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广东省华南师大附中2011届高三综合测试(三)数学(文)试题

广东华南师大附中2010-2011学年高三综合测试（三）

（数学文）

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页．满分为150分。考试用时120分钟．注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答卷指定的位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题目各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．考生必须保持答卷的整洁，考试结束后，将答卷交回．

选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各式中正确的是（）

(A) 0=Ф (B)}0{?Φ (C)}0{=Φ (D).Φ∈0

2．若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b=（） (A) -2 （B ）?-21

1 (D)

2 3．“2

m ”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=O 相互垂直”的（） (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

4．函数|

|log 22

x y =的图像大致是( )

5．曲线y=2x 2

在点P(1，2)处的切线方程是（） (A) 4x-y-2=0 (B) 4x+y-2=O (C) 4x+y+2=O (D) 4x-y+2=0

6．命题：“对任意的x ∈R ，0322

≤--x x ”的否定是（） (A) 不存在032.,2≤--∈x x R x （B ）存在032,2≤--∈x x R x (C) 存在x ∈R ，x 2

-2x-3>0 (D) 对任意的x ∈R ，x 2

-2x-3>0

7椭圆12222=+b

y a x 的右焦点与抛物线y 2

=8x 的焦点相同，离心率为21，则此椭圆

的方程为（）

（A ）116.

.1222=+y x （B ）112

1622=+y x

（C ）1644822=+y x （D ）148

642

2=+y x 8．已知圆)0.(4)2()(:22>=-+-a y a x C 及直线l ：x-y+3=O ，当直线l 被圆C 截得的弦长为32时，则a=（）

（A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+ 9．在△ABC 中，b c ==,，若点D 满足 2=，则=（ )

（A ）c b 3231+

（B ）c b 32

35-

（C ）c b 3132- （D ）c b 3

32+

10. 右图给出的是计算20

614121++++ 的值的一

个算法流程图，其中判断框内应填入的条件是( ) （A ）i>10 (B)i ≥10 (C) i<10 (D)i ≤10

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

1l. 如图，一个简单空间几何体的三视图，其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是。

18．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE:AC=3：5，DE =6，则 |PF|有取值范围为

13．设点P 是椭圆1716

2=+y x 上的一动点，F 是椭圆的左焦点，

则||PF 的取值范围为．

21．已知实数x,y 满足(x+2)2+(y-3)2

=1，则|2643|-+y x 的最小

值为，

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

15．（本小题满分12分）己知函数

x x b x a x f cos sin cos 2)(2+=，且

f(0)=2，

1)3(+=πf (Ⅰ)求f(x)的最大值与最小值； (Ⅱ)求f(x)的单调增区间．

16.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy 中，点A(-l ，-2）、B(2，3)、C(-2，-1)。 (Ⅰ)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长： (Ⅱ)设实数t 满足()

0=?-t ，求t 的值。

17．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD 上⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，且BD 平分∠ADC ，

E 为PC 的中点，AD=CD=l ，BC=PC ，22=DB

(Ⅰ)证明PA ∥平面BDE ； (Ⅱ)证明AC ⊥平面PBD ：

(Ⅲ)求四棱锥P-ABCD 的体积，

18.（本小题满分14分）

为了进一步实现节能，在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）。与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系： )100(5

3)(≤≤+=

x x k

x C ，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元；设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。 (Ⅰ)求k 的值及f(x)的表达式。

(Ⅱ)隔热层修建多厚时，总费用f(x ）达到最小，并求最小值。

19．（本小题满分14分）

如图所示，在直角梯形ABCD 中，3||,4||,3||===BC AB AD ，曲线段.DE 上

任一点到A 、B 两点的距离之和都相等．

(Ⅰ) 建立适当的直角坐标系，求曲线段DE 的方程； (Ⅱ) 过C 能否作-条直线与曲线段DE 相交，且所得弦以C 为中点，如果能，求该弦所在的直线的方程；若不能，说明理由．

20.（本小题满分14分）

已知数列{}n a 中，a 1=3，a 2=5，其前n 项和S n 满足)3(22112≥+=+---n S s S n n n n 令1

+?=

n n n a a b

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式： (Ⅱ)若1

)(-=x x f ，求证：)1(6

)()2()1(21≥<

+++=n n f b f b f b T n n

数学（文）答案

一、选择题 BDACACBCDA 二、填空题

11.12 12.4 13.[l,7] 14.15 三、解答题 15．（本小题满分12分）

己知函数x x b x a x f cos sin cos 2)(2

+=，且f(0)=2，232

1)3(+=πf

(Ⅰ)求f(x)的最大值与最小值； (Ⅱ)求f(x)的单调增区间．

解：(Ⅰ)由f(0)=2，23

1)3(?+=πf 可得：a=1，b=2

x x x x f cos sin 2cos 2)(2+=∴

12cos 2sin ++=x x 142sin 2+??? ?

πx

∴当)(8

Z k k x ∈+=

ππ

时，f(x)取得最大值，为12+

当)(8

5Z k k x ∈+=ππ

时f(x)取得最小值为12+-

(Ⅱ)令,,22

222

Z k k x k ∈+≤

≤+-ππ

ππ

ππk x x k +≤≤+-

83 ∴f(O ）的单调增区间为.],8

,83[Z k k k ∈++-ππ

ππ

16．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy 中，点A(-l ，-2）、B(2，3)、C(-2，-1)。 (Ⅰ)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长： (Ⅱ)设实数t 满足()

0=?-OC OC t AB ，求t 的值。 (Ⅰ)（方法一）由题设知)1,1(),5,3(-=AC AB ，则

)4,4(),6,2(=-=+AC AB AC AB

所以24||,102||=-=+AC AB AC AB

故所求的两条对角线的长分别为10224、

（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则：

E 为B 、C 的中点，E (0，1)

又E(O ，1)为A 、D 的中点，所以D(1，4)

故所求的两条对角线的长分别为10224==AD BC 、 (Ⅱ)由题设知：)5,23(),1,2(t t OC t AB OC ++=---= 由0)(=?-t ，得：0)1,2()5,23(=--?++t t 从而5t= -11，所以5

11-

=t 或者：2

OC t OC AB =?，5

11),5,3(2

-===t AB

17．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD 上⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，且BD 平分∠ADC ，

E 为PC 的中点，AD=CD=l ，BC=PC ，22=DB

(Ⅰ)证明PA ∥平面BDE ； (Ⅱ)证明AC ⊥平面PBD ：

(Ⅲ)求四棱锥P-ABCD 的体积，

(Ⅰ)证明：设AC ∩BD=H ，连结EH ，在△ADC 中，因为AD=CD ，且DB 平分

∠ADC ，所以H 为AC 的中点，又E 为PC 的中点，从而EH ∥PA ，因为?HE 平面BDE ，?/.PA 平面BDE ，所以PA ∥平面BDE ；

(Ⅱ)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，?AC 平面ABCD ，所以PD ⊥AC ，由(I)知BD ⊥AC ，PD ∩BD=D ，?PD 平面PBD ，??BD 平面PBD ，从而AC ⊥平面PBD ：

(Ⅲ)解：在△BCD 中，DC=1， 45,22=∠=BDC DB ，得

.5,545cos 2212)22(12.22==??-+=BC BC o

在Rt △PDC 中，,1,5===DC BC PC 从而PD=2，

22==?BCD ABCD S S ，故四棱锥P-ABCD 的体积3

-ABCD p V 18．（本小题满分14分）

3)(≤≤+=

x x k

x C ，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元；设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。 (Ⅰ)求k 的值及f(x)的表达式。

(Ⅱ)隔热层修建多厚时，总费用f(x ）达到最小，并求最小值。

解：(Ⅰ)设隔热层厚度为x(cm)，由题设，每年能源消耗费用为()5

3-=x k

x C 再由C(0)=8．得k=40．因此()5

340

x x C ,而建造费用为C l (x)=6x ……………………………3分最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

()()()()10065

340

20201≤≤++?

=+=x x x x C x C x f ………6分 (Ⅱ)()()

532400

6'+-

=x x f ………………………………8分令f(x)=0．即

()

6532400

=+x ．解得x=5，325-=x （舍去）．………………lO 分当OO ，

故x=5是f(x)的最小值点，………………………………………………………l2分对应的最小值为()705

15800

565=++

?=f 。即当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小

值70万元。………………………………………………………………l4分 19．（本小题满分l4分）如图所示，在直角梯形ABCD 中，3||,4||,3||===BC AB AD ，曲线段.DE 上

任一点到A 、B 两点的距离之和都相等．

解：(Ⅰ)以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原点建立直角坐标系，则A(-2，0)，B (2，0)，()

()3,2,3,2-D C ．依题意，曲线段DE 是以A 、B 为焦点的椭圆的一部分． (3)

()12,2,4||||2

2===+=

b c BD AD a ∴所求方程为()

32,42112

162

2≤≤≤≤-=+y o x y x . ………………………6分

(Ⅱ)设这样的直线存在， (1)当斜率不存在时，

(2)当直线的斜率存在时，其方程为()23-=-x k y ，即()32+-=x k y

将其代入112

162

2=+y x 得

()

036316161638432222=--+-++k k x k k x k ……………………9分设弦的端点为()()2211,,,y x N y x M ，则由

1=+x x ，知x 1+x 2=4,443163822=+--

∴k k k ，解得23-=k ……………l2分 ∴弦MN 所在直线方程为322

=x y 验证得知，这时()

()0,4,32,0N M 适合条件，

故这样的直线存在；其方程为322

+-=x y ……… 14分 20．（本小题满分14分）

已知数列{}n a 中，a 1=3，a 2=5，其前n 项和S n 满足)3(22112≥+=+---n S s S n n n n 令1

+?=

n n n a a b

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式： (Ⅱ)若1

)(-=x x f ，求证：)1(6

)()2()1(21≥<

+++=n n f b f b f b T n n 解：(1)解法一：由题意知()321211≥+-=-----n S S S S n n n n n 即()3211≥+=--n a a n n n

……………2分

()()()223111...a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=∴---

()3122122...2252...22221221≥+=++++++=++++=----n n n n n n ……………5分

检验知n=1、2时，结论也成立，故a n =2n

+1． …………………………7分

(2)由于()()()

=?++=-+1

121

2121n n n n n f b ()()()()??? ??+-+=+++-+?+++121121211212121221111n n n n n n

…………11分

故()()()n f b f b f b T n n +++=...2121 ??? ??+-+++??? ??+-++??? ??+-+=

+121121

...211211211211[211322n n 6

21121121211211=+?