分解素因素习题

分解质因数专题简析：

一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。

把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：24= 2×2×2×3，75=3×5×5。

我们数学课本上介绍的分解质因数，是为求最大公约数和最小公倍数服务的。其实，把一个数分解成质因数相乘的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破口，从而顺利解题。

例题1把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个。一共有多少种不同的分法？

分析先把18分解质因数：18=2×3×3，可以看出：18的约数是1、2、3、6、9、18，除去1和18，还有4个约数，所以，一共有4种不同的分法。

练习一

1，有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6

人，不多于15人。有哪几种分法？

2，195个同学排成长方形队伍做早操，行数和列数都大于1，共有几种排法？

3，甲数比乙数大9，两个数的积是792，求甲、乙两数分别是多少。

4.师徒加工同一种零件，各人把产品放在自己的筐中，师傅产量是徒弟的2倍。师傅的产品放在4只筐中，徒弟的产品放在2只筐中，每只筐都标明了产品数量：78，94，86，77，92，80。徒弟制造的两筐零件各多少个？

1、将下面八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。

2、5、14、24、27、55、56、99

分析14=2×755=5×11

24=2×2×2×356=2×2×2×7

27=3×3×399=3×3×11

可以看出，这八个数中，共含有八个2，六个3，二个5，二个7和二个11。因为要把这八个数分成两组，且积相等，所以，每组数中应含有四个2，三个3，一个5，一个7和一个11。经排列为（5、99、24、14）和（55、27、56、2）。

2、有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗。共有多少种分法？

分析先把168分解质因数，168=2×2×2×3×7，由于每份不得少于10颗，也不能多于50颗，所以，每份有2×2×3=12颗，2×7=14颗，3×7=21颗，2×2×2×3=24颗，2×3×7=42颗，共有5种分法。

3、王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组。如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植了539棵。这个班有多少个学生？每人植树多少棵？

分析根据每人植树棵数×人数=539棵，把539分解质因数。539=7×7×11，如果每人植7棵，这个班就有7×11－1=76人；如果每人植树11棵，这个班共有7×7－1=48人。

4、下面的算式里，□里数字各不相同，求这四个数字的和。

□□×□□=1995

分析要使两个两位数的积等于1995，那么，这两个数的积应和1995有相同的质因数。1995=3×5×7×19，可以有35×57=1995和21×95=1995。因为要满足“数字各不相同”的条件，所以取21×95=1995，这四个数字的和是：2＋1＋9＋5=17。

5、三个素数的和是80，这三个数的积最大可以是多少？

分析三个质数相加的和是偶数，必有一个质数是2。80－2=78，剩下两个质数的和是78，而且要使它的积最大，只能是41和37。因此，这三个质数是2、37和41。

最大积是2×37×41=3034

6、长方形的面积是375平方米，已知它的宽比长少10米，长和宽的和是多少米？

分析这道题如果用方程来解会比较麻烦，我们可以把375分解质因数看一看。375=5×5×5×3，因为5×5比5×3正好多10，所以，此长方形的长是5×5=25米，宽是5×3=15米，它们的和是40米。

7、某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果师生每人种树一样多，一共种了1073棵，那么，平均每人种了多少棵？

分析根据每人种树棵数×参加人数=1073，把1073分解质因数：1073=29×3 7，再根据学生恰好平均分成三组可知：参加种树的人数是3的倍数多1，由于只有37比3的倍数多1，所以有37人，平均每人种29棵。

8、小明用2.16元买了一种画片若干张，如果每张画片的价钱便宜1分钱，那么他还能多买3张。小明买了多少张画片？

分析根据题意可知：画片的单价×张数=216分，它们乘积的质因数和216的质因数相同。我们可以先把216分解质因数，再写成两数相乘的形式分析：2 16=2^3×3^3=8×27=9×24，显然，216分可以买8分的画片27张，也可以买9分的画片24张。所以，小明买了24张画片，符合题意。

最大公因数

专题简析：

几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。我们可以把自然数a、b的最公因数记作（a、b），如果（a、b）= 1，则a和b互质。

求几个数的最大公因数可以用分解质因数和短除法等方法。

例题1一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？

分析7分米5厘米=75厘米，6分米=60厘米。因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75和60，所以边长是75和60的公因数。75和60的公约数有1、3、5、15，所以有4种裁法。

如果要使正方形面积最大，那么边长也应该最大，应该取75和60的最大公因数15作为正方形的边长，所以可以裁（75÷15）×（60÷15）=20块。

练习一

1，把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，至少能裁多少块？

2，一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方形而无剩余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？

3，将一块长80米、宽60米的长方形土地划分成面积相等的小正方形，小正方形的面积最大是多少？