3，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的一点． ⑴求证：平面PAC ⊥平面PBC ； ⑵若PA=AB=2，∠ABC=30°，求三棱锥P -ABC 的体积． 2、如图，已知P A ?⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，AB =2，C 是⊙O 上一点，且AC =BC =P A ，E 是PC 的中点，F 是PB 的中点. （1）求证：EF 3、如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1?底面ABCD ，且41=A A . 梯形ABCD 的面积为6，且AD 平面DCE A 1与B B 1交于点E . （1）证明：EC D A 111A ABB 4、如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AA 1＝AB ＝2a ，D 、E 分别为CC 1、A 1B 的中点．（1）求证：DE ∥平面ABC ；（2）求证：AE ⊥BD ；（3）求三棱锥D —A 1BA 的体积． 5.如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ．（Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； P A B C O E F A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 A D F

F E A （Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥；（Ⅲ）求四面体CDFN 体积的最大值． 6、如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC,090=∠BCA ，AP=AC, 点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且BC （Ⅰ）求证：D E ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若PC ⊥AD ，且三棱锥P ABC -的体积为8，求多面体ABCED 的体积。 7、如图：C 、D 是以AB 为直径的圆上两点，==AD AB 232，BC AC =，F 是AB 上一点，且AB AF 3 1 =，将圆沿直径AB 折起，使点C 在平面ABD 的射影E 在BD 上，已知2=CE . （1）求证：⊥AD 平面BCE ；（2）求证：//AD 平面CEF ；（3）求三棱锥CFD A -的体积． 8、如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,105,o o o A C ADC ∠=∠=∠=A B BD =，现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点．（1）求证：DC ⊥平面ABC ；

2015年高考文科数学立体几何试题汇编

图 2 1俯视图侧视图正视图2 11.（北京8）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，则 P 到各顶点的距离的不同取值有（） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 2.（广东卷6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( ) A ．1 6 B ．1 3 C ．2 3 D ．1 3. （广东卷8）设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 4. （湖南卷7）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于 A ． 3 B.1 C. 21 + D.2 5. 江西卷8）.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为（） A.200+9π B. 200+18π C. 140+9π D. 140+18π 6. （辽宁卷10）已知三棱柱 1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，， ,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为 A ． 317 B ．210 C ．13 2 D ．310 B ．. （全国卷11）已知正四棱柱1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（A ） 2 3 （B ）3 （C ）2 （D ）13 8. （四川卷2）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）

高考立体几何文科大题及标准答案

高考立体几何大题及答案 1.（2009全国卷Ⅰ文）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ， 2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，o ∠ABM=60。（I ）证明：M 是侧棱SC 的中点； ()II 求二面角S AM B --的大小。 2.（2009全国卷Ⅱ文）如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ⊥AC,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1（Ⅰ）证明：AB=AC （Ⅱ）设二面角A-BD-C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小 3.（2009浙江卷文）如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====， 120ACB ∠=o ，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ；（II ）求AD 与平面ABE 所成角的正弦值． A C B A 1 B 1 C 1 D E

4.（2009北京卷文）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当2PD AB = 且E 为PB 的中点时，求 AE 与平面PDB 所成的角的大小. 5.（2009江苏卷）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C ⊥。求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面1A FD ⊥平面11BB C C .

6.（2009安徽卷文）如图，ABCD 的边长为2的正方形，直线l 与平面ABCD 平行，g 和F 式l 上的两个不同点，且EA=ED ，FB=FC ，和是平面ABCD 内的两点，和都与平面ABCD 垂直，（Ⅰ）证明：直线垂直且平分线段AD ：（Ⅱ）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多面体ABCDEF 的体积。 7.（2009江西卷文）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ．（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ；（2）求直线PC 与平面ABM 所成的角；（3）求点O 到平面ABM 的距离． 8.（2009四川卷文）如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?==∠= （I ）求证：EF BCE ⊥平面；（II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证： PM ∥BCE 平面（III ）求二面角F BD A --的大小。 O A P B M D

(完整版)2019年高考试题汇编文科数学--立体几何

（2019全国1文）16.已知90ACB ∠=?，P 为平面ABC 外一点，2PC =，点P 到ACB ∠两边,AC BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为 . 答案： 2 解答：如图，过P 点做平面ABC 的垂线段，垂足为O ，则PO 的长度即为所求，再做,PE CB PF CA ⊥⊥，由线面的垂直判定及性质定理可得出,OE CB OF CA ⊥⊥，在Rt PCF ?中，由2,3PC PF ==，可得出1CF =，同理在Rt PCE ?中可得出1CE =，结合90ACB ∠=?，,OE CB OF CA ⊥⊥可得出1OE OF ==，2OC =，222PO PC OC =-= （2019全国1文）19.如图直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2AA AB ==，60BAD ∠=o ， ,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点. （1）证明：//MN 平面1C DE （2）求点C 到平面1C DE 的距离. 答案：见解析解答：（1）连结1111,AC B D 相交于点G ，再过点M 作1//MH C E 交11B C 于点H ，再连结GH ，NG . Q ,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点. 于是可得到1//NG C D ，//GH DE ，于是得到平面//NGHM 平面1C DE ，由MN ?Q 平面NGHM ，于是得到//MN 平面1C DE

（2）E Q 为BC 中点，ABCD 为菱形且60BAD ∠=o DE BC ∴⊥，又1111ABCD A B C D -Q 为直四棱柱，1DE CC ∴⊥ 1DE C E ∴⊥，又12,4AB AA ==Q ， 1DE C E ∴=，设点C 到平面1C DE 的距离为h 由11C C DE C DCE V V --=得 1111 143232 h ?=?? 解得h = 所以点C 到平面1C DE （2019全国2文）7. 设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. ,αβ平行于同一条直线 D. ,αβ垂直于同一平面答案：B 解析: 根据面面平行的判定定理易得答案. （2019全国2文）16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.)

高三文科数学立体几何平行垂直问题专题复习(含答案)

高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题【基础知识点】一、平行问题 1．直线与平面平行的判定与性质定义判定定理性质性质定理图形条件a∥α 结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b 2. 面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∥β，a?β 结论α∥βα∥βa∥b a∥α 平行问题的转化关系：二、垂直问题一、直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．2．直线与平面垂直的判定定理及推论文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面

文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行 4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一条直线的两平面平行．二、平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 2．平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面类型一、平行与垂直例1、如图，已知三棱锥A BPC -中，,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形。（Ⅰ）求证：DM ∥平面APC ；（Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ；（Ⅲ）若BC 4=，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积。 M D A P B C

山东高考文科数学立体几何大题及答案汇编

2008年-2014年山东高考文科数学立体几何大题及答案（08年）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，245AB DC == （Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积．（09年）如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB 11111 （10年）（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==. （I ）求证：平面EFG ⊥平面PDC ；（II ）求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积之比. （11年）（本小题满分12分）如图，在四棱台 1111 ABCD A B C D -中， 1D D ABCD ⊥平面，底面 ABCD 是平行四边形， 112,,60AB AD AD A B BAD ==∠= （Ⅰ）证明：1AA BD ⊥；（Ⅱ）证明：11//CC A BD 平面. A B C M P D E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D D B1 D1 C1 C B A A1

（12年） (本小题满分12分) 如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形， ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =； (Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . （13年）（本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AC ， AB ⊥PA ，AB ∥CD ，AB=2CD ，E ，F ，G ， M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点。（Ⅰ）求证，CE ∥平面PAD; （Ⅱ）求证，平面EFG ⊥平面EMN 。（14年）（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，,//,BC AD PCD AP 平面⊥AD BC AB 2 1 = =,F E ,分别为线段PC AD ,的中点。（Ⅰ）求证：BEF AP 平面// （Ⅱ）求证：PAC BE 平面⊥ P A C D E

高考文科数学立体几何试题汇编

图 2 俯视图侧视图正视图1.（北京8）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，则 P 到各顶点的距离的不同取值有（） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 2.（广东卷6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( ) A ．1 6 B ．1 3 C ．2 3 D ．1 3. （广东卷8）设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 4. （湖南卷7）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1 的矩形，则该正方体的正视图的面积等于 A ． B.1 C. 1 2 5. 江西卷8）.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为（） A.200+9π B. 200+18π C. 140+9π D. 140+18π 6. （辽宁卷10）已知三棱柱 1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，， ,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为 A ． 2 B ． C ．13 2 D ．B ．. （全国卷11）已知正四棱柱1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（ A ） 23 （B （C （D ）1 3 8. （四川卷2）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）

（A ）棱柱（B ）棱台（C ）圆柱（D ）圆台 9. （全国新课标9）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)， (0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（） (A) (B) (C) (D) 10.（浙江卷4）设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面， A 、若m ∥α，n ∥α,则m ∥n B 、若m ∥α，m ∥β,则α∥β C 、若m ∥n ，m ⊥α,则n ⊥α D 、若m ∥α，α⊥β,则m ⊥β 11.（浙江卷5）已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是 A 、108cm 3 B 、100 cm 3 C 、92cm 3 D 、84cm 3 12. （重庆卷8）某几何体的三视图如题（8）所示，则该几何体的表面积为（）（A ）180 （B ）200 （C ）220 （D ）240 13. （辽宁卷13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 . 14.（安徽15）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）。 ①当1 02 CQ << 时，S 为四边形

高三文科数学立体几何专题练习加详细答案

高三文科数学专题立体几何 1. （2013汕头二模）设I、m是不同的两条直线, 题中为真命题的是（） A ?若I ,，则I// C .若I m, // ,m ，则1 【答案】D 【解析】T I ,// ,?- I ,- .■ m D .若I , // ,m ，则I m 2. （2013东城二模）给出下列命题： ①如果不同直线m、n都平行于平面，则m、n—定不相交； ②如果不同直线m、n都垂直于平面，则m、n—定平行； ③如果平面、互相平行，若直线m ，直线n ，则m//n ； ④如果平面、互相垂直，且直线m、n也互相垂直，若m 则n 则真命题的个数是（） A . 3 B . 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】只有②为真命题. 3. 设I为直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A .若I // ,I// ，贝U // B.若1 ,I ，则// C .若1 ,I// ，贝U // D .若,I// ，则I 【解析】B 4. (2013 东莞 -模）如图，平行四边形ABCD 中，CD 1, BCD 60，且BD CD ,正方形ADEF和平面ABCD垂直，G, H是DF ,BE的中点. （1）求证：BD 平面CDE ; （2）求证：GH //平面CDE ; （3）求三棱锥D CEF的体积. C 是不重合的两个平面，则下列命 B.若I// , ，则I//

【解析】（1）证明：平面 ADEF 平面ABCD ，交线为AD , ?/ ED AD , ? ED 平面 ABCD , ?- ED BD ? 又 BD CD , ?- BD 平面 CDE . (2) 证明：连接 EA ，则G 是AE 的中点, ??? EAB 中，GH//AB , 又 AB//CD , ? GH // CD , ? GH // 平面 CDE ? (3) 设Rt BCD 中BC 边上的高为h ，是棱PA 上的动点. (1) 若Q 是PA 的中点，求证: PC // 平面BDQ CQ ； (2) PC , PB PD ，求证：BD 解析：证明：（1）连结AC ，交BD 于O ,如图: 若 PB 3, ABC 60°，求四棱锥P ABCD 即：点C 到平面 DEF 的距离为 … V D CEF V C DEF _3 2 _3 3 5.（2013丰台二模）如图所示，四棱锥P ABCD 中, 底面ABCD 是边长为2的菱形，Q

高考文科数学专题5 立体几何高考文科数学 (含答案)

专题五立体几何第一讲空间几何体 1．棱柱、棱锥 (1)棱柱的性质侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形． (2)正棱锥的性质侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形． 2．三视图 (1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高； (2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样． 3．几何体的切接问题 (1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长． (2)柱、锥的内切球找准切点位置，化归为平面几何问题． 4．柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(不要求记忆) (1)表面积公式 ①圆柱的表面积 S ＝2πr (r ＋l )； ②圆锥的表面积S ＝πr (r ＋l )； ③圆台的表面积S ＝π(r ′2 ＋r 2 ＋r ′l ＋rl )； ④球的表面积S ＝4πR 2 . (2)体积公式 ①柱体的体积V ＝Sh ； ②锥体的体积V ＝1 3 Sh ；

③台体的体积V ＝1 3(S ′＋SS ′＋S )h ； ④球的体积V ＝43 πR 3 . 1． (2013·广东)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是 ( ) A ．4 B.143 C.16 3 D ．6 答案 B 解析由三视图知四棱台的直观图为由棱台的体积公式得：V ＝13(2×2＋1×1＋2×2×1×1)×2＝14 3. 2． (2013·四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 ( )

2018高考文科立体几何大题

立体几何综合训练1、证明平行垂直 1．如图，AB 是圆O 的直径，PA⊥圆O 所在的平面，C是圆O 上的点．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）若Q 为PA的中点，G为△AOC 的重心，求证：QG∥平面PBC．2．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，AB ∥ CD，AB⊥AD ，CD=2AB ，平面PAD⊥ 底面ABCD ，PA⊥ AD ．E和F分别是CD 和PC 的中点，求证：（Ⅰ） PA⊥底面ABCD；（Ⅱ）BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD ．

3．如图，四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，AB⊥AD ，点E在线段AD 上，且CE∥AB ．（Ⅰ）求证：CE⊥平面PAD ；（Ⅱ）若PA=AB=1 ，AD=3 ，CD= ， ∠ CDA=45 °，求四棱锥P﹣ABCD 的体4．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形．已知．M 是PD 的中点． Ⅰ）证明PB∥平面MAC Ⅱ）证明平面PAB⊥平面ABCD Ⅲ）求四棱锥p ﹣ABCD 的体积．

Ⅲ）若M 是PC 的中点，求三棱锥M ﹣ACD 的体积． 2、求体积问题 5．如图，已知四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥DC，∠ ABC=45 °，DC=1 ，AB=2 ，PA⊥平面ABCD ，PA=1 ．（Ⅰ）求证：AB∥平面PCD； Ⅱ）求证：BC⊥平面PAC；

6．（2011? 辽宁）如图，四边形ABCD 为正方形，QA⊥平面ABCD ， PD∥QA， OA=AB= PD．（Ⅰ）证明PQ⊥平面DCQ ；（Ⅱ）求棱锥Q﹣ABCD 的体积与棱锥P ﹣DCQ 的体积的比值．7．如图，四棱锥P﹣ABCD 的底面ABCD 是边长为 2 的菱形，∠ BAD=60 °，已知 PB=PD=2 ，PA= ．（Ⅰ）证明：PC⊥ BD （Ⅱ）若E为PA 的中点，求三棱锥P ﹣ BCE的体积．

2017届文科数学立体几何大题训练 (1)

2017届文科数学立体几何大题训练 1. 如图，三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形．（Ⅰ）求证：DM 如图1，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，面ABCD 为正方形，E 为侧棱PD 上一点，F 为AB 上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）求四面体PBFC 的体积；（Ⅱ）证明：AE ∥平面PFC ；（Ⅲ）证明：平面PFC ⊥平面PCD ． 3. 如图，四棱柱P ABCD -中， .//,,AB PAD AB CD PD AD F ⊥=平面是DC 上的点且1 ,2 DF AB PH =为PAD ?中AD 边上的高. （Ⅰ）求证：//AB 平面PDC ；（Ⅱ）求证：PH BC ⊥；（Ⅲ）线段PB 上是否存在点E ，使EF ⊥平面PAB 说明理由. F A D P C H

4. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点。（1）若，求证：平面；（2）点在线段上，，试确定的值，使； 5. ．如图，E 是矩形ABCD 中AD 边上的点，F 为CD 边的中点， 2 43 AB AE AD ===，现将ABE ?沿BE 边折至PBE ?位置，且平面PBE ⊥平面 BCDE . ⑴ 求证：平面PBE ⊥平面 PEF ； ⑵ 求四棱锥P BEFC -的体积. P B C E D F E

6. 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ， 90ABC BCD ∠=∠=，PA PD DC CB a ====，2AB a =，E 是PB 中点，H 是AD 中点. （Ⅰ）求证：//EC 平面APD ；（Ⅱ）求三棱锥E BCD -的体积. 7. 如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形， 90BAC ∠=°，O 为BC 中点．（Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求异面直线BS 与AC 所成角的大小． S

《立体几何》专题(文科)

高三文科数学第二轮复习资料 ——《立体几何》专题一、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结．如下图：二、练习题： 1． 1∥ 2，a ，b 与 1， 2都垂直，则a ，b 的关系是 A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．平行、相交、异面都有可能 2．三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别为AA 1、CC 1上的点，且满足AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积是 A ． V 21 B ．V 31 C ．V 41 D ．V 3 2 3．设α、β、γ为平面， m 、n 、l 为直线，则m β⊥的一个充分条件是 A ．,,l m l αβαβ⊥=⊥ B ．,,m αγαγβγ=⊥⊥ C ．,,m αγβγα⊥⊥⊥ D ．,,n n m αβα⊥⊥⊥ 4．如图1，在棱长为a 的正方体ABCD A B C D -1111中， P 、Q 是对角 D 1 B 1

线A C 1上的点，若 a PQ= 2 ，则三棱锥P BDQ -的体积为 A3 B3 C3 D．不确定 5．圆台的轴截面面积是Q，母线与下底面成60°角，则圆台的内切球的表面积是 A 1 2Q B 2 3 Q C 2 π Q D 2 3π Q 6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O为AC与BD的交点（如图），求证：（1）EG∥平面BB1D1D；（2）平面BDF∥平面B1D1H；（3）A1O⊥平面BDF；（4）平面BDF⊥平面AA1C． 7．如图，斜三棱柱ABC—A’B’C’中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为 b，侧棱AA’与底面相邻两边AB、AC都成450角，求此三棱柱的侧面积和体积． 8．在三棱锥P—ABC中，PC=16cm，AB=18cm，PA=PB=AC=BC=17cm，求三棱锥的体积V P-ABC．

届高三文科数学立体几何空间角专题复习

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2015届高三文科数学立体几何空间角专题复习考点1：两异面直线所成的角例1.如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点（Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1 例2.（2010全国卷1文数）直三棱柱111ABC A B C -中，若 90BAC ∠=?，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于（ C ） (A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 90° 变式训练： 1.（2009全国卷Ⅱ文）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( C ) （A ） 1010 (B) 15 (C ) 31010 (D) 35 2.如图，直三棱柱111ABC A B C -，90BCA ?∠=，点1D 、1F 分别是11A B 、11A C 的中点， 1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是（） A ． 1030 B ．21 C ．15 30 D ． 10 15 3.（2012年高考（陕西理））如图,在空间直角坐标系中有直三棱 111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（） A ． 55 B ． 53 C ． 5 5 D ．35 第3题图第4题图第5题图 4．(2007全国Ⅰ·文)如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线 1A B 与1AD 所成角的余弦值为（）

高科文科数学立体几何真题解析

专题07 立体几何立体几何的知识是高中数学的主干内容之一，它主要研究简单空间几何体的位置和数量关系．本专题内容分为三部分：一是点、直线、平面之间的位置关系，二是简单空间几何体的结构，三是空间向量与立体几何．在本专题中，我们将首先复习空间点、直线、平面之间的位置关系，特别是对特殊位置关系(平行与垂直)的研究；其后，我们复习空间几何体的结构，主要是柱体、锥体、台体和球等的性质与运算；最后，我们通过空间向量的工具证明有关线、面位置关系的一些命题，并解决线线、线面、面面的夹角问题． §7－1 点、直线、平面之间的位置关系【知识要点】 1．空间直线和平面的位置关系： (1)空间两条直线： ①有公共点：相交，记作：a∩b＝A，其中特殊位置关系：两直线垂直相交． ②无公共点：平行或异面．平行，记作：a∥b．异面中特殊位置关系：异面垂直． (2)空间直线与平面： ①有公共点：直线在平面内或直线与平面相交．直线在平面内，记作：a?α ．直线与平面相交，记作：a∩α ＝A，其中特殊位置关系：直线与平面垂直相交． ②无公共点：直线与平面平行，记作：a∥α ． (3)空间两个平面： ①有公共点：相交，记作：α ∩β ＝l，其中特殊位置关系：两平面垂直相交． ②无公共点：平行，记作：α ∥β ． 2．空间作为推理依据的公理和定理： (1)四个公理与等角定理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． (2)空间中线面平行、垂直的性质与判定定理： ①判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． ②性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行．如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．垂直于同一个平面的两条直线平行．

高考真题立体几何文科

文科立体几何

4、如图，矩形ABCD 中，ABE AD 平面⊥，2===BC EB AE ，F 为CE 上的点，且 ACE BF 平面⊥. （Ⅰ）求证：BCE AE 平面⊥；（Ⅱ）求证；BFD AE 平面//；（Ⅲ）求三棱锥BGF C -的体积. B C

5、如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点． (Ⅰ)求证：//EF 平面11ABC D ； (Ⅱ)求证：1EF B C ⊥；（III ）求三棱锥EFC B V -1的体积． 6、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ， 1==DC PD ，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F ． (I) 证明： PA ∥平面EDB ； (II) 证明：PB ⊥平面EFD ； (III) 求三棱锥DEF P -的体积． A B D E F A 1 B 1

1 A 1B 1C A B D C 7、如图, 在三棱柱中，， 1CC ⊥平面ABC ，，,，点是的中点，（1）求证：；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积。 8. 如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ． (1)求证：AE ⊥BE ； (2)求三棱锥D －AEC 的体积； (3)设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE. 111ABC A B C -3AC =4BC =5AB =14AA =D AB 1AC BC ⊥11AC CDB 平面11C CDB -

高考大题规范解答立体几何大题(文科)

高考大题规范解答——立体几何(文) 考点1线面位置关系与体积计算例1(2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD． (1)证明：AC⊥BD； (2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．【分析】①看到证明线线垂直(AC⊥BD)，想到证明线面垂直，通过线面垂直证明线线垂直． ②看到求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比，想到确定同一平面，转化为求高的比．【标准答案】——规范答题步步得分 (1)取AC的中点O，连接DO，BO.1分得分点① 因为AD＝CD，所以AC⊥DO. 又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO. 又因为DO∩BO＝O，从而AC⊥平面DOB，3分得分点② 故AC⊥BD．4分得分点③ (2)连接EO.5分得分点④ 由(1)及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝AO. 在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.7分得分点⑤ 由题设知△AEC为直角三角形，

所以EO ＝1 2 AC ． 8分得分点⑥ 又△ABC 是正三角形，且AB ＝BD ，所以EO ＝1 2 BD ．故E 为BD 的中点， 9分得分点⑦ 从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的1 2，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的1 2， 11分得分点⑧ 即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1︰1. 12分得分点⑨ 【评分细则】 ①作出辅助线，并用语言正确表述得1分． ②得出AC ⊥DO 和AC ⊥BO 得1分，由线面垂直的判定写出AC ⊥平面DOB ，再得1分． ③由线面垂直的性质得出结论得1分． ④作出辅助线，并用语言正确表述得1分． ⑤由勾股定理逆定理得到∠DOB ＝90°得2分． ⑥由直角三角形的性质得出EO ＝1 2AC 得1分． ⑦由等边三角形的性质得出E 为BD 的中点，得1分． ⑧得出四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的1 2得2分． ⑨正确求出体积比得1分．【名师点评】 1．核心素养：空间几何体的体积及表面积问题是高考考查的重点题型，主要考查考生“逻辑推理”及“直观想象”的核心素养． 2．解题技巧：(1)得步骤分：在立体几何类解答题中，对于证明与计算过程中的得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以，对于得分点步骤一定要写，如第(1)问中AC ⊥DO ，AC ⊥BO ；第(2)问中BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2等． (2)利用第(1)问的结果：如果第(1)问的结果对第(2)问的证明或计算用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题就是在第(1)问的基础上得到DO ＝AO . 〔变式训练1〕如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，且EC ＝2FB ． (1)证明：平面AEF ⊥平面ACC 1A 1；