高考数学双曲线
2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》
双曲线
1．双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
x2
a2－
y2
b2＝1
(a>0，b>0)
y2
a2－
x2
b2＝1
(a>0，b>0)
图形
性质
范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点
顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线y＝±
b
a x y＝±
a
b x
离心率e＝
c
a，e∈(1，＋∞)，其中c＝a
2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双
曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做
双曲线的虚半轴长
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
概念方法微思考
1．平面内与两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数2a 的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？
提示 不一定．当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是两条射线；
当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在；
当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线．
2．方程Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是什么？
提示 若A >0，B <0，表示焦点在x 轴上的双曲线；若A <0，B >0，表示焦点在y 轴上的双曲线．所以Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是AB <0.
3．与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a ，b 只限制a >0，b >0，二者没有大小要求，若a >b >0，a ＝b >0,0 提示 离心率受到影响．∵e ＝c a ＝ 1＋????b a 2，故当a >b >0时，1 e ＝2(亦称等轴双曲线)，当0 2. 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × ) (3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y n ＝0.( √ ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ ) (5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22 ＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ ) 题组二 教材改编 2．若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B ．5 C. 2 D ．2 答案 A 解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±y b ＝0，即bx ±ay ＝0，