中考数学压轴题汇编
压
轴
题
'
选
讲,
中考倒数第三题
1. 如图，已知直线PA交⊙0于A、B两点，AE是⊙0的直径．点C为⊙0上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD ⊥PA，垂足为D。
(1)求证：CD为⊙0的切线；
(2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB的长度.
、
2、在△ABC中，AB=AC，点O是△ABC的外心，连接AO并延长交BC于D，交△ABC的外接圆于E，过点B作⊙O的切线交AO的延长线于Q，设OQ=，BQ=3．
（1）求⊙O的半径；
（2）若DE=，求四边形ACEB的周长．
[
3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB 上，⊙O与AB交于点E．
（1）求证：直线BD与⊙O相切；
（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径．
￥
4、己知：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC干点F，交⊙O于点D，DF⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD．
（1）求证：∠DAC=∠DBA
（2）求证：P处线段AF的中点
（3）若⊙O的半径为5，AF=，求tan∠ABF的值．
!
5、已知：如图，锐角△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°；点D是⌒
BC上一点，过点D的切线DE交AC的延长线于点E，且DE∥BC；连结AD、BD、BE，AD的垂线AF与DC的延长线交于点F．
（1）求证：△ABD∽△ADE；
（2）记△DAF、△BAE的面积分别为S△DAF、S△BAE，
求证：S△DAF＞S△BAE．
-
；
6、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC
于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)当∠B AC＝60o时，DE与DF有何数量关系请说明理由；
(3)当AB＝5，BC＝6时，求tan∠BAC的值．
*
A
B C
E
O
F
'
7、如图，已知CD 是⊙O 的直径，AC ⊥CD ，垂足为C ，弦DE ∥OA ，直线AE 、CD 相交于点B ．
(1)求证：直线AB 是⊙O 的切线．
(2)当AC ＝1，BE ＝2，求tan ∠OAC 的值．
【
9、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，切点为C ．延长AB 交CD 于点E ．连接AC ，作∠DAC =∠ACD ，作AF ⊥ED 于点F ，交⊙O 于点G ． （1） 求证：AD 是⊙O 的切线；
（2） 如果⊙O 的半径是6cm ，EC =8cm ，求GF 的长．
^
。
中考倒数第二题
1、某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格
一路攀升，每件配件的原材料价格y 1（元）与月份x （1≤x≤9，且x 取整数）之间的函数关系如下表：
A
B D
O C ^
> A
O
B G
月份x
1
2
^
3 4 5 6 7 8 9
价格y 1（元/件） 560 580 。 600
620 640 660 680 700 720 随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y 2（元）与月份x （10≤x≤12，且x 取整数）之间存在如图所示的变化趋势：
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y 1与x 之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y 2与x 之间满足的一次函数关系式； |
（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p 1（万件）与月份x 满足函数关系式p 1=+（1≤x≤9，且x 取整数）10至12月的销售量p 2（万件）与月份x 满足函数关系式p 2=﹣+（10≤x≤12，且x 取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；
（3）今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a%．这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a 的整数值．
（参考数据：992=9901，982=9604，972=9409，962=9216，952=9025）
~
2、如图，已知抛物线2
49
y x bx c =-
++与x 轴相交于A 、B 两点，其对称轴为直线2x =，且与x 轴交于点D ，AO=1．
(1) 填空：b=_______。c=_______，点B 的坐标为(_______，_______)： (2) 若线段BC 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交x 轴于点F ．求FC 的长；
(3) 探究：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使⊙P 与x 轴、直线BC 都相切若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
、
！
3、我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x
万元，可获得利润()2
16041100
P x =-
-+（万元）
．当地政府拟在“十二?五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获利润()()2
992941001001601005
Q x x =-
-+-+（万元） ⑴若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少
⑵若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少 ⑶根据⑴、⑵，该方案是否具有实施价值
$
…
4、2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办
.
型号 金额
Ⅰ型设备 Ⅱ型设备 投资金额x （万
元）
x — 5
x 2 4 补贴金额y （万元）
)
0(1≠=k kx y
2
)
0(22≠+=a bx ax y
<
（1）分别求1y 和2y 的函数解析式；
（2）有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并
求出按此方案能获得的最大补贴金额.
：
5、使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点。例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1
是函数1y x =-的零点。 己知函数2
22(3)y x mx m =--+ (m m 为常数)。 （1）当m =0时，求该函数的零点；
（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且
12111
4
x x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式。
（
；
6、如图，已知二次函数y=﹣x 2+mx+4m 的图象与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点（B 点在A 点的右边），与y 轴的正半轴交于点C ，且（x 1+x 2）﹣x 1x 2=10． （1）求此二次函数的解析式．
（2）写出B ，C 两点的坐标及抛物线顶点M 的坐标； 、
（3）连接BM ，动点P 在线段BM 上运动（不含端点B ，M ），过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，设OH 的长度为t ，四边形PCOH 的面积为S ．请探究：四边形PCOH 的面积S 有无最大值如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由．
，
8、如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
,
]
9、如图9，已知抛物线经过定点
．．，P点关于x轴的对称点为P′，．．A（1，0），它的顶点P是y轴正半轴上的一个动点
过P′作x轴的平行线交抛物线于B、D两点（B点在y轴右侧），直线BA交y轴于C点．按从特殊到一般的规律探究线段CA与CB的比值：
（1）当P点坐标为（0，1）时，写出抛物线的解析式并求线段CA与CB的比值；
（2）若P 点坐标为（0，m ）时（m 为任意正实数），线段CA 与CB 的比值是否与⑴所求的比值相同请说明理由．
…
10、如图，已知二次函数y=﹣x 2+bx+c 的图象经过A （﹣2，﹣1），B （0，7）两点．
（1）求该抛物线的解析式及对称轴； （2）当x 为何值时，y ＞0
（3）在x 轴上方作平行于x 轴的直线l ，与抛物线交于C ，D 两点（点C 在对称轴的左侧），过点C ，D 作x 轴的垂线，垂足分别为F ，E ．当矩形CDEF 为正方形时，求C 点的坐标．
.
11、如图，抛物线1l 1 :y=-x 2平移得到抛物线2l ，且经过点O 和点A ，2l 的顶点为点B ，它的对称轴与2l 相交于点C,设1l 、2l 与BC 围成的阴影部分面积为S,解答下
图9
x
y
B
)
A
P P 1 O
C
D
.
.
<
.
. . .
l 2
l 1
A
C O
B
x
y
列问题：
（1）求2l 表示的函数解析式及它的对称轴，顶点的坐标。 （2）求点C 的坐标，并直接写出S 的值。 …
（3）在直线AC 上是否存在点P ，使得S △POA ＝
1
2S 若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
"
%
12、已知
A (1，0)、
B (0，－1)、
C (－1，2)、
D (2，－1)、
E (4，2)五个点，抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)经过其中
的三个点．
(1)求证：C 、E 两点不可能同时在抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)上； (2)点A 在抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)上吗为什么 (3)求a 和k 的值．
#
%
13、已知二次函数32
-+=bx x y 的图象经过点P （－2，5） （1）求b 的值并写出当1＜x ≤3时y 的取值范围；
a
b ,b
图1 （2）设)y 2()y 1
()y (32211，，、，++m P m P m P 在这个二次函数的图象上， ①当m=4时，321y y y 、、能否作为同一个三角形三边的长请说明理由；
②当m 取不小于5的任意实数时，321y y y 、、一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由。
·
*
14、问题提出：我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一
般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小，即要比较代数式M 、N 的大小，只要作出它们的差M －N ，若M －N ＞0，则M ＞N ；若M －N ＝0，则M ＝N ；若M －N ＜0，则M ＜N ．
问题解决
如图1，把边长为a ＋b (a ≠b )的大正方形分割成两个边长分别是a 、b 的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M 与两个矩形面积之和N 的大小． 解：由图可知：M ＝a 2＋b 2
，N ＝2ab ．
∴M －N ＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2．
∵a ≠b ，∴(a －b )2＞0． ∴M －N ＞0．
∴M ＞N ．
类别应用
?
(1)已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为a ＋b 2元/千克和2ab
a ＋b
元/千克(a 、b 是正数，且a ≠b )，
试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低．
(2)试比较图2和图3中两个矩形周长M 1、N 1的大小(b ＞c )．
联系拓广
!
小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图4所示(其中b ＞a ＞c ＞0)，售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，吻哪种方法用绳最短哪种方法用绳最长请说明理由．
图3
a ＋b
b ＋3c
b ＋c
a －c
图2
`
:
15、设函数1)12(2+++=x k kx y （k 为实数）
（1）写出其中的两个特殊函数，使它们的图像不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出这两个
特殊函数的图像；
（2）根据所画图像，猜想出：对任意实数k ，函数的图像都具有的特征，并给予证明； （3）对任意负．实数k ，当m x <时，y 随着x 的增大而增大，试求出m 的一个值
）
中考最后一题
第一部分 函数图象中点的存在性问题
因动点产生的相似三角形问题
#
例1
如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的
点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°． （1）求这条抛物线的表达式；
（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；
（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．
图4
图5 图6 图7
b
c
图1
例2 如图1，已知抛物线的方程C1：1(2)()
=-+-(m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且
y x x m
m
点B在点C的左侧．
<
（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；
（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
图1
【
例3 如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．
图1
】
1.2因动点产生的等腰三角形问题
例1 如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，
点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．
（1）求ED、EC的长；
（2）若BP＝2，求CQ的长；
（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．
图1 备用图
%
例2 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
—
例3
如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重
合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y ． （1）求y 关于x 的函数关系式；
（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少
（3）若12
y m
=
，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少
!
图1
因动点产生的直角三角形问题
例1
如图1，抛物线233
384
y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．
（1）求点A 、B 的坐标；
】
（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标； （3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．
三个时，求直线l 的解析式．
图1
例2
在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y ＝k (x 2＋x －1)的图象交于点A (1,k )和点B(－1,－k )．
》
（1）当k ＝－2时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围； （3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值．
、
例3
如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，
以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．
（1）求x 的取值范围；
（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积
图1
\
因动点产生的平行四边形问题
例1
如图1，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A (0, 1)、B (4, 3)两点．
（1）求抛物线的解析式； （2）求tan ∠ABO 的值；
（3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，在对称轴的左侧且平行于y 轴的直线交线段AB 于点N ，交抛物线于点M ，若四边形MNCB 为平行四边形，求点M 的坐标．
图1
;
例2
将抛物线c 1：233y x =-+x 轴翻折，得到抛物线c 2，如图1所示．
（1）请直接写出抛物线c 2的表达式；
（2）现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次
为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．
①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；
②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
;
图1
例3 在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝35．分别以OA、OC边所在直
线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．
（1）求点B的坐标；
（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；
'
（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N 为顶点的四边形是菱形若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
因动点产生的面积问题
例1
如图1，在平面直角坐标系中，直线1
12
y x =
+与抛物线y ＝ax 2＋bx －3交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ． （1）求a 、b 及sin ∠ACP 的值； '
（2）设点P 的横坐标为m ．
①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；
②连结PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 的值，使这两个三角形的面积比为9∶10若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．
图1
例 2
如图1，直线l 经过点A (1，0)，且与双曲线m
y x
=
(x ＞0)交于点B (2，1)．过点(,1)P p p -(p ＞1)作x 轴的平行线分别交曲线m y x =
(x ＞0)和m
y x
=-(x ＜0)于M 、N 两点． '
（1）求m 的值及直线l 的解析式；
（2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；
（3）是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △AMP 若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．
图1
#
因动点产生的相切问题
例 1 如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点．（1）当1
A=时，求AP的长；
tan
2
（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP＝x，QP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）在（2）的条件下，当4
A=时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q相外切，且OM⊥OQ，
tan
3
试求⊙M的半径的长．
图1 图2 图3
~
例2 如图1，A(－5,0)，B(－3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA＝90°．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．
（1）求点C的坐标；
（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD
的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．
图1
：