第9讲配对求和

配对求和

一、知识要点

被人称为“数学王子”的高斯在年仅8岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好地算出了1+2+3+4+……+99+100的结果。小高斯是用什么办法算得这么快呢？原来，他用了一种简便的方法：先配对再求和。

数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。

计算等差数列的和，可以用以下关系式：

等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2

末项＝首项＋公差×（项数－1）

项数＝（末项－首项）÷公差＋1

二、精讲精练

【例题1】你有好办法算一算吗？

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

练习1：速算。

(1) 1+2+3+4+5+……+20 (2) 1+2+3+4+……+99+100

(3) 21+22+23+24+……+100

【例题2】计算。

(1) 21+23+25+27+29+31 (2) 312+315+318+321+324

练习2：计算。

(1) 48+50+52+54+56+58+60+62 (2) 108+128+148+168+188

【例题3】有一堆木材叠堆在一起，一共是10层，第1层有16根，第2层有17根，……下面每层比上层多一根，这堆木材共有多少根？

练习3：

(1)体育馆的东区共有30排座位，呈梯形，第1排有10个座位，第2排有11个座位，……这个体育馆东区共有多少个座位？

(2)有一串数，第1个数是10，以后每个数比前一个数大4,最后一个数是90，这串数连加的和是多少？

(3)有一个钟，一点钟敲1下，两点钟敲2下，……十二点钟敲12下，分钟指向6敲1下，这个钟一昼夜敲多少下？

【例题4】计算992+993+994+995+996+997+998+999。

练习4：计算。

(1) 95+96+97+98+99 (2) 2006+2007+2008+2009

(3) 9997+9998+9999 (4) 100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19

【例题5】计算

1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18-82-19-81

练习5：计算。

(1) 1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1

(2) 1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-87-17-88-18-89-19

(3) 2001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16

(完整版)巧妙求和

第8讲巧妙求和（一） 一、知识要点 若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 二、精讲精练 【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？ 【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。 项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。 练习1： 1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差= 2.这个等差数列共有多少项？ 2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？ 3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？ 【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。 第100项=3+4×（100－1）=399. 练习2： 1.一等差数列，首项=3.公差= 2.项数=10，它的末项是多少？ 2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。 3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。

【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。 【思路导航】如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…， 3.2.1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。 1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050 上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和： 等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2 这个公式也叫做等差数列求和公式。 练习3： 计算下面各题。 （1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 （3）100+99+98+…+61+60 【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。 【思路导航】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。 要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25 首项=2.末项=50，项数=25 等差数列的和=（2+50）×25÷2=650. 练习4： 计算下面各题。 （1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+…+195+200 （3）9+18+27+36+…+261+270

配对求和习题

配对求和习题 数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果 一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。 计算等差数列的和，可以用以下关系式： 等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2 末项＝首项＋公差×（项数－1） 项数＝（末项－首项）÷公差＋1 一、填空题 1.1+2+3+4+5+6+7=________ 2.2+4+6++8+10=_________ 3.1+3+5+7+9+11+13+15+17=__________ 4.25+27+29+31+33=________ 5.2002+2004+2006+2008+2010+2012=________ 6.15+20+25+30+35+40=_________ 7.11-12+13-14+15-16+17-18+19=_________ 8.(2003+2001+1999+...+3+1)-(2002+2000+1998+...+4+2)=_________ 9.27+31+35+39+43+47=_________ 10.121+134+127+130+133+136+139=_________ 11.101+103+105+...+139=_________ 二、解答题 12.计算:10+13+16+19+...+295+298. 13.求200以内的双数之和. 14.等差数列7、10、13...的第20项数是几? 15.肖肖从七月一日开始写毛笔字,第一天写了6个,以后每天比前一天多写相同 数量的毛笔字,结果全月共写了1116个毛笔字,肖肖每天比前一天多写了几个毛笔字?

三年级数学配对求和.pdf

第十一周配对求和 专题简析： 被人称为“数学王子”的高斯在年仅8岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好地算出了1＋2＋3＋4＋…＋99＋100的结果。小高斯是用什么办法算得这么快的呢？原来，他用了一种简便的方 法：先配对再求和。 数列的第一项叫首项，最后一项叫末项。如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差 数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。 计算等差数列的和，可以用以下关系式： 等差数列的和=（首项＋末项）×项数÷ 2 末项=首项＋公差×（项数－1） 项数=（末项－首项）÷公差＋ 1

例题1 你有好办法算一算吗？ 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10=（） 思路导航：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10共10个数，我们可以把10个数分成5组：1＋10，2＋9，3＋8，……，每组两个数的和是11，它们的和就有5个11即11×5=55。 练习一 1，计算： 1＋2＋3＋4＋ (20) 2，你能迅速算出结果吗？ 1＋2＋3＋4＋ (100) 3，想一想，该怎样计算方便？ 21＋22＋23＋24＋ (50)

例题2 你能迅速算出下列算式的结果吗？ 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=（） 思路导航：1、2、3、4、5、6、7、8、9一共9个数，如果我们还像例1那样两个数组成一组，就有一个数多出来，那怎样做呢？我们可以这样想： 10 10101010101010+987654321 10987654321 9个10是90，90是两组1加到9的和，它的一半是90÷2=45。当加数个数成单时，我们可以用第一个数与最后一个数相加，乘这组数的个数，再除以2，其实这种方法也适用于加数个数成双的求和。 练习二 用简单方法迅速算出下面的题。 1，1＋2＋3＋4＋ (55) 2，1＋2＋3＋4＋ (99) 3，56＋57＋58＋ (76)

(三年级) 配对求和

配对求和 一、知识要点 被人称为“数学王子”的高斯在年仅8岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好地算出了1+2+3+4+……+99+100的结果。小高斯是用什么办法算得这么快呢？原来，他用了一种简便的方法：先配对再求和。 数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。 计算等差数列的和,可以用以下关系式： 等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2 末项＝首项＋公差×（项数－1） 项数＝（末项－首项）÷公差＋1 二、精讲精练 【例题1】你有好办法算一算吗？ 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝（） 练习1：速算。 (1) 1+2+3+4+5+……+20 (2) 1+2+3+4+……+99+100 (3) 21+22+23+24+……+100 【例题2】计算。 (1) 21+23+25+27+29+31 (2) 312+315+318+321+324 练习2：计算。 (1) 48+50+52+54+56+58+60+62 (2) 108+128+148+168+188 【例题3】有一堆木材叠堆在一起，一共是10层，第1层有16根，第2层有17根，……下面每层比上层多一根，这堆木材共有多少根？ 练习3：(1)体育馆的东区共有30排座位，呈梯形，第1排有10个座位，第2排有11个座位，……这个体育馆东区共有多少个座位？ (2)有一串数，第1个数是10，以后每个数比前一个数大4,最后一个数是90，这串数连加的和是多少？ (3)有一个钟，一点钟敲1下，两点钟敲2下，……十二点钟敲12下，分钟指向6敲1下，这个钟一昼夜敲多少下？ 【例题4】计算992+993+994+995+996+997+998+999。 - 1 -

巧妙求和(二)

学习奥数的优点 1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。 2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。要使经过奥数训练的学生，思维更捷，考虑问题比别人更深层次。 3、锻炼学生优良的意志品质。可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。可以养成坚韧不拔的毅力 4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。 第十六周巧妙求和（二） 专题简析： 某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时， 同样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和，才 可用等差数列求和公式。 在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可 考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以 顺利解决。

例1：刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。这本书共有多少页？ 分析与解答：根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11，因此可以很快得解：（30＋60）×11÷2=495（页） 想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？练习一 1，刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。这批零件共有多少个？ 2，胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？ 3，丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？

三年级奥数：配对求和精编版

配对求和 引入：被人誉为“数学王子”的高斯在年仅10岁时就以一种非常巧妙的方法很快求出1+2+3+4+5+、、、+99+100的结果。高斯是怎样求出这个和的呢？这就是我们要研究的这种求和的方法。 我们利用高斯的巧算方法得出这样的公式： 总和=（首项+末项）×项数÷2 项数=（末项-首项）÷公差+1 末项=首项+（项数-1）×公差 第一类题型 例题1： 计算：1+2+3+4+5+、、、+98+99+100. 思路点拨： 此数列是一个等差数列，公差是1，我们可以利用“总和=（首项+末项）×项数÷2”的求和公式来解。 解：1+2+3+4+5+、、、+98+99+100 =（1+100）+（2+99）+（3+98）+、、、+（50+51） =（100+1）×（100÷2） = 101×50 = 5050 同步精炼： 1、1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 2、2+4+6+8+、、、+30 第二类题型 例题1： 计算：2+5+8+11+14+17+20 思路导航： 本题是一个等差数列，公差是3. 2、5、8、11、14、17、20，一共有7个数，如果我们仍像例1那样每两个数组成一个组，就多出一个数，那怎么办呢？我们不妨这样想： 2 5 8 11 14 17 20 +20 17 14 11 8 5 2 22 22 22 22 22 22 22 7个22是154，而154是两组2到20的和，一组2到20的和一组2到20的和就是154÷2=77，由此我们得出这样的规律，当加数是单数时，就可用第一个数即前项与最后一个数（末项）相加，乘以这组数的个数（项数），再除以2，就能求出正确结果了。其实这种方法也适用于加数的个数成双的求和：

四年级奥数巧妙求和(一)

巧妙求和（一） 专题简析：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 需要记住三个非常重要的公式：“通项公式”、“项数公式”、“求和公式”。 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2 例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？ 练习: 1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？ 2，有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？ 3，已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？ 例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？练习: 1，一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？ 2，求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。 3，求等差数列2，6，10，14……的第100项。 例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。 练习: 计算下面各题。 （1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 （3）100+99+98+…+61+60 例4：求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

练习: 计算下面各题。 （1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+…+195+200 （3）9+18+27+36+…+261+270 例5：计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99) 练习: 用简便方法计算下面各题。 （1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994） （2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999) （3）（1+3+5+...+1999）－（2+4+6+ (1998) 例6:如果一个等差数列第4项为21，第6项为33，求他的第8项。（1）一个等差数列的第5项是19，第8项是61，求他的第11项。。（2）如果一个等差数列的第3项是10，第7项是26，求他的第12项。（3）如果一个等差数列的第2项是10，第6项是18，求他的第110项。

3年级配对求和

新思维培优数学专项训练 专题一配对求和 1+2+3+4+5+…+98+99+100这是一个自然数列，他们有了这样的规律，从第二项起，每一项与它前面一项的差都相等，这样的数列叫做等差数列。后项与前项的差，叫做该数列的公差，我们把数列的第一项叫做首相，最后一项叫做末项。 总和=(首项+未项)x项数÷2 项数=(未项一首项)÷公差+1 末项=首项十(项数一1)x公差 例1、计算2+4+6+…+96+98+100 思路：此数列是一个等差数列。首相是2，末项是100，公差是2，项数是50，我们可以利用总和=(首项+末项)×项数÷2的求和公式来解 解:2+4+6+…+96+98+100 =(2+100)x50÷2 =102 x 50÷2 =5100 =2550 练习计算: 1、 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 2、12+13+14+…+29+30+31

例2计算:2+5+8+11+14+17+20 思路: 本题是一个等差数列，公差是3，一共是7个数解:2+5+8+11+14+17+20 =(2+20) x 7÷2 =22x7÷2 =77 练习: 1计算 （1）18+19+20+21+22+23 （2）100+102+104+106+108+110+112+114 （3）995+996+997+998+999 例3计算 100+95+90+…+15+10+5 思路：本题是一个等差数列，公差是5

100+95+90+…+15+10+5 =（100+5）x20÷2 =2100÷2 =1050 练习 1、1+3+5+7+…+37+39 2、2+6+10+…+210+214 例4 小红读一本长篇小说，第一天读了30页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多4页，最后一天读了70页，刚好读完，问:这本小说共有多少页？思路：每天看的页数组成等差数列，公差是4，首项是30，末项是70，要求这本小说共有多少页？应先求出小红总共看了多少天？ 天数(项数)=(未项一首项)÷公差+1 =(30十70)÷4+1 =11 总页数=(30+70)×11÷2 =100x11÷2 =550 练习

四年级巧妙求和(二)

第十六周精巧求和（二） 专题简析： 某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。 在解决自然数的数字问题时，应根据题目的详尽特点，有时可考虑将题中的数合适分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。例1：刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，恰好读完。这本书共有多少页？ 分析与解答：根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11，因此可以很快得解： （30＋60）×11÷2=495（页） 想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？练习一 1，刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，恰好做完。这批零件共有多少个？2，胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？ 3，丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？ 例2：30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？ 分析与解答：开第一把锁时，如果不恰好，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后

配对求和测试题

一、计算题 1、2+3+4+5+6+7+8+9+10+11 2、11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21 3、8+16+24+32+40+48+56+64+72+80+88+96 4、40+41+42+43+44+45+。。。。。。+52+53 5、2+4+6+8+。。。。。。38+40 6、35+36+37+38+39-40 7、（1+3+5+7+9+。。。+49）-（2+4+6+8+。。。+48） 8、1-3+5-7+9-11+。。。-39+41 9、100-99+98-97+96-95+94-93+。。。+2-1 10、求19，23，27。。。。。。，前20个数的和

二、在数列7，10，13，16，。。。。。。中，52是第几个数？第52个数是几？ 三、求首项是5，末项是95，公差是5的等差数列的和； 四、有一串数，第一个数是7，以后每个数都比前一个数大3，最后一个数是37，把这串数 连加，和是多少？ 五、一堆圆木共18层，第一层有5根，下面每一层比上层多1根，问：这堆圆木共有多少 根？ 六、小明读一本书，第一天读20页，从第二天起每天读的页数比前一天多读3页，一共读 了18天正好读完。问：这本书共有多少页？ 七、魔术师拿出一个盒子，里面有4个鸡蛋。第一次他从盒子里拿出一个鸡蛋，将它变成3 个放回盒子里；第二次又从盒子里拿来出2个鸡蛋，将每个鸡蛋变成3个后又放回盒子里。。。。。这样第十次从盒子里拿出10个鸡蛋，将它们各变成了3个放回盒子里。这时盒子里共有多少鸡蛋？ 八、一辆双层汽车有66个座位。空车出发，第一站上一个乘客，第二站上两位，第三站上 三位，依次类推，那么第几站以后车上坐满乘客？

四年级奥数巧妙求和

四年级奥数专题 巧妙求和（一） 专题简析：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 这一周学习“等差数列求和”。需要记住三个非常重要的公式：“通项公式”、“项数公式”、“求和公式”。 通项公式：第n项=首项+ （项数—1）x公差 项数公式：项数=（末项—首项）十公差+ 1 求和公式：总和=（首项+末项）X项数十2 例1 ：有一个数列：4, 10, 16, 22,…，52,这个数列共有多少项？ 分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。 项数=（52- 4）十6+仁9,即这个数列共有9项。 练习一 1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？ 2,有一个等差数列：2, 5, 8, 11,…，101，这个等差数列共有多少项? 3,已知等差数列11, 16, 21, 26,…，1001，这个等差数列共有多少项?

例2:有一等差数列：3, 7, 11, 15,……，这个等差数列的第100项是多少？分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项=首项+公差X(项数—1)”进行计算。 第100 项=3+4 X( 100—1) =399 练习 1,一等差数列,首项=3,公差=2,项数=10,它的末项是多少？ 2,求1, 4, 7, 10……这个等差数列的第30项 3,求等差数列2, 6, 10, 14……的第100项 例3:有这样一个数列：1, 2, 3, 4,…，99, 100o请求出这个数列所有项的和。 分析与解答：如果我们把1, 2, 3, 4,…，99, 100与列100, 99,…，3, 2, 1相加，则得到 (1+100) + (2+99) + (3+98) +…+ (99+2) + (100+1),其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101 相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。 1+2+3+…+99+100= (1+100)X 100*2=5050 上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=(首项+末项)X项数* 2 这个公式也叫做等差数列求和公式。 练习三 计算下面各题。 (1) 1+2+3+…+49+50 (2) 6+7+8+…+74+75 (3) 100+99+98+…+61+60 例4:求等差数列2, 4, 6,…，48, 50的和

【精品】四年级下册奥数试题-第十一课时 巧妙求和(二) 全国通用

第十一课时巧妙求和（二） 【教学目标】 1.某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和； 2.如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式； 3.在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。 【教学重点】 理解等差数列求和公式的概念，灵活使用等差数列求和公式。 【教学难点】 准确确定数列的项数 【教学内容】 【典型例题】 例题1：刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。这本书共有多少页？ 练习1： （1）刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。这批零件共有多少个？ （2）胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？ （3）丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？ 例题2：30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？

（1）有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？ （2）有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了？ （3）有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？ 例题3：某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。那么共握了多少次手？ 练习3： （1）学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有21人参加比赛，一共要进行多少场比赛？ （2）在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。那么一共握了多少次手？ （3）假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了78次电话，问有多少位同学相约互通电话？ 例题4：求1 ～ 99 这99个连续自然数的所有数字之和。

巧妙求和

巧妙求和 专题简析：若干个数排成一列，称为数列。数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一个数称为末项。数列中数的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的两项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。例如1、4、7、10、13、16、19这个数列的首项是1，末项是19，项数为7项，公差是3. 关于等差数列，需要用到三个公式 1、求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2 2、求项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1 3、通项公式第N项=首项+（项数-1）×公差 经典例题1、 1+4+7+10+13+16+19+22+25+28= 试一试 （1）1+2+3+4+5+6+7+8……………………+70+80 （2）5+9+13+17+21+25+29+33+37+41+45 （3）1+2+3+4+5+6+………………+99+100 ***（4）1+2+3-4+5+6+7-8+9+10+11-+12…………+97+98+99-100

有一个数列：4、10、16、22、28、…………52，这个数列中一共有多少项？ 试一试： 1、等差数列中，首项是1，末项是39，公差是2，这个数列一共有多少项？ 1、等差数列 2、5、8、11、14…………101.这个数列中一共有多少项？ 2、11、16、21、26、31、36…………1001，这个数列中一共有多少项？ ***4、1-2+3-4+5-6+7-8+9-10……+27-28+29-30+31=

有这样的一列数，3、7、11、15…………，这列数中的第第100项是多少？ 试一试： 1、等差数列中，首项=3，公差=2，项数=10.它的末项是多少？ 2、求等差数列1、4、7、10、……这个等差数列的第30项是多少？ 3、求等差数列2、6、10、1 4、18、……这个等差数列的第100项是多少？**4、1+2-3+4+5-6+7+8-9…………97+98-99=

第四讲配对求和

配对求和 （简单整数数列的计算） 知识要点：配对技巧项数的确定 小朋友们，你听过德国著名数学家、物理学家和天文学家高斯的故事吗？他从小就聪颖过人，还在他8岁的时候，老师给班上同学出 了一道题：1 + 2+ 3+ 4+ + 99+ 100=? 8岁的咼斯很快报出了得 数：505C。这个答案完全正确！最让老师吃惊的是，小高斯计算的速度如此快捷！那么，小高斯是用什么办法算得这么快的呢？原来，根据所给算式的特点，他用了一种巧妙的方法一一配对求和。采用这种方法，很多整数数列求和的问题都能迎刃而解了。 例【1】计算：1 + 2+3+4+5 + 6+7+8+9+ 10 分析1在这个算式中，共有10个数，将和为11的两个数—配 对，可配成5对。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 I I I

解法一 1 + 2+3 + 4+5+6 + 7+8+9+ 10 =(1+ 10) + ( 2 + 9) + (3+8) + (4 + 7) + (5 + 6) =11X 5 =55 分析2 将和为10的两个数----- 配对，可配成4对，另加一个10, 一个5。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解法二 1 +2+3+4+5+6+7 + 8+9+ 10 =(1 + 9) + (2 + 8) + (3+7) + (4 + 6)+5+ 10 =10X 4 + 5+ 10 =55 例【2】计算：11 + 12+13+ 14+15+16+17+ 18+ 19 分析将11与19、12与18、13与17、14与16配成4对, 再加11 12 13 14 15 16 17 19 15

配对求和(三年级适合)

配对求和 专题简析： 被人称为“数学王子”的高斯在年仅8岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好地算出了1＋2＋3＋4＋…＋99＋100的结果。小高斯是用什么办法算得这么快的呢？原来，他用了一种简便的方法：先配对再求和。 数列的第一项叫首项，最后一项叫末项。如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。 计算等差数列的和，可以用以下关系式： 等差数列的和=（首项＋末项）×项数÷2 末项=首项＋公差×（项数－1） 项数=（末项－首项）÷公差＋1 配对求和 例题1 你有好办法算一算吗？ 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10=（） 思路导航： 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10共10个数，我们可以把10个数分成5组：1＋10，2＋9，3＋8，……，每组两个数的和是11，它们的和就有5个11即11×5=55。

01 小试牛刀 1，计算： 1＋2＋3＋4＋ (20) 2，你能迅速算出结果吗？ 1＋2＋3＋4＋ (100) 3，想一想，该怎样计算方便？ 21＋22＋23＋24＋ (50) 例题2 你能迅速算出下列算式的结果吗？ 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=（） 思路导航： 1、2、3、4、5、6、7、8、9一共9个数，如果我们还像例1那样两个数组成一组，就有一个数多出来，那怎样做呢？我们可以这样想：9个10是90，90是两组1加到9的和，它的一半是90÷2=45。当加数个数成单时，我们可以用第一个数与最后一个数相加，乘这组数的个数，再除以2，其实这种方法也适用于加数个数成双的求和。 02 小试牛刀

四年级上册奥数第16讲 巧妙求和(二)

第16周巧妙求和（二） 专题简析： 某些问题可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否是求某个等差数列的和。如果是等差数列求和，才可用等差数列公式求和。 在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数字适当分组，并将每组中的数字合理配对，使问题得以顺利解决。 例1:刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都比前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。这本书共有多少页？ 练习：1.刘师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。这批零件共有多少个？ 2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页，最后一天读了50页恰好读完。这本书共有多少页？ 3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学一个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个单词？ 例2:有30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，最多要试多少次？ 练习：1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，最多要试多少次？

2.平面上有10个点，没有3个点在同一直线上。过这些点最多可以画出多少条直线？ 3.有10只盒子、44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球不相等？ 例3:某班有51个同学，毕业时每人都和其他所有人握一次手，那么共握了多少次手？ 练习：1.学校进行乒乓球比赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，如果有21人参加比赛，问一共要进行多少场比赛？ 2.一次同学聚会中，参加聚会的有43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他人握一次手。那么一共握了多少次手？ 3.假期里有一些同学相约每两人互通一次电话，他们一共打了78次电话，问有多少同学相约互通了电话？ 例4:求1～99共99个连续自然数数位上的所有数字之和。

第一讲：配对求和

第一讲：配对求和 研究目标： 1、听“数学王子”高斯的故事。 2、会简单的项数为双数的数列的配对求和，并理解其原理。 3、会简单的项数为单数的数列的配对求和，并理解其原理。 4、巩固练习，小结并引出等差数列的概念，及其算法（项数和公差已知）。 5、通过设疑，引导学生了解如何求得项数。 6、练习缺项数条件的等差数列求和题。 7、练习灵活运用求和公式解决稍复杂的求和计算题及实际应用题。 例题1 计算：2+4+6+ …+96+98+100 练习1 1、1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 2、2+4+6+8+ …+40 例题2 计算：2+5+8+11+14+17+20 练习2 1、18+19+20+21+22+23 2、73+77+81+85+89+93 3、100+102+104+106+108+110+112+114 巩固小结等差数列的概念及其公式 例题3 求1到100所有单数的和； 练习3 1、求1到100所有双数的和； 2、求所有2位数的和；

例题4 计算：2+6+10+14+ …+210+214 练习4 1、5+10+15+ …+90+95+100 2、4+7+10+13+ …+298+301+298+ …+13+10+7+4 3、（2+4+6+ …+18+20）-（1+3+5+ …+17+19） 4、1999-1998+1997-1996+ …+3-2+1 例题5 小红读一本长篇小说，第一天读了30页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多4页，最后一天读了70页，刚好读完。问：这本小说共有多少页？练习5 1、某礼堂有座位若干排，第一排有25个座位，以后每排比前一排多3个座位。最后一排有94个座位。问：这个礼堂共有多少个座位 2、有10个盒子，44只乒乓球，把这44只乒乓球放到盒子里，能不能使每个盒中的球数都不同（每个盒中至少要放一个球）？ 3、时钟在每个整点时敲该钟点数，每半点钟时敲一下。问：一昼夜该时钟总共敲了多少下？

小学配对求和

第4讲配对求和 高斯是德国著名的数学家、物理学家和天文学家，从小就聪明过人。他8岁时，老师给他和班上的同学出了一道题： 1+ 2 + 3 + 4 + … + 99 + 100 = ？ 8岁的小高斯很快报出了得数：5050。这个答案完全正确！ 最让老师吃惊的是，小高斯是计算速度如此快 小高斯用什么办法算得这么的呢？ 原来，他用了一种巧妙的方法——配对求和。这种方法正是我们要向读者小朋友介绍的。 例题与方法 1.计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 2.计算：11+12+13+14+15+16+17+18+19 3.计算：101+102+103+104+105+106+107+108+109+110 4.有一垛电线杆叠堆在一起，一共有20层。第1层有12根，第2层有13根…… 下面每层比上层多一根（如下图）。这一垛电线杆共有多少根？ 练习与思考 1.计算：1+2+3+4+…+18|+19 2.计算：1+2+3+4+…+29+30 3.计算：2+4+6+8+…+98+100 4.计算：40+41+42+…+61 5.计算：13+14+15+…+27 6.有20个数，第1个数是9，以后每个数都比前一个数大3。这20个数连加， 和是多少？ 7.有一串数，第1个数是5，以后每个数比前一个数大5，最后一个数是90。 这串数连加，和是多少？ 8.一堆圆木共15层，第1层有8根，下面每层比上层多1根。这堆圆共多少

根？ 9.省工人体育馆的12区共有20排座位，呈梯形。第1排有10个座位，第2 排有11个座位，第3排有12个座位，……这个体育馆的12区共有多少个座位？ 10.有一个挂钟，一个点钟敲2下，三点钟敲3下……十二点敲12下，每逢分 种指向6时敲1下。问这个挂种一昼夜共敲多少下？

小学数学三年级第一讲配对求和

小学数学三年级第一讲：配对求和 班别：姓名： 例题与方法 1.计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 2.计算：11+12+13+14+15+16+17+18+19

3.计算：101+102+103+104+105+106+107+108+109+110 练习与思考： 1.计算：5+7+9+11+13+15 2.计算：12+13+14+15+16+17+18+19

3.计算21+24+27+30+33+36+39+42+45 4.计算：1+2+3+4+…+18+19 5.计算：500－（11＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋27＋29）

6.有一垛电线杆叠堆在一起，共20层。第1层有12根，第2层有13根……下面每层比上层多一根（如下图）。这一垛电线杆共有几根？ 小结：用配对方法求和，实质上是变加法（连加）为乘法。要正确、合理地运用这种方法，首先必须弄清应当怎样把一串数进行合理的配对。有时，一串数的个数不是双数，就不能刚好配对，还留下一个数，要弄清这个数是几；有时，一串数虽然个数是双数，但为了计算简便，往往把其中两个或者几个数放在一旁，将其余数配对，使每对中两数的和恰好是整十或整百数。 每日思维操：每天练一练，提高更快哟！ 周一：计算3+5+9+11+15+17=？ 周二：计算2+6+10+14+18+22=？ 周三：计算34+29+25+21+17+13+9=？ 周四：计算500-（11+14+17+20+23+26+29+32+35）=？ 周五：有10个数，第一个数是8，以后每个数都比前一个数大4，这10个数连加，和是多少？

四年级下册数学讲义奥数讲练：配对求和 (1)

第四讲配对求和 （简单整数数列的计算） 知识要点：配对技巧项数的确定 小朋友们，你听过德国著名数学家、物理学家和天文学家高斯的故事吗？他从小就聪颖过人，还在他8岁的时候，老师给班上同学出了一道题：1＋2＋3＋4＋……＋99＋100＝？8岁的高斯很快报出了得数：5050。这个答案完全正确！最让老师吃惊的是，小高斯计算的速度如此快捷！那么，小高斯是用什么办法算得这么快的呢？原来，根据所给算式的特点，他用了一种巧妙的方法——配对求和。采用这种方法，很多整数数列求和的问题都能迎刃而解了。 典型例题 例【1】计算：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10 分析1在这个算式中，共有10个数，将和为11的两个数一一配对，可配成5对。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

＝（1＋10）＋（2＋9）＋（3＋8）＋（4＋7）＋（5＋6） ＝11×5 ＝55 分析2 将和为10的两个数一一配对，可配成4对，另加一个10，一个5。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解法二 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10 ＝（1＋9）＋（2＋8）＋（3＋7）＋（4＋6）＋5＋10 ＝10×4＋5＋10 ＝55 例【2】计算：11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19 分析将11与19、12与18、13与17、14与16配成4对，再加15。 111213 14 15 16 1718 19

＝（11＋19）＋（12＋18）＋（13＋17）＋（14＋16）＋15 ＝30×4＋15 ＝135 例【3】计算：101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108 ＋109＋110 分析此题中每个数里都包含了一个100，可以把这10个100分离出来，转化为例【1】 解101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＋110 ＝100×10＋（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10） ＝1000＋11×5 ＝1055 例【4】计算500－（11＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋27＋29） 分析先用配对的方法计算11＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋27＋29

小学四年级奥数专项练习 16 巧妙求和(二)

专题16 巧妙求和（二） 【理论基础】 某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。 在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。

小明读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。这本书共有多少页？ 分析与解答：根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11.因此可以很快得解：（30＋60）×11÷2=495（页） 想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？ 练习一 1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。这批零件共有多少个？ 2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？ 3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？

30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？ 分析与解答：开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。 练习二 1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？ 2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了？ 3.有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？

配对求和

按一定次序排列起来的一列数叫数列。数列中的每个数叫项，第一项叫首项，最后一项叫末项。 如果一个数列的相邻两个数的差都相等，那么这个数列称为等差数列，这个相等的差叫公差。 第 3 讲 配对求和 一、知识要点 被人称为“数学王子”的高斯在年仅 8岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好地 算出了1+2+3+4+……+99+100的结果。小高斯是用什么办法算得这么快呢？原来，他用了一种简便的方法：先配对再求和。 数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数 列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个 不变的数则称为这个数列的公差。 计算等差数列的和，可以用以下关系式： 等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2 末项＝首项＋公差×（项数－1） 项数＝（末项－首项）÷公差＋1 二、精讲精练 【例题1】你有好办法算一算吗？ 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝（）

练习1：速算。 (1) 1+2+3+4+5+……+20 (2) 1+2+3+4+……+99+100 (3) 21+22+23+24+……+100 【例题2】计算。 (1) 21+23+25+27+29+31 (2) 312+31 5+318+321+324 练习2：计算。 (1) 48+50+52+54+56+58+60+62 (2) 108+128+148 +168+188 【例题3】 有一堆木材叠堆在一起，一共是10层，第1层有16根，第2层有17根，……下面每层比上层多一根，这堆木材共有多少根？ 练习3： (1)体育馆的东区共有30排座位，呈梯形，第1排有10个座位，第2排有11个座位，……这个体育馆东区共有多少个座位？ (2)有一串数，第1个数是10，以后每个数比前一个数大4,最后一个数是90，这串数连加的和是多少？ (3)有一个钟，一点钟敲1下，两点钟敲2下，……十二点钟敲12 下，分钟指向6敲1下，这个钟一昼夜敲多少下？