同济版高等数学下册练习题(附答案)

第八章 测 验 题

一、选择题：

1、若a →

，b →

为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→

?= ( ).

(A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→

.

向量a b →

→

?与二向量a →

及b →

的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 .

3、设向量Q →

与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有(

)

()();

();

()A Q xoy B Q yoz C Q xoz D Q xoz ⊥

面；

面面面

5、2

()αβ→

→

±=( )

(A)22αβ→→±； (B)2

2

2ααββ→→→

→±+； (C)2

2

ααββ→→→

→±+； (D)2

2

2ααββ→→→

→±+.

6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,

,0B C D ≠， 则

平面(

).

(A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y .

7、设直线方程为111122

0A x B y C z D B y D +++=??+=?且

111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面2

50z xy yz x +--=与直线5

13

x y -=- 10

7

z -=

的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)；

(C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).--

9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160

x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)2226160x y z z ++++=； (B)222160x y z z ++-=； (C)2226160x y z z ++-+=； (D)2226160x y z z +++-=.

10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2221x y z ++=； (B)224x y z +=；

(C)22

2

14y x z -+=； (D)2221916

x y z +-=-. 二、已知向量,a b

的夹角等于3π，且2,5a b →→==，求

(2)(3)a b a b →

→

→

→

-?+ .

三、求向量{4,3,4}a →

=-在向量{2,2,1}b →

=上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量

{1,3,1};{2,1,3}a b →

→

=-=-{}2,1,3b =-，求其面积 .

五、已知,,a b →→

为两非零不共线向量，求证：

()()a b a b →→→→-?+2()a b →→

=?.

六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 .

七、求直线L ：31258x t

y t z t =-??

=-+??=+?

在三个坐标面上及平面

π380x y z -++=上的投影方程 .

八、求通过直线

122

232

x y z -+-==-且垂直于平面3250x y z +--=的平面方程 .

九、求点(1,4,3)--并与下面两直线

1L ：24135x y z x y -+=??

+=-?，2:L 24132x t

y t z t

=+??

=--??=-+?

都垂直的直线方程 .

十、求通过三平面：220x y z +--=，

310x y z -++=和30x y z ++-=的交点，且平行于

平面20x y z ++=的平面方程 .

十一、在平面10x y z +++=内，求作一直线，使它通

过直线1020

y z x z ++=??+=?与平面的交点，且与已知直线垂

直 .

十二、判断下列两直线 111

:

112

x y z L +-==, 212:134

x y z L +-==,是否在同一平面上，在同 一平面

上求交点，不在同一平面上求两直线间的距离 .

第九章 测 验 题

一、选择题:

1

、二元函数2

2

1arcsin z x y =+的定义域是( ).

(A)2

2

14x y ≤+≤； (B)2

2

14x y <+≤；

(C)2

2

14x y ≤+<； (D)2

2

14x y <+<. 2、设2

(,)()x

f xy x y y

=+,则(,)f x y =( ).

(A)2

21()x y y +； (B) 2

(1)x y y

+；

(C) 2

21()y x x +； (D) 2(1)y

y x

+. 3、22

2

200

lim()

x y x y x y →→+=( ).

(A) 0 ； (B) 1 ； (C) 2 ； (D) e .

4、函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续,且两个偏导数 0000(,),(,)x y f x y f x y 存在是(,)f x y 在该点可微的( ). (A)充分条件,但不是必要条件； (B)必要条件,但不是充分条件； (C)充分必要条件；

(D)既不是充分条件,也不是必要条件.

5、设(,)f x y 2222

22

221()sin ,00,0x y x y x y x y ?++≠?+=??+=?

则在原点(0,0)处(,)f x y ( ).

(A)偏导数不存在； (B)不可微；

(C)偏导数存在且连续； (D)可微 .

6、设(,),(,)z f x v v v x y ==其中,f v 具有二阶连续偏导

数.则22z

y

?=?( ).

(A)222f v f v v y y v y ?????+??????； (B)22f v v y

?????；

(C)22222()f v f v y v v y ????+?????； (D)2222f v f v y v v y

?????+?????.

7、曲面3(0)xyz a a =>的切平面与三个坐标面所围

成的四面体的体积V=( ). (A)

33

2

a ； (B) 33a ； (C) 3

92

a ； (D) 36a . 8、二元函数33

3()z x y x y =+--的极值点是( ).

(A) (1,2)； (B) (1.-2)； (C) (-1,2)； (D) (-1,-1). 9、函数sin sin sin u x y z =满足 (0,0,0)2

x y z x y z π

++=

>>>的条件极值是( ).

(A) 1 ； (B) 0 ； (C) 16

； (D)

1

8

.

10、设函数(,),(,)u u x y v v x y ==在点(,)x y 的某邻 域内可微分,则 在点(,)x y 处有 ()grad uv =( ).

();()

;();()

.

A gradu gradv

B u gradv v gradu

C u gradv

D v gradu ??+???

二、讨论函数33

x y

z x y +=

+的连续性，并指出间断点类型. 三、求下列函数的一阶偏导数: 1、ln y

z x

= ；

2、(,,),(,)u f x xy xyz z x y φ==；

3、222

22

220(,)00

x y x y f x y x y x y ?+≠?

=+??+=?

.

四、设(,)u f x z =,而(,)z x y 是由方程()z x y z φ=+所 确的函数,求du .

五、设(,,),y z u x y u xe ==,其中f 具有连续的二阶偏导 数,求2z

x y

???.

六、设cos ,sin ,u u x e v y e v z uv ===,试求

z x ??和z y

?? .

七、设x 轴正向到方向l 的转角为,φ求函数22(,)f x y x xy y =-+在点(1,1)沿方向l 的方向导数,并分别确定转角,φ使这导数有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于零 . 八、求平面

1345

x y z

++=和柱面221x y +=的交线上与xoy 平面距离最短的点 . 九、在第一卦限内作椭球面222

2221x y z a b c

++=的切平面, 使

该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最

小,求这切平面的切点,并求此最小体积 .

第十章 测 验 题

一、选择题: 1、

1

10

(,)x

dx f x y dy -?

?

=( )

(A)110

(,)x dy f x y dx -??； (B)110

(,)x dy f x y dx -??；

(C)

11

(,)dy f x y dx ??

； (D)110

(,)y

dy f x y dx -??

.

2、设D 为222x y a +≤,当a =( )时,

D

π=.

(A) 1 ；

(B)

；

(C)

(D) .

3、当D 是( )围成的区域时二重积分

1.D

dxdy =??

(A),220;轴轴及x y x y +-=11(B),;23

x y =

= (C),4,3;轴轴及x y x y ==(D)1,1;x y x y +=-=

4、xy D

xe dxdy ??

的值为( ).其中区域D 为

01,10.x y ≤≤-≤≤

(A)

1;e (B) e ; (C) 1

;e

- (D) 1. 5、设22

()D

I x y dxdy =+??

,其中D 由222x y a +=所 围成,则I =( ).

(A)22400a d a rdr a πθπ=??;

(B)22

40012

a d r rdr a πθπ?=??;

(C)2230

02

3

a

d r dr a π

θπ=?

?;

(D)

2240

2a

d a adr a π

θπ?=?

?.

6、设Ω是由三个坐标面与平面2x y z +-=1所围成的 空间区域,则

xdxdydz Ω

???=( ).

(A) 148

； (B) 148- ； (C) 124 ； (D) 1

24- .

7、设Ω是锥面222

222(0,z x y a c a b

=+>0,0)b c >>与平

面 0,0,x y z c ===所围成的空间区域在第一卦限的

部分,

则

Ω

=( ).

(A) 2136a b ；

(B) 2136a b

(C) 2136

b c ；

(D) 1

36

8、计算I zdv Ω

=

???

,其222,1z x y z Ω=+=中为围成的 立体,则正确的解法为( )和( ). (A)211

00

I d rdr zdz π

θ=???；

(B)211

r

I d rdr zdz π

θ=

?

??；

(C)211

00

r

I d dz rdr π

θ=?

??；

(D)1

20

z

I dz d zrdr π

θ=

?

??.

9

、曲面z =

222x y x +=内部的

那

部分面积s =( ).

；

(B) ；

；

(D) .

10、由直线2,2,2x y x y +===所围成的质量分布均匀

(设面密度为μ)的平面薄板,关于x 轴的转动惯量 x I =( ).

(A) 3μ； (B) 5μ； (C) 4μ； (D) 6μ. 二、计算下列二重积分: 1、

2

2()D

x

y d σ-??,其中D 是闭区域:

0sin ,0.y x x π≤≤≤≤ 2、

D

y

arctg

d x

σ??,其中D 是由直线0y =及圆周 22224,1x y x y +=+=,y x =所围成的在第一象 限内的闭区域 . 3、

2(369)D

y x y d σ+-+??,其中D 是闭区 域:222x y R +≤ 4、

2

22D x

y d σ+-??,其中D :223x y +≤.

三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序:

1、12330

1

(,)(,)y y

dy f x y dx dy f x y dx -+????； 2

、1

10

(,)dx f x y dy ?；

3、

(cos ,sin )a

d f r r rdr θ

θθθ?

?.

四、将三次积分110

(,,)y

x

x

dx dy f x y z dz ???

改换积分次序为

x y z →→.

五、计算下列三重积分: 1、

cos(),y x z dxdydz Ω

+Ω???:

抛物柱面y =

,,2

y o z o x z π

==+=及平面所围成的区域 .

2、

22(),y z dv Ω

+???其中Ω是由xoy 平面上曲线 2

2y x =绕x 轴旋转而成的曲面与平面5x =所围

成的闭区域 .

3、222222

ln(1)

,1z x y z dv x y z Ω

++++++???其中Ω是由球面 2

2

2

1x y z ++=所围成的闭区域 .

六、求平面

1x y z

a b c

++=被三坐标面所割出的有限部分 的面积 . 七、设()f x 在[0,1]上连续,试证: 111

30

1()()()[()]6y

x

x

f x f y f z dxdydz f x dx =???

? .

第十一章 测 验 题

一、选择题:

设L 为03

,02x x y =≤≤

,则4L

ds ?的值为( ). (A)04x ， (B)6, (C)06x .

设L 为直线0y y =上从点0(0,)A y 到点0(3,)B y 的有向直线段,则

2L

dy ?

=( ).

(A)6; (B) 06y ; (C)0. 若L 是上半椭圆cos ,

sin ,

x a t y b t =??=?取顺时针方向,则

L

ydx xdy -?

的值为( ).

(A)0; (B)

2

ab π

; (C)ab π. 4、设(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内有一阶连续 偏导数,则在D 内与

L

Pdx Qdy +?

路径无关的条件

,(,)Q P

x y D x y

??=∈??是( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件.

5、设∑为球面2

2

2

1x y z ++=,1∑为其上半球面,则 ( )式正确. (A)1

2zds zds ∑

∑=????;

(B)1

2zdxdy zdxdy ∑

∑=????;

(C)

1

22

2z dxdy z dxdy ∑

∑=????.

6、若∑为222()z x y =-+在xoy 面上方部分的曲面 , 则ds ∑

??等于( ).

(A)20

d rdr π

θ?

?

;(B)

20

d rdr π

θ?

?

;

(C)

20

d rdr π

θ?

.

7、若∑为球面2222x y z R ++=的外侧,则

2

2x

y zdxdy ∑

??等于( ).

(A)

2xy

D x y ??

;

(B) 2

2xy

D x y ??

; (C) 0 . 8、曲面积分

2

z dxdy ∑

??在数值上等于( ). 向量2

z i

穿过曲面∑的流量；

面密度为2

z 的曲面∑的质量；

向量2

z k

穿过曲面∑的流量 .

9、设∑是球面2222x y z R ++=的外侧,xy D 是xoy 面 上的圆域222x y R +≤,下述等式正确的是( ).

(A)

2

22xy

D x

y zds x y ∑=????；

(B)

2

22

2()()xy

D x

y dxdy x

y dxdy ∑

+=

+????；

(C)

2xy

D zdxdy ∑

=????

.

10、若∑是空间区域Ω的外表面,下述计算中运用奥-高 公式正确的是( ).

(A)

2

(2)x dydz z y dxdy ∑++?? 外侧

=(22)x dxdydz Ω

+???；

(B)

32()2x yz dydz x ydzdx zdxdy ∑--+??

外侧

=

22(321)x x dxdydz -+???

； (C)

2(2)x dydz z y dxdy ∑++?? 内侧

=(21)x dxdydz Ω

+???.

二、计算下列各题:

1、求zds Γ

?,其中Γ为曲线cos ,

sin ,,x t t y t t z t =??

=??=?

0(0)t t ≤≤；

2、求

(s i n 2)(c o s 2)x x

L

e y y dx e y dy -+-?

,其中L 为上

半圆周222()x a y a -+=,0y ≥,沿逆时针方向 .

三、计算下列各题: 1、求

222ds

x y z ∑

++??其中∑是界于平面0z z H ==及 之间的圆柱面2

2

2

x y R +=； 2、求

222

()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑

-+-+-??， 其中∑

为锥面(0)z z h =

≤≤的外侧；

∑

其

中

∑

为曲

面22

(2)(1)15169

z x y ---=+(0z ≥的上侧 .

四、证明:

22

xdx ydy

x y ++在整个xoy 平面除去y 的负半轴及

原点的开区域G 内是某个二元函数的全微分,并求出一个这样的二元函数 .

五、求均匀曲面z = .

六、求向量A xi yj zk =++

通过区域:Ω01,x ≤≤

01,01y z ≤≤≤≤的边界曲面流向外侧的通量 .

七、流体在空间流动,流体的密度μ处处相同(1μ=),

已知流速函数222

V xz i yx j zy k =++ ,求流体在单位时间

内流过曲面222:2x y z z ∑++=的流量(流向外侧)和沿曲线:L 2222x y z z ++=,1z =的环流量(从z 轴正向看去逆时针方向) .

第十二章 测 验 题

一、选择题:

1、下列级数中,收敛的是( ).

(A)11n n ∞

=∑；

(B)1n ∞

=；

(C)

1

n ∞

=； (D)

1

(1)

n

n ∞

=-∑.

2、下列级数中,收敛的是( ).

(A) 115()4n n ∞

-=∑； (B)1

14()5

n n ∞

-=∑；

(C)

1

11

5(1)

()4n n n ∞

--=-∑； (D)1154

()4

5n n ∞

-=+∑. 3、下列级数中,收敛的是( )

(A)22

1(!)2n n n ∞=∑； (B)13!

n n n n n

∞

=∑； (C) 2

2

1

sin

n n

π

π

∞

=∑； (D)

1

1

(2)n n n n ∞

=++∑.

4、部分和数列{}n

s 有界是正项级数1

n n u ∞

=∑收敛的

( )

(A)充分条件； (B)必要条件；

(C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 . 5、设a 为非零常数,则当( )时,级数1

n

n a

r

∞

=∑收敛 .

(A)1r <； (B)1r ≤；

(C)r a <； (D)1r >.

6、幂级数1

1

(1)(1)

n

n n x n

∞

-=--∑的收敛区间是( ).

(A) (0,2]； (B) [0,2)； (C) (0,2]； (D) [0,2].

7、若幂级

n

n n a x

∞

=∑的收敛半径为1:R 10R <<+∞;

0n

n n b x

∞

=∑的收敛半径为2:R 20R <<+∞,则幂级数

()n

n

n n a

b x ∞

=+∑的收敛半径至少为( )

(A)12R R +； (B)12R R ?；

(C){}12max ,R R ； (D){}12min ,R R .

8、当0R >时,级数2

1

(1)n

n k n

n ∞

=+-∑是( ) (A)条件收敛； (B)绝对收敛； (C)发散； (D)敛散性与k 值无关. 9、lim 0n n u →∞

=是级数

1

n

n u

∞

=∑收敛的( )

(A)充分条件； (B)必要条件；

(C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 .

10、幂级数

1

(1)n n n n x ∞

=+∑的收敛区间是( )

(A) (1,1]-； (B) (1,1]-； (C) (1,1]-； (D) [1,1]-. 二、判别下列级数的收敛性:

1、2

2

1(!)

2n n n

∞=∑； 2、2

1cos 32n

n n n π

∞

=∑.

三、判别级数

1

1

(1)ln

n n n n

∞

=+-∑的敛散性 . 四、求极限 1

1113

9

27

3lim[248

(2)]n

n n →∞

???? .

五、求下列幂级数的收敛区间:

1、1

35n n n n x n ∞

=+∑； 2、212n n n n x ∞

=∑.

六、求幂级数1

(1)n

n x n n ∞

=+∑的和函数 .

七、求数项级数2

1!

n n n ∞

=∑的和 .

八、试将函数

2

1

(2)

x -展开成x 的幂级数. 九、设()f x 是周期为2π的函数,它在[,]ππ-上的表达式为

0,[,0)

(),[0,)x x f x e x ππ∈-?=?∈?

将()f x 展开成傅立叶级数 .

十、将函数1,0()0,x h

f x h x π

≤≤?=?<≤?分别展开成正弦级数

和余弦级数 .

十一、证明:如果()(),()f x f x f x π-=-以2π为周期, 则()f x 的傅立叶系数 00a =,220,0

(1,2,)k k a b k === .

第八章 测 验 题 答 案

一、1、D ； 2、C ； 3、C ； 4、A ； 5、B ； 6、B ； 7、C ； 8、A ； 9、D ； 10、D. 二、-103. 三、2.

四、

六、22

133

0y z x ?+

=???=?

. 七、3120x t y t z =??

=-+??=?

,

30

58x t y z t =-??

=??=+?

, 01258x y t z t =??

=-+??=+?

, 1411260

380x y z x y z +--=??-++=?

. 八、81390x y z --+=.

九、1124463x t

y t z t =--??

=-+??=+?

.

十、240x y z ++-=.

十一、210

10x y z x y z +-+=??

+++=?

.

十二、直线12L L 与为异面直线

,3

d =.

第九章 测 验 题 答 案

一、1、A ； 2、B ； 3、B ； 4、B ； 5、D ； 6、C ； 7、A ； 8、A ； 9、D ； 10、B. 二、(1)当0x y +≠时,在点(,)x y 函数连续； (2)当0x y +=时,而(,)x y 不是原点时,

则(,)x y 为可去间断点,(0,0)为无穷间断点.

三、1、ln 1(ln )y x z y x -=,ln ln y

y x z x y

=； 2、123(),x x u f yf yz xyz f =+++

23()y y u xf xz xyz f =++.

3、3

22222

222,0()

(,),0,0x xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? 22222

222

22(),0()(,),0y x x y x y x y f x y o x y ?-+≠?+=??+=?

.

四、221()

()()1()1

f f z f dx dy y z y z φφφ--''--.

五、2y

y y y uu

uy xu xy u xe

f e f xe f f e f '''''''''++++. 六、

(cos sin ),(cos sin ).u u z z

v v u v e u v v v e x y

--??=-=+?? 七、cos sin ,f

l φφ?=+? 537(1)(2)(3)4444ππππφφφ===及

八、4335(,,).5512

九、切点min V =

.

第十章 测 验 题 答 案

1、D ；

2、C ；

3、A ；

4、A ；

5、B ；

6、A ；

7、A ；

8、B,D ；

9、B ； 10、C.

二、1、2

409π-

；2、

2

364

π； 3、42

94R R ππ+；4、5.2

π

三、1、

2

30

2

(,)x

x

dx f x y dy -?

?；

2

、

2

1

2

01

(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx +??

?；

3、

(cos ,sin )a

a

r

rdr f r r d θθθ?

?.

四、

1

1

(,,)z

z

dz dy f x y z dx ???

.

五、1、2

1

162

π-； 2、2503π； 3、0.

七、提示：

1

()(),()()

()(),(0)0

x

F x f t dt F x f x F t f x dx F '====??则且

第十一章 测 验 题 答 案

一、1、B ； 2、C ； 3、C ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、B ； 8、C ； 9、C ； 10、B.

二、1

、

3

220

(2)3t +-； 2、2

a π.

三、1、2H arctg R π； 2、4

4h π-； 3、0.

四、22

1(,)ln()2u x y x y =+.

五、(0,0,)2a

. 六、3.

七、32

,015

π.

第十二章 测 验 题 答 案

一、1、B ； 2、B ； 3、C ； 4、C ； 5、D ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、B ； 10、A. 二、1、发散； 2、收敛. 三、条件收敛.

提示:化成212333

2

n n ++++ )

五、1、11[,)55

-； 2

、(.

六、11(1)ln(1),(1,0)(0,1)()0,0x x s x x

x ?+--∈-??

=??=?

. 七、2e .

八、1

21

11,

(2,2)(2)2n n n n x x x ∞

-+==∈--∑

九、2

111(1)1

()[cos 21n n e e f x nx n

ππππ∞=---=++∑ 12

((1)1)

sin ]1

n n e nx n π+-+++, (,0,1,2,x x n n π-∞<<+∞≠=±± 且). 十、12

1cos ()sin ,(0,)(,)n nh

f x nx x h h n ππ∞

=-=

∈?∑

12

sin ()cos ,[0,)(,)n h nh

f x nx x h h n

ππ

π∞

==

+

∈?∑

同济六版高等数学(下)知识点整理

第八章 1、向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+22 22； （旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））

高等数学同济第七版7版下册习题 全解

数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"

jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

高等数学同济第七版7版下册习题全解

第十章重积分9 5 y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数，故 /, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y 1 )3 dcr. fh i)i 又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 . Dy 1)： 从而得 /, = 4/ 2 . ( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ jf/ ( x, y)da = 0； D 如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于： c 是奇函数，即 / ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则 = 0. D ? 3. 利用二重积分定义证明： ( 1 ) jj da = ( 其 中 ( 7 为的面积 ) ； IJ (2) JJ/c/( X , y) drr = Aj | y’ (

A: ， y) do■ ( 其 中 A ：为常数 ) ； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /) 2，， A 为两个 I) b \ lh 尤公共内点的 WK 域 . 证 ( 丨 ) 由于被 枳函数. / U, y) = 1 , 故山 二 t 积分定义得n "

9 6 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解 jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

高等数学同济版(下册)期末考四套试题与答案

高等数学同济版（下册）期末考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2 >+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++?? ∑ ds y x )12 2（ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??2 20 1 3 cos sin ππ ???θdr r d d ；（B ）???20 1 2 sin π π??θdr r d d ；

(完整版)高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)

高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程 x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04)4(=-y y 的通解为 。 8、级数∑ ∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(22→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→? y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分???Ω =zdV I 等于（ ）

高等数学复习提纲同济大学下册

高等数学复习提纲同济 大学下册 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

高等数学复习提纲 一、考试题型 1．填空题6题 2．计算题8题 二、知识点 1．平面及其方程。 例题：一平面过点(101)且平行于向量a (211)和b (110)试求这平面方程 解所求平面的法线向量可取为 k j i k j i b a n 30 11112-+=-=?=? 所求平面的方程为 (x 1)(y 0)3(z 1)0即xy 3z 40 2．空间直线及其方程。 例题：求过点(203)且与直线???=+-+=-+-0 12530742z y x z y x 垂直的平面方程 解所求平面的法线向量n 可取为已知直线的方向向量即 k j i k j i n 1114162 53421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-?-=? 所平面的方程为 16(x 2)14(y 0)11(z 3)0 即16x 14y 11z 650 例题：求过点(312)且通过直线1 2354z y x =+=-的平面方程

解所求平面的法线向量与直线1 2354z y x =+=-的方向向量s 1(521)垂直因为点(312)和(430)都在所求的平面上所以所求平面的法线向量与向量s 2(430)(312)(142)也是垂直的因此所求平面的法线向量可取为 k j i k j i s s n 22982 4112521--=-=?=? 所求平面的方程为 8(x 3)9(y 1)22(z 2)0 即8x 9y 22z 590 3．旋转曲面。 例题：将zOx 坐标面上的抛物线z 25x 绕x 轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程 解将方程中的z 换成22z y +±得旋转曲面的方程y 2z 25x 例题：将zOx 坐标面上的圆x 2z 29绕z 轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程 解将方程中的x 换成22y x +±得旋转曲面的方程x 2y 2z 29 4.多元复合函数求导，隐函数求导。 例题：求函数x y e z =的全微分 解xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=??+??= 例题：设zu 2ln v 而y x u =v 3x 2y 求x z ??y z ?? 解x v v z x u u z x z ?????+?????=??

高等数学同济版下册期末考试题和答案解析四套

高等数学（下册）期末考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、z = )0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++?? ∑ ds y x )122（。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ）y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(22→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2 222y u y x u x ??+??等于（） （A ）y x + ；（B ）x ；(C)y ；(D)0。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω =zdV I 等于（） （A ）4 ? ??2 20 1 3 cos sin π π ???θdr r d d ；（B ）???20 1 2sin π π??θdr r d d ；

高等数学同济第七版7版(下册)习题全解

数，故 /, = Jj( x2 + y1)3d(j = 2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/+r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ? 3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr+ jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh

尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n" jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

高等数学第六版下册复习题 同济版

2011-2012-2《大学数学一》综合练习 一﹑填空题： 1. 已知 )2,1,2(),1,2,2(),1,1,1(C B A ，则AB j AC Pr =___________。 2. 从点)1,1,2(--P 到一个平面π引垂线，垂足为)5,2,0(M ,则平面π的方程为___________________。 3. 过原点且平行于直线? ? ?=--=-1523 4z y x z x 的直线方程为_____________________。 4. 将曲线2 20 x z x y ?=? =?绕轴旋转一周，所得曲面方程为____________________。 5. 函数z=arcsin(2x)+ 2 224ln(1) x y x y ---的定义域____________________. 6. (,)(0,1) 42 lim 3x y xy xy →+-= 。 7. 函数y x y x z +-+=2222的极小值是 . 8. 函数u =22x xy y -+在点（-1，1）沿方向e = 1 {2,1}5 的方向导数_________. 9. 曲线τ：x=2 sin a t ,y =sin cos b t t ， z =2 cos c t 对应于t= 4 π 的点处的切线的一个切向量为____________,该点处的法平面方程为________________。 10. 将二次积分2 1 2 20 ()x x dx f x y dy +??化为极坐标下的二次积分的表达式为 . 11. ??? ? -+--+2 1 2 1 2 ),(),(y y dx y x f dy dx y x f dy 交换积分次序后为 . 12. 曲线积分 ds z y x L ?++2221的值为 ，其中L 为曲线222 1,0x y z z ++==. 13. 若曲线积分412 4(4)(65)L x xy dx x y y dy λλ-++-? 在xoy 平面内与路径无关，则λ= . 14. 设L 为有向曲线2 214x y +=的正向，则(2)(3)L x y dx x y dy -++=? . 15. 设∑是球面：222 4x y z ++=，则曲面积分 ??∑++dS z y x )(222 = . 16. 设幂级数 ∑∞ =0 n n n x a 的收敛半径为3，则幂级数11 )1(-∞=-∑n n n x na 的收敛区间为 .

高数答案(下)习题册答案-第六版--下册-同济大学数学系-编

第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(2 2≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、222)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2 x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数?? ??? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01 sin lim 2 2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z x y +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：

同济版高等数学下册练习题附答案

第八章 测 验 题 一、选择题： 1、若a → ，b → 为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b → → ?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) 5、2()αβ→→ ±=( ) (A)2 2 αβ→→±； (B)2 2 2ααββ→→→ →±+； (C)2 2 ααββ→→→ →±+； (D)2 2 2ααββ→→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为1111220 A x B y C z D B y D +++=?? +=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面250z xy yz x +--=与直线 5 13 x y -= - 10 7 z -=的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 2216 0x y z ?+=?=? ，则此球面的方程是( ). (A)2226160x y z z ++++=； (B)222160x y z z ++-=； (C)2226160x y z z ++-+=； (D)2226160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是 ( ). (A)2221x y z ++=； (B)224x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D) 2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b 的夹角等于3 π，且2,5a b →→==， 求(2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证：

高数答案(下)习题册答案 第六版 下册 同济大学数学系 编

第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221) 1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(22≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、2 22)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2 x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数????? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01sin lim 2 2 ) 0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：

在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z x y +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 2、求空间曲线??? ??=+=Γ2 1:2 2y y x z 在点（ 1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π) 3、设y x y xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1) 4、设y z x u =, 求 x u ?? ，y u ?? ，z u ?? 解：1 -=??y z x y z x u ， x x y z y u y z ln 2-=?? x x y z u y z ln 1=?? 5、设2 2 2 z y x u ++=，证明 : u z u y u x u 2 222222=??+??+?? 6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续是否可导（偏导）说明理由 ?????≠+≠++=0, 00,1sin ),(222 22 2y x y x y x x y x f )0,0(0),(lim 0 0f y x f y x ==→→ 连续； 2 01 sin lim )0,0(x f x x →= 不存在， 000 0lim )0,0(0=--=→y f y y 7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 x b x a f b x a f x ) ,(),(lim --+→

同济版高等数学下册练习题附答案

第八章 测验题 一、选择题： 1、若a → ，b → 为共线的单位向量，则它们的数量积a b →→ ?= (). (A) 1；(B)-1； (C)0；(D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a →及b → 的位置关系是(). 共面；(B)共线； (C) 垂直；(D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有() ()(); (); ()A Q xoy B Q yoz C Q xoz D Q xoz ⊥面；面面面 5、2 ()αβ→ → ±=() (A)2 2 αβ→→±；(B)2 2 2ααββ→→→ →±+； (C)2 2 ααββ→→→ →±+；(D)2 2 2ααββ→→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠，则平面(). (A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 0A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线(). (A) 过原点；(B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴；(D)x 平行于轴. 8、曲面2 50z xy yz x +--=与直线 5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是(). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 2216 x y z ?+=? =?，则此球面的方程是( ). (A)2 2 2 6160x y z z ++++=； (B)222 160x y z z ++-=； (C)2 2 2 6160x y z z ++-+=； (D)2 2 2 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2221x y z ++=；(B)22 4x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=；(D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b 的夹角等于3 π ，且2,5a b →→==，求 (2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b →→→→-?+2()a b →→ =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 . 七、求直线L ：31258x t y t z t =-?? =-+??=+? 在三个坐标面上及平面 π380x y z -++=上的投影方程 .

高等数学复习提纲同济大学下册

高等数学复习提纲 一、考试题型 1．填空题6题 2．计算题8题 二、知识点 1．平面及其方程。 例题：一平面过点(1?0??1)且平行于向量a ?(2?1?1)和b ?(1??1?0)?试求这平面方程? 解所求平面的法线向量可取为 k j i k j i b a n 30 11112-+=-=?=? 所求平面的方程为 (x ?1)?(y ?0)?3(z ?1)?0?即x ?y ?3z ?4?0? 2．空间直线及其方程。 例题：求过点(2?0??3)且与直线???=+-+=-+-0 12530742z y x z y x 垂直的平面方程? 解所求平面的法线向量n 可取为已知直线的方向向量?即 k j i k j i n 1114162 53421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-?-=? 所平面的方程为 ?16(x ?2)?14(y ?0)?11(z ?3)?0? 即16x ?14y ?11z ?65?0? 例题：求过点(3?1??2)且通过直线1 2354z y x =+=-的平面方程?

解所求平面的法线向量与直线1 2354z y x =+=-的方向向量s 1?(5?2?1)垂直?因为点(3?1??2)和(4??3?0)都在所求的平面上?所以所求平面的法线向量与向量s 2?(4??3?0)?(3?1??2)?(1??4?2)也是垂直的?因此所求平面的法线向量可取为 k j i k j i s s n 22982 4112521--=-=?=? 所求平面的方程为 8(x ?3)?9(y ?1)?22(z ?2)?0? 即8x ?9y ?22z ?59?0? 3．旋转曲面。 例题：将zOx 坐标面上的抛物线z 2?5x 绕x 轴旋转一周?求所生成的旋转曲面的方程? 解将方程中的z 换成22z y +±得旋转曲面的方程y 2?z 2?5x ? 例题：将zOx 坐标面上的圆x 2?z 2?9绕z 轴旋转一周?求所生成的旋转曲面的方程? 解将方程中的x 换成22y x +±得旋转曲面的方程x 2?y 2?z 2?9? 4.多元复合函数求导，隐函数求导。 例题：求函数x y e z =的全微分 解xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=??+??=? 例题：设z ?u 2ln v ?而y x u =?v ?3x ?2y ?求x z ???y z ??? 解x v v z x u u z x z ?????+?????=?? 31ln 22?+?=v u y v u 222)23(3)23ln(2y y x x y x y x -+-=?

高等数学(同济第七版下)课后习题及解答

1.设u =a -b +2c ，v =-a +3b -c .试用a ，b ，c 表示2u -3v . 解2u -3v =2（a -b +2c ）-3（-a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 证如图8-1，设四边形ABCD 中AC 与BD 交于M ，已知 AM =MC ，MB DM . 故 DC DM MC MB AM AB . 即DC AB //且｜AB |=|DC |，因此四边形 ABCD 是平行四边形． 3.把△ABC 的BC 边五等分，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各 分点与点A 连接.试以AB =c,BC =a 表向量 A D 1,A D 2,A D 3,A D 4 .证 如图8-2，根据题意知 5 11 BD a, 5 12 1D D a, 5 13 2D D a, 5 14 3D D a, 故A D 1=-（ 1BD AB ）=-5 1 a-c

A D 2=-（2BD A B ）=-52 a-c A D 3=-（3BD A B ）=-53 a-c A D 4 =-（4BD AB ）=-5 4 a-c. 4.已知两点M 1（0，1，2）和M 2（1，-1，0）.试用坐标表示式表示向量 21M M 及-221M M . 解 21M M =（1-0，-1-1，0-2）=（1，-2，-2）. -221M M =-2（1，-2，-2）=（-2，4，4）. 5.求平行于向量a =（6，7，-6）的单位向量. 解向量a 的单位向量为 a a ，故平行向量a 的单位向量为 a a = 11 1（6，7，-6）= 11 6,117,116， 其中 11)6(7 6 2 2 2 a . 6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （2，3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3，1）. 解A 点在第四卦限，B 点在第五卦限，C 点在第八卦限，D 点在第三卦限. 7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （3，4，0）， B （0，4，3）， C （3，0，0）， D （0，