交集并集的概念及性质
§1.3.1交集、并集的概念及性质
班级 学号 姓名
一、 基础练习：
1. 已知集合P={x|x<3},Q={x|-1≤x ≤4},那么P ?Q=( )
A. {x|-1≤x<3}
B. {x|-1≤x ≤4}
C.{x|x ≤4}
D.{x|x ≥-1}
2. 已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么M ?N 为（ ）
A. x=3,y=-1
B. (3,-1)
C. {3,-1}
D.{(3,-1)}
3.已知A ，B 都是全集U 的子集，
则图中阴影部分可以表示为（ ）
A.u C （A ?B ）
B. (u C A)?B
C. u C (A ?B)
D. A ?(u C B)
4. 若A={平行四边形},B={矩形},C={梯形},A ?B=________ A ?B=_________A ?C______
5.已知全集U=｛-4，-3，-2，-1，0｝，M=｛-2，-1，0｝，N={-4,-3,0},则=?N M C u )(_________
二、 能力培养：
6. 已知集合A={y|y=2x -4x+3},B={y|y=-2x -2x+2}则A ?B=（ ）
A. φ
B. R
C. {-1,-3}
D. {y|-1≤y ≤3}
7. 已知集合A={m a a a a ,...,,321} B={n b b b b ,...,,321} 且A ?B 有P 个元素，则A ?B 的元素个数为（ ）
A. m+n-p
B. m+n
C. m+p
D. n+p
8.若集合A.B 满足A ?B=A ?B ，则A,B 的关系是___________
9. 集合A 和B 中含有的元素个数相等，且A ?B={a,b,c,d},则A 的不同构成方法有________种
10. 某班的50个学生中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既不会讲英语又不会讲日语的有8人，问既会讲英语又会讲日语的有多少人？
三、 综合拓展：
11. 已知A=｛x|-2 12.若集合A=}019|{22=-+-a ax x x 集合B={065|2 =+-x x x } 集合C={082|2=-+x x x } (1)当A ?B=A ?B 时，求a 的值 (2)φ? A ?B ，A ?C=φ时，求a 的值 旋转的概念及性质 复习：一、平移：是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离， 这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。 归纳平移性质：（1）平移前后的两个图形是全等形。 （2）经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等， (3) 图形平移后，对应点连成的线段平行且相等（或在同一直线上） 1．将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形． 二、轴对称:把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴。 归纳轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形是全等形。 （2）两个图形关于某条直线成轴对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。（3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。2．如图，已知△ABC和直线L，请你画出△ABC关于L的对称图形△A′B′C′． 新知：图形的旋转：1、定义_____________________________________________________. 2、旋转四要素：_____________________________________________. 3、旋转中有哪些变量和不变的量：_____________________________________ 4、旋转方向有____________________________________________ 归纳旋转的性质：（1）____________________________________________ (2)______________________________________________________________ (3)_________________________________________________________________ （4）______________________________________________________ 例1．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中： （1）旋转中心是什么？旋转角是什么？ （2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？ 随堂练习题：1、如图，可以看到点A旋转到点A′，OA旋转到OA′，∠AOB旋转到∠A′OB′，这些都是互相对应的点、线段与角. 那么，点B的对应点是 E D C B A 旋转的定义和性质 1. 将小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90 °后可以得到的图案是（ ） A ． B ． C ． D ． 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2、如图，P 是正△ABC 内的一点，若将△PBC 绕点B 旋转到△P ’BA ，则∠PBP ’的度数是 （ ） A ．45° B ．60° C ．90° D ．120° 3、如图，∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，△A ’OB ’可以看作是由△AOB 绕点O 顺时针旋转α角 度得到的，若点A ’在AB 上，则旋转角α的大小可以是 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 4、如图所示，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0）.月牙① 绕点B 顺时针旋转900 得到月牙②，则点A 的对应点A ’的坐标为 （ ） A.（2，2） B.（2，4） C.（4，2） D.（1，2） 5．如图，△ABC 、△ADE 均是顶角为42°的等腰三角形，BC 和DE 分别是底边，图中△ 与 △ 可以通过以点 为旋转中心，旋转角度为 得到．其中∠BAD =∠ ， CE = ． 6．如图，将矩形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转90°，得到矩形FECG ，分别连接AC 、 FC 、AF ，若AB =3，BC =2，则 AF = ． 7．如图所示，把△ABC 绕点C 顺时针转35°得到△FEC ，EF 交AC 于点D ，若∠FDC =90°， 则∠A = ． （第5题） （第6题） （第7题） （第8题） 8．如图，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，得到△DOE ，若点A 坐标为（a ，b ），则点 D 的坐标为 ． 9.如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB ，它绕O 点按顺时针方向旋转得到△OEF ，在这 个旋转过程中： （1）旋转中心是什么？旋转角是什么？ G F E D B A F E D C B A 旋转知识点归纳 知识点1:旋转的定义及其有关概念 在平面内，将一个图形绕一个定点O 沿某个方向转动一个 角度，这样的图形运动称为旋转，定点O 称为旋转中心，转动的角称为旋转角;如果图形上的点P 经过旋转到点P ',那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 如图1,线段AB 绕点O 顺时 针转动0 90得到B A '',这就是旋转,点O 就是旋转中 心,A AO B BO '∠'∠,都是旋转角. 说明: 旋转的范围是在平面内旋转，否则有可能旋转为立体图形，因此“在平面内”这一条件不可忽略.决定旋转的因素有三个:一是旋转中心;二是旋转角;三是旋转方向. 知识点2:旋转的性质 由旋转的定义可知，旋转不改变图形的大小和形状，这说明旋转前后的两个图形是全等的.由此得到如下性质： ⑴经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排列次序相同. ⑵任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角. ⑶对应点到旋转中心的距离相等. ⑷对应线段相等，对应角相等. 例1 、如图2，D 是等腰Rt △ABC 内一点，BC 是斜边，如果将△ADB 绕点A 逆时针方向旋转到△C D A '的位置，则 ADD '∠的度数是（ ）Ｄ Ａ．25 Ｂ．30 Ｃ．35 Ｄ．45 分析:抓住旋转前后两个三角形的对应边相等、对应角相等等性质，本题就很容易解决. 由△C D A '是由△ADB 旋转所得,可知 △ADB ≌△C D A ',∴AD =D A ',∠DAB =∠AC D ',∵∠DAB +∠DAC =090, ∴∠AC D '+∠DAC =090,∴∠045='D AD ,故选Ｄ． ' 图1 D 图2 轴对称图形、中心对称图形的基本概念 轴对称图形的定义 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形。 轴对称图形的性质 1）如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。（对于一个图形来说） （2）把一格图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称。这条直线就是对称轴。两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做对称点。（对于两个图形来说） （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段相等，对应角相等。 中心对称的定义： 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称（central symmetry），这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。 中心对称的性质： ①于中心对称的两个图形是全等形。 ②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 ③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。 识别一个图形是否是中心对称图形就是看是否存在一点，使图形绕着这个点旋转180°后能与原图形重合。中心对称是指两个图形绕某一个点旋转180°后，能够完全重合，这两个图形关于该点对称，该点称为对称中心.二者相辅相成，两图形成中心对称，必有对称中点，而点只有能使两个图形旋转180°后完全重合才称为对称中点。 既是轴对称图形又是中心对称图形的有：直线，线段，两条相交直线，矩形，菱形，正方形，圆等． 只是中心对称图形的有：平行四边形等． 既不是轴对称图形又不是中心对称图形有：不等边三角形，非等腰梯形等． 《中心对称》教学设计 人教版教科书数学九年级上册 哈尔滨市道里区第一五九中学校张琪 【摘要】 本节课主要研究了中心对称的有关概念及中心对称的基本性质 【关键词】中心对称，对称中心，对称点 【教材分析】 1.考试说明 ①了解中心对称的有关概念 ②掌握中心对称的基本性质 2. 教学目标 ⑴. 知识技能 ①了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题 ②通过具体实例认识两个图形关于某一点中心对称的本质：就是一个图形绕一点旋转 180°而成。 ③理解关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心 所平分；理解关于中心对称的两个图形是全等图形；掌握这两个性质的运用 ⑵．过程与方法 在发现、探究的过程中完成对中心对称变换从直观到抽象、从感性认识到理性认识的转变，发展学生直观想象能力，分析、归纳、抽象概括的思维能力 ⑶. 情感态度与价值观 利用图形探索中心对称的性质，让学生体验数学与生活是紧密联系的，体会到生活中的对称美，发展学生的审美能力，增强对图形的欣赏意识。 3.教学重点 ①利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题 ②中心对称的两条基本性质及其运用 4.教学难点：中心对称的性质及利用以上性质进行作图 【学情分析】 学生在学习了旋转的基础上学习中心对称，在作图方面已经有了一定的基础，中心对称是一种特殊的旋转，对于性质的得出难度不大。 【教学策略】 利用多媒体的形式展示，通过学生自主动脑思考得出结论。 【教学过程】 一、创设情境，引入新课 观察： ①如图1把其中一个图案绕点O旋转180°，你有什么发现？ 图1 ②如图2，线段AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，把△OCD绕点O旋转180o，你有什么发现？ 图2 老师点评：可以发现，如图所示的两个图案绕O旋转180°都是重合的，即甲图与乙图重合，△OAB与△OCD重合． 归纳：把一个图形绕某一个点旋转180o，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；点O叫做对称中心；这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。 【设计意图】 从旋转变换的角度引入中心对称的概念，让学生体会知识间的内在联系，中心对称实际上是旋转变换的一种特殊形式（中心对称要求旋转角必须为180 o，）渗透了从一般到特殊的数学思想方法． 二、师生合作，探求新知 [探究]如图，旋转三角板，画关于点O对称的两个三角形； 第一步，画出△ABC； 第二步，以三角板的一个顶点O为中心，把三角板旋转180°，画出△A'B'C'； 第三步，移开三角板。 这样画出的△ABC与△A'B'C'，关于点O对称．分别连接对应点AA'、BB'、CC'．点O在线段AA'上吗?如果在，在什么位置?△ABC与△A'B'C'有什么关系? [发现]我们可以发现：(1)点O是线段AA'的中点；(2)△AB C≌△A'B'C'。 上述发现可以证明如下． 第一部分 旋转及其相关概念 一、旋转 我们前面已经学习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是肯定的， 下面我们就来研究． 1．请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？?从现在到下课 时钟转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？ 时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时针的中心．?如果从现在到下课时针转了 _______度，分针转了_______度，秒针转了______度． 2．再看我自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动．如何转到新的位置？ 共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固 定点转动一定的角度． 像这样，把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中 心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点P 经过旋转变为点P ′，那么这两个点叫做这个 旋转的对应点． 下面我们来运用这些概念来解决一些问题． 例1．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB ，它绕O 点按顺时针方向旋转得到△OEF ， 在这个旋转过程中： （1）旋转中心是什么？旋转角是什么？（2）经过旋转，点A 、B 分别移动到什么位置？ 解：（1）旋转中心是O ，∠AOE 、∠BOF 等都是旋转角． （2）经过旋转，点A 和点B 分别移动到点E 和点F 的位置． 例2．如图，四边形ABCD 、四边形EFGH 都是边长为1的正方形． （1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？ （2）指出，经过旋转，点A 、B 、C 、D 分别移到什么位置？ 解：（1）可以看做是由正方形ABCD 的基本图案通过旋转而得到的． （2）点A 、点B 、点C 、点D 移到的位置是点E 、点F 、点G 、点H ． 这个旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，?但旋转角和对应点都是不唯一 的． 二、应用拓展 例3．两个边长为1的正方形，如图所示，?让一个正方形的顶点与另一个正方形中心重合，不难知道重合部分的面积为14 ，现把其中一个正方形固定不动，?另一个正方形绕其中心旋转，问在旋转过程中，两个正方形重叠部分面积是否发生变化？?说明理由． 分析：设任转一角度，如图中的虚线部分，?要说明旋转后正方形重叠部分面积不变， 只要说明S △OEE`=S △ODD`，那么只要说明△OEF ′≌△ODD ′． 三、练习 （一）选择题 1．在26个英文大写字母中，通过旋转180°后能与原字母重合的有（ ）． A ．6个 B ．7 个 C ．8个 D ．9个 2．从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为（ ）． A ．20° B ．26° C ．30° D ．36° 3．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C 为旋转中心，?将△ABC 旋转到△A ′B ′C 的位置，其中A ′、B ′分别是A 、B 的对应点，且点B 在斜边A ′B ′上， 直角边CA ′交AB 于D ，则旋转角等于（ ）． A ．70° B ．80° C ．60° D ．50° 旋转的概念及性质 知识点1：旋转的概念 一个图形绕某点转动一个角度叫________． (1)旋转的三要素：______，_______和______； (2)旋转方向有：________，________； (3)旋转角：对应边的夹角. 1.如图，△CDO经旋转后能与△ABO重合，则： (1)旋转中心是________，旋转方向是_____________，旋转角度＝________°； (2)线段BO的对应线段是________，线段CD的对应线段是________； (3)∠AOB的对应角是________，∠CDO的对应角是________． 2.如图，△ABC绕点O旋转65°得到△A′B′C′，则： (1)旋转中心是________，旋转方向是______________ ，旋转角＝∠______＝∠______＝∠______＝______°； (2)线段AB的对应线段是________，线段________的对应线段是A′C′， (3)∠BAC的对应角是________，∠________的对应角是∠A′B′C′. 第1题第2题第3题第4题 知识点2：旋转的性质 (1)旋转前后的图形________；(2)旋转的对应边________，对应角________； (3)同一个旋转，旋转角都________；(4)对应点到旋转中心的距离________. 3.如图，D是等边三角形ABC内一点，△ABD绕点A旋转得到△ACE. (1)旋转中心是________；(2)旋转角＝∠________＝∠________＝________°； (3)连接DE，△ADE是________三角形． 4.如图，正方形ABCD中，△ABE绕点B旋转90°到△CBE′的位置，若AE＝1，BE＝2，CE＝3，连接EE′. (1)△BEE′是________三角形；(2)EE′＝________；(3)判断△EE′C的形状并证明．5．如图，两个边长为2的正方形，上面的正方形不动，下面的正方形绕 上面正方形的中心O旋转． 求证：(1)△OEE′≌△ODD′；(2)两个正方形重叠部分面积始终为1. (九年级数学)圆16——圆的复习1 第 周星期 班别： 姓名： 学号： 一、知识点 1、圆的对称性：圆既是轴对称图形又是 图形； 是它的对称轴， 是它的对称中心。 2、圆周角、弧和弦之间的关系：在一个圆中，如果圆心角相等， 那么它所对的弧________，所对的弦_________. 3、垂径定理： ∵AB 为⊙O 的直径，（或者:弦AB 过圆心） AB ⊥CD ∴DP= , =? DB ，=? DA （垂径定理） 5、同弧所对圆周角和圆心角的关系: 弧的度数=所对 的度数=所对 的度数2倍 二、做一做 （一）填空题 1、如图(1)，若∠AOB=60°，则︵AB 的度数为 ，∠ACB= 。 2、100 的弧所对的圆周角为 ，圆心角为 。 3.如图2，在同心圆O 中，?AB 的度数是60°，则? CD 的度数 是 . 4、如图，在⊙O 中，AB ∥CD ，?AC 的度数为45°，则∠BOD 的 度数为 . 5、一条弦把圆分成1：3两部分，则该弦所对的圆心角为________。 6、如图(3) 如果∠ACB=140°，则∠AOB= 如果∠AOB=110°，则∠ACB= 7、如图(4)，在⊙O中，半径OC⊥AB于D，若AB=16cm，OD=6cm，则⊙O的半径为。 8、如图(4)，在半径为5cm的圆中，线段OD=3cm,则这条弦的 长是 cm. 9、如图（4），弦长AB=43,CD =2，则它的弧所在圆的半 径为cm。 10、图（5）：若AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，AE=16， BE=4，则直径AB= ；OE= ；CD=________。 11、P为⊙O内一点，PO=4cm，过P最长的弦为10cm，则过P 点最短的弦长为_____cm。 12、如图（6）：半径为8的⊙O中，O点到弦AB的距离为4，， 是∠AOB＝。 13、在⊙O中,3cm的一条弦所对的圆心角是60°，则圆的直径是 cm. 14、如图3，⊙O的直径AB与弦CD交于点M，添加条件（写 出一个即可）就可得到M是AB的中点； (二)、选择题 15．AB是⊙O的弦，∠AOB = 80?，则AB所对的圆周角是 A．40?B．40?或140?C．20?D．80?或100? 16．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB = AC且∠CAB = 60?，D是上一点，AC与BD交于E，连接DC、AD，则图中60?角共有 （）个。 A．3 B．4 C．5 D．6 https://www.wendangku.net/doc/111089477.html, ------------------华夏教育资源库 中心对称概念和性质 目的要求： 1、使学生了解中心对称概念，了解关于中心对称的两个图形，其对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 2、使学生会画与已知图形成中心对称的图形。 教学重点：中心对称的概念 教学难点：掌握理解中心对称的概念 教具准备：一副三角板、圆规 教学方法：类比的方法 教学过程： 复习提问： 1、什么叫轴对称？它有什么性质？ 2、举出一些轴对称的例子。 新课讲解： 在前一章，我们学过关于直线对称的图形。在日常生活和生产劳动中，还会遇到关于点对称的图形。例如，飞机的螺旋桨，风车的风轮等，就是关于一点对称的图形的实例，它们的每个叶片转动180°后，都转到与它相对的叶片的位置。因为具有关于点对称的图形的物体能够在平面内稳定的旋转，所以在生产中有关旋转的零部件常设计成关于某点为对称的图形，现在我们来研究这种图形的性质（学出课题）。 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称。这个点叫做对称中心。这两个图形关于点对称也称中心对称。这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。 指出，中心对称的含义是：（1）有两个图形能够完全重合；（2）重合方式有限制，不是把一个平移到另一个上面，也不是沿一条直线对折，而是把一个图形绕指定点旋转180°之后与另一个重合。由此可见，中心对称图形一定全等，而全等的图形不一定中心对称。 有定义可知，中心对称是指两个图形之间的形状与位置之间的关系，具有这种关系的两个图形有些特殊性质。 定理1 关于中心对称的两个图形是全等形。 定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 定理2 的逆定理也是成立的。 逆定理：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 我们有时用它来判定两个图形关于一点对称。 例：已知四边形ABCD 和点O 画四边形A′B′C′D′，使它与已知四边形关于点O 对称。 分析：要画四边形ABCD 关于点O 的对称图形，只要画A 、B、C、D 四点关于点O 的对称点，再顺次连结各点即可。 画法：1、连结AO 并延长到A′，使OA′＝OA ，得到点A 的对称点A′。https://www.wendangku.net/doc/111089477.html, ------------------华夏教育资源库 3．2图形的旋转 第1课时旋转的定义和性质 1．掌握旋转的概念，了解旋转中心， 旋转角，旋转方向，对应点的概念及其应用； 2．掌握旋转的性质，应用概念及性质 解决一些实际问题．(重点，难点) 一、情境导入 飞行中的飞机的螺旋桨、高速运转中的 电风扇等均属于旋转现象．你还能举出类似 现象吗？ 二、合作探究 探究点一：旋转的定义 【类型一】旋转的认识 如图，将左边叶片图案旋转180° 后，得到的图形是() 解析：将叶片图案旋转任何角度和A、 B中的图案均不重合；不旋转或旋转360° 后和C中的图案重合，不合要求；顺时针或 逆时针旋转180°后只和D中的图案重合， 故选D. 【类型二】旋转图形的识别 下列图形：线段、等边三角形、 正方形、等腰梯形、正五边形、圆，其中是 旋转对称图形的有哪些？ 解析：由旋转对称图形的定义逐一判断 求解． 解：线段、等边三角形、正方形、正五 边形、圆都是旋转对称图形． 方法总结：判断一个图形是否是旋转对 称图形，其关键是要看这个图形能否找到一 个旋转中心，且图形能绕着这个旋转中心旋 转一定角度与自身重合． 【类型三】旋转角的判断 如图，点A、B、C、D都在方格 纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方 向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为 ( ) A．30° B．45° C．90° D．135° 解析：对应点与旋转中心的连线的夹 角，就是旋转角，∠BOD，∠AOC都是旋 转角．由图可知，OB、OD是对应边，∠BOD 是旋转角，所以，旋转角∠BOD＝90°.故 选C. 探究点二：旋转的性质 【类型一】旋转性质的理解 如图，四边形ABCD是边长为4 的正方形且DE＝1，△ABF是△ADE旋转 后的图形． (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ 【学习目标】 1．掌握中心对称和中心对称图形的概念，知道它们之间的区别和联系． 2．掌握成中心对称的两个图形的性质，会判断两个图形是否成中心对称． 3．会作出已知图形关于已知点的中心对称图形． 【主体知识归纳】 1．中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称，这个点叫做对称中心，两个图形关于点对称也称中心对称，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点． 2．中心对称的性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形． （2）关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．（3）如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称． 3．中心对称图形把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．4．中心对称与中心对称图形的异同 （1）中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的一个图形．（2）中心对称与中心对称图形都有对称中心，如果把成中心对称的两个图形看做一个整体，那么它就是一个中心对称图形；如果把中心对称图形对称的部分看做是两个图形，那么它们又成中心对称． 【基础知识精讲】 1．本节的重点是中心对称的概念和性质，关于中心对称的概念，可对照轴对称的概念 2．轴对称图形与中心对称图形都是某个图形所具备的某种属性的一种称呼，因此，某个图形可能同时具备这两种属性，也可能具备其中之一，还有可能一种属性都不具备． 【例题精讲】 ［例1］如图4－61，已知四边形ABCD和BC边上的中点M，画四边形A′B′C′D′，使它与四边形ABCD关于点M对称． 图4—62 第二十三章旋转 23.1图形的旋转 第1课时旋转的概念与性质 【知识与技能】 通过观察具体实例认识旋转，探索它的基本性质. 【过程与方法】 在发现、探索的过程中完成对旋转这一图形变化从直观到抽象、从感性认识到理性认识的转变，发展学生直观想象能力，分析、归纳，抽象概括的思维能力. 【情感态度】 学生在实验探究、知识应用等数学活动中，能体验数学的具体、生动、灵活，增强数学应用意识，调动学生学习数学的主动性. 【教学重点】 归纳图形的旋转特征. 【教学难点】 旋转概念的形成过程及性质的探究过程. 一、情境导入，初步认识 问题 1 以前我们学过图形的平移、轴对称等变换，它们有哪些特征呢？想想看，并与同伴交流. 问题2 请观察下列图形的变化（教师展示实物或图片或用课件展示）： （1）时钟针面上时针的转动（顺时针方向旋转和逆时针方向转动）； （2）风车的转动； （3）电扇上扇叶的转动； （4）小朋友荡秋千； （5）汽车雨刷的转动； 以上图形的转动有什么共同特点呢？你还能举出这样类似的生活中的情境吗？ 【教学说明】问题1的回顾，可让学生感受到现实生活中存在着平移，轴对称变换，结合问题2，可进一步感受生活中存在着旋转变换，增强探究欲望，进而导入新课.对于问题2，应鼓励学生通过观察、思考、讨论，用自己的语言来描述这个现象的共同特征，初步感受到旋转的基本性质是绕某一固定点转动一定的角度. 二、思考探究，获取新知 探究1 如图，用一根细线一端拴住小球，另一端固定在支架上（教师事先准备好实物），当小球绕点O由A摆动至B，由B摆动至A的过程中，试问：小球绕着哪个点转动？它们转动方向如何？转动的角度是哪个角？ 探究2 如图，用一根较长细线系住木棒AB的两端，再将细线固定于支架上的点O（教师事先准备好实物），再将木棒提取使之自然摆动至A′B′位置.试问：在转动过程中，木棒AB绕着哪一点在转动？木棒AB的长度发生了变化吗？A和A′到点O的距离发生了变化吗？B和B′点呢？由此你能发现哪些重要结论？ 【教学说明】 1.在演示探究2中，应将细线缠绕在支架上点O处，使之不能滑动. 2.引导学生认真观察，独立思考过程中，教师可适时予以点拨，从而引出旋转的相关定义，并初步感受旋转的性质，最后师生共同总结. 旋转：把一个平面图形绕着平面内某一个点（如点O）旋转一个角度，就叫做图形的旋转.点O称为旋转中心，转动的角度称为旋转角.（注意突出旋转的三个要素：旋转中心、旋转角和旋转方向） 2.3 中心对称和中心对称图形 第1课时 中心对称及其性质 学习目标： 1、掌握中心对称的定义以及相关概念.理解中心对称的性质，能够利用性质解决相关问题. 2、能够依据中心对称的性质解决相关作图问题. 重点：作图以及利用性质解决问题. 难点：利用性质解决问题. 学习过程： 一、自学教材回答下列问题. 1、自学教材思考，解答：有何__________________________. 2、把一个图形__________________________________________那么就说这两个图形关于这个点中心对称.这个点叫_______. 二、自学教材探究，回答下列问题： 1、利用旋转的性质——对应点到_________的距离相等，可知中心对称的两个图形的对称点到______的距离相等，亦即对称点的连线被__________平分.对称点的连线经过_________. 2、由旋转的性质——旋转前后对应的线段___________,可知中心对称的两个图形的对称线段_______，由此可得到，中心对称的两个图形是__________. 三、利用上述性质解答：（可参看教材例题） 例（1）如图，选择点O 为对称中心，画出点A 关于点O 的对称点A ′. A O （2）如图，选择点O 为对称中心，画出与△ABC 关于点O 对称的△A ′B ′C ′. (3)、如图，已知△ABC 与△A’B’C’中心对称，求出它们的对称中心O . B C A’ 四、随堂检测： 1、下列说法错误的是( ) A．中心对称图形一定是旋转对称图形 B．轴对称图形不一定是中心对称图形 C．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分 D．旋转对称图形一定是中心对称图形. 2、关于中心对称的两个图形,对应线段的关系是( ) (A) 平行 (B) 相等 (C) 平行且相等 (D) 相等且平行或在同一直线上 3、如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且被平分，则这两个图形一定关于 这一点成____________对称． 4、ΔABC和ΔA’B’C’关于点O中心对称，若ΔABC的周长为12cm，ΔA’B’C’的面积 为6cm2,则ΔA’B’C’的周长为___________，ΔABC的面积为_________. 5、下图中②③④⑤分别由①图顺时针旋转180°变换而成的是____________. 6、在下面四个图形中，图形①与_______成轴对称，图形①与图形________成中心对称． 7、如下图所示的四组图形中，左边图形与右边图形成中心对称__________组. §8.3 平面图形的旋转（1） 学习目标 1. 了解平面图形旋转基本性质； 2. 能通过具体实例认识平移，理解旋转的基本内涵，理解平面图形的旋转性质 学习重点：旋转的基本内涵与基本性质。 学习难点：平面图形的旋转性质的应学习过程 一、课前准备 P13，找出疑惑之处，并记录下来 二、回顾： 1、平移的概念：在平面内，将一个图形 （），这样的图形运动称为平移。 平移不改变图形的（）和（）。只改变图形的（） 2、、平移的性质：经过平移，对应点所连的线段（）且（），对应线段（）且（），（）相等。 二、新课导学 ※学习探究 探究任务（一）：1、平面图形旋转的定义： 在平面内，将一个图形 这样的图形运动称为旋转。 注：（1）这个定点称为 （2）转动的角称为 （3）旋转不改变图形的 只是发生变化。 2、举一些生活中旋转的实例 （二）、探索旋转的基本性质： 1、想一想： 如果把钟表的指针看作四边形AOBC，它绕点O按顺时针方向旋转得到四边形DOEF，在这个旋转过程中： ①旋转中心是什么？旋转角是什 么？ ②经过旋转，点A、B分别移动到 什么位置？ ③AO、DO的长有什么关系？BO、 EO呢？ ④∠AOD与∠BOE有什么大小关系？ 2、旋转的基本性质： （1）经过旋转，图形上的每一点都绕沿 转动了，任意一对的连线所成的角都是； （2）对应点到旋转中心的。 （3）旋转前后的两个图形是。（4）旋转前后的两个图形的是 ※典型例题 例1.（钟表问题中的旋转） 钟表的分针旋转一周需要60分钟。 （1）指出它的旋转中心， （2）经过20分钟，分针转了多少度？时针呢？ 3、旋转图形与基本图形 1、现实生活中许许多多的图形是由一些基本图形经过旋转后得到的。如： 这三个图形分别是由 基本图形经过 旋转后得到的。 2、作课本P12页的做一做 ※学习小结 写出本节课你有哪些收获？ 学习评价 ※当堂检测（时量：5分钟满分：100 分）计分： 1、下列说法正确的是（） A. 平移不改变图形的形状和大 小，而旋转则改变图形的形状和大小 B. 平移和旋转的共同点是改变图 形的位置 C. 图形可以向某方向平移一定距 离，也可以向某方向旋转一定距离 D. 在平移和旋转图形中，对应角 相等，对应线段相等且平行 2、下图是一个旋转对称图形，要使 它旋转后能与自身重合，至少应将它 绕中心点旋转的度数是（） A. 30° B. 60° C. 120° D. 180° 3、如图8，把三角形△ABC绕着点 C顺时针旋转35°，得到△A＇B＇C， A＇B＇交AC于点D，若∠A’DC＝90°， 则∠A的度数是__________。 4、如图5，在正方形ABCD中，E 为DC边上的点，连结BE，将△BCE 绕点C顺时针方向旋转90°得到△ DCF，连结EF，若∠BEC＝60°，则 ∠EFD的度数为（） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 24.1 旋转 第1课时旋转的概念和性质 1．了解图形旋转的有关概念并理解它的基本性质(重点)； 2．了解旋转对称图形的有关概念及特点(难点)． 一、情境导入 飞行中的飞机的螺旋桨、高速运转中的电风扇等均属于旋转现象．你还能举出类似现象吗？ 二、合作探究 探究点一：旋转的概念和性质 【类型一】旋转的概念 下列事件中，属于旋转运动的是() A．小明向北走了4米 B．小朋友们在荡秋千时做的运动 C．电梯从1楼上升到12楼 D．一物体从高空坠下 解析：A.是平移运动；B.是旋转运动；C.是平移运动；D.是平移运动．故选B. 方法总结：本题考查了旋转的概念，图形的旋转即是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题 【类型二】旋转的性质 如图，△ABC绕点A顺时针旋转80°得到△AEF，若∠B＝100°，∠F＝50°，则∠α的度数是() A．40°B．50°C．60°D．70° 解析：∵△ABC绕点A顺时针旋转80°得到△AEF，∴△ABC≌△AEF，∠C＝∠F＝50°，∠BAE＝80°.又∵∠B＝100°，∴∠BAC＝30°，∴∠α＝∠BAE－∠BAC＝50°.故选B. 方法总结：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点——旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型三】与旋转有关的作图 90°，作出旋转后的图案，同时作出字母A向左平移5个单位的图案． A D F C E B 旋转的概念和性质 【预习引领】 1、旋转定义：在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一定的角度， 这样的图形运动叫做 。这个定点叫 。旋转 的角度称为 。 2、△ABO 绕点O 旋转的过程中,你有什么发现? 点B 的对应点是点_______； 线段OB 的对应线段是线段_________； ∠A 的对应角是___ _；旋转中心是点_______； 若∠AOA′=45°，旋转的角度______。 【探究】 例1如图:如果旋转中心在△ABC 的外面点O 处,逆时针转动60°,将整个△ABC 旋转到△A′B′C′的位置.那么这两个三角形的顶点，边与角是如何对应的呢？ 讨论：1.在上面两个探索中，△ABC 在旋转过程中，哪些发生了变化？ 哪些没有改变？ 2.你还可得出哪些结论？ 归纳：图形旋转的性质： （1） 旋转前、后的图形 。 （2） 对应点到旋转中心的距离 。 （3） 每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此 。 例2如图,画出△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转900后的对应三角形; （1）如果点D 是AC 的中点,那么经过上述旋转后,点D 旋转到什么位置?请在图中将点D 的对应点D ′表示出来. （2）如果AD=1cm,那么点D 旋转过的路径是多少? 例3已知，如图边长为1的正方形EFOG 绕与之边长相等的正方形ABCD 的中心O 旋转任意角度，求图中阴影部分的面积. 例4如图,四边形ABCD 是正方形, △ ADE 经顺时针旋转后与△ABF 重合.请按图回答: (1)旋转中心是哪一点? (2)旋转了多少度? (3)如果连结EF,那么△ AEF 是怎样的三角形? 【课堂操练】 1．下列现象属于旋转的是（ ） （A ）空中飞舞雪花．（B ）摩托车在急刹车时向前滑动． （C ）幸运大转盘转动的过程．（D ）飞机起飞后冲向空中的过程． 2 ．下列图案中，不能由一个图形通过旋转而构成的是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 第（3）题 第（4）题 3．如图，△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转到△EBD 的位置，若∠A =15o ，∠C =10o ，E ，B ，C 在同一直线上，则∠ABC =____________，旋转角度是____________． 4．如图，将一个正三角形绕其中心O 至少旋转____________可与自身重合． 5．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC 的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫做格点）． （1）画出△ABC 向平移4个单位后的△A 1B 1C 1； （2）画出△ABC 绕点O 顺时针旋转90o 后的△A 2B 2C 2． C 课题旋转的概念和性质 【学习目标】 1．掌握旋转、旋转中心和旋转角的概念，并理解旋转的性质． 2．能画出简单图形旋转后的对应图形． 【学习重点】 掌握旋转的定义和基本性质，并利用数学知识解释生活中的旋转现象． 【学习难点】 理解旋转的不变性，旋转角的性质，对应点到旋转中心的距离相等． 行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么． 行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决． 方法指导：旋转图形的三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角． 情景导入生成问题 旧知回顾： 1．观察钟表的指针、电风扇的叶片分别是怎样运动的？ 答：钟表的指针绕中间的固定点旋转，电风扇的叶片绕电机的轴旋转． 2．你还能举出生活中类似现象吗？ 答：公园里秋千的运动，风车的转动，汽车刮雨器的运动等． 自学互研生成能力 知识模块一旋转的概念 【自主探究】 阅读教材P75－76的内容，回答下列问题： 什么是旋转？旋转中心？旋转角？ 答：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角，旋转图形不改变图形的形状和大小． 范例1：下列现象中属于旋转的是( B) A．摩托车在急刹车时向前滑动B．拧开水龙头 C．雪橇在雪地里滑动D．电梯的上升与下降 仿例1：将如图所示的图案按顺时针方向旋转90°后可以得到的图案是( A) A B C D 仿例2： 如图，将Rt△ABC(其中∠B＝35°，∠C＝90°)绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于( C) A．55°B．70°C．125°D．145° 归纳：“将一个图形绕一定点沿某个方向转动一个角度”意味着图形上的每个点都按相同的方式转动相同的角度．与平移类似，“旋转不改变图形的形状与大小”． 知识模块二旋转的性质 旋转的性质有哪些？ 答：一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等． 范例2： 如图所示，三角形ABO绕点O旋转得到三角形CDO，在这个旋转过程中： (1)旋转中心是点O，旋转角是∠AOC或∠BOD； (2)经过旋转，点A，B分别转到了点C，D； (3)如果AB＝1 cm，那么CD＝1__cm； (4)如果∠AOB＝20°，旋转角为40°，那么∠COD＝20°，∠BOD＝40°． 仿例1：如图所示，将正方形ABCD中的△ABP绕点B顺时针旋转能与△CBP′重合，若BP＝4 cm，则BP′＝4 cm，∠PBP′＝90°． ?中心对称的定义： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么说这两个图形关于这个点中心对称，这个点叫做对称中心。 中心对称图形的定义： 在平面内，一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 ?中心对称的性质： ①关于中心对称的两个图形是全等形。 ②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 ③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 中心对称的判定： 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 ?中心对称与中心对称图形的联系: 中心对称和中心对称图形是两个不同而又紧密联系的概念。 区别是： 中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于一点对称，这个点是对称中心，两个图形关于点的对称也叫做中心对称。成中心对称的两个图形中，其中一个图形上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点的对称点，又都在这个图形上； 而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称。中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上。如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，如果把对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称。 也就是说： ①中心对称图形：如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。 ②中心对称：如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与另一个图形重合，这两个图形成中心对称。 第一部分中心对称 一、探索新知 问题：作出如图的两个图形绕点O旋转180°的图案，并回答下列的问题： 1．以O为旋转中心，旋转180°后两个图形是否重合？ 2．各对称点绕O旋转180°后，这三点是否在一条直线上？ 解： 像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． 这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 例1．如图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答．（1）这两个图形是中心对称图形吗？如果是对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由． （2）如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点． （例1）（例2） 分析：（1）根据中心对称的定义便直接可知这两个图形是中心对称图形，?对称中心就是旋转中心． （2）旋转后的对应点，便是中心的对称点． 例2．如图，已知AD是△ABC的中线，画出以点D为对称中心，与△ABD?成中心对称的三角形． 分析：因为D是对称中心且AD是△ABC的中线，所以C、B为一对的对应点，因此，只要再画出A关于D的对应点即可． 二、应用拓展 例3．如衅，在△ABC中，∠C=70°，BC=4，AC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置． （1）若平移的距离为3，求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积． （2）若平移的距离为x（0≤x≤4），求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积y，写出y 与x的关系式． （例3）（2） 三、练习 （一）选择题 1．在英文字母VWXYZ中，是中心对称的英文字母的个数有（）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．下面的图案中，是中心对称图形的个数有（）个 A．1 B．2 C．3 D．4旋转的概念及性质
旋转的定义和性质
旋转知识点归纳
轴对称图形中心对称图形的定义及性质
中心对称教学设计
旋转相关概念及其性质
旋转的概念及性质讲义
《中心对称图形的概念和性质》教案
中心对称概念和性质
旋转的定义和性质 优秀课教案
初二数学中心对称和中心对称图
第1课时 旋转的概念与性质(教案)
中心对称及其性质 (2)
图形的旋转及其性质
旋转的概念和性质
旋转的概念和性质
八年级数学下册 3 图形的平移与旋转 课题 旋转的概念和性质学案 (新版)北师大版
中心对称的定义
中心对称及其性质