一元二次方程单元测试卷(含答案解析)
一元二次方程单元测试卷（含答案解析）
一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）
1．已知:在平面直角坐标系xoy 中,直线k y x b =+分别交x 、y 轴于点A 、B 两
点,OA=5,∠OAB=60°.
(1)如图1,求直线AB 的解析式；
(2)如图2,点P 为直线AB 上一点，连接OP ,点D 在OA 延长线上，分别过点P 、D 作OA 、OP 的平行线,两平行线交于点C ，连接AC,设AD=m,△ABC 的面积为S,求S 与m 的函数关系式; (3)如图3,在(2)的条件下,在PA 上取点E ,使PE=AD, 连接EC,DE,若∠ECD=60°,四边形ADCE 的周长等于22，求S 的值.
【答案】(1)直线解析式为353y x =-+(2)S=53253
22
m +
；(3)203S =. 【解析】 【分析】
(1)先求出点B 坐标，设AB 解析式为y kx b =+，把点A(5，0)，B(0，3分别代入，利用待定系数法进行求解即可；
(2)由题意可得四边形ODCP 是平行四边形，∠OAB=∠APC=60°，则有PC=OD=5+m ，∠PCH=30°，过点C 作CH ⊥AB ，在Rt △PCH 中 利用勾股定理可求得CH=)3
52
m +，再由S=
1
2
AB ?CH 代入相关数据进行整理即可得； (3) 先求得∠PEC=∠ADC ，设∠OPA=α，则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+α，在BA 延长线上
截取AK=AD ，连接OK ，DK ，DE ，证明△ADK 是等边三角形，继而证明△PEC ≌△DKO ，通过推导可得到OP=OK=CE=CD ，再证明△CDE 是等边三角形，可得CE=CD=DE ，连接OE ，证明△OPE ≌△EDA ，继而可得△OAE 是等边三角形，得到OA=AE=5 ，根据四边形ADCE 的周长等于22，可得ED=
172m -，过点E 作EN ⊥OD 于点N ，则DN=5
2
m +，由勾股定理得222EN DN DE +=， 可得关于m 的方程，解方程求得m 的值后即可求得答案.
【详解】
(1)在Rt △ABO 中OA=5，∠OAB=60°， ∴∠OBA=30°，AB=10 ， 由勾股定理可得OB=53，
∴B(0，53)，
设AB解析式为y kx b
=+，把点A(5，0)，B(0，53)分别代入，得
05
53
k b
b
=+
??
?
=
??
，∴
3
53
k
b
?=-
?
?
=
??
，
∴直线解析式为353
y x
=-+；
(2)∵CP//OD，OP//CD，
∴四边形ODCP是平行四边形，∠OAB=∠APC=60°，
∴PC=OD=5+m，∠PCH=30°，
过点C作CH⊥AB，在Rt△PCH中 PH=
5
2
m
+
，由勾股定理得CH=()
3
5m
+，∴S=
1
2
AB?CH=
1353253
10(5)
2
m m
??+=+；
(3) ∵∠ECD=∠OAB=60°，
∴∠EAD+∠ECD=180°，∠CEA+∠ADC=180°，
∴∠PEC=∠ADC，
设∠OPA=α，则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+α，
在BA延长线上截取AK=AD，连接OK，DK，DE，
∵∠DAK=60°，
∴△ADK是等边三角形，
∴AD=DK=PE，∠ODK=∠APC，
∵PC=OD，
∴△PEC≌△DKO，
∴OK=CE，∠OKD=∠PEC=∠OPC=60°+α，∠AKD= ∠APC=60°，
∴∠OPK= ∠OKB，
∴OP=OK=CE=CD，
又∵∠ECD=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE=CD=DE ，
连接OE ，∵ ∠ADE=∠APO ，DE=CD=OP ， ∴△OPE ≌△EDA ， ∴AE=OE ， ∠OAE=60°， ∴△OAE 是等边三角形， ∴OA=AE=5 ，
∵四边形ADCE 的周长等于22， ∴AD+2DE=17， ∴ED=
172
m
-， 过点E 作EN ⊥OD 于点N ，则DN=
5
2
m +， 由勾股定理得222EN DN DE +=， 即222
53517(
)()()22
m m -++=， 解得13m =，221m =-(舍去)， ∴S=
153253
+
=203.
【点睛】
本题考查的四边形综合题，涉及了待定系数法，平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解一元二次方程等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
2．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.
（1）求这两年藏书的年均增长率；
（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到
2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？
【答案】（1）这两年藏书的年均增长率是20%；（2）到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%． 【解析】 【分析】
（1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率； （2）根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几. 【详解】
解：（1）设这两年藏书的年均增长率是x ，
()2
517.2x +=，
解得，10.2x =，2 2.2x =-（舍去）， 答：这两年藏书的年均增长率是20%；
（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有()7.2520%0.44-?=（万册）， 到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：
5 5.6%0.44
100%10%7.2
?+?=，
答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%． 【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，这是一道典型的增长率问题.
3．已知关于x 的一元二次方程kx 2﹣2（k +1）x +k ﹣1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求k 的取值范围；
（2）是否存在实数k ，使12
11
x x -＝1成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明
理由．
【答案】（1）k ＞﹣1
3
且k ≠0；（2
）存在，7k =±详见解析 【解析】 【分析】
（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k 的不等式，求得k 的取值范围． （2）利用根与系数的关系，根据
21
1212
11,x x x x x x --=即可求出k 的值，看是否满足（1）中k 的取值范围，从而确定k 的值是否存在． 【详解】
解：（1）由题意知，k ≠0且△＝b 2﹣4ac ＞0 ∴b 2﹣4ac ＝[﹣2（k +1）]2﹣4k （k ﹣1）＞0，
即4k 2+8k +4﹣4k 2+4k ＞0， ∴12k ＞﹣4 解得：k ＞13
-且k ≠0
（2
）存在，且7k =±理由如下：
∵12122(1)1
,,k k x x x x k k
+-+=
= 又有21
1212
111,x x x x x x --== 2112,x x x x ∴-=
2222
2121122,x x x x x x ∴-+=
22121212()4(),x x x x x x ∴+-=
22
22441(
)(),k k k k k k
+--∴-= 22(22)(44)(1),k k k k ∴+--=- 21430,k k ∴--= 1,14,3,a b c ==-=-
24208,b ac ∴?=-=
7k ∴=
=± k ＞13
-且k ≠0，
172130.21,3-≈-
-＞ 1
7.3
+-
∴满足条件的k 值存在，且7k =± ． 【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．
4．问题提出：
（1）如图1，在四边形ABCD 中，已知：AD BC ∥，90D ∠=?，4BC =，ABC 的面积为8，求BC 边上的高． 问题探究
（2）如图2在（1）的条件下，点E 是CD 边上一点，且2CE =，EAB CBA =∠∠，连接BE ，求ABE △的面积 问题解决
（3）如图3，在（1）的条件下，点E 是CD 边上任意一点，连接AE 、BE ，若
EAB CBA =∠∠，ABE △的面积是否存在最小值；若存在，求出最小值；若不存在；请
说明理由．
【答案】（1）4；（2）20
3
；（3）存在，最小值为16216- 【解析】 【分析】
（1）作BC 边上的高AM ，利用三角形面积公式即可求解；
（2）延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，易得四边形BCDF 为矩形，在（1）的条件下BC=CD=4，则BCDF 为正方形，由EAB CBA =∠∠，结合∠FAB=∠CBA 可得∠FAB=∠EAB ，从而推出BF=BH=4，易证Rt △BCE ≌Rt △BHE ，所以EH=CE=2，设AD ＝a ，则AF=AH=4-a ，在Rt △ADE 中利用勾股定理建立方程可求出a ，最后根据S △ABE =
1
AE BH 2
即可求解； （3）辅助线同（2），设AD=a ，CE=m ，则DE=4-m ，同（2）可得出m 与a 的关系式，设△ABE 的面积为y ，由y=1
AE BH 2
得到m 与y 的关系式，再求y 的最小值即可． 【详解】
（1）如图所示，作BC 边上的高AM ，
∵S △ABC =
1
BC AM=82 ∴82
AM==44
? 即BC 边上的高为4；
（2）如图所示，延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，
∵AD BC ∥，90D ∠=? ∴∠BCD=∠D=90°=∠F ∴四边形BCDF 为矩形， 又∵BC=CD=4
∴四边形BCDF 为正方形， ∴DF=BF=BC=4， 又∵AD ∥BC ∴∠FAB=∠CBA 又∵∠EAB=∠CBA ∴∠FAB=∠EAB ∵BF ⊥AF ，BH ⊥AE ∴BH=BF=4，
在Rt △BCE 和Rt △BHE 中， ∵BE=BE ，BH=BC=4 ∴Rt △BCE ≌Rt △BHE （HL ） ∴EH=CE=2
同理可证Rt △BAF ≌Rt △BAH （HL ） ∴AF=AH
设AD=a ，则AF=AH=4-a
在Rt △ADE 中，AD=a ，DE=2，AE=AH+EH=4-a+2=6-a 由勾股定理得AD 2+DE 2=AE 2，即()2
2226+=-a a
解得8
=3
a
∴AE=6-a=103
S △ABE =
111020AE BH=4=2233?? （3）存在，
如图所示，延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，
同（2）可得CE=EH ，AF=AH ，
设AD=a ，CE=EH=m ，则DE=4-m ，AF=AH=4-a
在Rt △ADE 中，AD 2+DE 2=AE 2，即()()2
2
244+-=-+a m a m 整理得8=
4
+m
a m ∴AE=AH+HE=2816
444
+-+=++m m m m m
设△ABE 的面积为y ，
则y=()222161116AE BH=42244
++=
++m m m m ∴()()
2
4216+=+y m m
整理得：2
23240++-=m ym y ∵方程必有实数根
∴()2
=423240?-??-≥y y
整理得2
322560+-≥y y
∴(
)()16216162160????---≥?
???
y y （注：利用求根公式进行因式分解）
又∵面积y ≥0 ∴216≥y
即△ABE 的面积最小值为16216． 【点睛】
本题考查四边形综合问题，正确作出辅助线，得出AB 平分∠FAC ，利用角平分线的性质定理得到BF=BH ，结合勾股定理求出AE 是解决（2）题的关键，（3）题中利用一元二次方程的判别式求最值是解题的关键．
5．如图，∠ AOB ＝90°，且点A ，B 分别在反比例函数1k y x =（x ＜0），2k
y x
=（x ＞0）的图象上，且k 1，k 2分别是方程x 2－x －6＝0的两根． （1）求k 1，k 2的值；
（2）连接AB ，求tan ∠ OBA 的值．
【答案】（1）k 1＝－2，k 2＝3． （2）tan∠OBA ＝6
． 【解析】
解：（1）∵k 1，k 2分别是方程x 2－x －6＝0的两根，∴解方程x 2－x －6＝0，得x 1＝3，x 2＝－2．结合图像可知：k 1＜0，k 2＞0，∴k 1＝－2，k 2＝3．
（2）如图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥y 轴于点D ．[来源:学&科&网Z&X&X&K]
由（1）知，点A ，B 分别在反比例函数2y x =-（x ＜0），3
y x
=（x ＞0）的图象上， ∴S △ACO ＝
12×2-＝1 ，S △ODB ＝12×3＝3
2
．∵∠ AOB ＝90°， ∴∠ AOC ＋∠ BOD ＝90°，∵∠ AOC ＋∠ OAC ＝90°，∴∠ OAC ＝∠ BOD ． 又∵∠ACO ＝∠ODB ＝90°，∴△ACO ∽△ODB ．
∴S S ACO ODB ??＝2OA OB ?? ???＝23，∴OA OB 6OA OB 6
∴在Rt △AOB 中，tan ∠ OBA ＝
OA OB 6
．
6．已知关于x 的一元二次方程()2
2
2130x k x k --+-=有两个实数根．
()1求k 的取值范围；
()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．
【答案】（1）13
4
k ≤
；（2）2k =-．
【解析】 【分析】
()1根据方程有实数根得出()()
22[2k 1]41k 38k 50=---??-=-+≥，解之可得．
()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方
程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】 解：()
1关于x 的一元二次方程()2
2
2130x k x k --+-=有两个实数根，
0∴≥，即()()22
[21]4134130k k k ---??-=-+≥，
解得134
k ≤
． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，
()
22
2222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+， 22
1223x x +=，
224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，
13
4
k ≤
， 4k ∴=舍去， 2k ∴=-． 【点睛】
本题考查了一元二次方程2
ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，
方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系．
7．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x +a ﹣1=0． （1）当a=﹣11时，解这个方程；
（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；
（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值． 【答案】（1）123,4x x =-=（2）5
4
a ≤（3）-4 【解析】 【分析】
（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案； （2）根据判别式即可求出a 的范围； （3）根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】
（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0，
（x +3）（x ﹣4）=0， x +3=0或x ﹣4=0， ∴x 1=﹣3，x 2=4；
（2）∵方程有两个实数根12x x ，， ∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0， 解得54
a ≤
：； （3）∵12x x ，是方程的两个实数
根，2222
11221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，
，． ∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，
∴22
1122229x x x x ????+-+-=????， 把22
112211x x a x x a -=--=-，代入，
得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9， 解得：a =﹣4，a =2（舍去）， 所以a 的值为﹣4．
点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．
8．如图，平面直角坐标系中，直线l 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点（OA ＜OB ）且OA 、OB 的长分别是一元二次方程(
)
2x 31x 30-++=的两个根，点C 在x 轴负半轴上，
且AB ：AC=1：2
（1）求A 、C 两点的坐标；
（2）若点M 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连接AM ，设△ABM 的面积为S ，点M 的运动时间为t ，写出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）点P 是y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q ，使以 A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）解)
2x 31x 30-+=得（x 3x ﹣1）=0，
解得x 13，x 2=1。
∵OA ＜OB ，∴OA=1，3A （1，0），B （03AB=2。 又∵AB ：AC=1：2，∴AC=4。∴C （﹣3，0）。； （2）由题意得：CM=t ，3
①当点M 在CB 边上时，S=23﹣t （0≤t＜3）； ②当点M 在CB 边的延长线上时，S=t ﹣3（t ＞3）。 （3）存在，Q 1（﹣1，0），Q 2（1，﹣2），Q 3（1，2），Q 1（1，23
3
）。 【解析】
试题分析：（1）通过解一元二次方程(
)
2x 31x 30-
++=，求得方程的两个根，从而
得到A 、B 两点的坐标，再根据勾股定理可求AB 的长，根据AB ：AC=1：2，可求AC 的长，从而得到C 点的坐标。
（2）分①当点M 在CB 边上时；②当点M 在CB 边的延长线上时；两种情况讨论可求S 关于t 的函数关系式。
（3）分AB 是边和对角线两种情况讨论可求Q 点的坐标：
9．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，直线CD 与x 轴、y 轴分别交于点C 、D ，AB 与CD 相交于点E ，线段OA 、OC 的长是一元二次方程－18x+72=0的两根（OA ＞OC ），BE=5，tan ∠ABO=．
（1）求点A ，C 的坐标；
（2）若反比例函数y=的图象经过点E ，求k 的值；
（3）若点P 在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q ，使以点C ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q 的个数，并直接写出位于x 轴下方的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)、A（12，0），C（﹣6，0）；(2)、k=36；(3)、6个；Q1（10，﹣12），Q2（﹣3，6﹣3）.
【解析】
试题分析：(1)、首先求出方程的解，根据OA＞OC求出两点的坐标；(2)、根据∠ABO的正切值求出OB的长度，根据Rt△AOB得出AB的长度，作EM⊥x轴，根据三角形相似得出点E的坐标，然后求出k的值；(3)、分别以CE为矩形的边，在点C、E处设计直角，垂线与两坐标轴相交，得到点P，进而得到点Q；以CE为矩形对角线，则以CE的中点为圆心做圆，与两坐标轴相交，得到点P，再得点Q.
试题解析：（1）由题意，解方程得：x1=6，x2=12．∵OA＞OC，∴OA=12，OC=6．
∴A（12，0），C（﹣6，0）；
（2）∵tan∠ABO=，∠AOB=90°
∴∴OB=16．
在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=20
∵BE=5，∴AE=15．
如图1，作EM⊥x轴于点M，
∴EM∥OB．∴△AEM∽△ABO，
∴，即：
∴EM=12，AM=9，∴OM=12﹣9=3．
∴E（3，12）．∴k=36；
（3）满足条件的点Q的个数是6，
x轴的下方的Q1（10，﹣12），Q2（﹣3，6﹣3）；
方法：如下图
①分别以CE为矩形的边，在点C、E处设计直角，垂线与两坐标轴相交，得到点P，进而得到点Q；（有三种）②以CE为矩形对角线，则以CE的中点为圆心做圆，与两坐标轴相交，得到点P，再得点Q；（有三种）
如图①∵E （3，12），C （﹣6，0）， ∴CG=9，EG=12， ∴EG 2=CG?GP ， ∴GP=16， ∵△CPE 与△PCQ 是中心对称，
∴CH=GP=16，QH=FG=12， ∵OC=6， ∴OH=10， ∴Q （10，﹣12），
如图②作MN ∥x 轴，交EG 于点N ，
EH ⊥y 轴于点H ∵E （3，12），C （﹣6，0）， ∴CG=9，EG=12， ∴CE=15， ∵MN=CG=， 可以求得PH=3
﹣6，
同时可得PH=QR ，HE=CR ∴Q （﹣3，6﹣3
），
考点：三角形相似的应用、三角函数、一元二次方程.
10．如图，在矩形ABCD 中，6AB = ，10BC = ，将矩形沿直线EF 折叠．使得点A 恰好落在BC 边上的点G 处，且点E 、F 分别在边AB 、AD 上（含端点），连接CF . （1）当32BG =时，求AE 的长； （2）当AF 取得最小值时，求折痕EF 的长；
（3）连接CF ，当△FCG 是以CG 为底的等腰三角形时，直接写出BG 的长.
【答案】（1）92AE =；（2）62EF =；（3）18
5
BG =
. 【解析】 【分析】
（1）根据折叠得出AE=EG ，据此设AE=EG=x ，则有BE=6-x ，由勾股定理求解可得； （2）由FG ⊥BC 时FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，显然四边形AEGF 是正方形，从而根据勾股定理可得答案；
（3）由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：①FG=FC ；②FG=GC ；分别求解可得． 【详解】
（1）由折叠易知，AE EG =，设AE EG x ==，则有6BE x =-， 由勾股定理，得()(
)2
2
2
632
x x =-+，解得92x =，即9
2
AE = （2）由折叠易知，AF FG =，而当FG BC ⊥时，FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，
当FG BC ⊥时，FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值， 当FG BC ⊥时，点E 与点B 重合， 此时四边形AEGF 是正方形，
∴折痕226662EF =+=.
（3）由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论： ①当FG=FC 时，如图2，过F 作FH ⊥CG 于H ，
则有：AF=FG=FC ，CH=DF=GH 设AF=FG=FC=x ，则DF=10-x=CH=GH 在Rt △CFH 中 ∵CF 2=CH 2+FH 2 ∴x 2=62+（10-x ）2 解得：x=
34
5
，
∴DF=CH=GH=10-16
5
，
即BG=10-16
5
×2=
18
5
，
②当FG=GC时，则有：AF=FG=GC=x，CH=DF=10-x；∴GH=x-（10-x）=2x-10，
在Rt△FGH中，由勾股定理易得：x2=62+（2x-10）2，化简得：3x2-40x+136=0，
∵△=（-40）2-4×3×136=-32＜0，
∴此方程没有实数根．
综上可知：BG=18
5
．
【点睛】
本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形和翻折变换的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程根与系数的关系等知识点，也考查了分类讨论的数学思想．