浙江省专升本历年真题卷(完整资料).doc
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2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷
一、填空题
1．函数x
e x x x y --=)1(sin 2
的连续区间是 。
2．=-+-∞
→)
4(1
lim 2x x x x 。 3．（1）x 轴在空间中的直线方程是 。
（2）过原点且与x 轴垂直的平面方程是 。 4．设函数
????
?
????<+=>+=--1 ,1b 1 ,1,)1(1)(2
)1(1
2
x x x a x e x x f x ,当_________,==b a 时，
函数)(x f 在点1=x 处连续。
5．设参数方程???==θ
θ
2sin 2cos 3
2r y r x ，
（1）当r 是常数,θ是参数时，则=dx
dy 。
（2）当θ是常数，r 是参数时，则
=dx
dy 。
二．选择题
1．设函数)(x f y =在b], [a 上连续可导，),(b a c ∈，且0)('=c f ，则当（ ）时，)(x f 在c x =处取得极大值。
（A ）当c x a <≤时，0)('>x f ，当b x c ≤<时，0)('>x f , （B ）当c x a <≤时，0)('>x f ，当b x c ≤<时，0)(' =--+→h h x f h x f h ) 2()3(lim 000（ ）。 ).(5)( ),( 4)( ),(x 3)( ),()(0'0'0'0'x f D x f C f B x f A 3．设函数??? ??<-=>=--0 ,0 0,0 x ,)(22 x e x e x f x x ，则积分 ()1 1 -=?f x dx （ ） 。 .2)( ,e 1 )( 0)( ,1)(D C B A - 5．设级数∑∞ =1 n n a 和级数∑∞ =1 n n b 都发散，则级数∑∞ =+1 )(n n n b a 是（ ）. （A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）可 能发散或者可能收敛 三．计算题 1．求函数x x x y )1(2+-=的导数。 2. 求函数1223+-=x x y 在区间（－1，2）中的极大值，极小值。 3. 求函数x e x x f 2 )(=的n 阶导数n n dx f d 。 4．计算积分0 21 1 32--+?dx x x 。 5．计算积分?+dx e x 211 。 6．计算积分()1 202+-?x x x e dx 。 8.把函数1 1 += x y 展开成1-x 的幂级数，并求出它的收敛区间。 9.求二阶微分方程x y dx dy dx y d =+-222的通解。 10.设b a ,是两个向量，且,3,2==b a 求2222b a b a -++的值，其中a 表示向量a 的模。 四．综合题 1．计算积分02121 sin sin 22 ++?n m x xdx π ，其中m n ,是整数。 2．已知函数d cx bx ax x f +++=234)(23， 其中常数d c b a ,,,满足0=+++d c b a ， （1）证明函数)(x f 在（0，1）内至少有一个根， （2）当ac b 832<时，证明函数)(x f 在（0，1）内只有一个根。 -------------------------------------------------------------------------------------- 2005年高数（一）答案（A ）卷 一．填空题 1．连续区间是),1()1,0()0,(+∞-∞ 2．2 1 3．（1）?? ?==0 0z y 或者001z y x ==，或者0,0,===z y t x （其中t 是参数）， （2）0=x 4．1,0-==b a 5．（1）y x r 2-， （2） x y 23. 二．选择题 三．计算题。 1．解 ：令 ) 1ln(ln 2+-=x x x y ， （3分） 则x x x x x x x x x y )1)](1ln(1 ) 12([ 222 '+-+-++--= （7分） 2．解：) 43(432'-=-=x x x x y ，驻点为 3 4,021= =x x （2分） （法一） 46''-=x y ， 04)0(''<-=y ， 1 )0(=y （极大值）， （5分） 04)3 4 (''>=y ， 27 5)34(-=y （ 极 小 值 ） . （法二） 5分） 当0=x 时，1=y （极大值），当34=x 时，27 5-=y （极小值） （7分） 3．解：利用莱布尼兹公式 x n n e n n nx x dx f d )]1(2[2-++= （7分） 4 ． 解 ： ???------=--=+-0 1 10 12]11 21[)2)(1(1231dx x x dx x x dx x x (3分) ＝3 4ln 1 2 ln 1 =---x x (7分) 5．解： ?+dx e x 211 ＝ =+-+?dx e e e x x x 22211 (3分) ++-=)1ln(2 1 2x e x C （其中C 是任意常数） （7分） 6 ． 解 ： ?-+1 2)2(dx e x x x ＝ =+--+?dx e x e x x x x 1 10 2 )12()2( （3分） ＝2－?+1 )12(dx e x x ＝2－)13(-e +1 02x e = ＝ e e e -=-+-12233。 8：解： = -+ =+= ]2 111[2111x x y (2分) ])2 1()1()21()21(211[2132 +--++---+--=n n x x x x ＝∑∞ =+--0 12)1()1(n n n n x ， （5分） 收敛区间为（-1， 3）. （7分） 9.解：特征方程为0122=+-λλ，特征值为1=λ（二重根）， 齐次方程0222=+-y dx dy dx y d 的通解是x e x c c y )(~ 21+=，其中21,c c 是任意常数. (3分) x y dx dy dx y d =+-22 2的特解是 2 +=*x y ， （6分） 所以微分方程的通解是x e x c c x y y y )(2~ 21+++=+=*，其中21,c c 是任意常数 （7分） 10．解：2222b a b a -++＝=--+++)2()2()2()2(b a b a b a b a (3分) ＝26 )(22 2=+b a . （7分） 四．综合题： 1．解：（法一） ?++π 212sin 212sin xdx m xdx n ＝－dx x m n x m n ])cos()1([cos 210--++?π （4 分） ＝??? ????==-++-≠=---++++-?π ππ00 ,21 ]1)1[cos(21 ,0])sin(1)1sin(11[21 m n dx x m n m n x m n m n x m n m n （10 分） （法二）当m n ≠时 ?++π 0212sin 212sin xdx m xdx n ＝－dx x m n x m n ])cos()1([cos 21 --++?π （ 4 分） ＝0])sin(1)1sin(11[210=---++++-πx m n m n x m n m n （7分） 当m n =时 ?++π 0212sin 212sin xdx m xdx n ＝??=+-=+π ππ00 0221])12cos(1[21212sin x dx x n xdx n ＝ 2 π （10分） 2．证明：（1）考虑函数dx cx bx ax x F +++=234)(, （2分） )(x F 在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，0)1()0(==F F ， 由罗尔定理知，存在)1,0(∈ξ，使得0)('=ξF ，即 0)()('==ξξf F ，就是=)(ξf 023423=+++d c b a ξξξ, 所以函数)(x f 在（0，1）内至少有一个根. （7分） （2）c bx ax x F x f 2612)()(2'''++== 因为ac b 832<，所以 0)83(129636)2)(12(4)6(222<-=-=-ac b ac b c a b ， )('x f 保持定号，)(x f 函数)(x f 在（0，1）内只有一个根. （10分） 2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷 一、填空题 ---------------------------------- 1 ．=n 。 2 ．函数2()(23)(5)f x x x x =---的间断点是 。 3 ．若1 (), 0 x f x x A x ?≠?=? ?=?在0x =处连续，则=A 。 4 ．设ln(y x x =+，则 =dy dx 。 5．3 22 2 (1)cos 1sin -+=+?x x dx x ππ 。 8．微分方程2(21)x x y dy x e dx +-=+的通解=y 。 二．选择题 1． 函数()f x 的定义域为[]0,1，则函数11 ()()55 f x f x + +-的定义域（ ）。 ()A 14,55?? - ??? ? ()B 16,55?????? ()C 14,55?? ???? ()D []0,1 2． 当0x →时，与x 不是等价无穷小量的是（ ）。 ()A 2sin x x - ()B 2sin x x - ()C 3tan x x - ()D sin x x - 3．设0()()x F x f t dt =?，其中 2,01()1,12 ?≤<=?≤≤?x x f x x ，则下面结论中正确 （ ）。() A 3 1,01 ()3, 12 ?≤ ()B 311 ,01 ()3 3, 12?-≤ ()C 3 1,01 ()3 1,12 ?≤ 1,013 ()2,123 ?≤ ?-≤≤??x x F x x x 4．曲线(1)(2),(02)y x x x x =--≤≤与x 轴所围图形的面积可表示为（ ）。()A 2 0(1)(2)x x x dx ---? ()B 1 2 0 1(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx -----?? ()C 1 2 0 1(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx ---+--?? ()D 2 0(1)(2)x x x dx --? 5．设,a b 为非零向量，且a ⊥b ，则必有（ ）。 ()A a b a b +=+ ()B a b a b +=- () C a b a b +=- ()D a b a b +=- 三．计算题 1．计算1 2 3lim( )6 x x x x -→∞++。 2．设[cos(ln )sin(ln )]y x x x =+，求 dy dx 。 3．设函数2222 cos sin t t x e t y e t ?=?=? ，求 dy dx 。 4．计算不定积分22 1 sin cos dx x x ? 。 5．计算定积分 1 0x x dx e e -+?。 6．求微分方程22322x d y dy y e dx dx -+=满足0,10 0====x x dx dy y 的特解。 7．求过直线3210 23220x y z x y z +--=??-++=? ，且垂直于已知平面2350 x y z ++-=的平面方程。 8．将函数2()ln(32)f x x x =++展开成x 的幂级数，并指出收敛半径。 10．当a 为何值时，抛物线2y x =与三直线,1,0x a x a y ==+=所围成的图形面积最小，求将此图形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积。 四．综合题 1． （本题8分）设函数()f t 在[0,1]上连续，且()1f x <，证明方程： x 02()1x f t dt -=?在(0,1)内有且仅有一实根。 2．（本题7 分）证明：若0,0,0m n a >>>，则()() m n m n m n m n m n x a x a m n ++-≤+。 3．（本题5分）设()f x 是连续函数，求证积分 考学校 报考专业 线--------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 (sin )(sin )(cos )4 f x I dx f x f x ππ == +? 。 2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷 （A 卷）答案 一． 填空题 1 ．5n =。 2 ．函数()f x =3x =。 3 ．若1 (), 0 x f x x A x ?≠?=??=?在0x =处连续，则1A = 4． 。设ln(y x x = ，则dy dx =。 5． 3 2 2 2 (1)cos 1sin 2x x dx x π ππ -+=+? 8．微分方程2(21)x x y dy x e dx +-=+的通解为y =2ln()x x e C ++，其中C 为任意 常数。 二．选择题 1、C 2、D 3、D 4、C 5、B 三．计算题 1．计算1 2 3lim( )6 x x x x -→∞++。 解：1 23lim()6x x x x -→∞++=631 ( ) ()362 3lim(1)6 x x x x x +---+→∞-+ 3分 又因为 6 33lim(1)6x x e x +-→∞-=+ 5分 313 lim() ()622 x x x →∞--=-+ 6分 所以12 3lim()6 x x x x -→∞++=3 2e -。 7分 2．设[cos(ln )sin(ln )]y x x x =+，求dy dx 。 解；11 [cos(ln )sin(ln )][sin(ln )cos(ln )]dy x x x x x dx x x =++-+ 4 分 = ()2cos ln x 7分 3．设函数2222 cos sin t t x e t y e t ?=?=? ，求 dy dx 。 解 ： 2222cos 2sin cos t t dx e t e t t dt =- 2分 2222sin 2sin cos t t dy e t e t t dt =+ 4分 22222 22(cos sin cos )(cos sin cos )2(sin sin cos )(sin sin cos )t t dy dy e t t t t t t dt dx dx e t t t t t t dt ++===-- 7分 4．计算不定积分221 sin cos dx x x ?. 解 ：2222221sin cos sin cos sin cos x x dx dx x x x x +=?? 3分 = 2211 [ ]cot tan sin cos dx x x C x x +=-++? 7分 5．计算定积分 1 0x x dx e e -+?。 解 ： 1 12 0 01x x x x dx e dx e e e -=++? ? 3分 = 1 2 0() 1()x x d e dx e +? 5分 = 1 0 arctan arctan 4 x e e π =- 。 7分 6．求微分方程22322x d y dy y e dx dx -+=满足001,0,x x dy y dx ====的特解。 解：微分方程22322x d y dy y e dx dx -+=对应的特征方程为 2320(1)(2)0r r r r -+=?--= 特征根为121,2r r == 1分 而 1 λ=， 所 以 11 r λ==为 单 根， 2分 对应的齐次方程的通解为212x x Y C e C e =+ 3分 非齐次方程的通解为*x y Cxe λ=代入原方程得2C =- 4分 有通解 2122x x x y C e C e xe =+- 5分 有000,1x x dy y dx ====121212 10,1220C C C C C C +=???==? +-=? 有 解 22x x y e xe =- 7分 7．求过直线3210 23220x y z x y z +--=?? -++=? ，且垂直于已知平面2350 x y z ++-=的平面方程。 解：通过直线3210 23220x y z x y z +--=??-++=? 的平面束方程为 321(2322)0x y z x y z λ+--+-++=即 (32)(23)(12)(12)0x y z λλλλ++-+-++-+= 3分 要求与平面2350x y z ++-=垂直，则必须 1(32)2(23)3(12)0λλλ?++?-+?-+= 4202 λλ+=?=- 6分 所求平面方程为 8550x y z -++= 7分 8．将函数2()ln(32)f x x x =++展开成x 的幂级数，并指出收敛半径。 解： ()ln(1)(2)ln(1)ln(2)f x x x x x =++=+++ 2分 = ln 2ln(1)ln(1)2 x x ++++ 3分 =1 100 11 ln 2(1)()(1)121n n n n n n x x n n +∞ ∞+==+-+-++∑∑ = 11 10 112ln 2(1)()12n n n n n x n +∞ ++=++-+∑ 6分 收敛半径1R = 7分 10．当a 为何值时，抛物线2y x =与三直线,1,0x a x a y ==+=所围成的图形面积最小，求将此图形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积。 解：设所围面积为()S a 33 12 (1)()3 a a a a S a x dx ++-== ? 2分 '22()(1)21S a a a a =+-=+ 令'1()02 S a a =?=- 3分 ''()20 S a =>，所以 11()212 S -= 为最小的面积 4分 11122 212 2 4 50 - 0 22580 x V y dx x dx x ππππ==== ? ? 7 分 四；综合题 1·设函数()f t 在[0,1]上连续，且()1f x <，证明方程 x 02()1x f t dt -=?在(0,1)内有且仅有一实根。 证明：令 0()2()1 x F x x f t dt =--?， 则在 [0,1] 上 () F x 连续， 2分 1 1 (0)10,(1)2()11()0 F F f t dt f t dt =-<=--=->??， 4分 由闭区间上连续函数的介值定理知道在(0,1)内至少存在一点C ，使得()0F C = 5分 又因为'()2()10F x f x =->>，所以()F x 单调上升，()0F x =在[]0,1内最多有一个根，所以 x 2()1x f t dt -=?在()0,1内有且仅有一个实根。 7分 2．证明：若0,0,0m n a >>>，则()() m n m n m n m n m n x a x a m n ++-≤+。 证明： 令 ()()m n F x x a x =- 2 分 '111111()()()()[()]()[()] m n m n m n m n F x mx a x nx a x x a x m a x nx x a x ma m n x ------=---=---=--+令'()0ma F x x m n =?=+，（当,1m n ≠时，0,x x a ==，此时(0)()0)F F a == ' '211 ()(1)()()2()()m n m n ma ma na ma na F m m mn m n m n m n m n m n ---=--++++++ +112 23 (1)()()0() n n m n m n m n ma na m n a n n m n m n m n --+--+--=-<+++ 5分 所以( )ma F m n +是()F x 在(),-∞+∞上的极大值，有唯一性定理知：()ma F m n +是最大值，故()()()m n m n m n ma m n F x F a m n m n ++≤=++ 7分 3．设()f x 是连续函数，求积分 2 0(sin ) (sin )(cos ) f x I dx f x f x π =+?的值。 解： 令,2 x t dx dt π = -=- 2 2 0 0(sin )(cos ) (sin )(cos ) (sin )(cos )f x f x I dx dx f x f x f x f x π π==++?? 2 0 (sin )(cos )2(sin )(cos )24 f x f x I dx I f x f x πππ+==?=+?. 2007年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷 一、填空题 1．函数() 2lg 1 -= x y 的定义域是 。 2．设x y 3 sin 5=，则 =dx dy 。 3．极限=+?∞→dx x x n n 1 21lim 。 4．积分? =+dx x x sin 1cot 。 5．设,1111x x y -+ += 则()=5y 。 6．积分=-?π 097sin sin dx x x 。 8．微分方程()032=+++dy y y y x xdx 的通解 。 二．选择题 1．设 ()()?? ???+??? ??--+=x x x x x f ln 2311sin 132 1 1 ≥ （A ）连续点 （B ）跳跃间断点 （C ）无穷间断点 （D ）振荡间断点 2. 下列结论中正确的是（ ）。 （A ）若1lim 1 =+∞ →n n n a a ，则n n a ∞→lim 存在， （B ）若A a n n =∞→lim ，则1lim lim lim 1 1==∞ →+∞ →+∞→n n n n n n n a a a a ， （C ）若A a n n =∞→lim ，B b n n =∞ →lim ，则B b n n A a n =∞→)(lim ， （D ）若数列{}n a 2收敛，且0122→--n n a a ()∞→n ，则数列{}n a 收敛。 3．设()?=x dt t t x 0 sin α，()()?+=x t dt t x sin 011β，则当0→x 时，()x α是()x β的 （ ）。 （A ）高阶无穷小 （B ）等价无穷小 （C ）同阶但非等价无穷小 （D ）低阶无穷小 4．已知函数?? ?? ? == t t y t t x ln ln ，则=→dx dy e x lim （ ）。 （A ）2e （B ） 2 1e （C ）2e - （D ） 2 1 e - 三．计算题 1．设x x y 4 2ln 1cos ln +=，求 dx dy 。 2．由方程2 2ln arctan y x x y +=所确定的y 是x 的函数，求 dx dy 。 3．计算极限x x x cos 1lim -+ →。 4．计算积分xdx e x cos 2sin 3?+。 5．计算积分() ? +dx e xe x x 2 1。 6．计算积分()?+40221tan π dx x e x 。 7．求经过点()1,1,1且平行于直线?? ?=--=--1 520 32z y x z y x 的直线方程。 9．任给有理数a ，函数()x f 满足()()10+-=?x dt t a f x f ，求()x f 10．将函数()x x x f --= 31 在点10=x 处展开成幂级数，并指出收敛区间（端点不考虑）。 四．综合题 1．设直线ax y =与抛物线2x y =所围成的图形的面积为1S ，直线 1,==x ax y 与抛物线2x y =所围成的面积为2S ，当1 的值，使得21S S S +=最小。 3．当π< x x >2 sin 。 《高等数学（一）》答案 一． 填空题： 1．()()∞+?.33,2 2．5ln 5cos sin 33 sin 2'x x x y = 3．0 4．C x x ++sin 1sin ln 5．()()6 51! 52x y -?= 6．9 4 8．()C y y x =++222ln 二．选择题： 1、A 2、D 3、C 4、D 三．计算题： 1．解。() x x y 4ln 1ln 21 cos ln 2+-= () x x x x x x x x y 4343'ln 1ln 2tan 2ln 11 ln 421tan 2+--=+?--= 2。解：方程两边对x 求导数，得 ''2 2'22'222'222222211 yy x y xy y x yy x y x y xy y x y x x y xy x y +=-?++=+-?++=-??? ? ??+ ()y x y x y y x y y x 2222''-+=?+=-?。 3．解:令x t = ，21 2sin lim cos 1lim cos 1lim 2 ==-=-+++ →→→t t t t x x o t o t x 4．解：原式＝()?+=+++C e x d e x x 2sin 32sin 33 1 2sin 331 5．解：()? +dx e xe x x 21＝() ?? ?+++-=?? ? ??+-=++dx e e x e xd e e xd x x x x x 111111) 1(2 ＝() ()() C e x e x C e e x e e d e x x x x x x x x +++-+-=++-+-=++- +----? 1ln 1 1ln 1111 6．解：()?+4 0 221tan π dx x e x ＝ ()=+=+?? ?4 24 4 2 22 2tan 2sec tan 2sec π π πxdx e xdx e dx x x e x x x ＝ ＝24024 24 240 2tan tan 2tan 2tan π ππππ e x e xdx e xdx e x e x x x x ==+-?? 7．解：平行于直线???=--=--1 520 32z y x z y x 的直线的方向向量应是 → →→→ → →→ -+-=----=k j i k j i S 375 2 131 2 所求直线方程为 3 1 7111--= -=--z y x 。 9．解：原方程两边对x 求导数，得 ()()'=-f x f a x …………（1） ()()()()'''=--=---=-????f x f a x f a a x f x ， 所以()f x 满足()()0''+=f x f x (2) 由原方程令0=x ，得()01=f ，由方程（1）得()()0'=f f a 。 方程（2）对应的特征方程为210+=λ，即=±i λ， 所以（2）有通解()12cos sin =+f x C x C x 。 ()01=f ，得11=C ，即()2cos sin =+f x x C x 。 ()2sin cos '=-+f x x C x ，()()220cos sin '===+f C f a a C a ， 所以2cos 1sin = -a C a ，则()cos cos sin 1sin =+-a f x x x a 。 10．解：()()()()111 11121212=-?=-?---?? - ??? f x x x x x 1 00111222+∞∞ ==---???? == ? ? ???? ∑∑n n n n x x x 。 收敛区间为1 12 - 1．解：当01< ()()1 2 2120 =+=-+-??a a S S S ax x dx x ax dx 3333311 2332323 --=-+ -=-+a a a a a a a 。 ()21 2'=-S a a ，令()0'=S a ，得= a 。 ()20''=>S a a ，所以在01< 时，min ==S S 。 当0≤a 时，=y ax 与2=y x 的交点坐标是()0,0和()2,a a ，则 ()()0 1 2 2120 =+=-+-??a S S S ax x dx x ax dx 333112332623=-++-=--+a a a a a 。 ()21 022