高考中数学的多选题

高考中的多选题（历年真题改编）

一、集合与常用逻辑用语

1．（2017新课标Ⅰ改编）下面四个命题中，是真命题为( )

A.若复数z 满足

1

z

∈R ，则z ∈R ； B.若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； C.若复数1z ，2z 满足12z z ∈R ，则12z z =； D.若复数z ∈R ，则z ∈R ．

答案AD 【解析】设i z a b =+（,a b ∈R ），则

2211i (i)a b z a b a b

-==∈++R ，得0b =，所以z ∈R ，A 正确；2222

(i)2i z a b a b ab =+=-+∈R ，则0ab =，即0a =或0b =，

不能确定z ∈R ，B 不正确；若z ∈R ，则0b =，此时i z a b a =-=∈R ，D 正确．

2．（2014湖南改编）已知命题p ：若x y >，则x y -<-；命题q ：若x y >，则22

x y >．

则下列命题为真命题的是

A ． B. C.

D.

答案BC 【解析】由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故A:为

假命题，B:为真命题，C:q ?为真命题，则为真命题，D:p ?

为假命题，

则为假命题，所以选C ．

3．（2013四川改编）设n P P P ，，

，??21为平面a 内的n 个点，在平面a 内的所有点中，若点P 到点n P P P ，，，??21的距离之和最小，则称点P 为点12n P P P ???，，

，的一个“中位点”，例如，线段AB 上的任意点都是端点A ，B 的中位点，则下列命题为真命题的是

A.若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点；

B.直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；

C.若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一；

D.梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点；

答案AD 【解析】由“中位点”可知，若C 在线段AB 上，则线段AB 上任一点都为“中位点”，

p q ∧p q ∨()p q ∧?()p q ?∨p q ∧p q ∨()p q ∧?()p q ?∨

C 也不例外，故A 正确；

对于B 假设在等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，如图所示，点P 为斜边AB 中点，设腰长为2，则|P A |＋|PB |＋|PC |＝3

2

|AB |

＝C 为“中位点”，则|CB |＋|CA |＝4

＜B 错；

对于C ，若B ，C 三等分AD ，若设|AB |＝|BC |＝|CD |＝1，则|BA |＋|BC |＋|BD |＝4＝|CA |＋|CB |＋|CD |，故C 错；

对于D ，在梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 的交点为O ，在梯形ABCD 内任取不同于点O 的一点M ，则在△MAC 中，|MA |＋|MC |＞|AC |＝|OA |＋|OC |，

同理在△MBD 中，|MB |＋|MD |＞|BD |＝|OB |＋|OD |， 则得，|MA |＋|MB |＋|MC |＋|MD |＞|OA |＋|OB |＋|OC |＋|OD |， 故O 为梯形内唯一中位点是正确的． 二、函数的概念和性质

4.（2019全国Ⅰ理1改编）关于函数,则下列结论正确的是 A.f (x )是偶函数

B.f (x )在区间（

,）单调递增

C.f (x )在有4个零点

D.f (x )的最大值为2 答案AD

【解析】，则函数是偶函数，

故A 正确.当时，， 则为减函数，故B 错误

. ()sin |||sin |f x x x =+2

ππ[,]-ππ()sin sin |i |sin s n f x x x x x f x -=-+-=+=（）（）()f x π,π2x ??

∈ ???

sin sin sin sin x x x x ==，sin sin 2sin f x x x x =+=（

）

当，， 由得,得或， 由是偶函数，得在上还有一个零点，即函数在上

有3个零点，故C 错误.

当时，取得最大值2，故D 正确， 故正确的结论是AD .

5．（2017山东改编）若函数e ()x

f x (e=2．71828

，是自然对数的底数)在()f x 的定义域

上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是（） A.()2x f x -= B.()3x f x -= C.3()f x x = D.2

()2f x x =+ 答案AD

【解析】A:()2

()2

x

x

x

x e

e f x e -=?=在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； B:()3

()3

x

x

x

x e

e f x e -=?=在R 上单调递减，故()3x f x -=不具有M 性质； C:3

()x

x

e f x e x =?，令3

()x

g x e x =?，则3

2

2()3(2)x

x

x

g x e x e x x e x '=?+?=+，

∴当2x >-时，()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<，

∴3()x x e f x e x =?在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，

故()3

f x x =不具有M 性质；

D:2

()(2)x x e f x e x =+，令()()

22x g x e x =+， 则22

()(2)2[(1)1]0x x x g x e x e x e x '=++?=++>，

∴2()(2)x x e f x e x =+在R 上单调递增，故2()2f x x =+具有M 性质．

6．(2011福建改编)设V 是全体平面向量构成的集合，若映射

:f V R →满足：对任意向量

11(,)x y a =∈V ，22(,)x y b =∈V ，以及任意λ∈R ，均有

((1))()(1)(),f f f λλλλ+-=+-a b a b

则称映射

f

具有性质P ．下列映射中，具有性质P 的映射的是

0πx ≤≤sin sin sin sin 2sin f x x x x x x =+=+=（

）0f x =（

）2sin 0x =0x =πx =()f x [π0-，）πx =-()f x []ππ-，sin 1

sin 1x x ==，()f x

A.12:,(),(,);f V R f m x y m x y V →=-=∈

B.2

22:,(),(,);f V R f m x y m x y V →=+=∈

C.33:,()1,(,).f V R f m x y m x y V →=++=∈

D.2

33:,(),(,).f V R f m x y m x y V →=+=∈

答案AC

【解析】∵11(,)x y a =，22(,)x y b =，R λ∈，

所以1212(1)((1),(1))x x y y λλλλλλ+-=+-+-a b

对于A

,具有性质P 的映射,同理可验证C 符合,BD 不符合

7．(2010福建改编)已知定义域为0+∞（，）的函数()f x 满足：①对任意0x ∈+∞（，）

，恒有(2)=2()f x f x 成立；当(1,2]x ∈时，()=2f x x -．下列结论正确的是（）

A.对任意Z m ∈，有(2)=0m

f

B.函数()f x 的值域为[0+∞，）

C.存在Z n ∈，使得(2+1)=9n

f

D.“函数()f x 在区间(,)a b 上单调递减”的充要条件是“存在Z k ∈，使得

1(,)(2,2)k k a b +?”

答案ABD

【解析】A:，正确；

B:取，则

；，从而 ，其中，，从而，

正确；C:，假设存在使，

∵1

21[2,2)n n n ++∈，∴1(21)22121n n n n f ++=--=-，∴219,210n n +==，

1111212(),((1))((1),(1))f m x y f a b f x x y y λλλλλλ=-+-=+-+-12121122(1)(1)()(1)()

x x y y x y x y λλλλλλ=+----=-+--()(1)()f a f b λλ=+-0)2(2)2(2)2

2()2(111

====?=---f f f f m m m m

]2

,2(1+∈m m

x ]2,1(2∈m x m m x x f 2

2)2(-=x x

f x f x f m m m -====+12)2

(2)2(2)( ,2,1,0=m ),0[)(+∞∈x f 122

)12(1

--=++n m n

f n 9)12(=+n f

这与n Z ∈矛盾，所以该命题错误；D 根据前面的分析容易知道该选项正确. 三、函数的综合应用

8．（2017山东改编）若函数e ()x

f x (e=2．71828

，是自然对数的底数)在()f x 的定义域

上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是（）． A.()2x f x -= B.2()f x x = C.()3x

f x -= D.()cos f x x = 答案AD

【解析】A:()2

()2

x

x

x

x e

e f x e -=?=在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； B:()3

()3

x

x

x

x e

e f x e -=?=在R 上单调递减，故()3x f x -=不具有M 性质； C:3

()x

x

e f x e x =?，令3

()x

g x e x =?，则3

2

2()3(2)x

x

x

g x e x e x x e x '=?+?=+，

∴当2x >-时，()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<，

∴3()x x e f x e x =?在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，

故()3

f x x =不具有M 性质；

D:2

()(2)x x e f x e x =+，令()()

22x g x e x =+， 则22

()(2)2[(1)1]0x x x g x e x e x e x '=++?=++>，

∴2()(2)x x e f x e x =+在R 上单调递增，故2()2f x x =+具有M 性质．

9．（2014四川改编）以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()

x ?组成的集合：对于函数()x ?，存在一个正数M ，使得函数()x ?的值域包含于区间

[,]M M -．例如，当31()x x ?=，2()sin x x ?=时，1()x A ?∈，2()x B ?∈．下列命

题是真命题的是（）

A.设函数()f x 的定义域为D ，则“

()f x A ∈”的充要条件是“b R ?∈，a D ?∈，

()f a b =”；

B.函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；

C.若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +?；

D.若函数2

()ln(2)1

x

f x a x x =++

+（2x >-，a R ∈）有最大值，则()f x B ∈．

ACD 【解析】对于A ，根据题中定义，()A f x ∈?函数()y f x =，x D ∈的值域为R ，

由函数值域的概念知，函数()y f x =，x D ∈的值域为,R b R a D ??∈?∈

()f a b =，

所以A 正确；对于B ，例如函数||

1()()2

x f x =的值域(0,1]包含于区间[1,1]-，所以()f x B ∈，但()f x 有最大值l ，没有最小值，所以B 错误；对于C ，若

()()f x g x B +∈，则存在一个正数1M ，使得函数()()f x g x B +∈的值域包含于区间

11[,]M M -，所以1M -≤()f x 1()g x M +≤，由()g x B ∈知，存在一个正数2M ，

使得函数()g x 的值域包含于区间22[,]M M -，所以22()M g x M -≤≤，亦有

22()M g x M -≤-≤，两式相加得12()M M -+≤()f x ≤12M M +，于是()f x B ∈，

与已知“()f x A ∈”矛盾，故()()f x g x B +?，即C 正确；对于D ，如果0a >， 那么,()x f x →+∞→+∞，如果0a <，那么2,()x f x →-→+∞，所以()f x 有最大值，必须0a =，此时2()1x f x x =+在区间(2,)-+∞上，有11

()22

f x -≤≤，

所以()f x B ∈，即D 正确. 四、导数与微积分

10．（2014安徽改编）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：

)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直

线l 在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是（） A.直线0:

=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x =

B.直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2

)1(+=x y C.直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = D.直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = 答案ACD

【解析】对于A ，203,|0x y x y =''==，所以:0l y =是曲线3

:C y x =在点()0,0P 处的切线，画图可知曲线3

:C y x =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，A 正确；对于B ，因为

12(1),|0x y x y =-''=+=，所以:1l x =-不是曲线C ：

2)1(+=x y 在点()0,1-P 处的切线，B 错误；对于C ，0cos ,|1x y x y =''==，在点()0,0P 处的切线为x y l =:，画图可知曲线

C ：x y sin =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，C 正确；对于

D ，2

1

cos y x

'=

，021

|1cos 0

x y ='=

=，在点()0,0P 处的切线为x y l =:，画图可知曲线C ：x y tan =在点

()0,0P 附近位于直线l 的两侧，D 正确.

11．（2015安徽改编）设3

0x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方

程仅有一个实根的是（）

A.3,3a b =-=-

B.3,2a b =-=

C.3,2a b =->

D.0,2a b ==； 答案ACD

【解析】令，当时，，

则在R 上单调递增函数，此时仅有一个实根，所以D 对；

当时，由得，所以是的极小值点．

由，得,即，C 对．是的极大值点，

由，得，即，A 对．

12．（2015四川）已知函数x x f 2)(=，ax x x g +=2

)(（其中R a ∈）．对于不相等的实

数21,x x ，设2121)()(x x x f x f m --=

，2

121)

()(x x x g x g n --=，下列命题中是真命题的是（）

A.对于任意不相等的实数21,x x ，都有0>m ；

B.对于任意的a 及任意不相等的实数21,x x ，都有0>n ；

C.对于任意的a ，存在不相等的实数21,x x ，使得n m =；

D.对于任意的a ，存在不相等的实数21,x x ，使得n m -=． 答案AD

【解析】A.设，函数单调递增，所有，，

32

(),()3f x x ax b f x x a '=++=+0a ≥()0f x '≥()f x 3

0x ax b ++=3a =-2

()330f x x '=-<11x -<<1x =()f x (1)0f >3

1310b -?+>2b >1x =-()f x (1)0f -<3

(1)3(1)0b --?-+<2b <-12x >x 2x

122>2x

x

120x x

则=>0，所以正确；

B.设>，则，则

，可令=1，=2，，

则，所以错误；

C.因为，由B 得：

，分母乘到右边，

右边即为，所以原等式即为=， 即为=，令，

则原题意转化为对于任意的，函数存在不相等的实数，

使得函数值相等，，则，

则，令，且，可得为极小值． 若，则，即，单调递增，不满足题意， 所以错误．

D.由C 得=，则， 设，有，使其函数值相等，则不恒为单调．

，，恒成立，

单调递增且，．所以先减后增，满足题意，所以正

确．

五、三角函数与解三角形

13.（2014新课标Ⅰ）在下列函数中，最小正周期为π的函数是（） A.|2|cos x y = B.|cos |x y = C.)62cos(π

+=x y D.)4

2tan(π

-=x y 答案ABC

【解析】A:|2|cos x y =，最小正周期为π；B:|cos |x y =，最小正周期为π；C:

m =1212()()f x f x x x --12

12

22x x x x 1x 2x 120x x ->1212

()()

g x g x n

x x 22121212

()

x x a x x x x 12121212

()()

x x x x a x x a x x 1x 2x 4a =-10n =-

n 2

121)

()(x x x f x f --12x x a =++12()()g x g x -12()()f x f x -12()()g x g x -12()()f x g x -12()()f x g x ()()()h x f x g x =-a ()()()h x f x g x =-1x 2x 2()2x h x x ax =--()2ln 22x h x x a '=--()2(ln 2)2x

h x ''=-0()0h x ''=012x <<0()h x '10000a =-0()0h x '>0()0h x '>()h x 12()()f x f x -12()()g x g x -1122()()()()f x g x g x f x +=+()()()h x f x g x =+1x 2x ()h x 2()2x h x x ax =++()2ln 22x h x x a '=++()2

()2ln 220x

h x ''=+>()h x '()0h '-∞<()0h '+∞>()h x

)62cos(π+=x y ，最小正周期为π;D:)42tan(π-=x y ，最小正周期为2

π

．最小正周

期为π的函数为ABC ．

14.（2019全国Ⅲ理改编）设函数=sin （）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述结论正确的是（） A.在（）有且仅有3个极大值点 B.在（）有且仅有2个极小值点

C.在（）单调递增

D.的取值范围是[)

答案CD

【解析】当时，， 因为在有且仅有5个零点，所以， 所以

，故AB 错，D 正确， 当时，，若在单调递增，则

，即，因为，故C 正确． 15．(2011安徽改编)设()f x =sin 2cos2a x b x +，其中,a b ∈R ，0ab ≠，若()()

6f x f π

≤对一切则x ∈R 恒成立，则以下结论正确的是（）．

A.11(

)012

f π

= B.7(

)10f π＜()5

f π C.()f x 既不是奇函数也不是偶函数 D.()f x 的单调递增区间是2,()6

3k k k Z π

πππ?

?

++

∈???

?

答案AC

()f x 5

x ωπ

+

ω()f x []0,2π()f x 0,2π()f x 0,2π()f x 0,10

π

ω1229

510

，[0,2]x ∈π,2555x ωωπππ??+

∈π+????

()f x [0,2]π5265

ωπ

ππ+

<π1229

5

10

ω<

(0,

)10x π∈(2),5510x ωωππ+π??+∈????()f x 0,10π??

???

(2)102ω+ππ<3ω<12

29

5

10

ω<

【解析】()sin 2cos2)f x a x b x x ?=++（其中tan b

a

?=

），因此对一切x R ∈，()|()|6

f x f π≤恒成立，所以sin(

)13

π

?+=±，

可得()6k k Z π?π=+

∈

，故())6

f x x π

=+．

而1111())012126f πππ=?+=，所以A 正确；

74717|()||||123030f πππ==

，17|()||530

f ππ=，

所以7|()||()|105

f f ππ

=，故B 错；C 明显正确；D 错误.

16．（2012安徽改编）设ABC ?的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ；则下列命题正确的是．

A.若2

ab c >；则3

C π

<

B.若2a b c +>；则3

C π

<

C.若3

3

3a b c +=；则2

C π

< D.若()2a b c ab +<；则2

C π

>

答案ABC

【解析】A.2222

21cos 2223

a b c ab ab ab c C C ab ab π

+-->?=

>=?< B.2222224()()12cos 2823

a b c a b a b a b c C C ab ab π

+-+-++>?=

>≥?< C.当2

C π

≥

时，22232233c a b c a c b c a b ≥+?≥+>+与333

a b c +=矛盾

D.取2,1a b c ===满足()2a b c ab +<得：2

C π

<

六、平面向量

17．（2013广东改编）设a 是已知的平面向量且0≠a ，关于向量a 的分解，若向量b ，

c 和a 在同一平面内且两两不共线，下列命题中的则真命题的是（）

A.给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；

B.给定向量b 和c ，总存在实数和，使λμ=+a b c ；

C.给定单位向量b 和正数，总存在单位向量c 和实数，使λμ=+a b c ；

D.给定正数和，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 答案AB

【解析】利用向量加法的三角形法则，易的A 是对的；利用平面向量的基本定理，易的B

λμμλλμ

是对的；以的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量有交点，这个不一定能满足，C 是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须

，所以D 是假命题.

七、不等式

18．（2014新课标Ⅰ改编）不等式组1

24

x y x y +≥??-≤?的解集记为D ．下面四个命题中，是真命

题是（）

A.(,),22x y D x y ?∈+≥-

B.(,),22x y D x y ?∈+≥,

C.(,),23x y D x y ?∈+≤

D.(,),21x y D x y ?∈+≤-． 答案AB

【解析】画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，

当目标函数2z x y =+经过可行域内的点A （2，-1）时，取得最小值0，故20x y +≥，因此12,p p 是真命题.

19．（2010安徽改编）若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成

立的是（）． A.1ab ≤

≤ C.222a b +≥ D.

112a b

+≥ 答案ACD

【解析】令1a b ==，排除B

；由21a b ab =+≥?≤，

命题A 正确；222

()2422a b a b ab ab +=+-=-≥，

命题C 正确；1122a b a b ab ab

++==≥，命题D 正确． 八、立体几何

a μλ

b =+λμλμ+≥b

c a

20．（2016年全国II 改编），αβ是两个平面，m ，n 是两条线，下面四个命题中，是真命题是（）

A.如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥．

B.如果m α⊥，n α∥，那么m n ⊥．

C.如果a β∥，m α?，那么m β∥．

D.如果m n ∥，αβ∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 答案BCD

【解析】对于命题A ，可运用长方体举反例证明其错误：

如图，不妨设AA '为直线m ，CD 为 直线n ,ABCD 所在的平面为α．

ABC D ''所在的平面为β，显然这些

直线和平面满足题目条件，但αβ⊥不成立．

命题B 正确，证明如下：设过直线n 的某平面与平面α相交于直线l ，则l n ∥， 由m α⊥，有m l ⊥，从知m n ⊥结论正确． 由平面与平面平行的定义知命题C 正确． 由平行的传递性及线面角的定义知命题D 正确．

21．（2017新课标Ⅲ改编）a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的

直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，下列结论正确的是（）

A.当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；

B.当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；

C.直线AB 与a 所成角的最小值为45°；

D.直线AB 与a 所成角的最小值为60°； 答案BC

【解析】如图BDEF 为底面圆的内接正方形，设AC=BC=1，

则2AB AD AE AF FB FE ED BD ========，

即侧面均为等边三角形，∵AC ⊥底面BDEF ，

假设a FB ∥，由题意b BD ∥，当直线AB 与a 成60°角时，由图可知AB 与b 成60°角，所以A 错，B 正确；假设a EB ∥，可知C 正确，D 错．

F

E

D

C

B

A

历年高考真题(数学文化)

历年高考真题（数学文化） 1.（2019湖北·理）常用小石子在沙滩上摆成各种形状研究数， 如他们研究过图1中的1， 3， 6， 10， …， 由于这些数能表示成三角形， 将其称为三角形数；类似地， 称图2中的1， 4， 9， 16…这样的数为正方形数， 下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A.289 B.1024 C.1225 D.1378 2.（2019湖北·文）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 A ．1升 B ．6667升 C ．4447升 D ．3337 升 3.（2019湖北·理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 升. 4.（2019?湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数， 以十六乘之， 九而一， 所得开立方除之， 即立圆径， “开立圆术”相当于给出了已知球的体 积V ， 求其直径d 的一个近似公式 3 916V d ≈.人们还用过一些类似的近似公式．根据π =3.14159…..判断， 下列近似公式中最精确的一个是（ ） A. 3 916V d ≈ B.32V d ≈ C.3157300V d ≈ D.31121V d ≈ 5.（2019?湖北）在平面直角坐标系中， 若点P （x ， y ）的坐标x ， y 均为整数， 则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点， 则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ， 其内部的格点数记为N ， 边界上的格点数记为L ．例如图中△ABC 是格点三角形， 对应的S=1， N=0， L=4． （Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的S ， N ， L 分别是________； （Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为c bL aN S ++=其中a ， b ， c 为常数．若某格点多边形对应的N=71， L=18， 则S=________（用数值作答）． 6.（2019?湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土， 这是我国现存最早的有系统的数学典籍， 其中记载有求“囷盖”的术：置如其周， 令相乘也， 又以高乘之， 三十六成一， 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ， 计算其体积

2019全国中考数学真题分类汇编之29：数学文化(含答案)

2019年全国中考数学真题分类汇编：数学文化 一、选择题 1. （2019年乐山市）《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱。问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是（ ） ()A 1,11 ()B 7,53 ()C 7,61 ()D 6,50 【考点】二元一次方程组的解法与应用 【解答】解：设人数人，物价y 钱. ? ??=+=-y x y x 4738 解得：?? ?==53 7 y x ，故选B. 2.（2019年重庆市）《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其 的钱给乙， 则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为，乙的钱数为y ，则可建立方程组为（ ） A ． B ． C ． D ． 【考点】二元一次方程组的解法与应用 【解答】解：设甲的钱数为，乙的钱数为y ， 依题意，得：． 故选：A ． 3. （2019年山东省德州市）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳

长尺，木长y尺，则可列二元一次方程组为（） A. B. C D 【考点二元一次方程组的解法与应用、数学文化 【解答】解：设绳长尺，长木为y尺， 依题意得， 故选：B． 4.（2019年湖北省襄阳市）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如 下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，所列方程正确的是（） A．5﹣45＝7﹣3 B．5+45＝7+3 C．＝D．＝ 【考点】一元一次方程的应用 【解答】解：设合伙人数为人， 依题意，得：5+45＝7+3． 故选：B． 5. （2019年湖北省宜昌市）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三 角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝．如图，在△ABC 中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为（） A．6B．6C．18D． 【考点】二次根式的应用 【解答】解：∵a＝7，b＝5，c＝6． ∴p＝＝9， ∴△ABC的面积S＝＝6； 故选：A． 6．（2019年福建省）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增

历年高考真题(数学文化).doc

历年高考真题（数学文化） 1. （2009 湖北· 理）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状研究数，如他们研究过图 1 中的 1， 3， 6， 10，，由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 2 中的 1， 4，9，16这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是（） 2. （ 2011 湖北·文）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9 节的竹子，自上而下各节 的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为 A．1升B ．67 升C ． 47 升D ． 37 升 66 44 33 3. （ 2011 湖北·理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9 节的竹子，自上而下各节 的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共4 升，则第 5 节的容积为升. 4.（ 2012? 湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘 之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求 其直径 d 的一个近似公式 d 3 16 = .. 判断， V .人们还用过一些类似的近似公式．根据π 9 下列近似公式中最精确的一个是（） A. d 3 16 d 3 2V C. d 3 300 d 3 21 V B. V D. V 9 157 11

5. （ 2013? 湖北）在平面直角坐标系中，若点P（x， y）的坐标 x，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记 为 S，其内部的格点数记为 N，边界上的格点数记为 L．例如图中△ ABC是格点三角形，对应的 S=1， N=0， L=4． （Ⅰ）图中格点四边形 DEFG对应的 S，N， L 分别是 ________； （Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c 其中a，b，c为常数．若某格点多 边形对应的N=71， L=18，则 S=________（用数值作答）． 6.（ 2014? 湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国 现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高 乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高 h，计算其体积 V 的近似公 式 V 1 L 2 h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式2 36 V L2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（） 75 A. 22 B. 25 C. 157 D. 355 7 8 50 113 7.(2015湖北)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送 来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷28 粒，则这批米内夹谷约 为 P A． 134 石B． 169 石C． 338 石D． 1365 石 F E 8. （ 2015 湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一 D C A B

高考全国卷命题预测(数学)pdf版

高考全国卷命题预测（数学） 一、高考命题预测例题 1.集合、简易逻辑和复数：这是高考必考内容，预测18年有2～3道客观题，且一般以简单题出现。 2.函数与导数：试题个数稳定在2-3个小题，一个大题.选择题、填空题主要以考查函数的基本性质、函数图象及变换、函数零点、导数的几何意义、定积分等为主，也有可能与不等式等知识综合考查；解答题主要是以导数为工具解决函数、方程、不等式、解析几何（抛物线的切线）应用问题,也有可能涉及到导数新增知识积分. 例:设为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=-3ax+a+1(a为常数)，则的解集为（） A. B. C. D. 说明：函数性质的简单应用是高考常考的题型。 3.数列：如果没有解答题，会有两个小题；如果有解答题，为一个大题,不出现小题.一般所占分值为10—12分。小题以考查数列概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容为主，属中低档题；解答题以考查等差（比）数列通项公式、求和公式，错位相减求和、简单递推数列为主.理科也有可能与函数、解析、不等式、数学归纳法等结合综合考查，但可能性很小.

4.三角函数、解三角形与平面向量：若果有解答题，则会出现两个小题；如果没解答题则会有四个小题，一般所占分值为20-22分.若小题一般主要考查三角函数的图像与性质、利用诱导公式与和差角公式、倍角公式、正余弦定理求值化简、平面向量的基本性质与运算.大题主要以正、余弦定理为知识框架，以三角形为依托进行考查（注意在实际问题中的考查）或向量与三角结合考查三角函数化简求值以及图像与性质.另外向量也可能与解析等知识结合考查. 5.解析几何：一般为2小一大，所占分值为22分。小题一般主要考查：直线、圆及圆锥曲线的性质为主，一般结合定义，借助于图形可容易求解.大题一般以直线与圆曲线位置关系为命题背景，并结合函数、方程、数列、不等式、导数、平面向量等知识，考查求轨迹方程问题，探求有关曲线性质，求参数范围，求最值与定值，探求存在性等问题.另外要注意对二次曲线间结合的考查，比如椭圆与抛物线,椭圆与圆等. 6.立体几何：一般为2小一大，所占分值为22分。小题一般侧重于线与线、线与面、面面的位置的关系以及空间几何体中的空间角（理科）、距离（理科）、面积、体积的计算的考查.解答题文科以平行、垂直、夹角(理科)、距离（理科）为考查目标.几何体以四棱柱、四棱锥、三棱柱、三棱锥等为主，现在也考多面体了。

2020年高考数学试题分类汇编13数学文化

数学文化 1.（2020·全国卷Ⅱ文 3）如图，将钢琴上的12 个键依次记为a1，a2，…，a1 2.设1≤i

? ? ? ? A. 3699 块 B. 3474 块 C. 3402 块 D. 3339 块 4.（2020·北京 10）2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日（ π Day ）．历史上，求圆周率π 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， π 的近似值的表达式是（ ）． ? 30? 30? ? ? 30? 30? ? A. 3n sin n + tan n B. 6n sin n + tan n ? ? ? ? ? 60? 60? ? ? 60? 60? ? C. 3n sin n + tan n D. 6n sin n + tan n ? ? ? ?

数学文化创新题型(高三数学高考中的数学文化)

2020年4月22日高中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km /h ，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km /h 的频率分别为（ ） A ．300，0.25 B ．300，0.35 C ．60，0.25 D ．60，0.35 【答案】B 【解析】 【分析】 由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590， 的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过90/km h 的频率． 【详解】 由频率分布直方图得： 在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590， 的频率为0.0650.3?=， ∴在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590， 的车辆数为：0.31000300?=， 行驶速度超过90/km h 的频率为：()0.050.0250.35+?=． 故选：B ． 【点睛】

本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．《算法统宗》是中国古代数学名着，由明代数学家程大位编着，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名着，在这部着作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（） A．8岁B．11岁C．20岁D．35岁 【答案】B 【解析】 【分析】 九个儿子的年龄成等差数列，公差为3． 【详解】 由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为3．记最小的儿子年龄为a1，则a9=9a1+ 9×8 ×3=207，解得a1=11． 2 故选B． 【点睛】 本题考查等差数列的应用，解题关键正确理解题意，能用数列表示题意并求解．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着，在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，且有BD⊥CD，AB＝BD＝1，CD＝2，若该鳖臑的顶点都在一个球面上，则该球的体积为（） A． B C．D．24π 3 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意易得鳖臑外接一个长方体,且外接球与长方体外接球为同一个球,根据长方体体对角线等于外接球直径,利用公式计算即可.

高考数学文化素养型题说课讲解

数学题----文化素养型 1.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136 L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈ 275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A.227 B.258 C.15750 D. 355113 解析：由题意可知：L ＝2πr ，即r ＝L 2π，圆锥体积V ＝13Sh ＝13πr 2h ＝13π·? ?? ??L 2π2h ＝112πL 2h ≈275L 2h ，故112π≈275，π≈258，故选B. 【答案】B 2.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（） A ．14 B ．π8 C ．12 D ．π4 【解析】设正方形边长为2，则圆半径为1 则正方形的面积为224?=，圆的面积为2π1π?=，图中黑色部分的概率为 π2 则此点取自黑色部分的概率为π π248 = 故选B 【答案】B

4.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 如图，在阳马P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE、DF、BD、BE. (1)证明：PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由； (2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π 3 ，求 DC BC 的值. 解析：法一(1)证明因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC， 由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D， 所以BC⊥平面PCD.而DE?平面PCD，所以BC⊥DE. 又因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC. 而PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC.而PB?平面PBC， 所以PB⊥DE.又PB⊥EF，DE∩EF＝E，所以PB⊥平面DEF. 由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.

数学文化题汇总

一、数学名著中的立几题，例如：2015年全国1卷文6理6题； 6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下 问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？” 其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一）， 米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各 为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出 堆放的米约有（） （A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛 二、数学名著中的数列题，例如：2011年湖北卷文9理13题； 13.《九章算术》“竹九节”问题：现有1根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升。 三、数学名著中的算法题，例如：2015年全国2卷文8理8题； （8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的a= A.0 B.2 C.4 D.14 四、数学名著中的统计题，例如：2015年湖北卷文2理2题 2．（5分）（2015?湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内

五、 杨辉三角，例如：2004年上海春季卷11题； 11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2. 六、 祖暅原理，例如：2013年上海卷理13题； 13．在x Oy 平面上，将两个半圆弧2 2 (1)1(1)x y x -+=≥和 2 2 (3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封 闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截 面面积为48ππ+，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________ 七、 形数，例如：2009年湖北卷文10理10题； 10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如： 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378 八、 斐波那契数列，例如：2009年福建卷理15题 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……

数学文化试题高考展望

数学文化试题高考展望 《考试大纲》强调数学试题需要展现数学的科学价值和人文价值.数学文化题主要取材于数学时事、数学名著、数学名人、数学游戏、数学命题、数学猜想、数学图形等. 一、数列问题 例1 《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一.”其意大致为：有一座七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯.该塔中间一层有（）盏灯. A.24 B.48 C.12 D.60 小结本题以明朝程大位的《算法统宗》中的一首歌谣为背景，考查等比数列的概念及其求和公式，考查学生分析问题的能力与转化的能力. 练习1 我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为： 二、立体几何问题 例2《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，

系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就.书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.若某“阳马”的三视图如图1所示（单位：cm），则该“阳马”的外接球的体积为 小结本题以《九章算术》中的问题为材料，试题背景新颖.解答本题的关键是通过补形，正确画出直观图，外接球的直径就是长方体的体对角线. 练习2 “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中，构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如图3，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是 三、框图问题 例3宋元时期的数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松目自半，竹日白倍，松竹何日而长等.图4是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3，2，?t输出的n= 小结解决这类问题，一要明确程序框图中的顺序结构和循环结构：二要识别运行程序框图，理解程序框图解决的实际问题：三要按题目要求完成解答. 练习3 图5的程序框图的算法思路源于我国古代数学名

2019年全国中考试题汇编知识点49 数学文化(通用版全解全析)

2019年全国中考试题汇编知识点49 数学文化（通用版全解全析） 一、选择题 8．（2019 ·福建）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读 多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34 685个字，设他第一天读x 个字，则下面所列方程正确的是（ ） A ． x ＋2x ＋4x ＝34 685 B ．x ＋2x ＋3x ＝34 685 C ． x ＋2x ＋2x ＝34 685 D ．x ＋21x ＋41 x ＝34 685 【答案】A 【解析】设他第一天读x 个字，则第二天读2x 个字，第三天读4x 个字，由题意可列方程x ＋2x ＋4x ＝34 685． 【知识点】一元一次方程； 9．（2019·兰州）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤， 雀重燕轻，互换一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为 A.???-=-=+x y y x y x 65165 B.???+=+=+x y y x y x 65156 C.???+=+=+x y y x y x 54165 D.? ??-=-=+x y y x y x 54156 【答案】C 【解析】根据题意，得56145x y x y y x +=??+=+? ，故选C. 【知识点】二元一次方程组的应用 5．（2019·长春）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱.问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为 A.???=+=+y x y x 166119 B.???=-=-y x y x 166119 C.???=-=+y x y x 166119 D.? ??=+=y x y x 16611-9 【答案】D. 【解析】设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为：9-11616x y x y =?? +=?， 故选D ． 【知识点】由实际问题抽象出二元一次方程组． 二、填空题 13．（2019·张家界）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百

2021年新高考数学总复习：中外数学文化专练

第 1 页 共 10 页 2021年新高考数学总复习：中外数学文化 纵观近几年高考，中外优秀的数学文化已成为高考数学命题的重要素材之一，命题者常常结合统计、函数、数列、立体几何、算法等内容，通过创设新的情境、改变设问方式，选取适合的知识内容等多种方法渗透中外优秀的数学文化.以数学文化为背景的问题，不仅让人耳目一新，同时它也使考生们受困于背景陌生，阅读受阻，使思路无法打开. 随着高考改革的深入，命题者仍会适当加大对中国传统文化进行考查的内容，如将四大发明、勾股定理等所代表的中国古代科技文明作为试题背景材料，遵循继承、弘扬、创新的发展路径，注重传统文化在现实中的创造性转化和创新性发展，体 现中国传统科技文化对人类发展和社会进步的贡献，践行社会主义核心价值观. 1．瑞士著名数学家欧拉发现公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当x ＝π时，e iπ＋1＝0被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，e i 表示的复数在复平面中位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 A [根据欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)， 得e i ＝cos 1＋isin 1， 它在复平面内对应的点为(cos 1，sin 1)，且??? cos 1＞0sin 1＞0 ， 所以位于第一象限．故选A.] 2．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为a n ，则a 1＝( )

2020高考文数数学文化

第5讲数学文化 一、选择题 1.我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度).二十四个节气及晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长的变化量相同,周而复始.若冬至晷长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是() A.五寸 B.二尺五寸 C.三尺五寸 D.四尺五寸 答案B设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{a n},公差为d,a1=15,a13=135,则 15+12d=135,解得d=10.所以a2=15+10=25,所以小暑的晷长是25寸,即二尺五寸,故选B. 2.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入的n,x的值分别为3,3,则输出的v的值为() A.15 B.16 C.47 D.48

答案 D 执行程序框 图,n=3,x=3,v=1,i=2≥0,v=1×3+2=5,i=1≥0,v=5×3+1=16,i=0≥0,v=16×3+0=48,i=-1<0,退出循环,输出v 的值为48.故选D. 3.刘徽是一个伟大的数学家,他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的数学遗产,他所提出的割圆术可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点,则此点取自该圆内接正六边形的概率是( ) A. 3√3 4π B. 3√3 2π C.1 2π D.1 4π 答案 B 如图,在单位圆中作其内接正六边形,则所求概率 P=S 正六边形S 圆 =√34×12×6π×12=3√32π. 4.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212 .若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( ) A.√23 f B.23 C.√2512 f D.√2712 f 答案 D 从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212 ,第一个单音的频率为f,由等比数列的概念可知,这十三个单音的频率构成一个首项为f,公比为 √212 的等比数列,记为{a n },则第八个单音频率为a 8=f(√212)8-1=√2712 f,故选D. 5.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式: 设△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,则△ABC 的面积S=√1 4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 22)2]. 若a 2sin C=4sin A,(a+c)2=12+b 2,则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为( ) A.√3 B.2 C.3 D.√6 答案 A 根据正弦定理及a 2sin C=4sin A,得ac=4.

2020年全国高考理科数学一卷试题分析报告

2020全国高考理科数学一卷试题分析报告 2020年新课标全国Ⅰ卷理科数学卷都延续了以往的考查特征：对必备知识的考查体现稳定性，并在对关键能力和学科素养的考查上力求创新性；对基础知识、基本能力和基本素养的考查体现基础性，在压轴把关题上突出考查学生综合应用所学知识和方法去发现、分析和解决问题的能力。整张试卷充分体现“立德树人、服务选拔、导向教学”这一高考核心立场。 所有的题目都是学生平时见过做过的问题，学生上手比较容易，但是计算量略大于去年。尤其是圆锥曲线与导数问题。 解答题的顺序再次回归原来的模式，与2017年及之前的高考题基本保持一致，没有像2019年那样进行较大幅度的变动，压轴题也都是学生平时练习的常见题型，没有太多变化，尤其是没有在概率统计题上进行再创新。 从试卷难度来看，总体上与19年难度相当，比18年要难，难点主要体现在： 1.对应用问题与数学文化问题的题意分析与理解； 2.加大对空间想象能力的考查，且综合性强，难度大； 3.对学生计算能力的要求加大； 4.理科概率统计问题解题方法不再是以往的模型化问

题； 5.相比前几年，部分知识点的考法变化较大，反猜题的味道很浓，意在破除应试教育。 一、试卷的构成与双向细目表 全卷满分150分，分为必考和选考两部分，必考部分包括12个选择题，4个填空题和5个解答题；选考部分包括选修系列4的“坐标系与参数方程”、“不等式选讲”各1个解答题，考生从2题中任选1个作答，若多做，则按所做的第一题给分。 理科双向细目表如下： 二、对试卷的总体评价 1.传统试题体现“基础性”，引导学生打牢知识基础 如：理1、理2考查一元二次不等式、集合交集；理4考查抛物线定义；、理5考查非线性回归与函数图象；理8考查二项式定理求特定项系数；、理13考查截距型线性规划问题；理6考查导数几何意义；理14考查单位向量、向量垂直、夹角与模长问题；理17考查等差等比数列基本量计算、错位相减；理17考查正弦定理余弦定理，面积公式，恒等变形；理18考查线面垂直的判定，二面角的求法。 2.知识点的考查上体现“综合性”，引导学生多角度思

各地高三数学文化题汇编

2017全国各地高三最新数学文化题 1.我国古代着名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完. 这样，每日剩下的部分都是前一日的一半. 如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么剩下的部分所成的数列的通项公式为（ ） A.12n a n = B. 12n a n = C. 12n n a ??= ??? D. 2n n a = 解：C . 2.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧 田面积=1/2（弦?矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢” .按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为3 2π，弦长等于4米的弧田.按照上述方法计算出弧田的面积约为（ ） A. 6平方米 B. 9平方米 C. 12平方米 D. 15平方米 3.,劣于齐王的上等马,田 忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王 的下等马,胜的概率为（ ）A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 解：A . 4.中国古代数学着作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ） A ．24里 B ．12里 C ．6里 D ．3里 解：C . 5.《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为a n ，则a 14+a 15+a 16+a 17的值为（ ） A ．55 B ．52 C ．39 D ．26 解：B . 6.吴敬《九章算法比类大全》中描述：远望巍巍塔七层，红灯向下成培增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 解：C . 7.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 解：A . 8.公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限 增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆 术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是着名 的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出 的n 值为 (参考数据：3 1.732=，sin150.2588?≈，sin7.50.1305?≈) A ．12 B ．24 C ．48 D ．96 解：B . 9.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.下图

高考中数学文化的考查：数列中的数学文化题

专题二数列中的数学文化题 一．考点解读： 数列中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的等差数列和等比数列问题为背景，考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n项和公式．二．数学文化的典型题： （1）等差等比数列： 等差等比数列的数学文化题频繁出现在各级各类考试试卷中.解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，运用等差等比数列的概念、通项公式和前n项和公式。 （2）斐波拉契数列： 斐波那契数列又称“兔子数列”，也称黄金分割数列，是这样一个数列：这个数列的第0项是0，第1项是1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和，即：0、1、1、2、3、5、8、13、21…，在数学上斐波纳契数列被以递归的方法定义：F（0）=0， F（1）=1， F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）。斐波拉契数列是一个非常美丽、和谐的数列，它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明起始的正方形(图中用灰色表示)的边长为1，在它左边的那个正方形的边长也是1 ，在这两个正方形的上方再放一个正方形，其边长为2，以后顺次加上边长为3、5、8、13、21……等等的正方形，这些数字每一个都等于前面两个数之和，它们正好构成了斐波那契数列。 （3）《九章算术》： 《九章算术》是我国古代的数学名著，强调“经世济用”，注重算理算法，其中很多问题可转化为数列的问题，然后再利用数列的知识有关知识进行解题。（4）“莱布尼兹调和三角形”： “莱布尼兹调和三角形”：第n行有n的数它们是由整数的倒数组成的，且两端的数均为1/n，每个数是它下一行左右相邻两数的和， 例1．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走

专题7.1 与数学文化相关的数学考题(解析版)—20届高考压轴题讲义(选填题)

一、方法综述： 关注学生数学文化的意识的养成，努力推进数学文化的教育，已经成为当今数学教师与改革的一个重要特征，在新课改的数学命题中，数学文化已经得到足够的重视，但并没由得到应有的落实，造成数学文化教学的缺失的根本原因在于教师自身数学文化素养的缺乏，令人欣喜的是在近几年的高考试题中已经开始有意识的进行尝试和引导，在众多的经典试题中，湖北卷的数学文化题更超凡脱俗和出类拔萃，因此，我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读，希望能够给予广大师生的复习备考以专业的帮助与指导. 二、解答策略： 类型一、取材数学游戏 游戏可以让数学更加好玩，在游戏中运用数学知识，或蕴含着数学原理的智力游戏可笼统地称为数学游戏，把数学游戏改编为高考试题，既不失数学型，又能增加了考题的趣味性，充分体现了素质教育与大众数学的理念。 例1、五位同学围成一圈依次循环报数，规定： ①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和； ②若报出的数是3的倍数，则报该数的同学需拍手一次。 已知甲同学第一个报数，当五位同学依次循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为。 探究提高：以数学游戏为素材的命制高考题目，创造了既宽松又竞争的环境，拉近了考生与数学的心理距离，但要注意游戏素材的选择应与考生的实际生活密切相关，便于考生更好地理解游戏。例如：2012年高考湖北卷第13题“回文数”，考查排列、组合和归纳推理等知识。本题以此为背景，以简单的游戏为分析计算对象，考查学生的阅读理解能力和合情推理能力。 举一反三：回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如22，,11,3443,94249等。显然2位回文数有9个：11,22,33…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999。则 （Ⅰ）4位回文数有______个； （Ⅱ）2n＋1（n∈N+）位回文数有______个。

高考数学文化题选讲

高考数学文化题选讲Newly compiled on November 23, 2020

高考复习课：重温数学经典 ——掀开高考数学文化题的面纱 襄阳东风中学数学组侯正卫 ●一、大纲分析： 2017高考考试大纲修订内容中增加了数学文化的要求。其实近些年高考数学试卷早已出现以数学文化为背景的新颖命题，只是17年新修订的大纲更加强调，我国古代数学里有大量的实际问题，此类问题可以结合函数、数列、立体几何、算法等内容。这些问题同时也体现了应用性的考查，备考中应充分重视。 ●二、数学经典简介： 1、《九章算术》成书于公元1世纪，作者不详。西汉张仓、耿寿昌曾经做过增补和整理。全书收集了实际的数学问题共246个，分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等9章，所以定名为《九章算术》。 2、《数书九章》秦九韶（约1202～1261），字道吉，四川安岳人。 秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。 1247年写成着名的《数书九章》。其最重要的数学成就——“大衍求一术”（一次同余方程组解法）与“正负开方术”（高次方程数值解法），使这部宋代算经在中世纪世界数学史上占有突出的地位。 3、《张丘建算经》张丘建,北魏时清河人。 《张丘建算经》共有三卷，约成书于公元466～485年间。 其中，最小公倍数的应用、等差数列各元素互求以及“百鸡术”等是其主要成就。“百鸡术”是世界着名的不定方程问题。 ●三、数学文化与人文价值 1.数学名着中的数列题

题1. 南北朝时期的数学古籍《张丘建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差(即等差)降之，上三人，得金四斤，持出：下四人后入得三斤，持出：中间三人未到者，亦依等次更给，问：每等人比下等人多得几斤”( ) 题2、2016衡水模拟 《九章算术》之后，人们学会了用等差数列知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的 布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布 题3、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是 数列类问题：脱去马甲，化未知为已知，涉及等差等比多从基本量入手 2.概率中的数学文化 题4.．（2017全国1卷文4）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．1 4 B ．π 8 C ．1 2 D ．π 4 弘扬中华传统文化在数学中体现为两点：1.挖掘古代典籍与数学知识的结合点；2.将数学落实在中华传统美德，贯彻“弘扬正能量”的精神风貌 3.数学名着中的立体几何问题 128 1516311629A. B C D